Однородные обобщенные функции на плоскости дуального переменного Текст научной статьи по специальности «Математика»

71,7_1 и квазирегулярное представление II, а именно,

2*

(Рв<р)(х) = J(Та(д''1)в){8)(р{8)Нос) х = х°д. о

Обозначим через Ра,с преобразование Пуассона, порожденное Для каждого а £ С, <т ф — п — 1,

мы получаем четыре сферические функции = Ра-с0-<г-\,х, где е, я € {ОД}- Они - локально

интегрируемые функции на X, постоянные на Я-орбитах. Следовательно, они зависят от ж3 и еще от знака координаты х\ и хг соответственно при |хз| > 1 и |хз| < 1.

Они выражаются через функции Лежандра Ра(~) и На разрезе г < 1 мы определяем эти функции

как полусумму предельных значений сверху и снизу.

Мы имеем (<т ^ Ъ) :

= --^—[РЛ-х з) + (-1ГР.Ы],

БШ СГ7Г

^<7,е,е + 1 = (27г/8т<Пт)(С08<77Г - (-1)е) XI • Хз)*4-1/5^!2*!) При|х3|>1,

= 0 при |х3| < 1.

Для а 6 2 мы получаем следующие сферические функции (п € №):

Фп,±(*) = (Рп,п + 1^-п-1,±)(х) = 4<5„(хз ^ 1-0 • Хз),

Ф°(*) = (Р„,„й(п))(х) = 2п!(-1)"Рп(хз),

ф2>(*) = (Л.1П+1$(п))(х) = 2п!(-1)п+1 XI • х3)п+1Р„(х3) при |х3| > 1,

= 0 при |хз| < 1.

Сферические функции Ф<т,£)£ и Фп,± участвуют в разложении представления II (назовем из ’’основными”). ’’Побочные” сферические функции Ф^£|£ + 1 и ф{,1) могут появиться в разложении представлений и билинейных форм, связанных с обобщенными функциями на X, более сложными, чем дельта-функция £(х), сосредоточенная в х° (разложение представления Г/ эквивалентно разложению 6(х) по сферическим функциям).

ЛИТЕРАТУРА

1. Молчанов В.Ф. Формула Планшереля для псевдоримановых симметрических пространств универсальной накрывающей группы (2,®) // Сиб. матем. ж. 1984. Т. 24. N0. 6. С. 89 - 105.

ОДНОРОДНЫЕ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ НА ПЛОСКОСТИ ДУАЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО

© Л.М. Молчанова

Пусть А обозначает алгебру дуальных чисел г — х + ]у, х, у £ К, /- = 0. Ее элементы изображаются точками плоскости хОу. Мультипликативная группа А* алгебры А состоит из а = а + для которых а ф 0. Она изоморфна группе матриц

(;:)

Характер \ группы А* (т. е. гомоморфизм в группу €* комплексных чисел без нуля по умножению) задается тройкой (сг,е,ц), где <т, /1 € С, е = 0, 1, а именно:

Х(а) = аа‘ее^р/а\

МЫ используем обозначение Х°'С —

Рассмотрим обобщенные функции /(г) на плоскости Л, т. е. линейные непрерывные функционалы на пространстве Т^Л) = Т>(Ш~) основных функций (со значениями в С). Пространство всех обобщенных функций обозначается Т>'(А).

Назовем обобщенную функцию f(z) однородной степени х, если

/(«*) = X(a)f(z),a Є Л'.

Мы находим все такие обобщенные функции. Однородные обобщенные функции на алгебрах Ж и С были найдены в [1] и [2].

Обозначим через Х>'х(Л) пространство обобщенных функций однородных степени \.

Для Re/i ф 0 однородных обобщенных функций нет (ненулевых).

Пусть Re/i = 0. Если ц ф 0 и сг ф —п,п — 1,2,..., то dimP'v(A) = 1, базисом служит функция

Ха,сец(у/х)

Если р ф 0 и а = —п,п — 1,2,..., то dimТ>'у(Л) = 1 или 0, соответственно, при п = є (mod2) или п = е + 1 (mod2). В первом случае базисом служит функция х~пе^у^х\

Если /< = 0 и а ф = 1,2,..., то dim'ZV (Л) = 2, базис состоит из функций ха,е и 6(х)уа+1,с.

Если р = 0 и а = —1, то dim2>^(A) = 1 или 2 соответственно при є = 0 или є = 1. В первом случае базис есть 6(ж), во втором - функции а:-1 и 6(ж)»/0,1 = j(x)sgnj/.

Наконец, если р = 0 и а = —п, п = 2, 3,..., то <ІігмР'у(Л) = 2. Базис состоит из функций х~п и 6(х)6п~~

при є = n (mod2) и из функций <5(п-1*(.с) и 6(x)j/_n+1 при є = n+ 1 (mod2).

ЛИТЕРАТУРА

1. Гсльфапд И.М.. Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматгиз, 1958.

2. Г сльфапд И.М., Граев М.И., Виленкин Н.Я. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений. М.: Физматгиз, 1962.

НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ ЛОБАЧЕВСКОГО ГАЛИЛЕЯ

© В.Ф. Молчанов, Н.А. Малашонок

Мы продолжаем [1] и [2]. Пусть А - алгебра дуальных чисел 2 = х + *у, х,у 6 Ж, г = 0. Дуальное число при х ф 0 можно записать в показательной форме (с ’’модулем” х и ’’аргументом” <р): г = хс,(/> = х([ + гу>), <р = у/х. Пусть С! - группа 80(1,1; А) матриц

где а, Ь G А, аа — 66 = 1. Ее размерность равна 3. Она состоит из двух связных частей (Rea ^ 1 и Rea ^ — 1).

Назовем плоскостью Лобачевского - Галилея полосу L : zJ < 1 (т.е. — 1 < х < 1) в плоскости А. Дробно-линейные преобразования с матрицами g 6 G сохраняют L. Это действие транзитивно. Будем считать указанные преобразования движениями в L. Следовательно, группа движений есть G/{±E}. Пусть X - верхняя пола гиперболического цилиндра x.'j — x'i = 1, х\ ^ 1, в Ж3. Отобразим L на А' с помощью стереографической проекции z н— р-1(1 + ж2,2ж,2у), где р = 1 — х2. Тогда группа движений перейдет в группу линейных преобразований пространства Ш’.а, сохраняющих X, последняя изоморфна группе гиперболических движений плоскости Ж2. Отобразим /V на плоскость х\ = 1 с точками (1,и, и) центральным проектированием с центром в начале координат. Тогда L перейдет в полосу |u| < 1 на плоскости и uOv (аналог модели Клейна): и = 2x/(l + х~), v = 2?//(1 + ж2).

Инвариантные относительно G метрика и мера даются формулами: ds = р~1 dx, da = p~'2dxdy. Инвариантная мера угла (с направлением) между кривыми у = f\(x) и у = fi{x) в точке пересечения с абсциссой ж о есть /[ (жо) — f'2( ж0).