Обучение решению алгебраических уравнений методом замены переменной Текст научной статьи по специальности «Математика»

001: 10.31862/1819-463Х-2019-5-144-155

УДК 372.851 ББК 74.262.21

ОБУЧЕНИЕ РЕШЕНИЮ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ

Н. И. Фирстова

Аннотация. В статье показано применение метода замены переменной при решении алгебраических уравнений определенного вида. Выделены способы реализации использования метода замены переменной и возможности применения каждого способа (приема решения).

Ключевые слова: метод замены переменной, способы реализации (приемы решения уравнений), алгебраические уравнения.

TRAINING TECHNIQUE FOR SOLVING ALGEBRAIC EQUATIONS WITH THE METHOD OF REPLACING A VARIABLE

N. I. Firstova

Abstract. The article shows the application of the variable replacement method in solving algebraic equations of a certain type. The ways of implementing the use of the variable replacement method and the possibility of applying each method (decision making) are highlighted.

Keywords: variable replacement method, methods of implementation (methods for solving equations), algebraic equations.

К возможности систематизации различных задач человечество шло очень долго, и только в начале XX в. русский методист И. Александров произвел систематизацию задач по методам решения и в отдельных случаях - по содержанию. Эта систематизация была не лишена недостатков, но она позволяла не решать отдельные задачи, а устанавливать общие методы различных типов задач. Именно уяснение идей общих методов является главным при обучении решению задач.

Термин «метод», применяемый в обучении математике, используется в различных аспектах:

1. Учебную деятельность принято рассматривать как деятельность познавательную. Поэтому в обучении находят отражение общие методы познания. В обучении математике чаще других используется анализ и синтез, индукция и дедукция, аналогия и сравнение.

2. В школьной математике используется в определенной степени методы математики - науки. Это, к примеру, векторный метод, метод ГМТ, метод координат и др. Если учащиеся овладевают указанными методами, то они смогут самостоятельно применить их к решению задач, доказательству теорем.

Таким образом, математические методы в процессе обучения становятся методами приобретения и применения знаний, трансформируются в методы учебной деятельности школьников.

3. Наиболее часто, говоря о методах применительно к учебному процессу, имеют в виду методы обучения.

В педагогике используется различные трактовки понятия «метод обучения»:

А. «Направленные на решение задач обучения».

Б. «Методы обучения - это способы передачи знаний и руководства познавательной деятельностью».

С. «Метод обучения является системой действий учителя, организующего практическую и познавательную деятельность ученика, которая устойчиво ведет к усвоению содержания образования», по И. Я. Лернеру.

В педагогической литературе отсутствует единый подход к определению понятия «метод», «метод обучения», «метод учения». Для выбора трактовки необходимо обратиться к философской литературе. Но и здесь анализ подходов показал отсутствие общепринятой трактовки понятия «метод».

В некоторых источниках под методом понимается способ достижения цели, определенным образом упорядоченная деятельность. В энциклопедии по философии метод определен как система результативных принципов, преобразующая практическую и познавательную деятельность.

«Метод - это не какая-то отмычка, а способ исследования науки возникающий из самого процесса исследования».

Традиционно в учебной и математической литературе рассматриваются специальные приемы решения уравнений. Между тем специфика решения уравнений каждого раздела - дело второстепенное. По существу используется четыре основных метода (метод перехода от равенства, связывающего функции, к равенству, связывающему аргументы; метод замены переменной; метод разложения на множители и функционально-графический метод) и их различные модификации. Самый распространенный из них - метод замены переменной. Искусство производить замену переменных заключается в том, чтобы увидеть, какая замена будет более рациональна и быстрее приведет к успеху.

Суть метода замены переменной заключается в том, что путем замены некоторого входящего в уравнение выражения, содержащего переменную, в исходном уравнении либо понижается степень, либо от дробного переходят к целому уравнению, либо иррациональное уравнение сводят к рациональному, то есть исходное уравнение сводится к простейшему. В 2002 г. в журнале «Математика в школе» была опубликована моя статья [10], посвященная методу замены переменной, в предлагаемой статье способы реализации дополнены.

С методом замены переменной в школьном курсе математики учащиеся знакомятся в 8-м классе, чаще всего после изучения темы «Квадратные уравнения». Данный метод применяется в уравнениях, где замена переменной очевидна или становится очевидной после некоторых элементарных тождественных преобразований.

Например, способ реализации: явная замена (то есть замена очевидна):

1) (3х + 2 )4-13 (3х + 2)2 + 36 = 0.

(3х + 2)2 = у, у > 0.

у2 -13у + 36 = 0, так как D > 0, найдем корни по теореме Виета:

(3х + 2)2 = 4

+у2)) 4 9

У - 9

3х + 2 = 2 3х + 2 = -2 3х + 2 = 3 3х + 2 = -3

1 , 1

х1 = 0

Х2 _ — х = 1

х = — 5

Ответ: -¡0;-;-1-;-1

3 3 3\

2) х2 - х + >/х2 - х + 9 = 3.

Замена очевидна -\/х2 - х + 9 - у, у > 0 (с учетом значения подкоренного выражения можно уточнить ограничения на «новую» переменную: у >-у]8,75 ), остается к обеим частям прибавить по 9 и получить у2, исходное уравнение примет вид: у2 + у - 12 = 0. Исходя из вида уравнения, найдем корни по теореме Виета:

" у! -"4 _ у2 - 3 .

С учетом ограничений на «новую» переменную удовлетворяет значение второго корня. Вернемся к «старой» переменной:

^х2 - х + 9 = 3.

х2 - х + 9 = 9.

х (х -1) = 0 .

х = 0

х2 = 1 .

Ответ: {0;1}.

3) (х2 + 10х)2 +(х + 5)2 = 157.

Замену переменной можно увидеть, если воспользоваться формулой квадрата суммы

для второго члена уравнения:

(х2 + 10х ) + (х2 + 10х + 25) = 157 .

х2 +10 х = 7 .

72 + 7 + 25 = 157 .

72 + 7 -132 = 0 .

>1 -11 .72 =-12"

х2 + 10х -11 = 0

х2 + 10х +12 = 0

х1 = -11

х2 = 1

х3 = -5 + >Яз _ х4 =-5 -л/!з . Ответ: {-11; 1; -5 ±л/Гз].

Материал, связанный с уравнениями, составляет значительную часть школьного курса математики и представляет интерес для изучения, так как в известном смысле именно

3

3

с помощью уравнений записываются важнейшие задачи, связанные с познанием реальной действительности. Формируя у учащихся в процессе обучения специальные умения и навыки по решению алгебраических уравнений методом замены переменной, учащиеся овладевают новым мощным методом решения уравнений.

При решении уравнений удачная замена переменных позволяет свести задачу к более простой. Однако во многих случаях удобная замена далеко не очевидна, и поэтому необходимо выполнить некоторые преобразования (уравнения с явной заменой, например, биквадратные и т. п. в статье не рассматриваются). Эти преобразования - приемы (или способы реализации) и будут рассмотрены в данной статье.

В уравнениях, предлагаемых вашему вниманию, стандартный прием решения (в рациональных - приведение к общему знаменателю, в иррациональных - возведение в степень) приводит к трудоемким вычислениям без видимой надежды на успех.

Способы реализации метода замены переменной

1. Использование основного свойства дроби.

Данный прием применяется в уравнениях следующего вида:

Ах + Вх ах1 + Ьх + с ах1 + Ь2 х + с

ах2 + \х + с ах2 + Ь3 х + с

2 ^ 2 = D, D Ф 0,

2 , и „ , „ + Ь2 х + с

+ Ь х + с

= D, D - любые значения,

ах + Ь2 х + с ах + Ь4 х + с

Ах ах2 + Ьх + с „

-±—2—2-= D, D - любые значения,

ах + \х + с ах + Ь3 х + с

где а, Ь, с, А, В, D - постоянные, а Ф 0.

Уравнения данного вида решаются так: проверив, является ли х = 0 корнем уравнения, делят числитель и знаменатель каждой дроби на х ф 0 и производят замену ах + — = г.

х

Например:

х2 -10х +15 3х

х2 - 6х +15 х2 - 8х +15 .

х = 0 - не корень уравнения. Разделим числитель и знаменатель каждой дроби на 15

х -10 +

х _ 3

х Ф 0. Получим:- 15 15

х - 6 + — х - 8 + —

хх

15 t - 2 3

Заменив х - 8 + — = t, имеем: —- ^

х г + 2 г

= 6

Вернемся к «старой» переменной:

г2 - 5г - 6 = 0

г = 6 г + 2 ф 0 - 1

г ф 0

"х2 - 14х +15 = 0 х2 - 7 х +15 = 0

г2 =-1.

х1Л = 7±^¡34 .

Ответ: х12 = 7 ± %/34.

2. Выделение квадрата двучлена.

4х

■ = 5.

(х + 2)2

Заметив, что левая часть уравнения представляет собой сумму квадратов, выделим полный квадрат суммы или разности (это зависит от того, чтобы получившееся уравнение содержало одно и то же выражение с переменной).

<х>2 +(£ '= 5.

/ Ч2 ( 2х ) 2х 2х

(х) +1-I + 2 • х---2 • х--= 5.

4 у I х + 2 ) х + 2 х + 2

Сгруппируем первый, второй и четвертый члены: - = 5.

2х 4х2

х + 2 ) х + 2

Т + 4-5 . 0.

х + 2 I х + 2

Введем замену:

х

ременной, имеем:

х + 2 .2

-1, получим t2 + 4t - 5 = 0:

х

х + 2

х2 х + 2

- = 1

- = -5

х2 - х - 2 = 0 х2 + 5х +10 = 0: х ф- 2

\ -1 t2 - -5.

х — 2 х--1

Вернувшись к «старой» пе-

Ответ: х1 = 2, х2 = -1.

3. Переход к системе.

Уравнения вида ^а/(х) + Ь ±¡§Щх) + 1 = т, где а = кс, где к принимает любые действительные значения.

Например:

3.1. ^8х + 4 -^8х- 4 = 2. (1)

Положим и = ^8 х + 4, V = ^8х - 4. (2)

Тогда уравнение (1) запишется так: и - V = 2. Поскольку мы ввели две новые функции, надо найти еще одно уравнение, связывающее и и V. Для этого возведем оба равенства (2) в куб и заметим, что и3 - V3 = 8. Итак, надо решить систему:

(и - V - 2

и - V - 2

(и - V — 2

'-V3 - 8 [(и - v)(u2 + т + V2 )-8 [(и - V)2 + 3uv - 4~

2

\и - V - 2 \3т - 0

и - 2

V - 0

и - 0

V = -2

[ 38х + 4 - 2 [ 38х - 4 - 0 [ 3/81+4 - 0 1^8х - 4 - -2

1

х - — 2

1

х - — 2

Ответ: х - ±1.

2

3.2. х■

5 - х х +1

5 - х , ^

х +-| = 6 .

х+1

5 - х 5 - х

Пусть: х--= и, х н--= V.

х +1 х +1

Тогда (1) уравнение примет вид: и ■ V - 6.

(1) (2)

Попробуем составить еще одно уравнение, зависящее от и и V. Для этого найдем сумму и и V.

5 х 5 х 5 х / ^ \ _ _

х---1---н х ---( х +11 + х — 5 - х + х — 5.

-1 ^ '

х +1 х +1

х+

\ы ■ V - 6

Итак, надо решить систему < ^

и + V - 5

Ответ: х = 1, х = 2.

5 - х

х -

х 4 1

и - 2 5 -х

V - 3 х -- х 4 1

и - 3 5- х

х -

V -2 х 4 1

5 -х

х --

х 4 1

- = 3

х = 1 х - 2

4. Раскрытие множителей парами.

Уравнение вида (х + а)(х + Ь)(х + с)(х + с!) = т, т * 0, где а + Ь = с + с! или а + с - Ь + d или а + d — Ь + с. Например:

(х - 1)(х - 7 )(х - 4)(х + 2) = 40. Проверим, имеет ли смысл применять данный способ: 7 - 2 = 1 + 4, то есть 5 = 5, значит, надо перемножить первый множитель с третьим и второй множитель с четвертым:

(х2 - 5х -14) (х2 - 5х + 4) 40.

Введем замену: х2 - 5х -14 = t, получим: t ^ +18) = 40.

t2 + Ш - 40 = 0:

1 = -20 t2 = 2

х2 - 5х -14 = -20 х2 - 5х -14 = 2

х - 5х + 6 - 0 х2 - 5х -16 - 0

х1 - 2 х2 - 3

5 ^л/89

Ответ: х1 - 2, х2 - 3, х3

5 ^>/89

2

5. Раскрытие множителей парами и деление обеих частей уравнения.

Уравнение вида: (х + а)(х + Ь)(х + с)(х + d) = тх1, т * 0, где аЬ = cd, или ас = bd, или ad = Ьс.

Например:

(х-1)(х - 2 )(х - 8)(х - 4) = 4х2. Проверим, имеет ли смысл применять данный способ: -8-(-1) = (-2)-(-4), то есть 8 = 8, значит надо перемножить первый множитель и третий и второй множитель и четвертый: (х2 -9х + 8)(х2 - 6х + 8) = 4х2.

Так как х = 0 - не корень, разделим обе части уравнения на х2 *0. Получим:

(х -9+81 х -6+8)-4.

8

Введем замену: х-9 + — = t, уравнение будет иметь следующий вид:

х

^ =1 о

t1 =-4

х-9 + - = 1

х

х - 9 + 8 = -4 х

о

t ■(t + 3) = 4 ^ t2 + 3t - 4 = 0

х2 - 10х + 8 = 0 ,—

^ х,, = 5 ±л/17 х2 - 5 х + 8 = 0 '

Ответ: х12 = 5 ± л/17 .

6. Сведение к однородному уравнению.

Чаще встречаются однородные уравнения второй степени:

Л/2 (х) + В/ (х )g (х) + Cg2 (х) - 0, где А, В, С - постоянные, отличные от нуля. Например:

2-(х2 + х +1)2 -7-(х-1)2 = 13-(х3-1).

В данном случае замена очевидна: х2 + х +1 = и и х-1 = V. Данное уравнение примет вид 2и2 - 7у2 = 13т, то есть однородного уравнения второй степени. Мы же рассмотрим более подробно следующее уравнение:

(х2 -5х + 1)(х2 -4) = 6-(х-I)2. (1)

Вид уравнения не указывает, что это однородное уравнение. Преобразуем первый множитель: выделим из него выражение, равное второму множителю:

х2 - 5х +1 = х2 - 4 - 5х + 5 = (х2 - 4)- 5 (х - 1). (2)

Подставляя (2) уравнение в (1), получаем:

((х2 -4)-5(х- 1))-(х2 -4) = 6-(х-1)2. Раскроем скобки:

(х2 -4)2 -5 -(х- 1)(х2 -4) = 6-(х-1)2.

Введем замену: х - 4 - и и х -1 - V, имеем:

и2 -5т = 6у2 . Получаем однородное уравнениег^та|0рй степени относительно и и V. Делим его на V2 ф 0 (если V = 0, то и и = 0, то есть

имеет).

Получаем уравнение:

[v = 0

данная система решении не

u ' х2 - 4

- = 6 -1

6 = 0 ^ v х

u = -1 х2 - 4

_ v х -1

- = 6

■ = -1

х2 - 6х + 2 = 0 х2 + х - 5 = 0

г12 = 3 + -Л

-1 ±л/21

Ответ: — 3 + л/7,

-i

7. Тригонометрическая подстановка.

Тригонометрические подстановки используются в тех случаях, когда иррациональное уравнение сложно решить обычным способом, то есть трудно избавиться от иррациональности. Исходное иррациональное уравнение сводится к тригонометрическому уравнению.

Например:

V1 - x2 = 4 x3 - 3x.

D(f):l - х2 > 0 ^ х е[-1;1]. Значит, можно ввести замену x = sin а или x - cos а.

Пусть х = sin а, где а е значения). Подставив замену в уравнение, получим:

;^ (на этом отрезке функция синуса принимает все свои

V1 - sin2 а = 4 sin3 а - 3sin а

а е

П П

Т'У

Vcos2 а = - sin 3а

П П] ^

а е

|cos а| + sin 3а = 0

П П! « " 2 ' 2

cos а + sin 3а = 0 П П

sin (" - а | + sin 3а = 0

а е

П П

Т'7

2sin | а + П| cos i""- 2а | = 0

а е

П П

П гг

а н— = Пп 4

П П _ , ^

2а--=--нПА: n,k eZ

4 2

а e

П П

П

а, =--

1 4

П

а2 =--

2 8

3П

а3 =--

2

x

2

Вернемся к «старой» переменной:

• ( п] п] 1 гг^ . зп 1

= sinI--1 =--; х2 - sinI--1 = —V2-V2; х3 - sm-= —•

>/ 2 + 42.

Ответ: х. х = -—л/2 -л/2,х = —^2 + >/2.

1 2 2 3 2

8. Возвратные и симметричные (или симметрические) уравнения.

Рассмотрим уравнение четвертой степени:

а0 х4 + а1х3 + а2 х2 + а3 х + а4 — 0, где а0 * 0.

Если коэффициенты уравнения, равностоящие от концов уравнения, удовлетворяют

условиям: — = X ф 0, — = X2, то уравнение называется возвратным уравнением четвер-

а3 а4

той степени. Возвратные уравнения четвертой степени решаются так: обе части уравнения делят на х2 * 0 (х = 0 - не корень), затем группируются члены, равностоящие от кон-

X

цов, и производится замена х + — = г.

х

Например:

8х4 - 10х3 - 22х2 + 15х +18 = 0. Проверим, является ли уравнение возвратным:

_10 __2; _ 4 ( 2V _ 4 15 _ 3' 18 _ 9 Ч 3 I _ 9

уравнение возвратное.

15 18

Разделив на х2 * 0, получаем: 8х2 -10х-22 + — + — = 0

Сгруппируем: |8х2 +18 |-| 10х- — |-22 = 0

21 4х2 + Л1-51 2х - 3 I-22 = 0

15

х

(1).

Введем замену: 2х — = t. Чтобы выразить I 4х2 + -у I через t, возведем обе части за-

2 9

азть I 4,"

мены в квадрат и получим: I 2х-— I = ^ или 4х2 -12 + -12 ^ 4х2 + - t2 +12.

Переписав уравнение (1) через t, имеем:

2(t2 +12)-5t-22 = 0 ^ 2t2 -5t + 2 = 0^

^ = 2

1 или

2

2 х — = 2 х

2 х - — -1 х2

2 х2 - 2 х - 3 - 0 4х2 - х - 6 - 0

х1,2

1 ±л/7 2

1^/97 8

1±л/7 1 ±л/97 Ответ: х1,2 =-, х34 =-.

х

Симметричные (или симметрические) уравнения являются частным случаем возвратных уравнений при Х-1, поэтому решаются по аналогии.

9. Уравнения вида (х - а)4 ± (х - Ь)4 = с, с ф 0 замена х = у -

а + Ь

Замена такого вида вводится для того, чтобы в основаниях степеней (х - а, х - й) получить сопряженные выражения (у - т, у + т) .После возведения в степень уравнения вида (у - т) ±(у + т) = с получается уравнение, способ решения которого известен.

Замечание: Замену вида х = у-

(х - а')" ±(х - Ь')" = с, с Ф 0,с е N.

а + Ь

можно применять и к уравнениям вида:

Например:

(х - 2)4 +(х - 3)4 = 1.

2 + 3 5

Введем замену х - у + - у + —. Подставим в исходное уравнение и получим:

' 1 V ( 1V

у + —I +1 у- — I = 1. После возведения в степень и приведения подобных получим:

7 1

4 у4 + 3 у2 — = 0, откуда у = ± —. Вернемся к «старой» переменной:

8 2

1 5 ,

х— —+ — — 3

2 2

15

х ----— — 2

. 2 2

Ответ: х12 = 3; 2.

Школьной программой отводится достаточно много времени на решение алгебраических уравнений. На наш взгляд, это связано с тем, что, научившись решать их, ученик не будет испытывать трудностей с большинством трансцендентных уравнений, решение которых, по сути, сводится к решению алгебраических уравнений.

Замечание: предложенные в статье уравнения можно решить и другими способами или методами.

Задания для самостоятельной работы

Вариант № 1

1) х4 - 8х3 - 4х2 +16х + 4 = 0.

2) 3х + 9 - 3х -10 = 1.

3) (х-1)(х - 3)(х + 5)(х + 7 ) = 297.

х х 5

4)

х2 - 3х + 8 х2 + 2х + 8 24

5) х2 +-

25х

(х + 5)2 Наука и Школа № 5'2019

- = 11.

1 + 2 хЗ 1 - х2 „ 2 , 6) <1---+ 2х = 1.

7) (х2 + 2х)2 -(х +1)2 = 55.

8) (х2 -х +1)2 + 2х2 (х2 -х +1)-3х4 = 0.

9) (х + 4)(х + 6 )(х - 2 )(х - 3) = -2х2.

10) (х +1)5-(х - 5)5 = 1056.

2

Вариант № 2

2x 3x 1

1) —2-+ —2-= -.

' 4x2 + 3x + 8 4x - 6x + 8 6

2) V9^7x+T + = 4.

3) л/1 -2x-(l -4W1 + 2x) = 8x2 -1.

4) (x2 - 8x) + 3 (x - 4)2 = 76.

5) 4x4 + 6x3 - 10x2 - 9x + 9 = 0.

6) (x-l)(x - 2 )(x - 3)(x - 4 ) = 15.

7) x2 +

81x

- = 40.

8) 20.f 5f 12 + 48.xl^l = 0.

I x + 1 ) \ x — 1 ) x1 -1

9) (x + 4)(x + 7 )(x-14)(x - 2) = -26x2

10) (x +1)4 +(x - 4)4 = 97.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Егерев В. К., Мордкович А. Г. 100 х 4 задач для поступающих в вузы. М.: Слог, 1993. 58 с.

2. Кючунов А. Н. А можно гораздо лучше! // Математика в школе. 1988. № 5. С. 53-54.

3. Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г. Практикум по элементарной математике: Алгебра. Тригонометрия: учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. М.: Просвещение, 1991. 352 с.

4. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебраический тренажер: Пособие для школьников и абитуриентов. М.: Илекса; Харьков: Гимназия, 1998. 318 с.

5. Методика преподавания математики в школе: частные методики / под ред. Ю. М. Колягина. М.: Просвещение, 1977. 678 с.

6. Мордкович А. Г. Беседы с учителями математики. М.: Школа-Пресс, 1995. 238 с.

7. Мордкович А. Г. Решаем уравнения. М.: Школа-Пресс, 1995. 38 с.

8. Сборник конкурсных задач по математике. СПб.: Специальная литература, 1997. 560 с.

9. Справочник для поступающих в Московский университет. М.: Изд-во Московского ун-та, 1992-1997.

10. Фирстова Н. И. Метод замены переменной при решении алгебраических уравнений // Математика в школе. 2002. № 5. С. 68-71.

REFERENCES

1. Egerev V K., Mordkovich A. G. 100 x 4 zadach dlya postupayushchikh v vuzy. Moscow: Slog, 1993. 58 p.

2. Kyuchunov A. N. A mozhno gorazdo luchshe! Matematika v shkole. 1988, No. 5, pp. 53-54.

3. Litvinenko V. N., Mordkovich A. G. Praktikum po elementarnoy matematike: Algebra. Trigonometriya: ucheb. posobie dlya studentov fiz.-mat. spets. Moscow: Prosveshchenie, 1991. 352 p.

4. Merzlyak A. G., Polonskiy V. B., Yakir M. S. Algebraicheskiy trenazher: Posobie dlya shkolnikov i abiturientov. Moscow: Ileksa; Kharkov: Gimnaziya, 1998. 318 p.

5. Kolyagin Yu. M. (ed.) Metodika prepodavaniya matematiki v shkole: chastnye metodiki. Moscow: Prosveshchenie, 1977. 678 p.

6. Mordkovich A. G. Besedy s uchitelyami matematiki. M.: Shkola-Press, 1995. 238 p.

7. Mordkovich A. G. Reshaem uravneniya. Moscow: Shkola-Press, 1995. 38 p.

8. Sbornik konkursnykh zadach po matematike. St. Petersburg: Spetsialnaya literatura, 1997. 560 p.

9. Spravochnik dlya postupayushchikh v Moskovskiy universitet. Moscow: Izd-vo Mos-kovskogo un-ta, 1992-1997.

10. Firstova N. I. Metod zameny peremennoy pri reshenii algebraicheskikh uravneniy. Matematika v shkole. 2002, No. 5, pp. 68-71.

Фирстова Наталья Игоревна, кандидат педагогических наук, доцент, профессор Кафедры теории и методики обучения математике и информатике Института математики и информатики Московского педагогического государственного университета

e-mail: [email protected]

Firstova Natalya I., PhD in Education, Associate Professor, Professor, Theory and Methods of Teaching Mathematics and Computer Science Department, Institute of Mathematics and Computer Science, Moscow Pedagogical State University

e-mail: [email protected]

Статья поступила в редакцию 24.07.2019 The article was received on 24.07.2019