CC BY
103SCIENTIFIC PROGRESS VOLUME 3 I ISSUE 4 I 2022 _ISSN: 2181-1601
DIFFERENSIAL TENGLAMALARNI ANALITIK VA SONLI USULLARDA YECHISHNI MAPLE SIMVOLIK PAKETIDA TADQIQ QILISH
Odilaxon Sultonmurodovna Isomiddinova
Muhammad al-Xorazmiy nomidagi Toshkent axborot texnologiyalari universiteti
Farg'ona filiali 1-bosqish magistranti
Ilmiy rahbar: Oybek Hamdamovich Otaqulov
ANNOTATSIYA:
Zamonaviy jamiyatning rivojlanish darajasini va uning intellektual imkoniyatlarini belgilovchi omillardan biri uning kompyuter texnologiyalari bilan jihozlanganligidir. Hozirgi vaqtda kompyuterlardan foydalanish doirasi shunchalik kengki, undan foydalanish nomaqbul bo'ladigan soha yo'q. Mazkur maqolada Differensial tenglamalarni analitik va sonli usullarda yechishni MAPLE dasturida keltirilgan.
Kalit so'zlar: matematik modellar, analitik yechim, sonli usullar, differensial tenglamalar, chiziqli tenglamalar, Symbolics menyusi.
KIRISH
Matematik modellar o'rganilayotgan jarayonning asosiy xususiyatlarini ozida iloji boricha to'laroq, to'kisroq mujassam qilishi kerak. Bu esa ularning ilojsiz murakkablashuviga sabab bo'ladi. Bunday matematik modellarni ishlatish, ular asosida loyiha ko'rsatkichlarining xususiyatlarini tasvirlovchi yechim olish ham oz navbatida murakkablashadi. Matematik modellarni tashkil qiluvchi algebrik, differensial, integral, integrodifferensial va boshqa tenglamalarni yechish usullari yetarli darajada takomillashmagan. Ayrim maxsus kurslarda keltiriladigan aniq, analitik usullar faqat xususiy ko'rinishdagi, sodda tenglamalarning yechimini topish imkonini beradi, xolos. Sonli usullar esa umumiyroq, ancha murakkab tenglamalarning yechimlarini topishga imkon beradi.[1]
Elektron hisoblash mashinalarining yaratilishi sonli usullar tadbiqiga keng istiqbol yaratdi. Ilgari analitik usullarda yechilmagan tenglamalarni kompyuterlarda sonli usullar bilan yechish imkoniyati yaratildi. Bu keyingi yillarda loyiha tashkilotlari tomonidan tuzilayotgan qurilish ob'ektlarining loyihalarida ham o'z aksini topmoqda.
ADABIYOTLAR TAHLILI VA METODOLOGIYA
90-yillarning boshlarida universal dasturlash tillari kompyuter matematikasining maxsus tizimlari (CCM) bilan almashtirildi. Ulardan eng mashhurlari Evrika, Mercury, Mathcad, Derive, Mathematica 2/3/4, Maple V R3/R4/R5 va Maple 6 va boshqalar.[3]
Ilmiy dasturiy ta'minot va matematik paketlar zamonaviy fan va texnikada muhim o'rin tutadi. Axiom, Derive, Macsyma, Maple, MatLab, MathCAD,
I SCIENTIFIC PROGRESS VOLUME 3 I ISSUE 4 I 2022 _ISSN: 2181-1601
Mathematica kabi paketlar rivojlangan mamlakatlar universitetlari, tadqiqot markazlari va kompaniyalarida keng tarqalgan. Bir yoki bir nechta matematik to'plamlarga ega bo'lish va ulardan ishda muntazam foydalanish, xoh u tadqiqot yoki o'quv vazifasi bo'ladimi, tezda mutaxassis uchun odatiy holga aylanib bormoqda.[2]
Analitik hisoblar yordamida tenglamalar va sistemalarning analitik yoki to'liq yechimlari topiladi, ular hosila va noaniq integrallarga hisoblanadi, murakkab ifodalar o'zgartiriladi (masalan, soddalashtirish). Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, ushbu yondashuv bilan siz natijani qandaydir funksiya shaklida olishingiz mumkin. Maple dasturida ramziy o'zgarishlarni amalga oshirishda o'zgaruvchilarga berilgan maxsus qiymatlar e'tiborga olinmaydi - o'zgaruvchilar aniqlanmagan parametrlar sifatida ko'rib chiqiladi.
NATIJALAR
Differensial tenglamalarning ko'p turlari uchun aniq analitik yechim topilmaydi. Bunday holda, differensial tenglamani taxminiy usullar yordamida, xususan, noma'lum funksiyani quvvat seriyali kengaytirish yordamida hal qilish mumkin.
Differensial tenglamaning taqribiy yechimini darajali qator ko'rinishida topish uchun dsolve buyrug'ida o'zgaruvchilardan keyin type=series (yoki oddiygina qator) parametrini ko'rsating. n ning kengayish tartibini ko'rsatish uchun, ya'ni, hal qilish darajasining tartibi, Order:=n buyrug'i bilan dsolve buyrug'idan oldin tartib ta'rifini kiriting.
Agar differensial tenglamaning umumiy yechimi darajali qatordagi kengayish ko'rinishida qidirilsa, topilgan kengayishning x darajalaridagi koeffitsentlar y(0) va uning hosilalari nolga teng bo'lgan funksiyaning noma'lum qiymatlarini o'z ichiga oladi. D(y)(0), (D@@2)(y )(0) va boshqalar. Chiqish chizig'ida olingan ifoda Maklaurin seriyasida kerakli eritmaning kengayishiga o'xshash shaklga ega bo'ladi, lekin x quvvatlarida turli koeffitsientlar bilan. Muayyan yechimni tanlash uchun y(0)=y1, D(y)(0)=y2, (D@@2)(y)(0)=y3 va hokazo boshlang'ich shartlarni va raqamni o'rnatish kerak. Ushbu boshlang'ich shartlardan biri tegishli differensial tenglamaning tartibiga mos kelishi kerak.[5]
Kuchli qatordagi kengayish qator tipiga ega, shuning uchun bu qator bilan keyingi ishlash uchun uni convert(%,polynom) buyrug'i yordamida ko'phadga aylantirish kerak, so'ngra hosil bo'lgan ifodaning o'ng tomonini tanlash kerak.
Ko'pgina chiziqli bo'lmagan differensial tenglamalar analitik yechimga ega emas. Bundan tashqari, ko'pincha analitik yechim kerak emas, lekin grafik bog'liqliklar shaklida javob olish talab qilinadi.
I SCIENTIFIC PROGRESS VOLUME 3 I ISSUE 4 I 2022 _ISSN: 2181-1601
Q Maple 7 - [Untitled (2) - [Server 1]] fTlfnlfx] O Maple 7 [Untitled (2) [Server 1]] |C]fÖ|P<|
File Edit View Insert Format Spreadsheet Options Window Help _ o1 X File Edit View Insert Format Options Window Help _ n1 X
□|e|*|a|4|| Ne||t>| | |i|t|[>| \=i\n\ H- |o| |q|e|*|b|a|| inbii^i |2|t|[>immih-ii®ii-mm
|m| ! li'/l «1*1 |W| 1.« 60 50 40 z 30 20 10 / _J
> sys:—diff(y(x),x)-2*z(x)-y(x)-x,diff(z(x),x)-y(x 1; - [> fens:={y(x),z(x)(: > F: -dsolve ({ sys ,y(0)-0,z<0) J , fens , numeric) ; F := proi:(rkf45_x) ... endproc > F<2); [x = 2., y(>) = 44.9533146153038316, z(*) = 22.0443249483423394] > plots[odeplot](F,[x,z(x)],0..2.S,labels-[x,z],co lor—black);
0" [> 0.5 1 1.5 2 2.5 -
Time: 2.Ss Byles: 3.62M Available: 140M Time: 2.8s Bytes 3.62M Available: 1 G8M |
Belgilangan protsedura istalgan nuqtada yechim topish yoki yechimni chizish imkonini beruvchi maxsus turdagi ma'lumotlarni qaytaradi. Grafik displey uchun Maple 7 bir nechta variantlarni taklif qiladi va ulardan biri rasmda ko'rsatilgan. Rasmdagi-oxirgi kirish qatoriga qarang. Odeplot paketidagi plot[odeplot] funksiyasi differensial tenglamalar yechimlarini vizuallashtirish uchun ishlatiladi.
Dsolve funksiyasi parametrlari ro'yxati aniq yechim usulining ko'rsatkichini o'z ichiga olishi mumkin, masalan, mathod=dverk78 varianti 7 yoki 8-tartibdagi uzluksiz Runge-Kutta usuli bo'yicha yechimni aniqlaydi. Differensial tenglamalar quyidagi usullardan biri bilan bajarilishi mumkin: klassik - klassik usulning sakkizta standart versiyalaridan biri; rkf45 - Felberg tomonidan o'zgartirilgan 4 yoki 5 tartibli Runge-Kutta usuli; dverk78 - 7 yoki 8 tartibli doimiy Runge-Kutta usuli; gear - bir bosqichli ekstrapolyatsiya Gear usulining ikkita versiyasidan biri; mgear - Gearning ko'p bosqichli ekstrapolyatsiya usulining uchta versiyasidan biri; lsode - Livenmorning qattiq differensial tenglamani yechish dasturining sakkizta versiyasidan biri;
taylor series - Teylor seriyasini kengaytirish usuli.[6] MUHOKAMA
Analitik hisoblar yordamida tenglamalar va sistemalarning analitik yoki to'liq yechimlari topiladi, ular hosila va noaniq integrallarga hisoblanadi, murakkab ifodalar o'zgartiriladi (masalan, soddalashtirish). Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, ushbu yondashuv bilan siz natijani qandaydir funksiya shaklida olishingiz mumkin. Maple dasturida ramziy o'zgarishlarni amalga oshirishda o'zgaruvchilarga berilgan maxsus qiymatlar e'tiborga olinmaydi - o'zgaruvchilar aniqlanmagan parametrlar sifatida ko'rib chiqiladi.Analitik hisob-kitoblarni bajarish uchun buyruqlar asosan Symbols menyusida jamlangan va shunga o'xshash asboblar panelida takrorlanadi.[4]
Ifodani (yoki ifodaning bir qismini) soddalashtirish uchun uni burchak kursori bilan tanlang va Symbolics > Simplify (Symbolics > Simplify) ni tanlang. Bunda arifmetik amallar bajariladi, umumiy omillar kichraytiriladi va shunga o'xshash
SCIENTIFIC PROGRESS
VOLUME 3 I ISSUE 4 I 2022 ISSN: 2181-1601
atamalar beriladi, trigonometrik o'ziga xosliklar qo'llaniladi, radikallar bilan ifodalar soddalashtiriladi, shuningdek, to'g'ridan-to'g'ri va teskari funksiyalarni o'z ichiga olgan ifodalar. Qavslarni ochish va murakkab trigonometrik ifodalarni soddalashtirish bo'yicha ba'zi amallar uchun Belgilar> Yoyish / Yoyish buyrug'idan foydalanish kerak (Symbolics> Expand).[6]
Symbolics menyusi ifodada ishlatiladigan tanlangan o'zgaruvchiga yo'naltirilgan bir qator operatsiyalarni taqdim etadi. Masalan, Yechish (Yechish) buyrug'i berilgan ifoda orqali berilgan funksiyaning ildizlarini qidiradi. Misolda ikkinchi darajali ko'phadning barcha ildizlari analitik shaklda olingan: birinchi navbatda yechish uchun hal buyrug'i qo'llaniladi, so'ngra natijani soddalashtirish uchun soddalashtiring:[2,5]
XULOSA
Ma'lumki, differensial va integral hisobning tadbiqi ko'p predmetlar bilan bog'liq. Shuning uchun bu tushunchalarni mukammal anglash va tushinib yetish o'quvchi va talabalar uchun muhimdir. Maktab, litsey va oliy o'quv yurtlarida o'tiladigan oliy matematika va geometriya fanlarida differensial va hosila haqidagi mavzulardan misol va masalalar yechishda Maple amaliy dasturidan foydalansak ishimiz ancha yengil va oson kechadi. Maple amaliy dasturida differensial tenglamani analitik yechish, differensial tenglamaning umumiy yechimi, fundamental (bazis) sistemaning yechimi, Koshi masalasining yechimi yoki chegaraviy masalalar, differensial tenglamalar sistemasini yechish, darajali qatorlar yordamida differensial tenglamaning taqribiy yechimini topish, differensial tenglamani sonli yechish, odeplot komandasi yordamida differensial tenglamaning grafigini yasash, differensial tenglama yechimining grafigini Detools paketi yordamida namoyish qilish va differensial tenglamalar sistemasining fazodagi rasmini chizish kabi amallarni o'zida saqlaydi. Maple amaliy dasturi mana shu misollarni yechishda yuksak imkoniyat darajalari bilan ajralib turadi.
REFERENCES
1. Do'stov Said To'yboyevich DIFFERENSIAL TENGLAMALARNI MAPLE PAKETI YORDAMIDA SONLI YECHISH USULLARI nomli dissertatsiyasi
2. Дьяконов В.П. Справочник по применению системы PC MATLAB. — М.: «Физматлит», 1993. — С. 112. —ISBN 5-02-015101-7
3. Дьяконов В.П. Компьютерная математика. Теория и практика. — СПб: «Питер», 1999, 2001. — С. 1296. — ISBN 5-89251-065-4
SCIENTIFIC PROGRESS VOLUME 3 I ISSUE 4 I 2022 _ISSN: 2181-1601
4. Дьяконов В.П. MATLAB 6/6.1/6.5 + Simulink 4/5. Основы применения. Полное руководство пользователя. — Москва.: «СОЛОН-Пресс», 2002. — С. 768. — ISBN 5-98003-007-7
5. https://infourok.ru/analiticheskoe-reshenie-uravnenij-i-ih-sistem-v-paketah-simvolnoj -matematiki-4913344.html
6. https://www.sites.google.com/site/camoucitelmaple13/urok-7-analiticeskoe-resenie-differencialnyh-uravnenij-cislennoe-resenie-differencialnyh-uravnenij
