CC BY
32
Щр — 1
1+п+п2 + ...+пр-1 =---------. Тогда мощность множества Z (Ор) всех подграф-затравок
п — 1
из траектории графа Ор также равна---------.
п — 1
Число точек сочленения графа Н = (Ш^) обозначим через т(Н).
Теорема 1. Для всякого предфрактального графа Ор, порожденного затравкой Н = (Ш^), справедливы верхняя и нижняя оценки числа точек сочленения
пр — п
т(Н)пр-1 ^ т(Ор) ^ т(Н)пр-1 +-----------—, если смежность старых ребер одного ранга
п1
не нарушается.
Число мостов графа Н = (Ш, (^) обозначим через к(Н).
Теорема 2. Для всякого предфрактального графа = (Ур,Ер), порожденного
затравкой Н = (Ш, Q), справедливы верхняя и нижняя оценки числа мостов:
пр — п
п — 1 ЛИТЕРАТУРА
1. Кочкаров А. М. Распознавание фрактальных графов. Алгоритмический подход. Нижний Архыз: РАН САО, 1998.
2. Кочкаров А. А., Кочкаров Р. А. Параллельный алгоритм поиска кратчайшего пути на предфрактальном графе // Журн. вычислит. матем. и матем. физики. 2004. Т. 44. №6. С.1157-1162.
УДК 519.17: 681.3
КОМПАКТНЫЕ ГРАФЫ И ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЙ АЛГОРИТМ ИХ СИНТЕЗА
В. А. Мелентьев
Проблема анализа и синтеза структур вычислительных систем (ВС) традиционно решается методами теории графов. При этом между множествами модулей ВС и вершин V графа О(V, Е) и между множествами линий связи и ребер Е графа устанавливают биективные соответствия; задержки при этом оценивают метрическими характеристиками соответствующих графов — их диаметром d или радиусом. В рамках решения проблемы синтеза структур ВС рассматривается синтез ^-регулярного графа порядка п = IV | с минимально возможным при значениях п и в диаметром d. Такие графы далее называем п(в)-компактными.
Решение задачи основано на предложенном в [1] описании графа проекциями. Проекция Р(vj) графа О(У, Е) является многоуровневой конструкцией, на нулевом уровне которой расположена ракурсная вершина Vj из V. Порожденное ею подмножество вершин первого уровня VIj содержит все вершины ее окружения N(vj), а г-й уровень (г ^ 1) представляет собой совокупность подмножеств вершин, каждое из которых порождено вершиной (г — 1)-го уровня и является окружением этой вершины без вершин, предшествующих ей в проекции. Вершине Vij к-уровневой проекции Рк(V®) соответствует упорядоченное множество вершин W(^) = ^о^ю,..., vij), представляющее собой простую цепь из ракурсной вершины V® нулевого уровня этой проекции в вершину vij г-го уровня (г ^ к); длина этой цепи Ь^0, vij) = г. В общем случае некоторые вершины проекции Рк^0) могут быть -кратными (1 ^ ). Значение кратности соответ-
ствует числу простых цепей из ракурсной вершины v0 в вершину vij. Номер г уровня
в проекции P (v0) определяет удаленность вершин этого уровня от ракурсной вершины v0, а уровень k, впервые доопределяющий множество вершин всех нижерасположенных уровней проекции графа G(V, E) до V, соответствует эксцентриситету e(v0) ракурсной вершины v0 в проекции P(v0) и вершинной полноте этой проекции. При k = e(v0) проекция Pk(v0) графа G( V, E) становится вершинно-полной, и каждая вершина графа G(V, E) хотя бы однажды появляется на уровне i ^ e(v0) проекции Pk(v0). Если при этом e(u) = e = const для всех u Е V, то диаметр d графа G равен значению e (напомним, что d(G) = maxe(u)), и число уровней в каждой вершинно-полной проек-
uGV
ции графа также будет равным этому значению и диаметру графа. Таким образом, задача построения n(s) -компактного графа порядка n и степени s трансформируется в задачу построения такой системы проекций графа, в которой каждая проекция является вершинно-полной, а число уровней — минимально достаточным для размещения всех n вершин.
Нетрудно увидеть, что максимально возможное число вершин ni+1, которое способен вместить (i + 1)-й уровень проекции s-регулярного графа, определяется рекурсивно: ni+1 = n^s — 1), причем первые два члена этой последовательности — n0 = 1 и
n1 = s. Тогда максимально возможное для k-уровневой проекции Pk(v0) число вершин
k
с единичной кратностью составит Nk (s) = 1 + s £ (s — 1)i-1. Этот предел является
i=1
верхним для порядка s-регулярного графа при заданном числе k уровней в его проекциях; ограничение снизу определяется (k — 1)-м уровнем: Nk-1(s) < n. Справедливо и обратное: минимальное число уровней в проекции графа определяется, исходя из значений порядка графа и его степени. Таким образом, для п^)-компактного графа его диаметр d (равный эксцентриситету любой ракурсной вершины) находится из неравенства
d— 1 d
1 + s £ (s — 1)i—1 < n ^ 1 + s£ (s — 1)i—1.
¿=1 ¿=1
Приведём модифицированный в сравнении с [2] детерминированный алгоритм синтеза компактных графов.
1. Из условия компактности и заданных значений порядка и степени/диаметра получим значение диаметра/степени графа.
2. Введем разметку вершин графа, произвольно выберем ракурсную вершину v0 Е V и построим для нее базовую d-уровневую проекцию Pd(v0) остовного подграфа искомого п^)-компактного графа G( V, E). Размещение n вершин на d уровнях
d d
этой проекции может быть произвольным, но таким, что U V = V, или £ |Vi| = | V|.
¿=0 i=0
Вершины V1 1-го уровня проекции Pd(v0) составляют окружение N (v0) ракурсной вершины v0, |V1| = s; на последующих 2 < i ^ d уровнях |V + 1| ^ |Vi| • (s — 1).
3. Окружения N'(vj) вершин из базовой проекции Pd(v0) сведем в список N'(G) = = (N'(vj) : Vj Е V). Вершины Vj Е V, окружения которых пока не определены полностью, включим в множество V' = {vj Е V : |N'(vj)| < s}. Окружения N' (vj) этих вершин vj дополним потенциальными подмножествами NP (vj)x = V' \ W(v0, vj), нижний индекс x при которых равен числу недостающих в этом окружении вершин (х = = s — |N' (vj)|): N (vj) = N' (vj) U N (vj)x. Здесь W(v0,vj) —множество всех предшественниц вершины vj в проекции Pd(v0), составляющих простую цепь из v0 в vj. При необходимости обусловим синтез п^)-компактного графа его обхватом g. В этом случае потенциальные подмножества вершин NP (vi), входящие в состав N (vi), долж-
ны быть скорректированы: М (г^) := М (г^) \ {г; € М (г^) : г,] € {1,..., ^} , г + ] < д}. Здесь индексы при вершинах г, г; € V соответствуют номерам уровней проекции (го), на которых эти вершины располагаются.
4. Исходя из списка N (С) и заданного обхвата, поочередно выстраиваем остальные проекции Р^г;), г; € V, уточняя при этом потенциальные подмножества МР (г;) и внося изменения в список М' (С) графа и в выстроенные ранее проекции.
5. Задача синтеза графа решена, когда список М' (С) определен полностью, т. е. для всех г; € V имеет место |М(г;)| = 5, МР(г;) = 0. Если это условие не выполнено, то в одном из потенциальных окружений следует выбрать вершину и перейти к п. 4. При этом мощность некоторых потенциальных подмножеств в списке N' (С) вершин может стать меньше их индекса, т. е. |МР(г;)х| < х. Тогда следует вернуться к предшествующей подстановке с запретом таковой и выбрать альтернативный в данном потенциальном подмножестве вариант.
В работе приведены примеры 13(4)-компактных графов с обхватами д = 3 и д = 4, а также 16(3)- и 16(5)-компактных графов с обхватами д = 5 и д = 4 соответственно, сгенерированных в соответствии с описанным выше алгоритмом.
ЛИТЕРАТУРА
1. Мелентьев В. А. Формальные основы скобочных образов в теории графов // Труды Второй Междунар. конф. «Параллельные вычисления и задачи управления» РАСО’2004. М.: Ин-т проблем управления РАН им. В. А. Трапезникова, 2004. С. 694-706.
2. Мелентьев В. А. Аналитический подход к синтезу регулярных графов с заданными значениями порядка, степени и обхвата // Прикладная дискретная математика. 2010. №2(8).
С.74-86.
УДК 519.17
ОГРАНИЧЕНИЯ НА ОБХВАТЫ В КОМПАКТНЫХ ГРАФАХ
В. А. Мелентьев
Условие компактности [1] регулярного графа коррелирует его порядок п со степенью в и минимально возможным диаметром і:
1 + в £ (в - 1Г1 < п ^ 1 + в £ (в - 1Г1. і=1 і=1
Заметим, что область определения порядка компактных графов с заданными значениями степени и диаметра является в данном выражении максимальной и предполагает наличие в них всего спектра к циклов от к = 3 до максимально возможного значения к = 2і +1, при этом значения обхвата д, равные длине минимального цикла в графе, определены соответствующей областью 3 < д ^ 2і + 1.
Перепишем (для случая в > 2) условие в виде
в(в - 1)гі_1 - 2 в(в - 1У* - 2
------------- < п ^ ------------.
в - 2 в - 2
Пусть регулярный граф С( V, Е) порядка п и степени в п(в)-компактен: его диаметр і > 1 и значения п и в соответствуют данному выше условию компактности (случай с і =1 для в-регулярного графа соответствует полному графу, обхват которого д(С) = 3). Кратность вершин в рассматриваемых проекциях простых графов проявляется только на уровнях выше первого — в противном случае это были бы мультиграфы,
