Некоторые геометрические и физические задачи на плоскости Лобачевского Галилея Текст научной статьи по специальности «Математика»

Рассмотрим обобщенные функции /(г) на плоскости Л, т. е. линейные непрерывные функционалы на пространстве 'Р(Л) = 7>(Е2) основных функции (со значениями в С). Пространство всех обобщенных функций обозначается Х>'(Л).

Назовем обобщенную функцию /(г) однородной степени х, если

/(аг) = х(а)/(г),а Е А*.

Мы находим все такие обобщенные функции. Однородные обобщенные функции на алгебрах 1 и С были найдены в [1] и [2].

Обозначим через Т>'Х(А) пространство обобщенных функций однородных степени \-

Для Не// ф 0 однородных обобщенных функций нет (ненулевых).

Пусть 11е// = 0. Если р ф 0 и а ф —п,п — 1,2,..., то сИт!^(Л) = 1, базисом служит функция

Х<т,еец(у/х)

Если р ф 0 и <т = —п,п = 1,2,..., то сНтР^ДЛ) = 1 или 0, соответственно, при п = е (шос12) или п = е + 1 (тос12). В первом случае базисом служит функция ж_пед(у/х).

Если р = 0 и <т ф — п, и = 1,2,..., то (ЦтР^(Л) = 2, базис состоит из функций жст,£ и б(х)|/<7+1‘£.

Если р = 0 и а — — 1, то с1ппТ>'х(Л) = 1 или 2 соответственно при е = 0 или е = 1. В первом случае базис есть 6(ж), во втором - функции ж-1 и 6(х)у0,1 = 6(ж^пз/.

Наконец, если р = 0 и а = — п, п — 2,3___ то сНтТ^ДА) = 2. Базис состоит из функций х~” и 6(х)6"~2

при е = п (тос12) и из функций Мп_1)(ж) и 6(х)у~"+[ при е = п + 1 (mod2).

ЛИТЕРАТУРА

1. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматгиз, 1958.

2. Гельфанд И.М., Граев М.И., Виленкин Н.Я. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений. М.: Физматгиз, 1962.

НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ ЛОБАЧЕВСКОГО ГАЛИЛЕЯ

© В.Ф. Молчанов, И.А. Малашонок

Мы продолжаем [1] и [2]. Пусть А - алгебра дуальных чисел г = х + iy, ж, у 6 !К, г2 = 0. Дуальное число при х. ф 0 можно записать в показательной форме (с ’’модулем” ж и ’’аргументом” у?): г = хе1Ч> = ж(1 + г<р), у> = у/х. Пусть С! - группа 811(1, 1; А) матриц

'■С* !)■

где а,6 6 А, аа — ЬЬ = 1. Ее размерность равна 3. Она состоит из двух связных частей (Иея 1 и 11еа ^ — 1).

Назовем плоскостью Лобачевского - Галилея полосу 1. : г! < 1 (т.е. — 1 < х < 1) в плоскости А. Дробно-линейные преобразования с матрицами у 6 С сохраняют 1Ь. Это действие транзитивно. Будем считать указанные преобразования движениями в 1Ь. Следовательно, группа движений есть С/{±Е). Пусть X - верхняя пола гиперболического цилиндра = 1. ^ 1, в I3. Отобразим £ на X с

помощью стереографической проекции г р-,(1 + ж2,2ж, 2у), где р — 1 — ж2. Тогда группа движений перейдет в группу линейных преобразований пространства К3, сохраняющих X, последняя изоморфна группе гиперболических движений плоскости К2. Отобразим X на плоскость х\ = 1 с точками (1, ы, г?) центральным проектированием с центром в начале координат. Тогда 1Ь перейдет в полосу |м| < 1 на плоскости и иОх) (аналог модели Клейна): и = 2ж/(1 + х2), V = 2у/(1 + ж2).

Инвариантные относительно С! метрика и мера даются формулами: = р~1с1х, (1сг — р~2Нх(1у.

Инвариантная мера угла (с направлением) между кривыми у = /\(х) и у = /г(ж) в точке пересечения с абсциссой хо есть /{(жо) - /г(жо)-

Инвариантные аффинные связности на 1, зависят от трех вещественных параметров. Базисные матрицы имеют вид

'2 ( х +А 0 \ 2/0 0 \

Уа/ах ~ р \ -у-К х+Р )' Х/а'ду ~ р \ х + <2 0 )'

где Р, (5, Л - параметры и А = Р + С}.

Определим кривизну к кривой г(<). Пусть (,(1, т) - вектор в точке г(/), который получается параллельным пересечением касательного вектора г'{т) вдоль этой кривой в точку г(1). Кривизна к в точке г(1) есть производная по « при т — I аргумента вектора С- Вычисления дают:

к = (1 - + 2з:т~ - - 2Д.

ах- ах

Кривые постоянной кривизны к это параболы у = ах2 + Ьх + а — И — к/2. В частности, кривые нулевой

кривизны (аналоги прямых) - это параболы у = ах2 + Ьх + а — Н.

Рассмотрим аналоги различных замечательных кривых на евклидовой плоскости. Поскольку метрика вырождена, надо исходить из определений, связанных с понятием угла. Вот некоторые кривые для £:

дуги окружности с концами ±с : у = £р-1(ж2 — е2)(ж2 — с~2), эллипс с фокусами ±с : у2 = К(х2 — с2)(ж2 —

с-2), |ж| ^ с, гипербола с теми же фокусами: у2 = К2(х2 — с2)(х2 — С-2), |ж| ^ с. Параболы мы получаем, устремляя один из фокусов эллипса или гиперболы к бесконечности. Получаем, соответственно, параболы эллиптического и гиперболического типа, например, у2 = Кх( 1 — ж)2,ж ^ 0 и у2 = — Кж(1 — ж)2,ж ^ О, К > 0. Логарифмическая спираль: у — А’ж(1п |ж| 4- С).

Рассмотрим аналог теоремы Гаусса Бонне. Пусть Ь - замкнутый контур 2 = г(<), 10 ^ ^ <1, г(<о) = = г(11) = 2о, охватывающий область О и пробегаемый в положительном направлении. Перенесем вдоль Ь из точки 2о в нее же некоторый вектор. Он повернется на угол

А<р = 4(<2'- - 1)е(ж0)д Iе{х)~я(1(т, е(ж) = (1 + ж)/( 1 - ж). п

Пусть частица движется по кривой г(^), I - время. Определим ускорение 2 формулой г = У-'-7- Мы находим:

г = г" + р~]{2г'2г + А{/2 + г'г') - 2

Кривизна связана с ускорением £: к = (ух1 — ху?)/х'~л. Геодезическая (кривая с нулевым ускорением) как раз есть кривая с нулевой кривизной.

Рассмотрим задачу о движении частицы (планеты) с массой 1 в центральном поле. Р с центром в г = 0. По второму закону Ньютона Р = г. (’ила притяжения Р направлена по касательной к геодезической, соединяющей Солнце (г = 0) и планету (г = же’*’). Кроме того, Р' инвариантна относительно поворотов г и- геи вокруг 2 = 0. Поэтому Р(г) = —/(х)е’^+Нх\ где /(ж) > 0 (притяжение). Траектория планеты задается уравнением, связывающим х и у?:

у> + С’= Яж + Л/ I е(х)~Арх~2\2(Е — К)]-|/2(/ж,

где Е - некоторая постоянная (энергия), эффективный потенциал V и кинетический момент М задаются формулами:

1/(ж) = е(ж)_2Л I /(х)е(х)~2Лр~2(1х, р~2ж2(у>' — Их') = Ме{х)~А.

Рассмотрим один точно решаемый случай: Р — Ц — Ц = 0, /(ж) = ррА/ж-2, р > 0, выражение для / скопировано с силы притяжения в трехмерном пространстве Лобачевского. Тогда уравнение траектории есть:

(у + Сх)2 = 2М2/Г2ж(/«ж2 + (Е- 2ц)х + р).

В модели Клейна траектория есть кривая второго порядка: (у + Си)2 = 2М2р~2((Е — 2р)и2 + 2ри) аналог первого закона Кеплера. Второй закон Кеплера справедлив для проекции траектории на плоскость ж >Ох3. Справедлив аналог третьего закона Кеплера, а именно, если орбита в модели Клейна есть эллипс с горизонтальной полуосью а, то период Т зависит только от а. Точная формула: Т = = (7Г/2)\/«/2/< {(1 - 2р)~1/2 - (1 Н- 2//)“1/2} .

ЛИТЕРАТУРА

1. Малашонок Н.А. Группы и геометрии, связанные с дуальными числами //IV Державинские чтения: Материалы научн. конф. Тамбов: Изд-во ТГУ, 1999. С. 27 - 29.

2. Молчанов В.Ф., Малашонок Н.А. Некоторые геометрические и физические задачи для плоскости дуального переменного // V Державинские чтения: Матер, научн. конф. Тамбов: Изд-во ТГ>, 2000. С. 5-7.

ГАРМОНИЧЕСКИМ АНАЛИЗ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ НА СФЕРЕ

© А.В. Опимах

Пусть С - ортогональная группа 80(3), она действует вращениями в К3 (мы будем записывать вектор из Е3 в виде строки, так что С действует справа). Пусть 5 - сфера х'~ + у2 + г2 = 1 в Е'\ Известно [1], что квазирегулярное представление Н группы С на 5 (в пространстве Ь2(5)) разлагается в прямую однократную сумму неприводимых представлений 7} со старшим весом / 6 Н = {0,1,2,...}. Неприводимое подпространство V/, в котором действует Ті, состоит из ограничений на 5 многочленов из Ні - пространства гармонических многочленов от х, у, г, однородных степени /.

Наша цель - исследовать представление I/ группы С сдвигами в пространстве О1 (5) дифференциальных форм на 5 степени 1 (с гладкими коэффициентами). Наш результат состоит в следующем.

Теорема. Представление II разлагается в прямую сумму представлений Ті, I ^ 1, с кратностью

2. Соответственно пространство Г2'(5) разлагается в прямую сумму неприводимых подпространств Wl.ii * = 11 2, / € {1,2,...}. Эти подпространства описываются следующим образом. Рассмотрим два дифференциальных оператора й\ и И?:

г>

х у г

Их (Іу (іг

д/дх д/ду д/дг

так что [)\/ = <7/, 0-2/ = (г/у —у/. )<{х + (х /. — г /г)(1у-\-(у/х —х /у )(1г. Тогда №1,1 состоит из ограничений па 3 форм Д/, / € Я/.

Доказательство. Пусть Li, г = 1,2,3, - элементы из алгебры Ли д группы С, отвечающие вращениям вокруг координатных осей:

/О 0 0 \

й = 0 0 1 , Ь2 =

0 0 -1 \ / ' 0 1 0

0 0 0 , ^3 = -1 0 0

1 0 0 \ , 0 0 0

Рассмотрим следующие элементы из комплексификации д -": £о = — Из, Е+ = - ІЬі, Е- = - іЬ\.

Соотношения коммутации: [£о, Е+\ = Е+, [Ьо,Е-] = —Е-, [Е+,Е-] = 2Ьо. Вместо х, у введем новые переменные: и = х 4- гу, її = х — іу. В переменных и, її, г имеем

г д _д „ л д д „ ,, д _ д

и = “Я - Е* = 2гт - “а? Е- = -2гі)ї + “я-

Оператор Е+ в Я/ аннулирует и1 (старший вектор).

В линейном пространстве Н\ с базисом (1х,(1у,Лг, или, что все равно, с базисом іІи,(Йі,(іг, действует представление Ті.

Пространство дифференциальных форм в Ш13 степени 1 с коэффициентами из пространства Я гармонических многочленов есть тензорное произведение ЯсюЯ]. В нем действует тензорное произведение (52 Ті) <8> Ті = £3(Т(<8>Ті), і Є N. Известно, что Ті И 7’і = 7)_і + Ті + Ті+1. (Соответственно этому,