Однопараметрическая сплайн-аппроксимация зависимости расхода топлива трелевочного трактора от передаточных чисел трансмиссии Текст научной статьи по специальности «Математика»

практически ежесменной проверки и при необходимости очистки воздушных фильтров.

Особая проблема для Северо-Западного региона — переуплотнение почв движителями. В условиях северо-западной зоны широкое распространение имеют дерново-подзолистые (часто тяжелосуглинистые) почвы. В современных условиях ведения хозяйства процесс ухудшения агрофизических свойств почвы выражен использованием тяжелых тракторов с колесными движителями и навесными комплексными агрегатами по возделыванию сельхозкультур. Изменение агрофизических свойств почвы зависит от величины уплотняющего давления и кратности воздействия. Современные комплексные навесные агрегаты на тракторах практически втрое уменьшили кратность своего воздействия на почву, но при этом уплотняющее воздействие колесного движителя увеличилось до 5 раз. Особенно негативно сказывается воздействие колес тракторов класса К-744 (даже со сдвоенными колесами) и его зарубежных аналогов (Buhler 2375, Case STX 385, John Deere 9320). При весенней обработке почвы трактор К-744 РЗ оставляет след глубиной до 15 см. К моменту уборки урожая из-за усадки почвы образуются борозды глубиной 6...8 см, в этой связи работа уборочных машин на повышенных скоростях невозможна. Воздействие ходо-

вых систем тракторов на почву снижает биологический урожай сельхозкультур по следам тракторов на 5.. .20 %. Авторы считают, что конструкторами и производителями тракторов в погоне за скоростными характеристиками неоправданно забыты гусеничные движители.

В условиях Северо-Западного региона с учетом климатических особенностей следует больше эксплуатировать (использовать) тракторы на гусеничном ходу.

Наличие разномарочности как отечественной, так и зарубежной автотракторной и мобильной сельскохозяйственной техники, удаленность агропредприятий от центров обслуживания также относится к специфике условий эксплуатации.

Эффективная эксплуатация тракторов в особых условиях Северо-Западного региона РФ вынуждает проводить в регионе специальные мероприятия по их сервисному обслуживанию.

Список литературы

1. Ананьин, А.Д. Диагностика и техническое обслуживание машин / А.Д. Ананьин. — М.: Академия, 2008.

2. Иофинов, С.А. Эксплуатация машинно-тракторного парка / С.А. Иофинов. — М: Колос, 1984.

3. Баженов, С.П. Основы эксплуатации и ремонта автомобилей и тракторов / С.П. Баженов. — М.: Академия, 2005.

УДК 629.114.2.001.24

Е.Н. Власов, канд. техн. наук, доцент

А.Я. Перельман, доктор физ.-мат. наук, профессор

ГОУ ВПО «Санкт-Петербургская государственная лесотехническая академия имени С.М. Кирова»

ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ СПЛАИН-АППРОКСИМАЦИЯ ЗАВИСИМОСТИ РАСХОДА ТОПЛИВА ТРЕЛЕВОЧНОГО ТРАКТОРА ОТ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ЧИСЕЛ ТРАНСМИССИИ

Экспериментальные кривые расхода топлива трактора ТБ-1, полученные в работе [1], имеют специфическую форму, затрудняющую их аналитическое задание при помощи элементарных функций на всем промежутке значений передаточных чисел. Эта задача усложняется, если в рассматриваемой модели учитываются различные параметры (тип двигателя, радиус звездочки и др.). Такую зависимость удобно собирать из сравнительно простых фрагментов, каждый из которых может быть вполне удовлетворительно описан при помощи элементарной функции. Естественно дополнительно требовать, чтобы гладкие функции, которые используются при построении частичных кривых, имели схожую природу, например, были бы многочленами одинаковой степени, а чтобы получающаяся в целом

теоретическая выравнивающая кривая оказалась бы достаточно гладкой, необходимо тщательно исследовать места стыковки соответствующих фрагментов. Степень многочленов выбирается из формальных геометрических соображений и, как правило, невелика. Для гладкого изменения касательной вдоль всей составной кривой достаточно описывать стыкуемые кривые при помощи кубических многочленов. Коэффициенты таких многочленов можно подобрать так, чтобы составная кривая была непрерывной, а в случае необходимости — обеспечить и непрерывность ее кривизны [2].

Существенно, что не только построение интерполяционного многочлена Лагранжа или Ньютона с использованием большого числа узлов интерполяции на отрезке полного изменения аргумента,

но и применение метода наименьших квадратов в задачах рассматриваемого типа, аппроксимация может привести к плохому приближению интерполируемой функции из-за возрастания вычислительной погрешности. Это в первую очередь связано с тем, что построенный многочлен будет иметь высокую степень. В методе наименьших квадратов роль интерполирующего многочлена, вообще говоря, играет выбранная многопараметрическая аппроксимация. Как отмечено выше, этих неприятностей можно избежать, разбив отрезок полного изменения аргумента на частичные отрезки и построив на каждом из них многочлен невысокой степени, так или иначе приближающийся к заданной экспериментальной кривой. Такой прием называют кусочно-полиномиальным интерполированием или сплайн-аппроксимацией [2-4]. Напомним, что сплайном называется гибкая линейка, применявшаяся английскими инженерами в конце XIX века для проектирования закруглений железных дорог. В математике понятие сплайна введено в 1946 г. И.Й. Шенбергом (Ы. ВсИопЬе^) и определено как функция с кусочными свойствами.

Перейдем к формальному определению сплайна и его характеристик (степени, порядка и дефекта). Будем считать, что интерполируется однопара-метрическая экспериментальная функция В(х, а), где х — независимая переменная (а < х < Ь) и а — параметр (а > 0). Для определенности введем стандартную независимую переменную д (1 < д < 1):

1

-(2х - b - a).

(1)

Ь - а

И будем полагать

В(х, а) = Р(х, а), а < х < Ь, -1 < д < 1. (2)

Однопараметрическим сплайном Ж-й степени порядка п называется функция 5Кп(д, а), которая вместе с несколькими производными непрерывна на всем отрезке 1 < д < 1 и на каждом частичном участке [д;, Д;+1], / = 0, 1, ..., п - 1, сетки порядка п:

1 = д0 < Д1 < ... < Дп = 1, (3)

а в отдельности является некоторым многочленом степени не выше N. Разность между степенью сплайна и порядком наивысшей непрерывной производной на 1 < д < 1 называется дефектом сплайна.

На практике наибольшее распространение получили сплайны третьей степени, имеющие в промежутке -1 < д < 1 непрерывную, по крайней мере, первую производную. Дефект такого сплайна равен 3 - 1 = 2. Будем называть сплайн кубическим, если N = 3 на каждом участке сетки (3). Такой сплайн обозначается 5п(д, а) (п — порядок сплайна), соответствующая сплайн-аппроксимация порядка п имеет вид

ß(^, а) « 5>, а), -1 < д < 1.

(4)

Кубический сплайн 5п(д, а) имеет важные ап-проксимационные и экстремальные свойства [3]. Аппроксимационные свойства сплайна 5п(д, а) зависят от гладкости функции ß(^, а). Чем выше гладкость ß(^, а), тем выше порядок аппроксимации, и при измельчении сетки (3) скорость сходимости растет. Это нетривиальный факт. Например, при аппроксимации функцииfx) интерполяционным многочленом Лагранжа Lm(x) его график может уклоняться от этой функции как угодно

сильно. Например, для f (х ) =-1—г- на отрез-

1 + 25 х2

ке [ 1, 1] имеем lim max fx) - Lm(x)| = да; m ^ да

-1 < x < 1.

В свою очередь, если интерполируемая функция fx) имеет на отрезке [a, b] непрерывную первую производную, а Sn(x) ее кубический сплайн, то не только этот сплайн сходится к интерполируемой функции, но и его производная S/x) сходится к производной f'(x).

Отметим, что следующее экстремальное свойство можно брать в качестве определения интерполяционного кубического сплайна. Функцияfx), минимизирующая функционал

3(f) = ][/" (x )]2 dx

в классе дважды дифференцируемых функций, графики которых проходят через точки массива (х, у;), У\ -Дх;), I = 0, 1, ..., т, дается функциейДх) = Б(х), где Б(х) оказывается кубическим сплайном, удовлетворяющим условию У(а) = 5"(Ь).

Таким образом, сплайн-аппроксимации особенно полезны, более того, они практически необходимы, если поведение интерполируемой функции резко меняется на разных отрезках изменения независимой переменной. Такое изменение может вызываться как скачками производных, так и существенными колебаниями их численных значений. При этом допустимо предварительное устранение случайных шумов (исключение тонкой структуры), ибо сплайн-аппроксимация почти не чувствительна относительно такого преобразования. Это преобразование следует осуществлять визуально, в частности без применения метода наименьших квадратов, который, как указано выше, здесь неэффективен. Для кубических сплайнов иногда требуется обеспечить наличие дефекта равного единице. Так, для построения линии сопряжения при изменении направления железнодорожного пути необходима непрерывность второй производной в точках сопряжения сплайна. В самом деле, тангенциальная составляющая ускорения пропорциональна второй производной и при ее разрыве возникает эффект удара. Обычно требуется обеспечить лишь нали-

чие гладкости кубического сплайна, и поэтому допустим дефект равный двум, что и будет предполагаться ниже.

На каждом частичном отрезке ц^], i = 0, 1, ..., п - 1, однопараметрическая кубическая сплайн-аппроксимация дефекта 2 имеет вид [2, 5]:

5>, а) = А^цЩц^, а) + А^цЩц^, а) + + А^цЩ^, а) + А^цЩц^, а). (5)

Здесь весовые функции А^ (/ = 1, 2, 3, 4) определяются выбором сетки (3) и не зависят от параметра а:

Б(г'т, а), кг/ч

А(ц) =

ЛМ =

лда =

А41 (М0 =

где ^ = М-1+1 -

(Ц1+1 -Ц)2(2(Ц-Ц 1) +

*3

(Ц~^1)2(2(Ц 1+1 +

(^1+1 -ц )2(ц-ц 1)

(ц-ц 1)2(ц-^1+1)

(6)

¿12 = 0, 1,

1.

Коэффициенты Р3(Д|, а) и Р'3 а) находятся из графика аппроксимируемой однопараметриче-ской функции В(/т, а). В соответствии с формулами (11) и (12) из [5], производные Р3 (ш, а) вычис-

3 J

ляются по формуле (см. рис. 1)

а'г л МВ

Р3 (ц, а) =--,

^ ВА

в точках ц = ц1.

В настоящей работе строится однопараметрический (в качестве параметра, для определенности, принимается радиус звездочки ^з) кубический сплайн на примере трелевочного трактора ТБ-1. Исходные интерполируемые функции даны на рис. 2. Они представляют визуально сглаженные функции часового расхода топлива В(х, а), кг/ч (х = /т, а = Я3), найденные в работе [1].

В работе [5] проиллюстрирован алгоритм построения кубического сплайна с дефектом 2 для фиксированного значения Яз = 0,236 м. Показано, что вполне удовлетворительная сплайн-аппроксимация соответствует ее порядку п = 3, в то время как сплайн-аппроксимация при

(8)

В{1Т, а), кг/ч

100

-0,15 м

Рис. 1. Определение В'(/т, а) = Р'(ц, а)

п = 2 дает слишком грубое приближение. Разумеется, с ростом порядка п (п = 4, 5, ...) кубическая сплайн-аппросксимация улучшается, но такое усложнение неоправдано. Дело в том, что результаты аналитического представления однопарамет-рической характеристики В(х, а) нужны для дальнейшего анализа работы МТА в различных условиях. Для этого приходится, например, вычислять длины дуг В(х, а), соответствующих некоторым подмножествам значений передаточных чисел и выявлять роль различных фиксированных значений параметра а, такой анализ полезен на стадии проектирования трактора. Соответствующие вычисления удобно проделывать на основе аналитического представления В(х, а), по возможности наиболее простого. Очевидно, что с ростом порядка сплайна объем вычислений существенно растет.

/

0,3 з м /

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 /т

Рис. 2. Часовой расход топлива трелёвочного трактора ТБ-1 при трелёвке пачки от передаточного числа /т и радиуса звездочки Я (1,15; 0,25; 0,35; 0,45)

п -

В силу однотипности формы кривых В(х, а) допустима одна и та же сетка (3), во всяком случае, для набора а из множества 0,15 < a < 0,45 м. Выберем сетку, соответствующую /т = 10, 18, 35, 70 (см. [5]). Имеем

ь -10 _ 1

30 '

(9)

(10)

=

a3д3 + a2д2 + a1д + a0,

B(it, а) = Р(ц, а),

-1 = ^0 <^1 <^2 <^3 = 1,

11 1

-, =--.

15 6

Все весовые функции (6) являются многочленами третьей степени от д:

(11)

коэффициенты которых не зависят от параметра а, но различны в частичных интервалах

(Д0, Д1), (Д1, Д2), (Д2, д3).

С помощью формул (6), (7) и (10) выписываем весовые функции рассматриваемой задачи. Имеем (второй индекс соответствует номеру частичного участка, т. е. Ai соответствует участку

A10 (ц) = 105,5ц3 + 274,2ц2 + 232,0ц + 64,3, A20 (ц) = -105,5ц3 -274,2ц2 -232,0ц - 63,3, A30 (ц) = 14,1ц3 + 34,7ц2 + 28,2ц + 7,6, A40 (ц) = 14,1ц3 + 38,4ц2 + 34,7ц +10,3,

(12)

40 Ц£

-1, - И

15

о 10 < /т < 18,

A11 (ц) = 11,0ц3 + 14,8ц2 + 4,0ц + 0,3, A21 (ц) = -11,0ц3 - 14,8ц2 - 4,0ц + 0,7, A31 (ц) = 3,1ц3 + 3,3ц2 + 0,8ц + 0,1, (13) A41 (ц) = 3,1ц3 + 5,1ц2 + 2,4ц + 0,3,

Ц£

11

15'

о 18 < /т < 35,

A12 (ц) = 1,26ц3 - 1,57ц2 - 0,63ц + 0,94, A22 (ц) = -1,26ц3 + 1,57ц2 + 0,63ц + 0,06, A32 (ц) = 0,73ц3 - 1,35ц2 + 0,49ц + 0,12, (14) A42 (ц) = 0,73ц3 - 0,49ц2 - 0,22ц - 0,02,

Ц£

отметим, что

-1,1 6

о 35 < /т < 70,

/т = 30(д + 1) + 10,

11 1

15 6

4 17 7

Ь. = —, h1 = —, h3 = —. 0 15 1 30 3 6

(15)

В свою очередь, (независимые от переменной д) сплайн-коэффициенты в и в' находим по формуле (8) и на основе рис. 2.

С помощью формул (12) (14) и табл. 1 запишем расчетные формулы для сплайн-аппроксимаций на полном отрезке изменения передаточных чисел при радиусах звездочек 0,15 (0,10) 0,45 в наглядной форме:

Рассмотрим более подробно случай, когда радиус звездочки а = Rз = 0,15 м. Используя (5), (12) (45) и данные табл. 1, получаем

53 (ц,0,15) = 1520,5ц3 + 3955,9ц2 + 3348,1ц + 948,8,

Ц£

-1, -11 15

53 (ц,0,15) = 116,3ц3 + 157,3ц2 + 42,3ц +13,1,

Ц£

11

Т?

53 (ц,0,15) = 6,1ц3 - 7,8ц2 - 3,3ц + 9,7,

Ц£

-1,1 6

(16)

(17)

(18)

Для нескольких типичных значений передаточных чисел в табл. 2 представлены экспериментальные B = B(iт; 0,15) кг/ч и теоретические

Таблица 1

Сплайн-коэффициенты Р3(^, а) и Р3(^, а)

и

а а) Р3 К' а) Р3(^1' а) Р3 а) Рз(^2' а) Р3 (^2' а) Рз(^з' а) Р3 (^3' а)

0,15 36 -3,2 21 -1,2 10 -0,28 5 0,00

0,25 59 -6,8 31 -1,4 18 -0,47 8 -0,03

0,35 83 -12,5 44 -2,3 24 -0,65 11 -0,05

0,45 160 -14,0 59 -2,6 31 -0,74 14 -0,08

^ 0 =- 11 1, =-—, 1 15 Ц 2 1 = --, Ц3 = 6 = 1, для различных радиусов звёздочки Я = а, м.

5 = 53(/т; 0,15), кг/ч [сплайн-аппроксимации (16) (18)] данные расхода топлива.

На рис. 3 изображена экспериментальная кривая расхода топлива Б(1т; 0,15) и ее сплайн-аппроксимация 53(/т; 0,15).

Из рис. 3 следует, что теория сплайнов представляет эффективный аппарат для сглаживания экспериментальных кривых с резко меняющими свойствами на их различных частичных отрезках. Такие кривые возникают во многих проблемах, связанных с анализом работы МТА.

Простые аналитические представления типа (16), (18) кривых расхода топлива представляют удобный аппарат для расчета передаточных чисел трелевочных тракторов на стадии проектирования в проблеме оптимизации расхода топлива и производительности их эксплуатации.

Таблица 2

Сравнение экспериментальных B и теоретических S данных расхода топлива. Передаточные числа /т =18 и 35 соответствуют точкам стыковки сплайна, Rз = 0,15 м

iT = 10 iT = 17 iT = 18

В ^ (по 18) В ^ (по 18) В ^ (по 18) ^ (по 19)

36 36,1 22 21,2 21 23,8 20,9

iT = 30 iT = 35 iT = 70

В ^ (по 19) В ^ (по 19) ^ (по 20) В ^ (по 20)

12 12,2 10 9,8 10,0 5 4,7

B, S 40

30

20

10

0

5

Список литературы

1. Влияние передаточного числа трансмиссии на энергозатраты трактора ЛХТ 100 / В.П. Антипин [и др.] // Лесной журнал. — 2005. — № 1-2. — С. 38-46.

2. Волков, Е.А. Численные методы / Е.А. Волков. — М.: Наука, 1962.

3. Высшая математика / М.Л. Краснов [и др.]. — М.: УРСС, 2003. — 256 с.

4. Барахнин, В.Б. Введение в численный анализ / В.Б. Барахнин, В.И. Шапеев. — СПб.: Лань, 2005.

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 L

Рис. 3. Кривая расхода топлива при R3 = 0,15 м и ее сплайн-аппроксимация

5. Использование сплайн-аппроксимации для анализа зависимости расхода топлива от передаточных чисел и радиуса звездочки / Е.Н. Власов [и др.]. — М.: Вестник ФГОУ ВПО МГАУ. Агроинженения. — 2009. — № 3.

УДК 621.43.629

Н.Г. Фаталиев, доктор техн. наук, профессор А.Я. Алиев, канд. техн. наук, доцент И.М. Меликов, канд. техн. наук, доцент

ФГОУ ВПО «Дагестанская государственная сельскохозяйственная академия»

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРИВОД НАСОСА СИСТЕМЫ СМАЗКИ ДВИГАТЕЛЯ ВНУТРЕННЕГО СГОРАНИЯ

Для уменьшения износа трущихся деталей в двигателях внутреннего сгорания применяют комбинированную систему смазки под давлением, создаваемым масляным насосом и разбрызгиванием масла коленчатым валом.

Главным недостатком такой системы смазки является зависимость эффективности процесса смазки от частоты вращения коленчатого вала двигателя. Например, при больших оборотах коленчатого вала двигателя происходит интенсивное и полное смазывание