CC BY
42
УДК 621.314.21
ОДНОФАЗНЫЙ ТРАНСФОРМАТОР КАК ИСТОЧНИК ТОКОВ ВЫСШИХ ГАРМОНИК
В. Л. Федоров
Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия
DOI: 10.25206/2310-9793-2017-5-3-118-123
Аннотация - Целью работы является расчет максимальной величины магнитной индукции сердечника, обеспечивающей заданное значение показателя искажения формы тока. Для решения поставленной задачи проведено экспериментальное исследование взаимосвязи этих величин. Обработка результатов измерений осуществлялась с применением рядов Фурье, гармонического анализа и интерполяции функций кубическими сплайнами.
Ключевые слова: магнитомягкий сердечник, динамическая кривая намагничивания, ряды Фурье, спектральный анализ, суммарный коэффициент гармонических составляющих напряжения (тока).
I. Введение
Наличие гармоник напряжения и тока в системах электроэнергетики является причиной низкого коэффициента мощности, перегрева и отказа компонентов. Источниками гармоник являются нелинейные нагрузки - сварочные аппараты, индукционные печи, различные электронные устройства, а также устройства с ферромагнитными сердечниками (трансформаторы, дроссели). Причинами появления гармоник в последней группе являются как нелинейные нагрузки, так и нелинейная зависимость индукции магнитного поля B сердечника от напряженности H .
Гармонический состав тока нелинейных нагрузок, негативные последствия искажения тока и способы их уменьшения рассматриваются в большом числе публикаций, например, [1-5].
Общепринятым показателем (оценкой) искажения формы напряжения (тока) является суммарный коэффициент гармонических составляющих, который вычисляется по формуле [6, 7]: для напряжения
KU =
m n=2
U (J),
2
для тока
к=.
/(n)
v V
где U(1), /(1) - действующие значения напряжения и тока первой гармоники;
U(n), !(я) - действующие значения напряжения и тока n-й гармоники;
m - число учитываемых гармоник;
^ = Un, К/(и) = — - коэффициенты n-х гармонических составляющих напряжения и тока.
Ul /j
В Российской Федерации для электрической сети напряжением 0.38 кВ величина K^ не должна превышать 8% [6]. Такая же величина принята и в стандарте IEEE [7] для напряжения сети, не превышающем 1 кВ.
Существуют различные оценки допустимых искажений тока, например, K7 = 5% [5, 8], K7 = 10% [4]. В Российской Федерации принято ограничение величин коэффициентов отдельных гармонических составляющих тока [9].
Различные нелинейные нагрузки создают искажения тока неодинакового гармонического состава и, соответственно, величин K . При подключении к одному трансформатору таких нагрузок теоретический расчет результирующего значения K затруднен вследствие частичной компенсация токов отдельных гармоник [10].
Важным этапом проектирования устройств с ферромагнитными сердечниками является выбор максимальной величины индукции сердечника B при его перемагничивании. В большинстве случаев рекомендуется
2
m
n=2
использовать участок изгиба кривой намагничивания (например, 0,7В5 < В < 0,9В5 [11], где В5 - индукция насыщения), или несколько дальше за изгибом [12]. Однако такие рекомендации по определению Втах не дают
количественной оценки искажения тока, создаваемого сердечником трансформатора.
Эти искажения можно определить экспериментально при работе трансформатора в режиме холостого хода. В этом случае существует взаимосвязь между Втах и величиной К . Отметим, что при любой нагрузке трансформатора (в том числе и линейной) результирующее значение К7 будет не меньше, при работе без нагрузки.
II. Постановка задачи
Задачей исследования является расчет максимального значения магнитной индукции Втах однофазного трансформатора, обеспечивающей заданную величину К в режиме холостого хода. Для решения поставленной задачи необходимо определить взаимосвязь между Втах и К .
Рис. 1. Условное графическое изображение трансформатора
Сердечник трансформатора (рис. 1) представляет собой броневой ленточный магнитопровод, выполненный из магнитомягкой стали. Число витков первичной обмотки ^ = 1430, вторичной - = 51. Активное сопротивление и индуктивность первичной катушки (без сердечника): Г = 43.01 Ом, = 48.6-10"3 Гн. Параметры магнитопровода: длина средней линии 1АУ = 0.146 м; площадь поперечного сечения = 4.48 • 10"4 м2.
На первичную обмотку подавалось синусоидальное напряжение частотой / = 40 Гц. Измерения напряжений щ, м2 и тока / проводились цифровым осциллографом и цифровым вольтметром.
III. Теория
С целью фильтрации внешних помех и шумов входящего в состав цифрового осциллографа аналого -цифрового преобразователя, а также проведения спектрального анализа использовалось разложение измеренных напряжений щ(?), м2(?) и тока Щ) в ряды Фурье.
Для определения магнитного потока и магнитной индукции из экспериментальных данных (щ, и2,1) использовались известные соотношения
В = Во + Вм = ^он + ^ом >
Ф = Ф0 + фм>
сИ
ЛФ,
Щ = Г + ^--+ ^
сИ Л
сф0 _ ^ с л ^ с'
м
Н
1ЛУ
где М - намагниченность сердечника; В, Ф - результирующие магнитная индукция и магнитный поток в сердечнике; В0, Ф - магнитная индукция и магнитный поток, создаваемые током / первичной обмотки;
Вм, Фм - собственные магнитная индукция и магнитный поток сердечника, обусловленные его намагничиванием; - магнитная постоянная.
IV. Результаты экспериментов
Измерения проводились при различных величинах действующего значения напряжения и на первичной обмотке (табл. 1). Для каждого опыта были определены: а) собственные магнитная индукция и магнитный поток сердечника, как функции времени Вм (0, ФМ (/); максимальное значение тока /тах ; действующие значения
гармоник тока /(„) и напряжения первичной обмотки Ц^), п = 1...50; коэффициенты п-х гармонических составляющих напряжения и тока К/(и; б) максимальные значения напряженности магнитного поля Ятах и собственной магнитной индукции сердечника В (табл. 1); в) суммарные коэффициенты гармонических составляющих напряжения первичной обмотки К и тока К (табл. 1); г) действующее значение тока первой гармоники /(1) (табл. 1).
ТАБЛИЦА 1 РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗМЕРЕНИЙ И РАСЧЕТОВ
В Кт,% мА К, % н тах, ТУ ВМ max,
А/м Тл
30 0.16 4.11 2.34 58.11 0.26
40 0.17 5.32 2.74 75.57 0.35
50 0.19 6.55 3.27 93.59 0.43
60 0.2 7.85 3.94 112.85 0.52
70 0.21 9.16 4.69 132.99 0.61
80 0.23 10.54 5.52 154.43 0.69
90 0.27 12.05 6.49 178.37 0.78
100 0.3 13.65 7.48 204.27 0.87
110 0.33 15.39 8.50 232.91 0.96
120 0.36 17.27 9.62 264.5 1.04
130 0.42 19.33 10.75 299.8 1.13
140 0.47 21.61 11.96 339.5 1.21
150 0.53 24.20 13.33 386.13 1.3
161 0.61 26.95 14.74 437.04 1.39
170 0.7 30.41 16.59 504.16 1.48
180 0.81 34.33 18.82 585.78 1.56
190 1 39.15 21.73 694 1.65
200 1.24 45.13 25.48 841.82 1.73
211 1.69 54.21 31.42 1097.1 1.81
220 2.43 68.09 39.95 1540.5 1.89
231 4.02 93.16 52.31 2420.5 1.96
240 6.21 126.29 62.65 3633.3 2
250 9.33 173.61 70.98 5416 2.02
Графики и (0, ¡(г), Вм (г), а также соответствующие им динамические петли магнитного гистерезиса для действующих значений входного напряжения и = 30 В, и = 250 В приведены на рис. 2а, 2б. Спектральные диаграммы тока для тех же действующих значений входного напряжения приведены на рис. 2в.
г,
А
0.005 ■
-0.005
-0.01 ^ -50
В 25
-25
г,
А
0.5-
0 ■
-0.5
-1
и, В
200 0 -200 -400
и и = 30 в У-1-. \
/ * / 0 / ^ А : \ \:гшах V \ я %
/ ' г // Вм // \ \ % \ » У V
7ч
э 0.01 0.02 г, с
и ч и = 250 в
/ / V > ' V / V \ N / I 1 V ' .А ч4 \
Ч / А 1! у Вм ¿1 1 _ ' \
в„, в
'м Тл
м-Тл
0.2 0.2
-0.2 -0.2
-0.4
а)
В,,, в
-0.4
о ВМ шах и = 30 в 7
/ //
/7/
100
-50
м Тл
м Тл
0.01
0.02 г, с
б)
К
I (п) %
2
К
1
3 5 7 9 11 13
I (п)■■ %
40 30 20 10 0
и = 250 В
Ид.
50 Н, А/м
и = 250 В Вм I- к»
-5000 -2500 0 2500 Н, А/м
в)
3 5 7 9 11 13 15 17 19 21
Рис. 2. Временные и спектральные диаграммы, динамические петли гистерезиса
Результаты измерений и расчетов использовались для интерполяции с помощью кубических сплайнов зависимостей Кщ (Нтах) , К1 (Нтах) , ВМшах(Ншах) - рис. 3а, а также искомых функЦий Вмтах(К I ) , К1 (ВМ шах) •
График последней приведен на рис. 3б. На этом же рисунке показан рекомендуемый в [11] участок изгиба кривой намагничивания сердечника 0,7ВМ5 < ВМтах< 0,9ВМ5 для выбора величины ВМтах (индукция насыщения
ВМ5 = 2.02 Тл приведена в табл. 1).
и
0
0
0
0
0
2
1
0
0
1
2
2
4
0
0
п
п
а) б)
Рис. 3. Графики результатов интерполяции
Расчет значения ВМтах, обеспечивающей заданную величину K\ (прямая задача), осуществлялся путем решения нелинейного уравнения
K (Вм тах) - к'1= о.
Для решения обратной задачи использовалось нелинейное уравнение
BM max (KI ) - BM max = 0 .
В табл. 2 приведены результаты решения прямой (первая строка) и обратной задач (вторая и третья строки).
ТАБЛИЦА2
РЕЗУЛЬТАТЫ РЕШЕНИЯ ПРЯМОЙ И ОБРАТНОЙ ЗАДАЧ
K, % ВМ max' Тл Hmax' А/м
10 1.07 276
15.3 0-7Вм* = I-42 458
32 09Вм* = I-82 1128
Результаты расчетов (см табл. 2) показывают, что диапазон выбора магнитной индукции 0,7ВМ5 < ВМтах < 0,9ВМ5 [11] не обеспечивает рекомендуемые значения K7 = 5% [5], [8], K7 = 10% [4] для исследуемого сердечника трансформатора (при частоте входного напряжения f = 40 Гц). Кроме того следует учесть, что подключение нелинейной нагрузки увеличит результирующие величины K по сравнению с приведенными в табл. 2.
IV. Выводы и заключение
Решена задача расчета максимальной индукции ВМтах, обеспечивающей заданное значение K7 суммарного коэффициента гармонических составляющих тока однофазного трансформатора в режиме холостого хода или линейной нагрузки. Представленные результаты могут быть использованы при проектировании трансформаторов.
Список литературы
1. Gouda O. E., Amer G. M., Salem W. A.A. A study of K-factor power transformer characteristics by modeling simulation // ETASR - Engineering, Technology & Applied Science Research. 2011. Vol. 1, no. 5. P. 114-120.
2. Grady M. Understanding power system harmonics // University of Texas, Austin. 2012. URL: https://web.ecs.baylor.edu/faculty/grady/Understanding_Power_System_Harmonics_Grady_April_2012.pdf (дата обращения 20.05.2017).
3. Гендельман Б. М., Кричевский М. Я. Обоснование выбора устройств и параметров для мониторинга, контроля и качества электрической энергии в современной энергетике //Автоматизация в промышленности. 2012. № 11. С. 62-64.
4. Harmonic detection and filtering. 2008. URL: http://www.schneider-electric.com/en/download/-document/DBTP 152GUI_EN/(дата обращения 25.05.2017).
5. Wakileh G. J. Harmonic in power system: their causes, effects and mitigation // Technical report, New Mexico State University. 1993.
6. ГОСТ 32144-2013. Электрическая энергия. Совместимость технических средств электромагнитная. Нормы качества электрической энергии в системах электроснабжения общего назначения. М.: Стандартинформ, 2014. 16 с.
7. 519-2014-IEEE Recommended Practice and Requirements for Harmonic Control in Electric Power Systems, 2014-06-11. DOI: 10.1109/IEEESTD.2014.6826459.
8. C57.12.00-1987-IEEE Standard General Requirements for Liquid-Immersed Distribution, Power, and Regulating Transformers. DOI: 10.1109/ IEEESTD.1988.81002.
9. ГОСТ Р 51317.3.2-2003. Совместимость технических средств электромагнитная. Эмиссия гармонических составляющих тока техническими средствами с потребляемым током не более 16 А (одной фазе). Нормы и методы испытаний. М.: Стандартинформ, 2007. 24 с.
10. Гуревич В. И. Устройства электропитания релейной защиты: проблемы и решения. М.: Инфра-Инженерия, 2013. 288 с.
11. Стародубцев Ю. Н. Теория и расчет трансформаторов малой мощности. М.: ИП РадиоСофт, 2005. 320 с.
12. Grady W. M., Santoso S. Understanding power system harmonics // IEEE Power Engineering Review. 2001. Vol. 21, no. 11. P. 8-11. DOI: 10.1109/MPER.2001.961997.
УДК 621.311
ВТОРАЯ ВАРИАЦИЯ ЭНТРОПИИ КАК АНАЛОГ ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА В СТАТИСТИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В. К. Федоров1, П. В. Рысев1, Д. В. Рысев1, С. Ю. Прусс1, Д. В. Федоров2, В. В. Федянин1
'Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия 2Тюменский индустриальный университет, г. Тюмень, Россия
DOI: 10.25206/2310-9793-2017-5-3-123-127
Аннотация - При вероятностном описании электроэнергетических систем (ЭЭС) важно иметь свой критерий функциональной устойчивости, являющийся аналогом функции Ляпунова при детерминировании описания ЭЭС.
В статье излагается математическое доказательство того, что критерием функциональной устойчивости является, вторая вариация энтропии. Проведено экспериментальное обоснование полученных теоретических результатов.
Ключевые слова: энтропия, функциональная устойчивость, функция Ляпунова, вторая вариация энтропии.
I. Введение
Существование флуктуаций показателей качества функционирования (ПКФ) является следствием того, что ЭЭС состоит из большого числа элементов (генерирующие агрегаты, потребители и т. д.). Когда ЭЭС функционально устойчива, флуктуации ПКФ малы, и они влияют только на усредненное значение статистических шумов. Положение радикально меняется, когда возникает функциональная неустойчивость. Тогда флуктуации ПКФ нарастают и достигают вненормированных значений. Функциональная неустойчивость может приводить к самым различным новым режимам функционирования. Статистический аспект временной эволюции ЭЭС остается существенным, так как характер нового устойчивого состояния зависит от начальной флуктуации ПКФ. Таким образом, временную эволюцию ЭЭС можно понять, пользуясь вероятностными и детерминированными методами одновременно. Поэтому один из аспектов теории функциональной устойчивости ЭЭС, по-
