CC BY
28
3. Гендельман Б. М., Кричевский М. Я. Обоснование выбора устройств и параметров для мониторинга, контроля и качества электрической энергии в современной энергетике //Автоматизация в промышленности. 2012. № 11. С. 62-64.
4. Harmonic detection and filtering. 2008. URL: http://www.schneider-electric.com/en/download/-document/DBTP 152GUI_EN/(дата обращения 25.05.2017).
5. Wakileh G. J. Harmonic in power system: their causes, effects and mitigation // Technical report, New Mexico State University. 1993.
6. ГОСТ 32144-2013. Электрическая энергия. Совместимость технических средств электромагнитная. Нормы качества электрической энергии в системах электроснабжения общего назначения. М.: Стандартинформ, 2014. 16 с.
7. 519-2014-IEEE Recommended Practice and Requirements for Harmonic Control in Electric Power Systems, 2014-06-11. DOI: 10.1109/IEEESTD.2014.6826459.
8. C57.12.00-1987-IEEE Standard General Requirements for Liquid-Immersed Distribution, Power, and Regulating Transformers. DOI: 10.1109/ IEEESTD.1988.81002.
9. ГОСТ Р 51317.3.2-2003. Совместимость технических средств электромагнитная. Эмиссия гармонических составляющих тока техническими средствами с потребляемым током не более 16 А (одной фазе). Нормы и методы испытаний. М.: Стандартинформ, 2007. 24 с.
10. Гуревич В. И. Устройства электропитания релейной защиты: проблемы и решения. М.: Инфра-Инженерия, 2013. 288 с.
11. Стародубцев Ю. Н. Теория и расчет трансформаторов малой мощности. М.: ИП РадиоСофт, 2005. 320 с.
12. Grady W. M., Santoso S. Understanding power system harmonics // IEEE Power Engineering Review. 2001. Vol. 21, no. 11. P. 8-11. DOI: 10.1109/MPER.2001.961997.
УДК 621.311
ВТОРАЯ ВАРИАЦИЯ ЭНТРОПИИ КАК АНАЛОГ ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА В СТАТИСТИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В. К. Федоров1, П. В. Рысев1, Д. В. Рысев1, С. Ю. Прусс1, Д. В. Федоров2, В. В. Федянин1
'Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия 2Тюменский индустриальный университет, г. Тюмень, Россия
DOI: 10.25206/2310-9793-2017-5-3-123-127
Аннотация - При вероятностном описании электроэнергетических систем (ЭЭС) важно иметь свой критерий функциональной устойчивости, являющийся аналогом функции Ляпунова при детерминировании описания ЭЭС.
В статье излагается математическое доказательство того, что критерием функциональной устойчивости является, вторая вариация энтропии. Проведено экспериментальное обоснование полученных теоретических результатов.
Ключевые слова: энтропия, функциональная устойчивость, функция Ляпунова, вторая вариация энтропии.
I. Введение
Существование флуктуаций показателей качества функционирования (ПКФ) является следствием того, что ЭЭС состоит из большого числа элементов (генерирующие агрегаты, потребители и т. д.). Когда ЭЭС функционально устойчива, флуктуации ПКФ малы, и они влияют только на усредненное значение статистических шумов. Положение радикально меняется, когда возникает функциональная неустойчивость. Тогда флуктуации ПКФ нарастают и достигают вненормированных значений. Функциональная неустойчивость может приводить к самым различным новым режимам функционирования. Статистический аспект временной эволюции ЭЭС остается существенным, так как характер нового устойчивого состояния зависит от начальной флуктуации ПКФ. Таким образом, временную эволюцию ЭЭС можно понять, пользуясь вероятностными и детерминированными методами одновременно. Поэтому один из аспектов теории функциональной устойчивости ЭЭС, по-
строенной на использовании понятия «второй вариации энтропии» д2Н ,- это промежуточное положение между вероятностными и детерминированными описаниями.
II. Постановка задачи
В качестве аналога функции Ляпунова применяется вторая вариация энтропии д2Н . Этот выбор оправдан. Вторая вариация энтропии д2Н указывает на нарастание или убывание энтропии и тем самым указывает на функциональную устойчивость или неустойчивость ЭЭС.
Имеется еще одна причина, из которой следует, что теория функциональной устойчивости должна исходить из свойств д2Н . Вторая вариация д2Н энтропии непосредственно связана со стохастической теорией флуктуации. Вероятность P возникновения флуктуаций ПКФ пропорционально отклонению АН энтропии H от максимального значения
Р~ехр( АН ). (1)
В работе [1] выражение (1) использовано для отыскания распределения вероятностей мощностей ЭЭС, содержащей управляемые вентильные преобразователи. Представляя
1 9
АН *дН + -д2Н (2)
2
и учитывая, что для ЭЭС 5Н = 0 , находим
1 ?
Р~ехр(-д2Н ). (3)
Для функциональной устойчивости необходимо, чтобы д2Н <0. Поэтому теорию функциональной устойчивости следует строить на основе функции д2Н как на аналоге функции Ляпунова в том смысле, как она определена в [2].
III. Теория
Предположим, что ЭЭС описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями вида
^ + / (х-.....XХп,, (4)
м
где х = (х1,...,хг,...,хп- отклонения параметров режима от установившихся значений, Т - знак транспонирования, у = (г-,..., г,..., гп, ^ - случайные величины времени типа белых шумов с матрицей спектральных плотностей £ = [^ ], Sik=const, £ - нелинейные характеристики ЭЭС, относительно которых в дальнейшем используются различные предположения, t - текущее время.
Относительно х = (х1,...,х1,...,хппринимается, что это процессы с ограниченной дисперсией D=(D1,..., Di,..., Dn)<M.
Текущая плотность вероятности p(x,t) в пространстве параметров режима x(t) подчиняется уравнению диффузии вероятностей
дР V д ( г \ 1 V 5 2 Р п ^
дР-^дх;(р • ^ 1Щ=0' (5)
г=1 г г,у=1 г ]
причем величины p, р • , -др исчезают на бесконечности, если
дхг
х ^ , то р ^ 0, р • fi ^ 0 , — ^ 0, г = I, п .
дх
Критерий абсолютной функциональной устойчивости
дИ дг„
— = 0 ^ — = 0 (6)
означает: если приращения энтропии Н при изменении параметра Rs не происходит, иначе говоря, если корреляционный момент г^ между 1-м и _|-м параметрами режима как функция Rs имеет локальный минимум или вообще не зависит от Я^, то ЭЭС абсолютно функционально устойчива по Rs, , = Г, т.
От реально существующих ЭЭС трудно ожидать точного выполнения критерия абсолютной устойчивости. Наиболее целесообразным критерием функциональной устойчивости представляется такой, выполнение которого обеспечит функционирование ЭЭС с максимальной энтропией Н ^ Нтах и минимальной скоростью изме-
7/ Ш т/
нения энтропии V =--> Утп.
Л
Условие Н ^ Нтах с необходимостью приводит к первому критерию функциональной устойчивости: вторая
82Н < 0. (7)
вариация энтропии 82И меньше нуля, т.е.
СИ
Условие--> Ут\п совместно с 8 2 И <0 приводит ко второму критерию функциональной устойчивости:
Л
скорость изменения во времени ^ 82И )/& больше нуля или равна нулю в предельном случае
|(82И)> 0 . (8)
Переход между функциональной устойчивостью и функциональной неустойчивостью связан с нарушением неравенства ^(р2И)> 0 для критического ПКФ и связанного с ним значения параметра ЭЭС. Вне предела
допустимых значений параметра неравенство И)> 0 не выполняется, флуктуации растут.
Функциональная устойчивость ЭЭС будет находиться под угрозой, как только появятся процессы, вносящие
д 2
отрицательный вклад в избыток продукции энтропии, то есть пока — (8 И) < 0 . В терминах теории флуктуа-
д/
ций механизм функциональной неустойчивости такой: если начать с 8 2 И <0 около некоторого исходного состояния, то ЭЭС будет всегда стремиться к наиболее вероятному состоянию, пока —(82И)> 0. При
д
- (д ~ И) < 0 возможность достиже]
д 2
Якр пространства параметров ЭЭС — (8 И) может стать отрицательной. Функциональная устойчивость нару-
д/
шается, и ЭЭС переходит в новое состояние.
Предположим, что после некоторого начального возмущения ЭЭС эволюционирует от произвольного распределения вероятностей р(хД) к стационарному (асимптотическому) распределению вероятностей рш (х). Опираясь на определение энтропии, получаем
— (82 И )< 0 возможность достижения наиболее вероятного состояния уменьшается, а затем в некоторой точке
И = -| р(х, /)1п Р(х *) Сх. (9)
рш ( х)
С помощью методов вариационного исчисления находят первую <Ш и вторую 8 2И вариации энтропии Н [3]
8И ч
1п ^ + Г
Рш (х)
Рх (X, /) - ^^ Ршх (X, /)
Рш (х)
Сх, 10)
Г2„ 1 г( 1 , Р(х,/) 2
д2 Н = —
2 р( х, /) р2( х) рш (х) 2 - р2( х) • р( х, г) .
ёх =
(11)
Вторая вариация энтропии получается в виде знакоопределенной квадратичной формы.
:(д2 Н)
д / \ д Для определения функционала —(д Н) используется возможность перестановочности операций —ид2.
дг
Скорость изменения энтропии [4]
дН _ г
дг ~ -
др(х, р(х, г) 1 др( х, г)
дг
Р (х) дг
ёх.
др
Подставляя в выражение (12) — из уравнения (5) и интегрируя по частям, получаем
дг
дг
(12)
дН
|... x,г)дх:...
. ' дх,
-о г г
дх„ +
+ — 2
1X ^ -... - р( X, г)
д 1пр(х,г) д 1пр(х,г)
дх
дх
дх1...дхп
(13)
Применяя к выражению (13) операцию 5 2,получаем
^ др(х, г) др(х, г)^
дг
= Х ^ •М
дх дх
дх1...дхп =
> У
р 4( х, г)
др(х, г) др(х, г)
дх дх
др(х, г) др(х, г)
дх дх
V г У У
р( х, г )дх1...дхп =
(14)
где M - операция математического ожидания.
При отклонениях параметров режима x(t), имеющих ограниченные дисперсии, решение р(х, уравнения диффузии вероятностей (5) обладает дН ^ 0 , д2Н <0, — (д2Н) > 0 тогда, когда оно является гауссовым рас-
дг
пределением вероятностей
где Л, D - константы.
р(х, г) ^ рш (х) = А ехэ (- —),
IV. Результаты экспериментов
(15)
Трудно разграничить явление возникновения устойчивых предельных циклов и явления возникновения хаотических аттракторов (фазовых портретов), проистекающих из-за наличия глобальной хаотической динамики ЭЭС и связанных с ней глобальных хаотических режимов.
Идентифицировано существование хаотических режимов в ЭЭС как дополнительного рабочего состояния ЭЭС даже тогда, когда существуют точки устойчивого равновесия. Хаотический режим может завершиться внезапной потерей устойчивости синхронных генераторов ЭЭС и, следовательно, ЭЭС в целом.
2
о
о
2
Рис.1. Трехмерное изображение фазового портрета второй вариации энтропии для переходной хаотической траектории в системе координат (8H, 82 H, t) при начальных условиях (0.4, 0.0, 0.4, 0.0, 0.3, 0.0)
V. Обсуждение результатов
Если ЭЭС адекватно описывается уравнениями (4), (5) и действующие ограничения на отклонения параметров режима таковы, что приводят p(x, t) ^ рш (x) к гауссовскому или близким к нему распределению вероятностей, то такие ЭЭС функционально устойчивы (асимптотически устойчивы). В противном случае есть большая вероятность возникновения в ЭЭС функциональной неустойчивости.
Таким образом, начинает выясняться роль стохастического элемента (энтропия состояния Н, вторая вариация энтропии 8 2 H , класс распределений вероятностей p( x, t)) в анализе функциональной устойчивости ЭЭС. Кроме детерминированных (каузальных) уравнений состояния необходимо знать класс распределений вероятностей параметров режима, при которых ЭЭС остается функционально устойчивой или, наоборот, становится функционально неустойчивой.
VI. Выводы и заключение
Принадлежность к тому или иному классу распределения вероятностей параметров режима будет определять последующую эволюцию ЭЭС, отбирая одну «траекторию движения» из некоторого множества потенциально возможных «траекторий».
Использование свойств второй вариации Н позволило получить критерии функциональной устойчивости стохастических ЭЭС и определить класс распределения вероятности параметров режима, при котором ЭЭС обладает функциональной устойчивостью.
Список литературы
1. Федоров В. К. Статистический анализ функциональной устойчивости изолированных электроэнергетических систем // Изв. вузов СССР. Энергетика. 1987. № 4. С. 3-8.
2. Федоров В. К. Случайность и детерминированность в теории функциональной устойчивости электроэнергетических систем // Изв. вузов СССР. Энергетика. 1990. № 12. С. 8-14.
3. Xue D. Conservation-dissipation structure of linear stochastic systems // 2016 IEEE 55th Conference on Decision and Control (CDC). С. 5980-5985. DOI: 10.1109/CDC.2016.7799187.
4. Kim K. D., Kumar P. R. Cyber-physical systems: A perspective at the centennial // Proceedings of the IEEE. Vol. 100. Is.: Special Centennial Issue, May 2012. DOI: 10.1109/JPR0C.2012.2189792.
