ODDIY DIFFERENSIAL TENGLAMALARNI AMALIY DASTURLAR PAKETIDA YECHISH Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2223-4047

BecmnuK Maeucmpamypu. 2022. № 5-1 (128)

#

H 3 H K

o

-MÄTEMÄTHHECKHE HÄYKH

M.Sh. Muxsinova

ODDIY DIFFERENSIAL TENGLAMALARNI AMALIY DASTURLAR

PAKETIDA YECHISH

Maqolada oddiy differensial tenglamalarni amaliy dasturlar paketida yechish haqida ma 'lumot berilgan.

Kalit so'zlar: axborot, kompyuter, matematik tizim, oddiy differensial tenglama, MathCAD, Eureka, MatLAB, Maple, Mathematica.

Zamonaviy AKT muhitida matematik fanlarni o'qitish, matematik metodlarni

amaliyotda qo'llash hozirgi paytda keng tarqalgan kompyuterli matematik tizimlar (MathCAD, Eureka, MatLAB, Maple, Mathematica) ning funksional imkoniyatlariga tayanadi.

Kompyuterli matematik tizimlarda hisoblashlar prinsipial turli xil bo'lgan yondashuvlar amalga oshiriladi. An'anaviy sonli usullar yuqori yoki past tartibli aniqliklarga ega bo'lganturli algoritmlardan foydalanishga asoslangan. Ikkinchisi, bir necha marotaba murakkab bo'lgan simvolli yoki analitik hisoblashlarga asoslangan. Simvolli hisoblashlar absolyut aniq metodlar bo' lib (bunda yaxlitlash xatoligi yo'q), bunda kompyuter ifoda ustida hozirgacha ma'lum va taniqli bo' lgan qoidalarga tayanadi. Biroq, juda kam sondagi masallarning analitik yechim-lari mavjud. Bu avvalambor asosida qat'iy formulalar, algoritmlar (differensiallash, integrallash, tenglama ildizla-rini hisoblash, ko'paytuvchilarga ajratish, yelementar kasrlarga ajratish, qatorga yoyish yoki limitni hisoblash va boshqalar) yotgan masaladir.

Maple da ODT (oddiy differensial tenglamalar) ni analitik usulda yechish uchun dsolve (eq,var,options) komandasi ishlatiladi, bu yerda eq-tenglama, var-no'malum funksiya, options-parametrlar. Parametrlar ODT ni yechish usulini ko'rsatishi mumkin, masalan, sukut saqlash prinsipiga asosan, analitik yechim olish uchun type=exact parametri beriladi. ODT da hrsilani berish uchun diff komandasi ishlatiladi. Masalan, y" —y' = x tenglamasi diff(y(x),x$2)+y(x)=x ko'rinishda yoziladi. ODT ning umumiy yechimi o'zgarmas sonlarni o'z ichiga oladi, masalan, yuqoridagi tenglama ikkita o'zgarmasni o'z ichiga oladi. O'zgarmaslar Maple da _C1, _C2 ko'rin-ishda belgilanadi.

Ma'lumki, chiziqli ODT bir jinsli (o'ng tomon 0) va bir jinsli bo'lmagan (o'ng tomon 0 emas) ko'rinishda bo'ladi. Bir jinsli bo'lmagan tenglama yechimi mos bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi va bir jinsli bo'lmagan tenglamaning xususiy yechimlari yig'indisidan iborat bo'ladi. Maple da ODT ning yechimi ana shunday ko'rinishda chiqariladi, ya'ni o'zgarmaslarni o'z ichiga olgan qism bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi bo'ladi, va o'zgarmas son ishtirok etmagan qismi bir jinsli bo'lmagan tenglamaning xususiy yechimi bo'ladi.

Yechim bilan kelajakda ishlash uchun, masalan grafik chizish uchun, uning o'ng tomonini rhs (%) komanda bilan ajratish kerak.

Misollar. 1. y + y cos x = sin x cos x tenglama yechilsin.

> restart;

> de: =diff(y(x), x) +y(x)*cos(x)=sin(x)*cos(x);

© M.Sh. Muxsinova, 2022.

ISSN 2223-4047

Вестник магистратуры. 2022. № 5-1 (128)

Dsolve komandasi yordamida LN sistemasini ham yechish mumkin. Buning uchun uni dsolve({sys},{x(t),y(t),...}), ko'rinishda yozib olish kerak, sys-ODT lar sistemasi, x(t), y(t) ,...-no'malum funksiyalar sistemasi.

dsolve komandasi ODT ning bazis yechimlar sistemasini ham topishda ishlatiladi. Uning uchun para-metrlar bo'limida output=basis deb ko'rsatish kerak.

Masalan, y4 + 2у' + у = 0 ODT ning bazis yechimlar sistemasini topaylik.

> de:=diff(y(x),x$4)+2*diff(y(x),x$2)+y(x)=0;

?д4 \ d2 XXde := дау(х)) +2 +у(х) =0

> dsolve(de, y(x), output=basis); \\[cos(x), sin(x), xcos(x), xsin(x)]

dsolve komandasi ODT ni taqribiy yechish uchun ham ishlatiladi, faqatgina parametrlar safida type=numeric deb ko'rsatish kerak, undan tashqari options bo'limida sonli usullar turini ham ko'rsatish kerak: dsolve(eq, vars, type=numeric, options). Quyidagi sonli usullar ishlatilishi mum-kin:

method=rkf45- 4-5-tartibli Runge-Kutta usuli, method=dverk78-,7-8-tartibli Runge-Kutta usuli, mtthod=classical-,3-4-tartibli klassik Runge-Kutta usuli, method=gear- Girning bir qadamli usuli, method=mgear- Girning ko'p qadamli usuli.

ODT ning yechimini grafik usulda yechish uchun odeplot (dd, [x,y(x)], x=x1..x2), komandasi ishlatiladi, bu yerda dd:=dsolve({eq,cond}, y(x), numeric).

dsolve komandasi yordamida Koshi yoki chegara masalani ham yechish mumkin. Buning uchun blsh-lang'ich yoki chegara shartlarni qo'shimcha ravishda berish kerak. Qo'shimcha shartlarda hosila differensial operator D bilan beriladi.

Masalan,

y"(0) = 2 shart (D@@2)(y)(0) = 2 ko'rinishda

y'(0) = 0 shart D(y)(1) = 0 ko'rinishda

y(n)(0) = k shart (D@@n)(y)(0) = k ko'rinishda yo'zilishi kerak. dsolve komandasi yordamida ODT yechimini taqribiy usulda qator yordamida topish mumkin. Buning uchun dsolve komandasida output=series va Order:=n parametrlarni kiritish kerak. Bishlang'ich qiymatlar y(0)=u1, D(y)(0)=u2, (D@@2)(y)(0)=u3 i hokazo ko'rinishda beriladi. Yechimni ko'phadga aylantirish uchun convert (%, polynom) komandasini berish kerak. Yechimning grafik ko'rinishda chiqarish uchun tenglama o'ng toioning rhs (%) komandasi bilan ajratib olish kerak.

Misol. у' = у + xex, y(0)=0 Koshi masalasining taqribiy yechimi 5-darajali ko'phad ko'rinishda olinsin.

> restart; Order: =5:

> dsolve({diff(y(x),x)=y(x)+x*exp(y(x)), y(0)=0}, y(x), type=series);

Foydalanilgan adabiyotlar

l.O.G.Korolkov, A.S.Chebotarev, Y.D.Sheglova. Maple v primerax i zadachax. Uchebnoye posobiye dlya vuzov. Voronej, 2011, 82 s.

2.Имомова Ш.М., Исмоилова М.Н. Вычисление наибольшего собственного значения матрицы и соответствующего ей собственного вектора в среде Mathcad// ACADEMY. 2020. № 6(57). C9.

3.Имомова Ш.М., Улугова О.В. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА MATLAB// POLISH SCIENCE JOURNAL. 2021. ISSUE 2(35) Part 3. С.263.

MUXSINOVA MEHRINISO SHAVKATOVNA - Buxoro davlat universiteti Amaliy matematika (sohalar bo'yicha) mutaxassisligi magistri, Buxoro, O'zbekiston.