Одна дискретная модель оптимизации рекламной стратегии Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК: 519.863 MSC2010: 49L20

ОДНА ДИСКРЕТНАЯ МОДЕЛЬ ОПТИМИЗАЦИИ РЕКЛАМНОЙ СТРАТЕГИИ

© В. М. Адуков, Н. В. Адукова, К. Н. Кудрявцев

Южно-Урдльский государственный университет факультет математики, механики и компьютерных наук просп. Ленина, 76, Челябинск, 454080, Российская Федерация e-mail: kudrkn@gmail.com

One discrete model of optimal advertising strategy.

Adukov V. M., Adukova N. V., Kudryavtsev K. N.

Abstract. A discrete model of optimal advertising for a monopolist-seller of a new goods is proposed. In the model, the dynamics given by a nonlinear difference equation. The non-linearity depends on a parameter a, 0 < a < 1, i.e. a continuous family of the models are considered. If a = 1/2, a discrete version of the well-known model of S.P. Sethi is obtained. The seller's objective is to maximize its profit up to the finite horizont T by the optimal advertising expenditure. This problem is a discrete multi-step optimal control problem, where advertising expenditure is a control variable. The Bellman method of dynaming programming is used to solve the problem. Explicit recurrence relations for the optimal control and the market share up to the step t, t = 1,... ,T, are obtained under the assumption that the difference equation of the model has a solution. Sufficient conditions on the parameters of the model guaranteeing existence of a solution are found. The proposed algorothm is implemented as the procedure OptimalAdvertising in the package Maple. Numerical experiments with the procedure were carried out.

Key words: advertising, competition, optimal control, discrete model, dynamical programming.

Введение

Во многих отраслях экономики компании конкурируют за долю рынка, в основном, за счет рекламы. Одна из первых моделей, описывающих влияние уровня рекламы на занимаемую фирмой долю рынка, была предложена в 1957 г. Видалем и Вольфом в [1]. В ней зависимость между объемом продаж s(t) и затратами на рекламу u(t) в момент времени t задается дифференциальным уравнением

S(t) = yu(t)[m - s(t)] - 8s(t), s(t0) = s0, (1)

где m - максимальный объем продаж, параметр y характеризует эффективность рекламы, а 8 - скорость, с которой потребитель «забывает» продукт.

Другая «классическая» модель была предложена Сети в 1983 г. в статье [2]. Здесь изменение динамики доли рынка x(t) задается уже нелинейным дифференциальным уравнением

x(t) = pu(t)\/1 — x(t) — 8x(t), x(t0) = x0. (2)

Зоргер в 1989 г. в [3], объединив модель Сети с ланчестерской моделью, построил модель рекламной конкуренции в дуополии.

Заметим, что как указанные, так и большое число последующих работ, использовали непрерывные модели. Дискретные постановки авторы обнаружили лишь в [4, 5] и [6]. Вместе с тем, сам характер финансирования и проведения рекламных акций часто подразумевает дискретный характер задачи.

В настоящей работе предлагается дискретная динамическая модель, включающая в себя, как частные случаи, дискретные аналоги моделей Видаля-Вольфа (1) и Сети (2). Заметим, что эта модель отвечает всем «желаемым» свойствам [7]. А именно, доля рынка имеет вогнутый отклик на рекламу и уровень насыщения.

1. МОДЕЛЬ

Рассмотрим задачу определения оптимального объема рекламных расходов компании, реализующей уникальный продукт и не имеющей конкурентов на рынке. Мы будем пользоваться динамической моделью в дискретном времени, ввиду дискретного характера принятия решения.

Пусть t = 1,... , T - моменты времени, когда принимались решения (шаги динамического процесса); T - число моментов принятия решения; X(t) - доля рынка, принадлежащая компании в момент времени t (X (t) Е [0,1]); X0 - доля рынка в начальный момент времени; u(t) - расходы на рекламу в момент времени t; 8 - коэффициент, показывающий на сколько снижается доля рынка при отсутствии рекламы, 8 Е [0; 1]; р - параметр эффективности рекламы, а Е (0,1) - параметр нелинейности задачи.

Мы будем исследовать обобщение дискретного аналога непрерывной модели из [2], [8]. В изучаемой нами модели X (t) определяется из разностного уравнения:

X(t +1) = (1 — 8)X(t)+ pu(t)[1 — X(t)]1-CT, t Е [0; T), X(0) = Xo. (3)

Предполагается, что параметры 8, p, а и управление u(t) таковы, что X(t) Е [0,1] на каждом шаге t.

Выбор дополнительного слагаемого в форме pu(t)[1 — X(t)]1-CT объясняется также, как и в модели Сети. С одной стороны, рекламные усилия (то есть управление u(t)) должны действовать на не проданную порцию товара (то есть на долю рынка

1 — X(£)). С другой стороны, разность между нелинейным слагаемым [1 — X(¿)р ° и линейным 1 — X(¿) представляется в виде

[1 — X (£)]1-' — [1 — X (£)] = аХ (£)[1 — X (£)] + X 2(£) + ...

и при достаточно малых X(¿) пропорциональна X(¿)[1 — X(£)]. Таким образом, как и в работе [2], можно считать, что

ри(£)[1 — X(¿)]1-ст « ри(£) (1 — X(£)) + ари^(£) (1 — X(£)).

Слагаемое ари(£^(¿) (1 — X(¿)), зависящее и от проданной порции товара X(¿), и от еще нереализованной порции 1—X(¿), можно объяснить как дополнительный фактор, создающий позитивный эффект рекламы за счет процесса устной коммуникации.

Расходы на рекламу и(£) рассматриваются как управление данной динамической системой. Вся последовательность управления представляет собой вектор

и = (и(0),и(1),...,и(Т — 1)).

Управление и(£) используется для того, чтобы найти оптимальный объем рекламных расходов для достижения максимального размера прибыли к моменту времени £ = Т. В нашей модели этот размер прибыли задается формулой:

= -X (Т) Т-1 -X (к) — си1/ст (к) = (ТГт^ + ¡^ 0 + . ()

Здесь т - коэффициент перевода объема рынка в его денежный эквивалент, г - коэффициент дисконтирования на начальный момент времени, с - параметр, характеризующий стоимость рекламы. В дальнейшем без ограничения общности мы можем считать, что с =1, проведя в функционале 3 соответствующее масштабирование. Расходы на рекламу учитываются в функционале 3 в виде слагаемого Т- си1/ст (к)

(1 + г) к=0 ^ '

-. Нелинейный характер стоимости рекламы применяется для того, что-

к=0

бы учесть убывающую отдачу (0 < а < 1) маркетинговых усилий на прибыль фирмы. Наиболее часто в литературе встречается (например, [9, 10]) квадратичная структура стоимости рекламы и2(к). В нашей модели рассматривается более общая ситуация, когда параметр нелинейности 1/а может меняться от 1 до то. Важным аргументом в пользу такого выбора нелинейности является тот факт, что в этом случае задача может быть решена аналитически.

Эквивалентным подходом может быть перенос нелинейности (в «обратной» степени) в динамическое уравнение и учет рекламных расходов линейно — в целевой функции (например, [3] и [5]). Подробное обсуждение этих вопросов в [11].

2. Построение оптимлльного управления

В этом разделе, используя подходящую модификацию метода динамического программирования Беллмана из [12], мы получим рекуррентную формулу для оптимального управления. Итак, будем строить Т + 1 функцию Беллмана

V(0)(Х(0)), V(1)(Х(1)),..., ИТ)(Х(Т))

и последовательность оптимальных управлений и* = (и*(0),и*(1),... , и*(Т — 1)).

Решение задачи осуществляется в обратном порядке, начиная с конечного шага Т. Функция Беллмана на шаге Т имеет вид:

^(Х(Т)) = та* ^-''Г(Т' = .

и(Т)^ (1 + г)Т (1 + г)Т

поскольку управление и(Т) на этом шаге отсутствует. Напомним, что мы считаем с = 1. Для того, чтобы получить в дальнейшем единую рекуррентную формулу, запишем V(Т)(Х(Т)) в виде:

V (Т)(Х (Т)) = (^Т [атХ (Т) + вТ].

где ат = 1, вт = 0.

Функция Беллмана на шаге к определяется следующим образом:

- и1/ст (

^к)(Х(к))= тах W(к,Х(к),и(к))= та* [(к) '! "(к) + ^ ^ " и(к)^0 К ^ ^ " и(к)^01 (1 + г)к

где к пробегает последовательно все значения от Т — 1 до 0. Это определение означа-ет,что мы оптимизируем расходы на рекламу на к-м шаге, учитывая полученный к этому шагу объем продаж X(к). Значение и(к) = и*(к), на котором достигается максимум функции W(к,Х(к),и(к)), и есть искомое оптимальное управление на шаге к. Ясно, что значение V(0)(Х(0)) и есть максимальное значение целевой функции.

Основным результатом работы является следующие две теоремы, которые показывает, что решение оптимизационной задачи может быть построено явно с помощью рекуррентных соотношений.

Теорема 1. Если параметры т, р, г, а модели таковы, что решение оптимизационной задачи существует, то последовательность функций Беллмана и последовательность оптимальных управлений строятся по рекуррентным формулам

V(к)(Х(к)) = (Т+Г)Т [«кX(к) + вк], (5)

а

( таРак+1 ^ Т-а г „ п„а ( ,

и (к)= 1^ + г)т+-к) [1 — Х(к)] , (6)

где

а* = «к+1

(1 — 5) — (1 — а)р

тарак+1

(1 + г)

Т—к

+ (1 + г)

Т—к

вк = вк+1 + (1 — а)р

тарак+1

(1 + г)

Тк

а 1-а

и аТ = 1,вТ = 0. Здесь X(к) находится из следующего линейного разностного уравнения, полученного из (3) при и(к) = и*(к):

X (к + 1)

1 — 5 — р

тарак+1

(1 + г)

Тк

X (к) + р

тарак+1

(1 + г)

Тк

(9)

а

1-а

а

а

1-а

1а

Доказательство. Докажем теорему методом математической индукции. Для проверки базы индукции найдем функцию Беллмана на Т — 1 шаге. Эта функция находится из равенства:

V^^(Т — 1))= тах W(Т-1) = тах [^(Т ~ 1) ~ ^(Т — 1) + ИТ)

м(Т-1)^0 и(Т-1)^0

(1 + г)

После подстановки X(Т) из рекуррентного уравнения (3) в V(Т), получаем

— 1) — и1/ст (1 + г)Т-1

W(т-l) = -X (Т — 1) — и1/- (Т — 1) +

+ ОГ^Т ((1 — ^(Т — 1) + ри(Т — 1)[1 — X(Т — 1)]1-)

Легко проверить, что максимум функции W(Т-1) по переменной и(Т — 1) достигается при управлении

а 1 -а

и*(Т—1) = ((1+0); [1—X(Т—1)]ст,

что соответствует формуле (6) при к = Т — 1.

Подставляя найденное на шаге Т — 1 оптимальное управление и*(Т — 1) в W(Т -1), получаем функцию Беллмана V(Т-1)^ (Т — 1)):

V(Т -1)(X (Т — 1)) =

а а ~

((1 + г) + (1 — 5) — р(1 — *)(-*) ") X (Т — 1) + р ( -р) 1-а .

т (1 + г)Т

Обозначим

а а

ат-1=(1—¿)—р(1—а) (тог)Т-а+(1+г), вт-1=р(1—а^т+а^)т-а.

Таким образом функцию Беллмана на шаге Т — 1 можно записать в виде:

V(т-1)(Х(Т — 1)) = [ат-1Х(Т — 1) + вт- ,

(1 + г)т I J

где ат-1, вт-1 находятся по формулам (7) и (8) при к = Т — 1. База индукции проверена.

Сделаем индукционное предположение. Пусть на шаге к + 1 была получена функция Беллмана

V(к+1)(Х(к + 1)) = +г)т [ак+1Х(к + 1) + вк+1]. Найдем функцию Беллмана V(к) (Х(к)) = тахи(к)^0 W(к) на шаге к. Здесь

W(к) = тХ (к) — (к) + V (к+1)(Х (к + 1)) = (1 + г)к ^ ^ "

тХ (к) — и1/ст (к) т г _ ]

=-\1)+г)к ( ) + (^т [ак+1Х(к + 1) + вк+1].

Стационарная точка функции W(к) по переменной и(к) есть

а 1-а

* / тарак+1 . г и (к)= 1^ + г)Г-к^ [1 — Х(к)] .

Поскольку

(»'(к'))" = — и(к) < 0,

то в точке и * (к) достигается максимум функции W(к). Таким образом, мы доказали, что оптимальное позиционное управление и * (к) находится по формуле (6).

Теперь можно найти функцию Беллмана V(к) (Х(к)) = W(к) |и(к)=и*(к) на к-м шаге:

V(к) (Х (к)) = т

(1 + r)

т

(1 - 8)afc+1 - (1 - a)pafc+1 ( 1-а + (1 + r)T-k

+ вк+i +

X (k) mapafc+i

(1 + г)т-к Таким образом,

V(к)(Х(к)) = (^г)т [акХ(к)+ вк],

а 1-а

где ак, находятся по формулам (7) и (8). □

Укажем теперь некоторые достаточные условия на параметры модели, которые гарантируют существование оптимального решения. Нам понадобится следующая

Лемма 1. Пусть последовательность {ак}т=0 определена рекуррентным соотношением

a = «fc+i

(1 - 5) - (1 - a)p ' mapafc+1

а 1-а

+ (1 + r)T -k, ат =1.

(1 + r)T-fc

Если выполнено неравенство

map 1 < r + 5, (10)

а 1-а

то числа = р ( 7—> , ^ = 0, 1 Т, удовлетворяют неравенствам \(1 + г)т -к+1у

Ьк < 1. (11)

Доказательство. Из определения следует, что неравенства (11) равносильны

(1 + г)т-к+1

«к <-1-.

тар *

"гт Г 1 "гт (1+г)Т — к

При к = Т неравенство, очевидно, выполнено, т.к. 8 Е [0,1]. Пусть < --.

Тогда из рекуррентного соотношения для а и неравенства (10) получаем

1

map а

(1 + Г)Т-fc Г 1 1 (1 + Г)Т-k+1

a <afc+i(1 - 5) + (1 + r)T-k < ( + ) 1 1 - 5 + map а + )

тар <

<

map а

□

Теорема 2. Если выполнено условие (10), то решение, построенное в теореме 1 по формулам (5) — (9), существует.

Доказательство. Ясно, что нам нужно лишь доказать, что решение X(к) линейного разностного уравнения (9) удовлетворяет условию X(к) Е [0,1]. Перепишем это уравнение в виде

X (к + 1) = X (к)(1 — 8) + [1 — X (к)]Ьк, (12)

тарак

а 1 —а

где = ^ (1 + Г)Т-к+1

По лемме 1 числа Е [0,1]. Таким образом, 1 — 8 и Е [0,1]. При к = 0 начальное значение X0 Е [0,1]. Поэтому X(1) = X(0)(1—8) + [1—X(0)]Ь0 также принадлежит отрезку [0,1], как выпуклая комбинация точек 1 — 8 и Ь0.

Предположим, что X(к) Е [0,1]. Из уравнения (12) тогда следует, что X(к + 1 как как выпуклая комбинация точек 1 - 8, b0 принадлежит [0,1]. Теорема доказана индукцией по к. □

Итак, мы получили рекуррентную последовательность оптимальных управлений

u* = (u* (0),u* (1),...,u* (T - 1))

и последовательность функций Беллмана

V(0)(X(0)), V(1)(X(1)),..., V(T)(X(T)).

При этом максимум функционала (4) совпадает со значением функции Беллмана V(0)(X (0)), то есть

max J(u) = V(0)(X(0)).

u

3. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Теоремы 1 и 2 позволяют предложить следующий алгоритм решения задачи нахождения оптимальных расходов на рекламу.

Algorithm Optimal Advertising

Input: T E N - число моментов принятия решений; X0 Е [0,1] - доля рынка компании в начальный момент времени; 8 Е [0,1] - коэффициент снижения доли рынка при отсутствии рекламы; m - коэффициент перевода объема рынка в денежный эквивалент; р - параметр эффективности рекламы; r - коэффициент дисконтирования; о Е (0,1) - параметр «нелинейности» модели.

Output: u * = (u *(0),u *(1),...,u *(T - 1)) - последовательность оптимальных управлений (расходов на рекламу); V(0)(X(0)), V(1)(X(1)),... , V(T)(X(T)) - последовательность функций Беллмана ( V(0)(X(0)) - максимальный размер прибыли, достигнутый к шагу k = T); X(к) - доля рынка, занимаемая на шаге к (к = 1, 2,..., T).

Step 1. Initialization.

Setting of initial values of the input parameters.

Step 2. Verification of X0, 8, о. If X0 E [0,1], or 8 E [0,1], or о E (0,1) then STOP.

Step 3. Verification of the sufficient condition. If test := 1 >1 then

STOP.

Step 3. Finding , вк.

The coefficients , вк is defined by formulas (7), (8) with the initial values aT = 1,

вт = 0.

Step 3. Finding X(к).

The fraction of the total market X(k) is found from linear difference equation (9) by the initial value X (0) = X0. Step 4. Finding V(k), u*.

The Bellman functions Vand the optimal control u*(k) is found by formulas (5), (6).

Step 5. End of the algorithm.

Предлагаемый алгоритм был реализован в виде процедуры OptimalAdvertising в системе Maple. При обращении к процедуре задаются параметры: T, X0 := X0, 5, m, p, г, a. Процедура возвращает вектора U, V, X и строит графики pointU, pointX.

Рассмотрим примеры использования этой процедуры для решения модельных примеров.

Пример 1. Приведем пример обращения к процедуре.

> restart; with(plots):

> T := 24; X0:=0.5; delta:=0.2; m:=0.6; rho:=0.5; r:=0.1; sigma:=0.8;

> OptimalAdvertising(T,X0,delta,m,rho,r,sigma); the total advertising effors=3.565690

the value of the profit functional=1.459383

the maximal value of the profit functional=1.479754

>display({pointU, polygU}); display({pointX, pointY, polygX, polygY});

Процедура возвращает оптимальное управление U, последовательность функций Беллмана V и долю рынка X на каждом шаге динамического процесса. Кроме того, найдена общая сумма рекламных затрат sumU = 3.565690. Для сравнения, кроме графика доли рынка при оптимальных расходах (графики pointX, polygX) построен также график доли рынка при равномерном распределении затрат на рекламу на каждом шаге (графики pointY, polygY).

На рисунках приведены графики, полученные начальной доле рынка X(0) = 0.3 и значениях параметров T = 24 5 = 0.2, m = 0.6, p = 0.5, r = 0.1 и различных значениях а. Так рисунок 1 получен при значении a = 0.9, рисунок 2 при a = 0.5, а рисунок 3 при a = 0.1. Анализируя эти случаи, можно заметить, что чем больше значения a, тем меньше значения оптимальных управлений (то есть средств, вкладываемых в рекламу). Соответственно, ниже и доля рынка, контролируемого компанией.

Кроме того, можно заметить, что (при рассмотренной начальной доле рынка в 30%) оптимальные расходы на рекламу в первый период максимальны, что можно трактовать как «массированную» рекламную компанию с целью подъема объема продаж. Затем они снижаются до некоторого «среднего уровня», на котором стабилизируются, и в последние периоды снижаются до нуля.

The optimal advertising efforts

The fraction of the total market X(k)

jo-

/ t / \ \ \ \ \

\ 1 \ ■■ \ \ \

\ k

\

................n

i 10 15

the planning honsont

10 13

the planning honzont

20

Рис. 1. Случай a = 0.9

The optimal advertising efforts The fraction of the total market X(k)

the planning horizont the planning horizont

Рис. 2. Случай a = 0.5

Заключение

В работе предложена дискретная модель оптимального планирования рекламной стратегии, частными случаями которой являются дискретные аналоги «классических» моделей оптимизации управления рекламой. Так при а = 0.5 получается модель Сети из [2], а при а = 0 — модель Видаля-Вольфа [1]. Видимо, для разных рынков надо использовать различные значения параметра а. Точный подбор

Рис. 3. Случай a = 0.1

подходящих параметров для конкретного рынка возможен при обработке достаточного количества статистических данных. В данной же статье цели моделирования какого-либо определенного рынка не ставилось. Однако предлагаемый алгоритм может быть легко применен для построения оптимальной рекламной стратегии и на реально действующих рынках.

Развитием работы может служить дискретная модель управления рекламой на конкурентном рынке - игровая постановка задачи. Попытка построить такую модель (в аналоге игры Зоргера [3]) была предпринята в [13]. Еще одним направлением будущих исследований является учет в модели неопределенностей, например, следуя предложенным В.И. Жуковским в [14] и [15] подходам.

Список ЛИТЕРАТУРЫ

1. VIDALE, M.L. & WOLFE, H.B. (1957) An Operations-Research Study of Sales Response to Advertising. Operations Research. 5 (3). p. 370-381.

2. SHETI, S.P. (1983) Deterministic and stochastic optimization of dynamic advertising model. Optimal Control Applications and Methods. 4 (2). p. 179-184.

3. SORGER, G. (1989) Competitive Dynamic Advertising: A modification of the Case game. Journal of Economics Dynamics and Control. 13. p. 55-80.

4. Грачева, С.С., Першин, М.А. Дискретная задача оптимизации рекламной политики компании в случае линейной модели динамики спроса // Управление экономическими системами. — 2013. — Т. 3. — №51. — C. 26.

GRACHEVA, S.S. & PERSHIN, M.A. (2013) Optimal advertising expenditures of a monopolist with an only good in discrete linear model. Management of Economics Systems. 3 (51). p. 26.

5. Грачева, С.С. Оптимизация рекламной стратегии компании для случая нелинейной функции спроса // Вестник Самарского государственного университета. — 2014. — №2(113). — C. 180185.

GRACHEVA, S.S. (2014) Optimization of advertising strategy of a company in case of non-linear function of demand. Vestnik of Samara State University. 2 (113). p. 180-185.

6. CHIARELLA, C. & SZIDAROVSZKY, F. (2008) Discrete dynamic oligopolies with intertemporal demand interactions. Mathematica Pannonica. 19 (1). p. 107-115.

7. LITTLE, J.D.C. (1979) Aggregate Advertising Models: The State of the Art. Operations Research. 27 (4). p. 629-667.

8. SETHI, S.P., PRASAD, A. & He, X. (2008) Optimal advertising and pricing in a new-product adoption model. J. Optim. Theory Appl.. 139 (2). p. 351-360.

9. SLADE, M. (1995) Product Rivalry with Multiple Strategic Weapons: An Analysis of Price and Advertising Competition. Journal of Economics and Management Strategy. 4 (3). p. 445-476.

10. ERICKSON, G.M. (1995) Advertising Strategies in a Dynamic Oligopoly. Journal of Marketing Research. 32 (2). p. 233-237.

11. SETHI, S.P. & THOMPSON, G.L. (2000) Optimal Control Theory: Applications to Management Science and Economics. 2nd ed. New York: Springer.

12. Жуковский, В.И. Уравновешивание конфликтов и приложения / В.И. Жуковский, К.Н.Кудрявцев. — M.: URSS, ЛЕНАНД, 2012. — 304 c.

ZHUKOVSKII, V. and KUDRYAVTSEV, K. (2012) Balancing of conflicts and application. Moscow: URSS.

13. Кудрявцев, К.Н., Мешков, В.М. Об одной модели планирования рекламного бюджета в дуополии // Системы компьютерной математики и их приложения. — 2014. — Т. 15. — C. 173-175. KUDRYAVTSEV, K.N. & MESHKOV, V.M. (2014) About one Model of planning Advertising Strategies in a Duopoly. Computer Mathematics System and applications. 15. p. 173-175.

14. Жуковский, В.И., Кудрявцев, К.Н. Уравновешивание конфликтов при неопределенности. I. Аналог седловой точки // Математическая теория игр и ее приложения. — 2013. — Т. 5. — № 1. — C. 27-44.

ZHUKOVSKIY, V.I. & KUDRYAVTSEV, K.N. (2014) Balancing of conflicts under uncertainty. I. Analogue of saddle point. Mathematical game theory and applications. 5 (1). p. 27-44.

15. Жуковский, В.И., Кудрявцев, К.Н. Уравновешивание конфликтов при неопределенности. II. Аналог максимина // Математическая теория игр и ее приложения. — 2013. — Т. 5. — № 2. — C. 3-45.

ZHUKOVSKIY, V.I. & KUDRYAVTSEV, K.N. (2014) Balancing of conflicts under uncertainty. I. Analogue of maximin. Mathematical game theory and applications. 5 (2). p. 3-45.

Статья поступила в редакцию 08.06.2015