Ограничения на обхваты в компактных графах Текст научной статьи по специальности «Математика»

ны быть скорректированы: Мр (ь*) := Мр (ь*) \ {ь? € Мр (ь*) : г,] € {1,..., ^} , г + ] < д}. Здесь индексы при вершинах V, V/ € V соответствуют номерам уровней проекции Pd(ь0), на которых эти вершины располагаются.

4. Исходя из списка N (С) и заданного обхвата, поочередно выстраиваем остальные проекции Pd(vj), V/ € V, уточняя при этом потенциальные подмножества Мр (vj) и внося изменения в список М' (С) графа и в выстроенные ранее проекции.

5. Задача синтеза графа решена, когда список М' (С) определен полностью, т. е. для всех Vj € V имеет место |М (vj )| = 5, Мр(ь?) = 0. Если это условие не выполнено, то в одном из потенциальных окружений следует выбрать вершину и перейти к п. 4. При этом мощность некоторых потенциальных подмножеств в списке N' (С) вершин может стать меньше их индекса, т. е. |Мр(ь?)х| < х. Тогда следует вернуться к предшествующей подстановке с запретом таковой и выбрать альтернативный в данном потенциальном подмножестве вариант.

В работе приведены примеры 13(4)-компактных графов с обхватами д = 3 и д = 4, а также 16(3)- и 16(5)-компактных графов с обхватами д = 5 и д = 4 соответственно, сгенерированных в соответствии с описанным выше алгоритмом.

ЛИТЕРАТУРА

1. Мелентьев В. А. Формальные основы скобочных образов в теории графов // Труды Второй Междунар. конф. «Параллельные вычисления и задачи управления» РАСО’2004. М.: Ин-т проблем управления РАН им. В. А. Трапезникова, 2004. С. 694-706.

2. Мелентьев В. А. Аналитический подход к синтезу регулярных графов с заданными значениями порядка, степени и обхвата // Прикладная дискретная математика. 2010. №2(8). С.74-86.

УДК 519.17

ОГРАНИЧЕНИЯ НА ОБХВАТЫ В КОМПАКТНЫХ ГРАФАХ

В. А. Мелентьев

Условие компактности [1] регулярного графа коррелирует его порядок п со степенью в и минимально возможным диаметром

1 + в £ (в - 1Г1 < п ^ 1 + в Е (в - іг1.

г=1 г=1

Заметим, что область определения порядка компактных графов с заданными значениями степени и диаметра является в данном выражении максимальной и предполагает наличие в них всего спектра к циклов от к = 3 до максимально возможного значения к = 2^ +1, при этом значения обхвата д, равные длине минимального цикла в графе, определены соответствующей областью 3 < д ^ 2^ + 1.

Перепишем (для случая в > 2) условие в виде

в(в - 1)гі_1 - 2 в(в - 1У* - 2

-------------- < п ^ -----------.

в - 2 в - 2

Пусть регулярный граф С( V, Е) порядка п и степени в п(в)-компактен: его диаметр ^ > 1 и значения п и в соответствуют данному выше условию компактности (случай с d =1 для в-регулярного графа соответствует полному графу, обхват которого д(С) = 3). Кратность вершин в рассматриваемых проекциях простых графов проявляется только на уровнях выше первого — в противном случае это были бы мультиграфы,

находящиеся вне нашего рассмотрения. Основанная на проективном описании возможность синтеза регулярных графов с заданными значениями порядка, степени и обхвата впервые представлена в [2]. Там же показано, что наличие в проекции графа одной или нескольких кратных вершин означает наличие в графе цикла длины к, равной сумме номеров уровней, на которых расположены эта или эти вершины; например, если вершина п Є V входит в состав проекции дважды, т. е. ее кратность ти равна 2, и входит она в состав подмножества вершин одного уровня или двух подмножеств разных уровней п Є ^, п Є Vj проекции, то этой проекцией определен цикл длины

к = г + І, г,І Є (1, ^...^

Отметим, что случай п = ^(в) = (в(в - 1)4 - 2) /(в - 2) соответствует п(в)-ком-пактному графу с максимально возможным обхватом д(С) = 2d +1 (если такой граф существует) и отсутствию в любой из его проекций вплоть до d-уровня кратных вершин. Кратными в проекции Р^(^) называем перечисленные в ней повторяющиеся вершины. Попытка синтезировать граф с меньшим, чем 2d +1, обхватом приведет к появлению кратных вершин на уровнях г < d, по крайней мере, в тех его проекциях, ракурсные вершины которых входят в циклы соответствующей длины. При этом d-уровневые проекции с кратными вершинами теряют вершинную полноту, что увеличивает эксцентриситеты этих ракурсных вершин, а следовательно, и диаметр графа, т. е. граф теряет свойство компактности. Таким образом, п(в)-компактных графов с п = ^(в) и обхватом д(С) < 2d +1 не существует, иначе говоря, при генерации п(в)-компактного графа с п = N(в) все к-циклы длины к < 2d +1 должны быть запрещены, т. е. из всех потенциальных подмножеств [2] вершин любого г-го (г ^ d) уровня каждой d-уровневой проекции синтезируемого графа должны быть изъяты вершины, уже вошедшие в состав І-х уровней, І ^ г.

Приведенное выше условие компактности графов является обобщенным и допускает наличие в них к-циклов любой длины, 3 ^ к ^ 2d +1. В [1, 2] показаны возможности генерации лимитируемых обхватом п(в)-компактных графов. В данной работе получены аналитические условия существования таких графов.

Рассмотрим, каким образом изменятся граничные значения числа вершин п(в)-компактного графа при наличии в нем хотя бы одного 3-цикла, что соответствует графу с обхватом д = 3. Наличие всего одного 3-цикла в регулярном графе вызовет неизбежное появление на втором уровне каждой из трёх его проекций, ракурсные вершины которых образуют этот 3-цикл, двух вершин, кратных двум вершинам первого уровня. Таким образом, максимально возможное число некратных вершин второго уровня уменьшается на две; каждая кратная вершина г-го уровня (1 < г ^ d) вызывает масштабируемое множителем в -1 уменьшение числа некратных вершин на (г + 1)-м уровне. Доказано, что порожденные кратными вершинами вершины также являются кратными. В соответствии с этим число т^(3) кратных вершин на всех d уровнях компактного графа, обусловленное наличием в нем всего одного 3-цикла, составит

Тогда для того, чтобы граф порядка п оставался компактным, несмотря на наличие в нем одного 3-цикла, должно быть выполнено условие п + md (3) ^ Nd (5), т. е. п ^ N (5) — т^ (3), или

¿-1

Шй(3) = 2 + 2(в - 1) + ... + 2(в - 1)4-1 = 2 £ (в - 1)г-1

г=1

в2

Если же

( 1\^-1^ , ^ ^ s(s — 1)d — 2 (s - 1) (s + 1) <n ^ ------------,

то граф теряет свойство компактности при наличии в нем хотя бы одного треугольного цикла. Иными словами, при генерации ^^-компактного графа, удовлетворяющего приведенному выше условию, из всех потенциальных подмножеств вершин второго уровня любой из проекций графа необходимо исключить все вершины первого уровня этой проекции.

Получены аналогичные формулы для любых k-циклов, 3 < k ^ 2d — 1.

ЛИТЕРАТУРА

1. Мелентьев В. А. Компактные структуры вычислительных систем и их синтез // Управление большими системами. 2011. №32. С. 241-261.

2. Мелентьев В. А. Аналитический подход к синтезу регулярных графов с заданными значениями порядка, степени и обхвата // Прикладная дискретная математика. 2010. №2(8).

С.74-86.

УДК 519

УТОЧНЕНИЕ ОЦЕНОК ЭКСПОНЕНТОВ ПРИМИТИВНЫХ ГРАФОВ

В. М. Фомичев

Матрицу A = (aij) порядка n > 1 над полем действительных чисел называют неотрицательной (положительной) и пишут A ^ 0 (A > 0), если aitj ^ 0 (а^- > 0) для всех i,j € {1,...,n}. Неотрицательную матрицу A называют примитивной, если A* > 0 при некотором натуральном t, а наименьшее натуральное y, при котором AY > 0, называют экспонентом, или показателем примитивности матрицы A, и обозначают exp A.

В ряде задач, в том числе криптографических, требуется определить экспоненты различных матриц. Для решения таких задач на языке теории графов часто используется эпиморфизм ^ мультипликативного моноида неотрицательных матриц порядка n на моноид n-вершинных орграфов, где умножение орграфов определено как умножение бинарных отношений [1, с. 212]. При эпиморфизме ^ матрице A соответствует орграф Г с множеством вершин {1,..., n} и с множеством дуг U, где (i, j) € U, если и только если ai,j > 0, при этом матрица смежности вершин графа Г называется носителем матрицы A. Очевидно, <^(М) = Г. Для ограничения эпиморфизма ^ на подмо-ноид симметрических матриц (для них ai,j = aj,i при всех допустимых i, j) областью значений является подмоноид n-вершинных графов. Для эпиморфизма ^ выполнено условие: A > 0, если и только если орграф Г = <^(A) полный. Отсюда неотрицательная матрица A и орграф Г = <^(A) одновременно примитивны или не примитивны, в случае примитивности экспоненты их равны. Далее используем преимущественно аппарат теории графов. Неориентированные графы будем называть просто графами.

Необходимым условием примитивности орграфа является его сильная связность. Критерий примитивности орграфа [2, с. 226]: если C1,... , Ck суть все простые контуры орграфа Г длин соответственно /1,... , lk, то орграф Г примитивный, если и только если НОД(/1,... , lk) = 1. Отсюда exp Г = ехрГ, если примитивные орграфы (графы) Г и Г изоморфны.

Достижимая абсолютная оценка экспонента любого примитивного n-вершинного орграфа Г получена Виландтом [3]: ехрГ ^ n2 — 2n + 2, где n > 1. Эта оценка для n-