Одномерная задача рассеяния плоской волны симметричным плазменным слоем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Итак, нами получено аналитическое решение задачи (2)—(6); проанализируем его. Для этого воспользуемся вычислительным пакетом Math CAD 14.

Для вычислений были взяты следующие

значения: Д, =0,1 м; R{ = 0,2 м; теплопроводность У = 240 Вт/(м-К); удельная теплоемкость Ср = 896 Дж/(кг-К); плотность р = 2700 кг/м3;

температуропроводность а = —= 9,92Т0-5 м2/с,

РСр

теплоотдача а = 30 Вт/(м2-К), температура среды Тс = 20 °С, температура внешней поверхности 7*0 = 50 °С.

Рассматривались десять первых членов ряда Ханкеля.

СПИСОК J

1. Козлов, В.Н. Обратное преобразование Ханкеля для смешанной краевой задачи на конечном интервале [Текст] / В.Н. Козлов, П.А. Трофимов, А.И. Акимов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки,— 2011,- N° 1 (116).- С. 71-77.

2. Снеддон, И. Преобразование Фурье |Текст| / И. Снеддон; пер. с англ. А.Н. Матвеева; под ред.

На рисунке представлена полученная поверхность изменения температуры установки. Важно, что результат моделирования показывает плавный рост температуры в направлении от внешней поверхности цилиндра к его внутренней границе вплоть до достижения температуры Т().

Для выбранных значений параметров нагрев до 48 °С произошел за 100 с. Следовательно, можно сделать оценку, согласно которой полный отклик происходит достаточно быстро, а именно для Т0 ~ 50 °С — менее чем за две минуты для выбранных значений.

Таким образом, нами найдены условия распределения температуры в ПФ и проведена их численная интерпретация, сделаны выводы о полном отклике температуры внутренней части ПФ на ее изменение на внешней границе ПФ.

Ю.Л. Рабиновича,— М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1955,- 688 с.

3. Кошляков, Н.С. Уравнения в частных производных математической физики [Текст]: учеб. пос. для мех.-мат. фак. ун-тов / Н.С. Кошляков, Э.Б. Хлинер, М.М. Смирнов,— М.: Высш. шк„ 1970- 712 с.

УДК 537.87

А.В.Денисов

ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ СИММЕТРИЧНЫМ ПЛАЗМЕННЫМ СЛОЕМ

Интерес к задаче о распространении волны вертикальной поляризации (другие используемые в литературе названия этой волны — волна 7Ж-поляризации, волна /^-поляризации) сквозь симметричные плазменные слои, характеризующиеся наличием максимума электронной концентрации и малыми диссипативными процессами, возник в конце 60-х годов XX века в связи с вопросом о поляризационной фильтрации поля. В радиофизике и астрофизике теперь уже стал хорошо известным эффект экранирования такой волны как плазменными слоями конечной тол-

щины [1, 2], так и бесконечно протяженными [3,4]. Он состоит втом, что на частоте поля, равной максимальной плазменной частоте, соответствующей такому слою, наклонно падающая плоская вертикально поляризованная волна не проходит за точку с максимальной концентрацией электронов, если потери в слое устремить к нулю [1,2]. Этот эффект имеет место для плазменного слоя, у которого в окрестности точки максимума электронной концентрации вещественная часть функции диэлектрической проницаемости имеет нуль четной кратности.

При отсутствии потерь вронскиан волнового уравнения для магнитного поля волны вертикальной поляризации обращается в нуль в точке максимума электронной концентрации, если частота волны равна максимальной плазменной частоте; это существенно затрудняет проведение не только аналитических, но и численных расчетов электромагнитного поля. При переходе через эту точку теряется аналитический характер решения [1—4]. Как будет аналитически показано ниже, при почти нормальном падении волны на слой и при малых в нем потерях имеет место резкое изменение поля волны при малых изменениях угла падения. Отметим, что основной результат одной из первых работ [5] по обсуждаемому вопросу заключался в том, что при стремлении потерь в слое к нулю вертикально поляризованная волна с круговой частотой, равной максимальной плазменной частоте в слое, проходит через точку, где достигается максимум электронной концентрации. Это полностью противоположно верному результату, что волна через нее не проходит. Такой результат впервые был получен в работе [6] не совсем строгим способом (подробнее см. [2]), а затем строгим (но значительно более громоздким) способом исследован в работах [1,2].

В работе [1] была рассмотрена одномерная задача рассеяния такой волны плазменным слоем, ограниченным в пространстве. Этот слой непрерывно (но не гладко) переходил с обеих сторон в вакуум, и его (слоя) протяженность не превосходила длину волны в вакууме. Приведенное в [ 1 ] доказательство экранирования волны — довольно сложное; это связано с обоснованием правомерности стремления потерь в слое к нулю после бесконечного числа итераций при решении интегрального уравнения методом сжатых отображений. Метод предполагает, что ядро уравнения стремится к бесконечности при уменьшении потерь в слое.

В работах [1,2] фактически рассмотрены три предельных перехода:

по углу падения волны;

по потерям в слое;

по числу итераций в методе последовательных приближений (их число устремляют к бесконечности, когда ядро оператора стремится к бесконечности).

Два последних предельных перехода осуществляются одновременно.

Вопрос о перестановке предельных переходов нетривиален даже в случае линейных операторов. В рассматриваемой задаче при обращении обыкновенного линейного дифференциального уравнения мы имеем дело с нелинейным оператором, и возможность представления его резольвентой с неограниченными ядрами неочевидна, — приведенные доказательства [2], возможно, требуют дальнейшего более глубокого исследования. В работах [1,2] эффект экранирования вертикально поляризованной волны рассмотрен для плазменных слоев, вещественная часть комплексной диэлектрической проницаемости которых имеет в точке максимума электронной концентрации нуль четной кратности. Частным случаем такой модели слоя является параболическая, для которой в работе [3] магнитное поле волны за точкой максимума электронной концентрации искалось в виде асимптотического ряда по малому параметру задачи — квадратному корню из отношения эффективной частоты столкновений электрона к круговой частоте волны. Последняя полагалась равной максимальной плазменной частоте слоя. При этом сперва априори утверждалось, а затем подстановкой в уравнение проверялось, что существует решение, для которого первый член асимптотического ряда за точкой максимума электронной концентрации в направлении распространения волны пропорционален этому малому параметру в первой степени, а не в нулевой. Схема поиска решения в виде асимптотического разложения по малому параметру, используемая в статье [3], позволяет контролировать точность соответствующего приближения и не вызывает никаких сомнений. Однако вопрос о единственности найденного решения в ней не обсуждался.

Актуальность обсуждаемой здесь проблемы связана не только с возможностью получения результатов строгими математическими методами, но и с близостью к ней двух других задач, не решенных аналитически до настоящего времени. Это, во-первых, задача о распространении в такой среде импульсного сигнала, и во-вторых, задача о переходном излучении заряда в такой неоднородной среде. Задача об экранировании, как было отмечено в работах [1, 2], интересна и с точки зрения теории обыкновенных дифференциальных уравнений, поскольку в ней строится решение дифференциального уравнения с вырождающимися особыми точками.

Рассмотренное далее аналитическое решение этой задачи опирается на построение приближенного решения интегрального уравнения в окрестности точки максимума электронной концентрации, но не для магнитного поля (как это было сделано в [1, 2]), а для электрического [4]. При этом получается очень существенное отличие от схемы, используемой в [1, 2]. Оно заключается в том, что при достаточно малых потерях мы можем в окрестности точки максимума электронной концентрации найти решение этого уравнения, которое при вещественных значениях независимой переменной характеризуется конечным (причем малым в случае малых потерь), а не бесконечным (как в [1, 2]) ядром. При этом обоснование сходимости метода сжатых отображений не вызывает трудностей. Однако в этой схеме для возможности сращивания получаемых ниже асимптотических разложений для поля волны нам приходится ввести очень сильное ограничение на угол падения волны на слой. При этом с уменьшением потерь в слое мы вынуждены уменьшать и угол падения волны, а это есть безусловно существенное ограничение. Однако, несмотря на это, из полученного приближенного, но асимптотически точного (при стремлении потерь в слое к нулю) решения можно получить важный результат о наличии резкого изменения угла падения волны и потерь в слое в области их значений, достаточно близких к нулевым. Такой результат согласуется с выполненными в работах [7, 8] численными расчетами для другой аналогичной модели слоя.

Физическая и математическая постановки задачи

Рассмотрим неоднородный изотропный бесконечно протяженный плоскослоистый плазменный слой, выходящий с обеих сторон в вакуум. Выберем декартову прямоугольную систему координат (Л\ У',/) таким образом, чтобы ось 02 была перпендикулярна слою. Будем полагать, что тяжелые частицы (ионы и молекулы) в нем неподвижны, а пространственная дисперсия пренебрежимо мала. Диссипативные процессы учтем посредством введения эффективной частоты столкновений электрона у(г), которую будем считать постоянной в окрестности точки г = 0, где достигается максимум электронной концентрации. Рассмотрим падающую на этот слой со

стороны z = -со под углом 0О ф 0 к оси OZruioc-кую монохроматическую электромагнитную волну вертикальной поляризации; (XOZ) — плоскость падения волны (где лежит ее электрический вектор). Будем считать, что круговая частота волны ш равна максимальной плазменной частоте слоя, а вещественная часть комплексной функции диэлектрической проницаемости имеет в точке z = 0 нуль второй кратности. Отношение v/ю считаем малым параметром задачи: v/ю << 1. Представляя поле Hу в виде

Ну = //exp(/fosin80 -mt),

для комплексной амплитуды //имеем уравнение [1,2]:

//;s-^//;+uI(e(s)-sin2eo)// = o, (i)

гдеи = —1 ( ш — круговая частота волны); 5 = — — с " I

независимая безразмерная переменная.

Не умаляя общности, в качестве характерного масштаба / выберем толщину слоя на уровне Ree = l/2. Функцию комплексной диэлектрической проницаемости среды e(s) зададим в виде

— , .V ' w

где ю

— = const. ю

Поскольку такой плазменный слой при значениях > 1 достаточно быстро (в данном случае по экспоненциальному закону) переходит в вакуум, то асимптотика Вентцеля — Крамер-са — Бриллюэна для решения уравнения (1) при 5 имеет вид плоских волн, и существует

решение этого уравнения, удовлетворяющее принципу излучения при 5 — +со [9]. Для определенности положим амплитуду падающей волны равной единице. Тогда граничные условия (на бесконечности) для искомого решения уравнения (1) запишутся в следующем виде: при 5 —> +со

Н = 7^(v,6Q )exp(/"^Q5COs8g) + 0(ехр(—5)); (3) при 5 — -00

Н =exp(rn0scos60) + /?(v,80,'no)x

хехр(-гп05СО8б0) + О(ехр(5)), (4)

где 7Ху,90,-л0), Л(у,60,-По)— коэффициенты прохождения и отражения волны, зависящие как от потерь V в слое, так и от угла 90 падения волны; и — константа.

В дальнейшем зависимость от параметра и в коэффициентах прохождения и отражения будем опускать. Отметим, что такой вид асимптотики вытекает также из того, что при больших значениях 5 исходное уравнение становится уравнением класса Фукса [10].

Рассмотрим решение уравнения (1), имеющее асимптотическое поведение (3) при 5 ^ +со с Т= 1. Нетрудно видеть, что при 5 ^ -оо оно имеет асимптотику, содержащую ехр(±/и05СО8 90). В случае, если коэффициент при ехр(/и05СО8 90) не равен нулю, то получим решение (3), (4), разделив на этот коэффициент.

Вопрос о единственности продолжения решения вида (3) в решение вида (4) нетривиален. В рассматриваемой задаче стремление потерь в слое к нулю сопровождается вырождением в одну точку изначально имеющихся двух (для случая параболической аппроксимации слоя в окрестности точки максимума электронной концентрации) особых точекдиффе ре нциально-го уравнения (1), и из формально возможных двух типов решения нам нужно определить физически верное. Последнее мы согласуем с тем требованием, что поле может быть определено (хотя бы в принципе) в произвольной точке на вещественной оси, вдоль которой распространяется фронт волны. Приуниформизации многозначного решения мы будем так проводить разрез, чтобы в результате предельного перехода не осталась выколотой ни одна точка на вещественной оси. Это требование тем более разумно, что даже при слиянии особых точек в одну поле волны в ней остается (как мы увидим далее) величиной конечной. Если при униформизации многозначного решения (в случае параболической аппроксимации) в комплексной области формально соединить разрезом две особые точки, то невозможность построить решение на всей вещественной оси приводит к неверному результату, что волна сквозь слой пройдет.

Нули функции е(.?) (как будет видно из дальнейшего) есть точки ветвления решения уравне-

ния (1), причем при v ф 0 функция e(s) не имеет нулей на вещественной оси 5. В дальнейшем для униформизации решения мы проведем на комплексной плоскости 5 параллельно мнимой оси два разреза, соединяющие каждый нуль функции e(s) с бесконечно удаленной точкой. Ясно, что контур, на котором мы строим решение, можно деформировать, лишь бы особые точки оставались по разные стороны от него. Мы будем строить решение на вещественной оси 5. В бесконечно узкой полосе на комплексной плоскости, включающей указанную ось, коэффициенты уравнения ( 1 ) являются аналитическими функциями переменной 5. При достаточно больших (назовем их граничными) положительных значениях 5 = 5ф, при которых имеет место асимптотика (3), можно осуществить непрерывный (но не гладкий) выход в вакуум. При этом, требуя непрерывность решения при переходе через эту граничную точку, мы получим, что разность коэффициентов при exp(rn0scos90 ) в решениях по обе стороны от \р будет иметь порядок 0(ехр(—.у) ) и может быть сделана сколь угодно близкой к нулю при выборе достаточно большого значения 5ф. В точке 5ф мы в принципе можем переформулировать задачу с условием на бесконечности в начальную задачу. При v^O коэффициенты уравнения ( 1 ) являются аналитическими функциями в бесконечно узкой полоске, включающей вещественную ось, и в соответствии с теоремой Коши — Ковалевской [11] существует единственная аналитическая функция, определенная на вещественной оси 5, являющаяся решением данной задачи, которую мы здесь и будем строить.

Сформулируем следующую теорему.

Теорема. Для зависимости (Г) при значениях

M

— \,где Р> —, м при произвольном фикси-© )

рованном конечном значении u при-->0 спра-

(Л

ведливы соотношения:

7Xv,90) =

k2l\ ~ k{l2 2Ш22-2/|/2

ехр(-/21п(2)"п0 cos90

(i+o(i ));

*(v,e0) =

—^^k-ïh+hh +tyi eXp(-/21n(2)-nn cos8n)

¡J

<(l + o(l )),

2inMlj - 2/j/2

> r sin 0O

где M =-- ^ <»;

2a

. _Г(1 + о-г>)Г(1-с). , k, _-, к2_~

Г(1-£)Г(1 + о-с)

; _Г(1 + г>-о)Г(1-с). _ 1 _Г(1-а)Г(1+£-С)' 2_

г(а)Г(С-£)

Bl^^^c-l) Г(£)Г(с-а)

, i- -Лос0 s0O и к. (Г — гамма-фунщия\ a = ' + i--—; о = '-

..^osQq,

-I

a = exp

1 ' 1 2 4

\

v ^ « /

-/-U-).

i/(5) =

e(s) cfe

(5)

и построим решение, соответствующее интегральному уравнению для новой функции и($) при вещественных значениях 5, принадлежащих интервалу Е = {-г,г), где

г =

ш

0<ст<-.

2

(6)

Как видно из формулы (6), при стремлении к нулю потерь в слое стремится к бесконечности отношение г к расстоянию от точки 5 = 0 до каждой из ближайших особых точек уравнения ( 1 ), расположенных в комплексной области. Этими

особыми точками являются нули sfj функции e(î) :

402}=±J-exp V w

/

я

_/4

4у\ю

Доказательству этой теоремы посвящена вся остальная часть статьи. Оно опирается на построение методом сращивания асимптотических разложений решения задачи (1)—(4), которое находится при бесконечно малых (но отличных от нуля) потерях v на вещественной оси 5. В итоге находится приближенное решение, которое при стремлении потерь в слое к нулю становится асимптотически точным.

Построение решения в окрестности точки максимума электронной концентрации

Если рассмотреть интегральное уравнение Вольтерра для функции H(s), то в случае 0О ф 0

V А

модуль ядра интегрального оператора при--> 0

ю

в точке 5 = 0 неограниченно возрастает, и, следовательно, условия теоремы о сжатых отображениях в пространстве непрерывных функций нарушаются [11]. Чтобы при рассмотрении интегрального уравнения избежать неограниченности ядер, сделаем замену искомой функции:

1 dH(s)

Для функции U(s) нетрудно получить интегральное уравнение

S

U = U0 + KU; KU = J^(s ,s)U(s)ds, (7) о

где введены обозначения:

Щ=С{+С2у, С,=Щ0), C2JJL ;

dy о

K(s,s) = -Ur S) (y(s)-y{ s)) v(i)= \ y^ds; q(s) = s(s)-sin28n .

^ ; 0J rs

В рассматриваемой окрестности E имеем:

v о

e(s) = i— + s +0 ш

/ / л 1-2ал

l-l

vœ)

v )

• v 2 H — + S, ш

так что

у ~s - M In

s-a 5 + a

(8)

где параметры а и Мбыли введены в конце раздела постановки задачи. Тем самым ¿70 есть решение уравнения

d_

ds

rzdUt л

q ds

Заметим, что если опираться на уравнения Максвелла, то из них и соотношения (5) вытекает, что в выбранной декартовой системе координат функция U(s) пропорциональна электрической компоненте Ех.

Итак, как было ранее сказано, для унифор-мизации функции (8) проведем на комплексной плоскости 5 параллельно мнимой оси два разреза, не пересекающие интервал Er и соединяющие каждый нуль функции s(s) с бесконечно удаленной точкой; причем при 5 = 0 положим

1п

ч

s-a

5 + а

= in. Тогда при вещественных значени-

ях 5, удовлетворяющих неравенству |5| >> имеем:

y-s + inp^M,

Если при такой полуширине г интервала Er выбрать а в диапазоне 1/3 <а< 1/2 , то при достаточно малых значениях V и для произвольных значений 0О будем иметь : Ц^Ц«!, что гарантирует близость точного решения рассматриваемого уравнения к нулевому приближению.

Для возможности дальнейшего асимптотического сращивания решений и существования перекрывающихся интервалов (см. далее раздел, посвященный «смешиванию» решений) мы введем

0

Ыр

sin90 < — I ,

где р = 1/7 + |д, ^>0.

Чтобы не сужать и без того малый диапазон изменения 0О, будем далее считатьц бесконечно малой величиной, а также учитывать малость па-

где Хо 2

1 при 5 > 0, -1 при 5<0.

Будем искать решение в интервале Ег методом последовательных приближений. В нулевом приближении положим

и(0)=и0=С1+С2у.

В рассматриваемом интервале интегральное уравнение Вольтерра (7) заменим уравнением Фредгольма [11], в котором ядро интегрального оператора совпадает с К(5,3) при значениях < , а при других значениях 5 оно равно нулю. При этом можно получить, что для любого значения 5 из интервала Ег оператор интегрального уравнения является ограниченным в пространстве непрерывных функций, причем его норма

4 2

t 1 И • 2n

l + 24v$in 0

r\

(9)

Для выполнения неравенства Ц^Ц << 1 радиус рассматриваемого интервала должен удовлетворять ограничению

раметра —, поэтому всюду заменять 8И10О на 90. ю

С учетом введенного ограничения на 60 можно ослабить ограничение на параметр а, заменив его следующим:

1 2 1 ---и <а <—.

14 3 2

(Н)

Из приведенных выше формул и оценки (9), (10) для нормы интегрального оператора нетрудно получить основной результат этого раздела, который состоит в доказательстве следующей леммы.

Лемма 1. При

задается как

г v

'о-

V ш

: П , гдемножесmeo X

V

-<с<< 1, ш

^о -

/ \— ' v v

ш

, ^>0,

(12)

при вещественных значениях s, удовлетворяющих неравенствам

ч —

— <<5 \<г =

Г <<Г^ =

4^02max{l,|M|}

(Ю)

1 1

где — <ъ<

10

2 1

=

4л02тах{1,|А/- -

решение интегрального уравнения (7) имеет вид

= (С,+С2 (s + ))

1 + 0

/у

(13)

причем выберем х в диапазоне

п 1 ^

0<х<—+—. 14 2

(15)

Из неравенства (14) и введенного ранее ограничения (12) на угол 90 следует, что

Гю

Г-

чю

где у = За-->0.

14

На этом мы заканчиваем построение решения в интервале {-г,г) и переходим к построению решения в смежных с ним двух полуосях.

Построение решения

на двух смежных вещественных полуосях

В этом разделе мы построим решение уравнения (1) на двух вещественных полуосях (-да, гх) и (/-,, + <»), где гх << г, каждая из которых пересекается с введенным в предыдущем разделе вещественным интервалом Ег=(-г,г), а затем (в следующем разделе) асимптотически срастим решения в перекрывающихся интервалах.

V

Будем считать, что параметры 90 и — такого

вы, что

' v

'о—

v ю

угол падения волны на слой получим приближенные выражения для функции U(s) (связанной с H{s) формулой (5)) при положительных и отрицательных вещественных значениях s, удовлетворяющих неравенству

(14)

В первом случае, когда 0О > J— , положим

'ю

5 =

f v ю

а во втором, когда % < J—, определим

' ю

5 =

9пю

ю \V

1 ^ п

где а = — + —-т>0. 1 14 2

Отсюда с учетом выражения (24) получаем,

что при — ^ 0 значение гх ^0. ю

В предыдущем разделе было получено, что

г =

ю

. Для того чтобы было выполнено нера-

eXc. При ограничении (12) на

венство г| < л гарантирующее существование

-

в каждом из рассмотренных выше случаев необходимо, чтобы выполнялось неравенство а<а,, которое с учетом левого неравенства (11) будет выполнено только в том случае, если т < (7/6)|д

ство может быть выполнено, поскольку при достаточно малых значениях | оно не противоречит условию (15).

При нахождении решения 1!($) на двух полуосях (-<»,г,) и (г,,+да) перейдем сначала от ¿/(л) к новой функции

V =

ф) Ф)

U.

(16)

Для функции Ус учетом (1), (5), (12) нетрудно получить уравнение

/—-sin20o-i—sin20o +th2s

Ks + лИ-ffi"-

1+/-Ю

= -S(g)V,

v =

(17)

где g = , а ^(g) — обозначение производной Шварца от функции g:

(мЛ ^g)

2

(18)

Можно перейти от уравнения (17) к интегральному уравнению и находить его решение на вещественных полуосях (-<», гх) и (гь г) методом последовательных приближений. При значениях г, < ЬI << 1

\S(g)\ = 0

sin29„

f / 5

V V

sine0 +J—

\Л

/у

/ /

v 1

V®, J

v /

0(/(5)sin2

V{S) =

1 dH(s) zq{s) ds

V® = F(0)

f f + ds Л

Wn J

Wn i

(19)

= 0

так что с учетом левой части неравенства (15), при стремлении потерь в слое к нулю, также стремится к нулю.

При других значениях в рассматриваемых

полуосях изменения переменной 5 модуль выражения (18) по порядку величины равен

Здесь — линеино-независимые реше-

ния уравнения (17), причем при 5 ^ +оо функция И,(0) удовлетворяет принципу излучения,

ему не удовлетворяет.

При 5 ^ +оо

уф)

= ех р(/ло5СО80о); при этом значении 5 задается в виде

уф)

= ех р( -/ло5СО80о).

Постоянная Т пропорциональна коэффициенту ^прохождения (в нулевом приближении) для магнитной компоненты поля, значение которого будет определено ниже;

' = S

's-02^

уф)

где f(s) — ограниченная функция переменной 5, стремящаяся к нулю при 5 ^ +со по закону ехр(-2|ф, что является необходимым условием для решения уравнения методом последовательных приближений. Это условие обеспечивает сходимость определенных интегралов при рассмотрении приближений более высокого порядка.

Решение в нулевом приближении V(<>) удовлетворяет уравнению (17) без правой части. Поскольку согласно формулам (5) и (16) функция V(s) пропорциональна производной функции B(s), т. е.

где У(<>) — решение в нулевом приближении; уф~> = ТуФ\ в формуле (19) и>0 — определитель

Вронского функций

уф)

равный

(-2глоСО80о).

Из выражения (19) ограниченности функций

уф)

уф)

в рассматриваемом интервале и из найденной выше оценки значения производной Шварца следует, что при стремлении потерь в слое к нулю относительная величина поправки к нулевому приближению для решения тоже стремится к нулю. С помощью преобразований

с множителем, стремящимся к постоянному значению при 5 ^ +оо, то она, так же как и очевидно должна удовлетворять принципу излучения [9] при 5 ^ +оо.

Запишем при s> ^ решение уравнения (17) в первом приближении, которое удовлетворяет этому условию:

ч

,2

Ю

1 + J1-4U ч V I «>,,

получаем гипергеометрическое уравнение для функции /(|а) [12]

со следующими параметрами:

а = ' + i

Л0соs0o,

b = '-i

Л0соs0o.

с = —. 2

В области > 1 его линейно независимыми решениями являются

/4=(

f 1 Л

а, а-с + Ь а-Ь + 1: -

Ь, Ь-с+1; Ь-а+1:

Из соотношений (1) и (5) следует выражение для //:

Н = -

1 £ d

ds

£ —

-V

(20)

Принципу излучения при 5 — +со удовлетворяет функция

К = (21)

где У0 — постоянная. При 5 — +<» для функции //получаем следующую асимптотическую зависимость:

Н 5--— К0ехр(/^5-1п2)СО80о).

ло

В интервале г < — справедлива аналогичная схема построения решения, как и в уже рассмотренном интервале г>гх, однако она имеет отличие, связанное с выбором функций У^ {1 = 1,2). В этой области общее решение однородного уравнения (17) имеет вид

V = (\-v)' (Л/з + BfA).

Запишем поведение функции (5) в интервалах /•,<<|s|«l. (23)

С учетом оценки значения гх, найденной в начале этого раздела, этот интервал существует при достаточно малых потерях в слое. Воспользуемся функциональными соотношениями [12], связывающими различные решения гипергеометрического уравления через гамма-функции r(z):

/4=^/1+^/2; /3 = Vi+V2; fx 2 2Fx(a,b;c;vh

f2 = (-ц)1 + a-c, 1 + 6-c; 2-е; ц); Выражения для kx, k2, /|, l2 см. выше в формулировке теоремы.

При малых значениях |s| с точностью до членов более высокого порядка

/¡=l + 0(s2), /2=V?(l + 0(i2)),

причем берется арифметический квадратный корень из положительного числа.

Таким образом, опираясь на решение уравнения (17), найденное в нулевом приближении метода последовательных приближений, с учетом (18)—(22) можно найти асимптотики функции Uв интервалах (23). Сформулируем полученный при этом результат в виде следующей леммы, доказанной выше.

Лемма 2. В интервалах (23) функция U(s). связанная с решением У(s) уравнения (17), дается следующими выражениями: при s > 0

При 5 —> -оо из (20) и (21) получаем выражение

Н = //0(ех р (гло5СО80о) + Лехр(-гло5СО80о),

где Я — коэффициент отражения волны.

Из приведенных выше формул вытекают соотношения для коэффициентов отражения Я и прохождения Т магнитной компоненты волны:

Л

Я = —ехр(-/21п(2)"п0 ); А

Т = — ехр(-/ 21п(2)-лосо80о ). (22) А

Коэффициенты ЯпТ будут окончательно определены после нахождения неизвестных^, Вп У0.

и = Щ1x+l2s)

1 + 0

f-чю

л Л

/у

(24)

при s < 0

и 5 (А(к| —k2s) + В{11 —l2s)) X

1 + 0

f-чю

\л

/У

(25)

где х определено формулой (15).

«Сшивание» решений в перекрывающихся интервалах

Приближенное решение U(s) при значениях 5, удовлетворяющих неравенствам (10), дается формулой (13). Как видно из выражений (24)

и (25), такой же характер имеет решение £/(.<?) в области (23). Потребуем выполнения неравенств

— «г, «г << г0 << 1, ю

где л г0 , гх определены соответственно формулами (6), (10) и (14). Это неравенство выполняется при достаточно малых потерях в слое и при использованном ранее условии (12) на угол падения волны. Интервалы (-г,-50) и (50,г) являются общими соответственно для двух пар промежутков: (-да,-¿о), и (^0,+®), в которых построены приближенные решения. В этих общих интервалах главные члены асимптотик линейно-независимых решений уравнения для [){$) суть 1 и5.

Приравнивая в каждом из этих двух интервалов в полученных решениях коэффициенты при одинаковых степенях 5, приходим к системе четырех линейных алгебраических уравнений для четырех неизвестных:

с с =% У0 В = -.

1 А 2 А 0 А А

Эта система имеет вид С, + С2Ш = С2 = К0/2;

С, - С2тМ =к{+ В1{;

С2 = -к2-В12.

Из этих алгебраических уравнений находим коэффициенты отражения и прохождения для магнитного поля волны, представленные в формулировке теоремы. На этом считаем полностью доказанной теорему, сформулированную в разделе постановки задачи.

Согласование полученных закономерностей с результатами других авторов

V

Из теоремы следует, что при--> 0 (при этом

ю

и0о ^0) значение ^ 1, т. е. имеет место полное отражение волны от слоя. В этом случае |7"| ^ 0.

Условие (12), к сожалению, не позволяет при малых значениях у/ю рассмотреть фиксированное значение угла падения волны на слой. Это безусловно следует признать существенным недостатком рассмотренной выше схемы построения решения. Однако, несмотря на такое сильное ограничение, из выражения для коэф-

фициента прохождения волны видно, что если при малых значениях у/ю рассмотреть значения 0О из интервала

v

1

V®/

<< % <<

V®/

где р — бесконечно малая положительная величина, то значение Т= 0([/М) = о(1), т. е. получаем незначительное просачивание волны сквозь слой. В этом случае, если потери в слое устремить к нулю, то в пределе мы получим, что Т— 0. Если значение 0О меньше или порядка (у/ю)|//4, то коэффициент прохождения волны будет определяться более сложным выражением, причем при значениях u = 0(1) коэффициент Т = 0(1), т. е. имеется существенное просачивание электромагнитного поля за точку s = 0.

Таким образом, при условии у/ю<<1 коэффициенты прохождения и отражения резко меняются при падении волны на слой почти нормально к слою. Напомним, что согласно [1,2] для всех фиксированных и отличных от нуля углов падения вертикально поляризованная волна не проходит через неоднородный плазменный слой, если выполнены условия: плазма холодная, частота волны равна максимальной плазменной, отсутствуют потери и движение ионов и молекул во внимание не принимается.

В работе [8] рассмотрено взаимодействие электромагнитного излучения с плазмоподобной средой твердого тела вблизи критической концентрации и исследована структурная неустойчивость решения задачи рассеяния волны по направлению распространения волны. В ней в качестве модельной задачи рассмотрено почти нормальное падение плоской электромагнитной волны при сверхмалом поглощении на почти плоскослоистую среду, диэлектрическая проницаемость которой проходит через нуль. Опираясь на численное интегрирование уравнения Риккати, авторы работы [9] получили зависимость решения исследуемой задачи от малых параметров вблизи нуля комплексной диэлектрической проницаемости. Эти результаты согласуются с полученными нами.

Автор выражает благодарность ведущему научному сотруднику профессору А.П. Качалову из лаборатории математических проблем геофизики ПОМИ РАН им. В.А. Стеклова за полезные дискуссии.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Живулин, В.А. Эффект экранирования электромагнитного поля неоднородными плазменными слоями [Текст] / В.А Живулин, Г.И. Макаров // Сб. Проблемы дифракции и распространения волн,— Л.: Изд-во ЛГУ, 1974,- Вып. 13,- С. 120-137.

2. Живулин, В.А. Некоторые граничные задачи самосогласованного поля [Текст] / В.А. Живулин // Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук,— ЛГУ, 1975,- 16 с.

3. Зернов, H.H. Построение решения эталонного уравнения для задачи о распространении плоской волны вертикальной поляризации в бесконечном слое с максимумом электронной концентрации [Текст] / H.H. Зернов, Г.И. Макаров // Изв. вузов. Радиофизика,— 1976,— Т. 19,— N° 1,— С. 64-70.

4. Денисов, A.B. Закономерности отражения волн ТМ и ТЕ поляризации от плоскослоистых сред |Текст| / A.B. Денисов // Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук,- СПбГУ, 2004,- 16 с.

5. Смилянский, В.Р. Наклонное падение электромагнитной волны на параболический плазменный слой [Текст] / В.Р. Смилянский // Журнал прикладной механики и технической физики,— 1969,- № 3,- С. 27-33.

6. Кондратьев, И.Г. Отражательные характери-

стики неоднородных плазменных слоев [Текст] / И.Г. Кондратьев, М.А. Миллер // Изв. вузов. Радиофизика,- 1968,- № 6,- С. 885-899".

7. Козлов, И.П. Исследование прохождения электромагнитной волной плоского слоя диэлектрика вблизи критической точки | Текст] / И.П. Козлов // Письма в ЖТФ,- 2000,- Т. 26,-Вып. 14,- С. 28-35.

8. Козлов, И.П. Взаимодействие электромагнитного излучения со струей электрореактивного двигателя космического аппарата | Текст] / И.П. Козлов // Письма в ЖТФ,- 2001,- Т. 27,-Вып. 24,- С. 71-78.

9. Свешников, А.Г. Принцип излучения |Текст] / А.Г. Свешников // ДАН СССР,- 1950,- Т. 73,-№ 5,- С. 917-920.

10. Трикоми, Ф. Дифференциальные уравнения [Текст| / Ф. Трикоми,- М.: ИЛ, 1962,- 352 с.

11. Красносельский, М.А. Интегральные операторы в пространстве суммируемых функций. [Текст] / М.А. Красносельский, П.П. Забрейко, Е.К. Пустыльник, П.Е. Соболевский,— М.: Наука, 1966,- 500 с.

12. Люк, Ю. Специальные функции и их приложения. |Текст| / Ю. Люк,— М.: Мир, 1980,- 608 с.