Уточнение оценок экспонентов примитивных графов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Если же

( 1\^-1^ , ^ ^ s(s — 1)d — 2 (s - 1) (S + 1) <П ^ ----,

то граф теряет свойство компактности при наличии в нем хотя бы одного треугольного цикла. Иными словами, при генерации ^^-компактного графа, удовлетворяющего приведенному выше условию, из всех потенциальных подмножеств вершин второго уровня любой из проекций графа необходимо исключить все вершины первого уровня этой проекции.

Получены аналогичные формулы для любых k-циклов, 3 < k ^ 2d — 1.

ЛИТЕРАТУРА

1. Мелентьев В. А. Компактные структуры вычислительных систем и их синтез // Управление большими системами. 2011. №32. С. 241-261.

2. Мелентьев В. А. Аналитический подход к синтезу регулярных графов с заданными значениями порядка, степени и обхвата // Прикладная дискретная математика. 2010. №2(8). С.74-86.

УДК 519

УТОЧНЕНИЕ ОЦЕНОК ЭКСПОНЕНТОВ ПРИМИТИВНЫХ ГРАФОВ

В. М. Фомичев

Матрицу A = (aij) порядка n > 1 над полем действительных чисел называют неотрицательной (положительной) и пишут A ^ 0 (A > 0), если ai,j ^ 0 (a^- > 0) для всех i,j € {1,...,n}. Неотрицательную матрицу A называют примитивной, если At > 0 при некотором натуральном t, а наименьшее натуральное y, при котором AY > 0, называют экспонентом, или показателем примитивности матрицы A, и обозначают exp A.

В ряде задач, в том числе криптографических, требуется определить экспоненты различных матриц. Для решения таких задач на языке теории графов часто используется эпиморфизм ip мультипликативного моноида неотрицательных матриц порядка n на моноид n-вершинных орграфов, где умножение орграфов определено как умножение бинарных отношений [1, с. 212]. При эпиморфизме ip матрице A соответствует орграф Г с множеством вершин {1,..., n} и с множеством дуг U, где (i,j) € U, если и только если ai,j > 0, при этом матрица смежности вершин графа Г называется носителем матрицы A. Очевидно, р(М) = Г. Для ограничения эпиморфизма р на подмо-ноид симметрических матриц (для них ai,j = a-,i при всех допустимых i, j) областью значений является подмоноид n-вершинных графов. Для эпиморфизма р выполнено условие: A > 0, если и только если орграф Г = <^(A) полный. Отсюда неотрицательная матрица A и орграф Г = <^(A) одновременно примитивны или не примитивны, в случае примитивности экспоненты их равны. Далее используем преимущественно аппарат теории графов. Неориентированные графы будем называть просто графами.

Необходимым условием примитивности орграфа является его сильная связность. Критерий примитивности орграфа [2, с. 226]: если C1,... , Ck суть все простые контуры орграфа Г длин соответственно l1,... ,lk, то орграф Г примитивный, если и только если НОД(/1,... , lk) = 1. Отсюда exp Г = ехрГ, если примитивные орграфы (графы) Г и Г изоморфны.

Достижимая абсолютная оценка экспонента любого примитивного n-вершинного орграфа Г получена Виландтом [3]: ехрГ ^ n2 — 2n + 2, где n > 1. Эта оценка для n-

вершинного примитивного орграфа Г допускает уточнение [2, с. 227] с использованием длины l кратчайшего простого контура в Г: exp Г ^ (n — 2)/ + n. В частности, если орграф Г имеет петлю, то он примитивен и exp Г ^ 2n — 2.

Необходимым условием примитивности графа является его связность. Любое ребро графа есть цикл длины 2, тогда примитивность связного графа равносильна наличию в нем простого цикла нечетной длины. Отсюда по теореме Кенига о двудольных графах связный граф примитивен, если и только если он не является двудольным. Известна [2, с. 409] достижимая абсолютная оценка экспонентов примитивных n-вершинных графов: exp Г ^ 2n — 2.

Далее через C обозначим контур в орграфе и через C* — мультимножество вершин контура C, в случае простого контура — множество вершин. Множество W путей из i в j (при i = j контуров), где i,j Є {1,..., n}, назовем (t, l)-множеством путей, t,l — натуральные, если в W имеется l путей (контуров), длины которых равны t, t + 1, ..., t + l — 1.

Для уточнения оценки экспонента примитивного n-вершинного орграфа Г использованы следующие свойства (n > 1):

1) Г примитивен, если содержит два простых контура со взаимно простыми длинами, в частности контур простой длины р и контур длины, не кратной р;

2) если в Г (связном графе Г ) имеются пути из i в j длины l > 0 для любых

i, j Є {1,... , n}, то Г (граф Г ) примитивен и exp Г ^ l;

3) если для некоторых i, j Є {1,..., n} в Г (в графе Г ) нет путей из i в j длины т, то exp Г > т;

4) пусть в Г имеется контур C длины l и (t, ^-множество путей из i в j, проходящих через вершину контура C, тогда в Г имеются пути из i в j длины т при любом т ^ t, где i, j Є {1,... ,n}.

Пусть в орграфе Г имеются простые контуры C и C длины соответственно l и А, где 1 < А < l ^ n.

Теорема 1. Пусть (l, А) = 1, n > 2, тогда:

1) если C* П C'* = 0, то exp Г ^ /а — 2l — ЗА + 3n;

2) если C* П C'* = H, где |H| = h > 0, то exp Г ^ lA — l — ЗА + h + 2n.

Следствие 1. Для любого примитивного n-вершинного орграфа Г при n > 2 верно:

1) если циклы C и C не имеют общих вершин, то

2) если циклы C и C имеют h общих вершин, где 1 ^ h ^ А, то

При n > 2 n-вершинным графом Виландта назовем орграф, состоящий из гамильтонова контура C, к которому добавлена дуга (i, j), где расстояние на контуре от i до j равно 2, i Є {1,... , n}. Множество n-вершинных графов Виландта обозначим Tw(n).

Теорема 2. Множество TW(n) состоит из n! изоморфных графов; абсолютная оценка Виландта достигается на графах Виландта, и только на них. Для остальных примитивных орграфов Г верна оценка, достижимая при l = n, А = n — 2, где n > З и нечетное: exp Г ^ n2 — 3n + 4.

— 2h — n ^ n2 — 2n + 2.

^ n2/4 + n/2 + 1/4;

Замечание 1. Имеются натуральные числа, меньшие п2 — 2п + 2, не являющиеся значениями экспонента какого-либо n-вершинного орграфа. Эти числа образуют «лакуны» (пропуски в натуральном ряду). Так, первыми были обнаружены (авторами A. L. Dulmage, N. S. Mendelsohn) «лакуны» вида [п2 — 3п + 5, (n — 1)2] и [п2 — 4п + 7, п2 — 3п + 2]. В дальнейшем эти результаты были обобщены.

В неориентированном графе Г обозначим через len[i, j] длину кратчайшего пути из i в j и через e(C) —эксцентриситет цикла C, т. е. e(C) = max{min len [г, j]}.

i Є C jeC

Теорема 3.

а) Пусть п > 1, l — длина длиннейшего простого цикла C нечетной длины в примитивном п-вершинном графе Г , 1 ^ l ^ п, тогда

exp Г ^ 2e(C) + l — 1 ^ 2п — l — 1.

б) Если простые циклы нечетных длин покрывают множество {1,...,п}, то exp Г ^ п — 1.

Обозначим через Гр(п) множество примитивных п-вершинных графов, состоящих из гамильтонова пути и петли, инцидентной одной из концевых вершин.

Теорема 4. При любом п > 1 множество ГР (п) состоит из п! изоморфных графов; абсолютная оценка экспонента 2п — 2 достигается на графах из Гр (п), и только на них.

Подробное изложение представленных результатов можно найти в [4].

ЛИТЕРАТУРА

1. Биркгоф Г. Теория решёток. М.: Наука, 1984.

2. Сачков В. Н., Тараканов В. Е. Комбинаторика неотрицательных матриц. М.: ТВП, 2000.

3. Wielandt H. Unzerlegbare nicht negative Matrizen // Math. Zeitschr. 1950. N.52. S. 642-648.

4. Фомичёв В. М. Оценки экспонентов примитивных графов // Прикладная дискретная математика. 2011. №2. С. 101-112.