CC BY
20
УДК 519.17: 681.3
АНАЛИТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К СИНТЕЗУ РЕГУЛЯРНЫХ СТРУКТУР ОТКАЗОУСТОЙЧИВЫХ СИСТЕМ
В. А. Мелентьев
Проблема синтеза отказоустойчивых сетей связи представлена в научной литературе достаточно широко. Наиболее распространенный подход к решению этой проблемы состоит в генерации случайных сетей с последующей режекцией не отвечающих заданным критериям вариантов. В качестве критериев при этом используют такие общеупотребимые показатели, как диаметр, связность, коэффициент кластеризации и т. п. Известные [1] исследования устойчивости вычислительных сетей и систем к случайному и/или преднамеренному удалению вершин из их структур свидетельствуют
о большей устойчивости регулярных структур. При этом ни в теории сетей и систем, ни в фундаментальной ее основе — теории графов проблематика генерации структуры (графа) с заданными коммуникативными свойствами систематическими методами, исключающими необходимость перебора, практически не исследована. Связано это было, по-видимому, с отсутствием аппарата описания графов, позволяющего максимально формализованно производить их анализ и преобразования.
В данной работе впервые сформулирован аналитический подход к решению проблемы синтеза регулярных графов заданного порядка п и степени в. Подход основан на предложенной автором формализации описания графа О(У,Е) его проекциями Р(уо), у0 Е V, и состоит в построении базовой проекции остовного дерева генерируемого графа, в анализе этой проекции и выявлении с ее помощью нижней границы диаметра ¿(О) и верхней границы обхвата д(О), а также в последующем доопределении неизвестных ребер графа другими его проекциями в соответствии с требуемыми значениями показателей. Таким образом, поиск недостающих в остовном подграфе ребер подобен решению системы уравнений, в качестве которой использовано множество проекций генерируемого графа.
Проекция Р(уг) графа О(У,Е) представляет собой многоуровневую конструкцию, на нулевом уровне которой расположена ракурсная вершина Уг Е V; порожденное ею единственное подмножество первого уровня содержит все вершины окружения N(уг), а каждый к-й уровень (к > 1) представляет собой совокупность подмножеств вершин, каждое из которых порождено вершиной (к — 1)-го уровня и является окружением этой вершины без тех его вершин, что ей предшествуют. Таким образом, отношение «предшествования вершины/порождения подмножества» фактически моделирует отношение смежности соответствующей вершины с вершинами соответствующего подмножества. Формальная запись этих отношений в скобочном описании двух произвольно взятых соседних уровней проекции графа имеет вид {а|&1 ’’""’Ь]},... , а{с1’"""’сг}}. Здесь вершины а1 и аг одного из подмножеств произвольно взятого уровня предшествуют и смежны вершинам порожденных ими подмножеств {Ъ\, ... ,Ъ]} и {С1, ... ,01}.
Для конкретизации числа к уровней в проекции добавим в ее обозначение соответствующий индекс — Рк(ш). Тогда Р0(ш) = ш. Продолжив описание до 1-го уровня, получим Р1 (ш) = . Здесь множество вершин Vwj = N(ш) является окружением
вершины ш и состоит из в(т) вершин, где в(т) = deg(w) —степень вершины ш. Таким образом, ]-я вершина (г — 1)-го уровня проекции порождает на следующем г-м уровне подмножество Vij С V вершин. Подмножеству Vij поставим в соответствие множество предшествующих ему вершин Vlj С V, включенных в маршрут М(у0,уг-1^) из ракурс-
ной вершины у0 в вершину Уг-1^. Подмножества вершин ¿-го уровня, число которых равно числу вершин (г — 1)-го уровня, получаем вычитанием из окружений вершин (г—1)-го уровня всех предшествующих им в проекции вершин из Щ: = N(уг—1,з)\У^.
Из проекции единичного куба (п = 8,5 = 3)
Р
(0) = 0{1{4{2’7} ,б{3’7}})2{4{1'7},6{3,7>};з{Б
{1,7} 6{2,7}
'>}
видно, что его диаметр равен 3. В работе показано, что минимальное значение эксцентриситета е(Уо) корневой вершины проекции Р(у0) для пары (п, 5) достигается при
е— 1 е
1 + 5 Е (5 — 1)г— < п ^ 1 + 5 Е (5 — 1)г . Это означает, что для 4 < п ^ 10 и 5 = 3
г=1 г=1
могут быть получены более компактные (с й =2) графы, базовая проекция которых имеет вид
Р (0) = 0{1{2,3’4’Б’6’7}2 ,2{1.3.4.5.-.7>2 ,3{1,2,4,5,6,7}2 }
Доказано утверждение о том, что обхват д графа не превышает удвоенного эксцентриситета его проекции, поэтому значение й =2 в генерируемом графе с п = 8, в = 3 может быть обеспечено как с д = 3, так и с д = 4. Применение подхода показано в работе на примере генерации таких графов, их минимальные полные проекции и соответствующие им графы приведены на рис. 1.
д = 3 • Р (0) = 0{1{2{6},4{6,7}})2{1{4},5{6,7}> ,з{6{4,5},7{4,5>>} д = 4 • Р (0) = 0{і{4{3,6},5{6,7}},2{6{4,5},7{3,5}},3{4{1,6},7{2,5}}}
Рис. 1. Единичный куб (а), граф с n = 8,s = 3,g = 3 (б) и граф с n = 8,s = 3,g = 4 (в)
Обобщенное изложение последовательности действий в процессе синтеза дано на примере синтеза графа той же степени, что и ранее рассмотренные, но большего порядка. Показано, что применение сформулированного подхода не ограничено рассмотренными в работе случаями синтеза регулярных графов: подход может быть с успехом использован для решения более общих сетевых задач, включая задачи масштабирования и наращивания структуры системы. Внедрение же аналитических методов решения этих задач в теорию и практику построения отказоустойчивых систем существенно повысит их оптимальность, реактивность и предсказуемость.
ЛИТЕРАТУРА
1. Valente A. X. C. N., Sarkar A., Stone H. A. 2-Peak and 3-Peak Optimal Complex Networks // Phys. Rev. Lett. 2004. V. 92. No. 11.
