Доказательство эффекта экранирования волны вертикальной поляризации симметричным плазменным слоем Текст научной статьи по специальности «Математика»

РАДИОФИЗИКА

УДК 537.87

А.В. Денисов

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭФФЕКТА ЭКРАНИРОВАНИЯ ВОЛНЫ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ СИММЕТРИЧНЫМ ПЛАЗМЕННЫМ СЛОЕМ

Данная работа является продолжением работы [1] , в которой был дан обзор и получено решение (методом сращивания асимптотических разложений) задачи о распространении волны вертикальной поляризации (другие используемые в литературе названия этой волны: волна ТМ-поляризации, волна ^-поляризации) сквозь симметричные плазменные слои, характеризующиеся наличием максимума электронной концентрации и малыми диссипативными процессами. Как известно [1], на частоте поля, равной максимальной плазменной частоте слоя, наклонно падающая плоская вертикально поляризованная волна не пройдет за точку с максимальной концентрацией электронов, если потери в слое устремить к нулю. Этот эффект имеет место для слоев произвольной толщины, у которых в окрестности такой точки вещественная часть функции диэлектрической проницаемости имеет нуль четной кратности. Из-за отсутствия точного аналитического решения этой задачи все известные ее решения для подходящих моделей среды используют метод сращивания асимптотических решений уравнений Максвелла для магнитной или электрической составляющей поля, полученных в различных перекрывающихся интервалах на оси OZ, вдоль которой изменяется электронная концентрация в слое. Поэтому все известные приближенные решения [1] этой задачи не только очень громоздки, но и трудны, что, вероятно, и есть главная причина того, что ее,

как правило, не рассматривают в курсе лекций по теории распространения волн в неоднородных средах.

Цель данной работы — полученить очень простое доказательство данного явления без построения решения задачи на всей оси OZ. В отличие от ранее рассмотренных методов доказательства, оно опирается на построение решения уравнения для магнитного поля в двух непересекающихся, но сближающихся при уменьшении потерь связных промежутков на оси ОД а также на использовании хорошо известного в электродинамике [2] условия непрерывности тангенциальных компонент поля. По мнению автора, приведенное здесь доказательство, ввиду его простоты, вполне можно использовать при чтении лекций по теории распространения электромагнитных волн.

Физическая и математическая постановки задачи

Рассмотрим неоднородный, изотропный, бесконечно протяженный плоскослоистый плазменный слой, выходящий с обеих сторон в вакуум. Выберем декартову прямоугольную систему координат (X^, Z) таким образом, чтобы ось OZ была перпендикулярна слою. Будем полагать, что тяжелые частицы (ионы и молекулы) в нем неподвижны, а пространственная дисперсия пренебрежимо мала. Дис-сипативные процессы учтем посредством введения эффективной частоты столкновений

электрона v(z), которую будем считать постоянной в окрестности точки z = 0 . Считаем, что при v —> 0 в точке z = 0 достигается максимум электронной концентрации. Рассмотрим падающую на этот слой со стороны z = под углом 90 ф 0 к оси OZ плоскую монохроматическую электромагнитную волну вертикальной поляризации, XOZ— плоскость падения волны. Круговую частоту волны ш полагаем равной максимальной плазменной частоте слоя, отношение v/ш считаем малым параметром задачи: v/ш« 1.

Представляя поле Hy в виде

Hy = H exp (ikx sin 00 - i),

для комплексной амплитуды H имеем уравнение [1]:

о'

н;--^H;+n2(e(s) - sin2 00)H = 0 , (1) 8

здесь По =(ш/c)l = kl;, s = z/l — независимая безразмерная переменная.

Не умаляя общности, в качестве характерного масштаба l выберем толщину слоя на уровне Re - = 1/2. Функцию комплексной диэлектрической проницаемости среды -(s) зададим следующими пятью условиями:

1. В интервале Ех на вещественной оси 5, который определим условием |s| < Sj, где

S =

/ V 1

— I ; h = - + a, a>0, v®J 2

(2)

будем считать, что диэлектрическая проницаемость e(s) дается выражением

e(s) = / — + o ш

(3)

(о — символ порядка).

2. В интервале Е2, который зададим условием s > s2 , где

So =

МР 1 1

-I ;p=--ß, о<ß< 2 2

положим e(s) = th s .

(4)

(5)

4. В интервале (s1;s2) функция e(s) может быть продолжена как угодно, лишь бы она в этом промежутке удовлетворяла условию 3.

5. Будем считать, что lim e(s) = 1, т. е. вол-

s

на падает на слой e(s) из вакуума.

Условия непрерывной дифференцируемо-сти достаточны для существования решения уравнения (1) в классе непрерывных функций. Из второго условия следует, что плазменный слой при значениях |s| > 1 по экспоненциальному закону переходит в вакуум, так что асимптотика Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна (ВКБ) для решения уравнения (1) при s ^ ±<» имеет вид плоских волн и существует его решение, удовлетворяющее принципу излучения [3] при s ^ +<» .

Для определенности положим амплитуду падающей волны равной единице. Тогда граничные условия (на бесконечности) для искомого решения уравнения (1) запишутся в виде

H = T (v, 0Q, По) exp(/n0 s cos 00) + 0(exp(-s)) при s ^ +<»;

(6)

3. При всех вещественных значениях 5 функцию е^) считаем непрерывно дифференцируемой.

H = exp(/n0 s cos 0О) + +R(v,00,По)exp(-/noscos0o) + 0(exp(s)) (7) при s ^ -<»,

где T(v, 0о, По) и R(v, 0о, п0) — коэффициенты прохождения и отражения волны, зависящие от потерь v в слое, от угла 0о падения волны, а также от п0 ■

Будем считать параметры 0о и п0 фиксированными, и в дальнейшем зависимость от них в коэффициентах прохождения и отражения будем опускать.

Рассмотрим решение уравнения (1), имеющее асимптотическое поведение (6) при s ^ +<» с T = 1 ■ Нетрудно видеть, что при s ^ -<» оно имеет асимптотику, содержащую exp(±/п0scos 0о) ■ В случае, если коэффициент при этой экспоненте с плюсовым аргументом не равен нулю, то получим решение (6), (7) разделив на этот коэффициент. Для определенного выше слоя e(s) докажем следующую теорему.

Теорема.Для заданной выше пятью условиями зависимости e(s) при произвольных фиксированных положительных значениях По и 0о выполняется равенство:

lim T(v) = 0 . (8)

Напомним, что для зависимости e(s), заданной голоморфной функцией, вопрос о единственности решения был рассмотрен в работе [1]. Здесь мы докажем эту теорему (как было вначале сказано), опираясь на непрерывность касательных составляющих электромагнитного поля. Существование предела (8), который мы ниже получим, будет означать и единственность решения данной задачи.

Доказательство теоремы

Построение решения в окрестности Er Получим решение уравнения (1) в интервале Ej = (-sj, Sj). Для этого перейдем в уравнении (1) от переменной 5 к новой независимой переменной х по формуле

х = Je(S)ds + C0 .

(9)

Выберем константу С0 отличной от нуля, например, положим

Со =1. (10)

Посредством преобразования (9) уравнение (1) переходит в следующее уравнение:

нх +п0 H = 0.

e2(s)

(11)

2

„2 e(s) - sin 9q n2

По-^-= По

e2(s)

-| sin2 9qg(x(s)), vV

где с учетом выражения (3) при v/ш ^ 0 для всех значений s eEj функция g(x(s)) эквивалентна единице: g(x(s)) = 1 + о(1).

Поскольку отношение v/ш является малым параметром задачи, то при s е Е1 можно записать ВКБ-решение уравнения (11) относительно большого параметра п = П0 (ш/v)sin90 :

H (s) =

C,

л/g (*(s))

cos

ш . no~sin 0о

V

1 + Jg (X)dX

/7

/ í1

1 + O +

v Vn//

C2

л/g (x(s))

sin

ш

По-ат 9q V

1 + J g(X )dX

+ v 1

//

/ I1 11

X íI 1 +O

v Vn/7

Точке s = 0 соответствует (как видно из формул (9) и (10)) значение х = 1; в этой точке при стремлении параметра у/го к нулю значение функции g (х), как было отмечено ранее, стремится к единице. Тем самым в точке s = 0 магнитное поле представимо в виде

H(0) = Ci cosI Пошsin0q |(1 + gi(v)) +

+ C2 sin

По шшsin 0O K1 + g2(v))'

(12)

причем при у/го ^ 0 функции g1 (у) ^ 0 и g2^) ^ 0 .

Перейдем теперь к построению решения в интервале Е2.

Построение решения в интервале Е2. Для значений 5 е Е2, где функция 8(s) задана формулой (5), перейдем в уравнении (1) от переменной 5 к новой независимой переменной ц = е(5) = . При этом уравнение принимает вид

Для значений 5, принадлежащих интервалу Е1, коэффициент уравнения (11) целесообразно представить в виде

2

НЦц-

—+— I H +

2ц 1 -ц,1 ц

2 2 2 + ЛоЦ -Цsin" 0о н = 0

4 ц2(1 -ц)2 '

(13)

Данное уравнение с помощью преобразования

H = (1 -;)* f, где * = -/ (п0/2) cos 0О,

сводится к гипергеометрическому уравнению

;(1 - ;)/; + [с - (a + b +1)1/; - abf = 0 со следующими параметрами:

a = -1 - i—cos 0O +. 1 -n02; 4 2 0 V4 10

b = — - i —cos 0O-. 1 -n02; c = —. 4 2 0 V4 10 2

X

0

X

X

Два линейно независимых решения f и f2 данного уравнения выражаются через гипергеометрические функции

f = 2F1(a,b;a + b +1 -c;1 -ц);

f2 = (1 -ц)с-а-ь 2 F1(c - a,c - b;c +1 - a - b;1 -ц) ■

Решением уравнения (1), удовлетворяющим граничному условию (6), является

H = Texp (/n0 cos 0о ln 2) (1 - ц)^ fv

Воспользовавшись функциональным соотношением [4]:

fi _ Ki 2^(а,Ь;с;ц) +

+K2^ c 2 ii(1 + a - c,1 + b - c;2 - с;ц),

где

Ki =

Г(а + b +1 - с)Г(с -1) ; Г(а)Г(Ь)

Г(а + b +1 - с)Г(с -1)

v^0

Таким образом, с учетом выражений (12) и (14) при V ^ 0 имеем:

Jexp(/no cos 0о ln2)K1 (1 + ft(v))-- C1 cos j^no — sin 0o |(1 + g1(v))- (15)

no — sin 0o |(1 + g2(v))^ 0.

-C2 sin

Рассмотрим четыре числовые последовательности (v„ , для задания бесконечно ма-

V ri) n=1

лых потерь v , имеющие своей предельной точкой нуль. Возьмем одну из таких последовательностей

v (1) = ^nosin 0о

vn '

2nn

при каждом значении которой

/ „ Л /

cos

V v / V

no —sin0o I = 1; sin no — sin0o I = 0.

V I l V I

Для такой последовательности из формулы (15) при n ^ <» получаем:

Jexp (/no cos 0o ln2) K1 -

-C1 cos

n0

—

(1)

sin00

^ o.

(16)

Для другой последовательности V (2) _—nosin0o

K2 = ,

2 Г(а)Г(Ь)

можно получить, что при v/ro ^ 0

H(s2) = Texp(/По cos 0о ln2)K^1 + й (v)), (14)

где g3 (v) ^ о .

v^

Определение неизвестных коэффициентов.

Для определения неизвестных коэффициентов С1, С2 и Т воспользуемся непрерывностью Ну (s), тангенциальной компоненты рассматриваемого электромагнитного поля [2]. Из формул (2) и (4) видно, что при v/ro^ о как сама разность (s2 - s1), так и значение s1 стремятся к нулю, так что при этом предельном переходе должно выполняться выражение

Ну (s2) - Ну (о) ^ о .

3 2'

п + 2пп

когда в выражении (15) косинус равен минус единице, а синус — нулю, при n ^ <»

Texp (/'по cos 0о ln2) K1 +

^ (17)

+C1 cos

no

—

V

(2)

sin 0o

^ o.

Выбирая по аналогии с первой две другие последовательности, когда косинус равен нулю, а синус — единице в одном случае и минус единице — в другом, запишем еще два соотношения:

Jexp (/no cos 0o ln2) K1 -

-C2 sin

no

—

(3)sin 0o

^ o;

Jexp (/no cos 0o ln 2) K1

+C2 sin

no

—

^sin 0o

+

^ o.

(18)

(19)

Очевидно, формулы (16) — (19) могут быть верны, только если при V ^ 0 одновременно выполняются предельные переходы

т ^ с ^ С2 ^ о.

V

n

n

V

n

V

n

Таким образом, при устремлении потерь в слое к нулю поле равно нулю правее точки 5 = 0.

На этом теорему для рассмотренной модели слоя считаем доказанной.

Заметим, что формулы (3) и (5) являются главными членами разложения функции

Ф) = 1 -

1 - th2s

1 + i-

— = const ш

ш

эта функция задает симметричный слой Эп-штейна в интервалах Е1 и Е2 (см. формулы (2) и (4) соответственно).

Рассмотренная нами модель слоя показывает, что на эффект экранирования волны ока-

зывает влияние только бесконечно малая часть слоя в окрестности точки, где е(5) обращается в нуль при исчезновении потерь в среде.

Кроме того, в интервале 52) функция е(5) задавалась произвольно.

Таким образом, при доказательстве теоремы не требовалась четность вещественной части комплексной диэлектрической проницаемости е(5) ни в промежутке (-52,52), ни в более широком промежутке. Снятие этого требования является новым результатом, расширяющим модели плазменных сред [1]. Последние при уменьшении в них потерь экранируют вертикально поляризованную волну.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Денисов, А.В. Одномерная задача рассеяния плоской волны симметричным плазменным слоем [Текст] / А.В. Денисов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. - 2011. - Вып. 3 (129). - С. 60 - 70.

2. Пименов, Ю.В. Линейная макроскопическая электродинамика. Вводный курс для радиофизиков и

инженеров [Текст] / Ю.В. Пименов. — Долгопрудный: ИД «Интеллект», 2008. - С. 156-160.

3. Свешников, А.Г. Принцип излучения [Текст] / А.Г. Свешников // ДАН СССР. - 1950. - Т. 73. -№ 5. - С. 917-920.

4. Люк, Ю. Специальные функции и их приложения [Текст] / Ю. Люк. - М.: Мир, 1980. - 608 с.

v