CC BY
164
Согласно ФГОС по математике основной целью учителя при объяснении доказательства теорем и утверждений является научить учащихся в дальнейшем самостоятельно доказывать и решать различные геометрические задачи.
Чтобы достичь этого, надо научить детей мыслить. Для этого необходимо вскрывать мыслительный процесс, а именно учитель должен образцово показать, как он, человек умеющий рассуждать, сам мыслит. Поэтому для того, чтобы реализовать цель, которая поставлена перед учителем лучше всего начинать объяснение теоремы или утверждения с поиска доказательства. При этом поиск доказательства любой теоремы учебника начинается с идеи, которая отражает мысль (пусть даже чужую), заложенную в тексте доказательства. Искать идею доказательства надо в последних предложениях текста и формулировать в следующем виде: «Для того, чтобы доказать . . . , достаточно. . .» Затем после того, как сформулирована идея учитель должен предложить план ее реализации. И уже на основе этого плана строить объяснение доказательства.
Что же касается текста учебника, то он полностью выполняет поставленную перед ними цель - сообщение информации.
Поэтому как способ реализации этой цели является «констатация» факта доказательства данного утверждения. И делается это с помощью синтетического метода доказательства. При этом само доказательство выглядит как результат рассуждения некоторого идеализированного решающего, а не процесс поиска доказательства им. Поэтому если считать текст учебника в качестве образца объяснения, необходимо учитывать то, что школьник будет опираться, лишь на результат чьей-то «мысли». И, как правило, не будет вовлечен в «процесс» мышления, участие в котором ему необходимо для дальнейшего успешного решения более сложных задач и, конечно же, для продолжения своего образования.
Таким образом, получается, что развитие мышления ребенка происходит не целенаправленно, а спонтанно, как бы опосредованно. И лишь некоторые из учащихся путем кропотливого и целенаправленного рутинного труда могут прийти неосознанным образом к построению правильных рассуждений. Но это далеко не всем учащимся под силу. Поэтому объяснение следует строить отличным от рассказа так, чтобы оно передавало способ нахождения пути к новым знаниям, а не только сами знания. Тем самым объяснение должно отвечать основным задачам обучения математике:
• развитие различных видов и качества мышления (гибкость, критичность), в том числе и математическое;
• формирование у учащихся способности изучения сложных дисциплин и продолжения образования, а не только предоставления лишь возможность продолжать обучение в вузе [4; 5].
Итак, подводя итоги по данной статье, можно сказать, что главная цель объяснения - это помощь учащимся в осознании основ математического рассуждения и начало их обучения самостоятельно рассуждать и доказывать теоремы или утверждения, а так же решать задачи, которые могут стоять перед ними, Тем самым сущность объяснения состоит в том, что оно должно вскрывать мыслительный процесс и передавать способ нахождения пути к новым знаниям, а значит и сами знания.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Геометрия: учеб. для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. - 5-е изд. - М.: Просвещение, 1995. - 335 с.
2. Зимняя, И.А. Педагогическая психология: учеб. пособие. - Ростов н/Д.: Феникс, 1997. - 480 с.
3. Макарченко, М.Г. Методическая составляющая контекстного обучения будущих учителей математики (монография) Таганрог: ИП Кравцов В.А., Танаис, 2009. - 296 с.
4. Макарченко, М.Г., Подходова, Н.С. Идея доказательства теоремы как составляющая профессионального контекста будущего учителя математики // Вестник Поморского университета: научный журнал. - 2009. -№ 4. С. 158-166.
5. Сопер, П. Основы искусства речи. - М.: Пресс; Прогресс- Академия,1992. - 416 с.
6. Сохор, А.М. Объяснения в процессе обучения: Элементы дидактической концепции. - М.: Педагогика, 1988.- 192 с
Н.В. Гусарова
ОБУЧЕНИЕ АБИТУРИЕНТОВ РЕШЕНИЮ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ПРОЦЕНТЫ В РАМКАХ ОГЭ И ЕГЭ
Аннотация. Важным видом учебной деятельности, в процессе которой усваиваются математические знания, умения и навыки, является решение задач. Одними из наиболее востребован-
ных типов задач в рамках государственного экзамена являются задачи на проценты, в частности экономические задачи. В работе проводится анализ таких задач, дается классификация и описываются трудности, с которыми сталкивается обучаемый в процессе подготовки.
Ключевые слова: Процент, основной государственный экзамен, единый государственный экзамен, АСТ-тест.
N.V. Gusarova
TRAINING STUDENTS SOLVE THE ECONOMIC PROBLEMS OF INTEREST WITHIN
THE DSE AND USE
Annotation. An important type oflearning activity, which isabsorbedin the process ofmathematical knowledgeand skills, is thesolution of problems. Oneof the most populartypes of problemswithin the sta-teexam isthe problemof the interest,in particulareconomic problems. The paperanalyzesthese problems, classifiesand describes thedifficultiesfaced bythe traineeduring thetraining.
Keywords: percentage, the main state examination, the unified state exam, ACT test
В настоящее время одна из главных задач образовательного процесса - дать абитуриентам глубокие и прочные знания, а также научить рационально применять их в учебной и практической деятельности.
Математические задачи встречаются в различных отраслях человеческих знаний, поэтому навыки их решения, способность применять математический аппарат, востребованы в физике, химии, биологии, экономике.
И во всех этих отраслях особую актуальность имеют задачи, связанные с процентами. Коэффициент полезного действия механизмов в физике, задачи на смеси и сплавы в химии, вероятность появления тех или иных признаков у некоторого биологического вида - все эти задачи связаны с процентами. Но наибольшую востребованность задачи на проценты имеют в экономике. Определение инфляции, рост стоимости акций, банковские кредиты, расчет стоимости вкладов -все это задачи, решение которых невозможно без умения производить процентные вычисления.
Это подтверждает присутствие задач данной тематики в различных разделах Основного государственного экзамена и в Едином государственном экзамене.
Анализ заданий вариантов ЕГЭ с 2010г. показывает обязательное наличие таких задач в группе В, а с 2015г. и в группе задач повышенного уровня (Диаграмма 1.).
12 10 8 6 4 2 0
i-iHHH 1=
■ задачи В1
■ задачи В12 л задачи .№19
2010 2011 2012 2013 2014 2015
Диаграмма 1.Задачи на проценты в вариантах ЕГЭ
К текстовым задачам на проценты относятся задачи, в которых речь идет о вкладах в банк под тем или иным процентом, о прибыли, о выполнении плана, об изменении цены на товар; т. е. в большей части экономические задачи.
Пример. 20 декабря 2014 года Вася взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая - 20 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивается долг наа%), затем Вася переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 2699000 рублей, то вы-
платит долг за 4 года. Если по 4499000 рублей, то за 2 года. Под какой процент Вася взял деньги в банке?
Решение: Пусть Б —сумма кредита. Обозначим ежегодные платежи А1иА2соответственно. Сумма долга каждый год увеличивается на а%,то есть сумма долга умножается на коэффициент Ь = 1 + 0,01а. После первой выплаты сумма долга станет равной Б1 = БЬ — А1,после второй выплаты:Б2 = (БЬ — А±)Ь — А1, после третьей выплаты: Б3 = {(БЬ — А-1)Ь — — А1, после четвертой выплаты: Б4 = (((БЬ — А-1)Ь — — А1)Ь — А1. Причем долг будет погашен полностью, получаем, то есть (((БЬ — А±)Ь — А±)Ь — А±)Ь — А1 = 0. Аналогично получаем уравнение для случая, когда выплаты совершаются платежами размером А2.Б2 = (БЬ — А2)Ь — А2 Имеем систему уравнений:
(БЬ4 — А,Ь3 — А,Ь2 — А,Ь — АЛ = 0, (БЬ2Ь2 — А,Ь3 — А,Ь2 — А,Ь — А, = 0,„ л 4 \ х х ,, , х х Подставим
( БЬ2 — А2Ь — А2 = 0. { БЪ2=А2Ъ + А2.
выражение дляБЬ2в первое уравнение:
(А2 + А2Ь2)Ь2 — А1Ь3 — А1Ъ2 — А1Ь — Аг = 0. Преобразуем это уравнение:(А2 — А1)Ь3 +
(А2 — А1)Ъ2 — А1Ь — А1 = 0^ Ь2(А2—А±)(Ь + 1) — А±(Ь + 1) = 0 ~
~(Ь + 1)((А2—А1)Ь2—А1) = 0 Подставляя числовые значения, получаем:
Ъ = —1 _ А1
Ап Ал
Ъ = —1, Ь = —1,2, Ъ = 1,2.
Отрицательные корни не подходят по условию задачи, значит,Ь = 1,2, откуда а = 20, то есть Вася взял деньги под 20%.
Ответ: 20%. [2].
Таким образом, практические задачи на проценты встречаются в самых различных предметах школьной программы, в вариантах ЕГЭ и требуют особого внимания при математическом образовании школьника и его подготовке к поступлению в вуз.
Анализ данной темы в современных учебниках показывает, что большинство авторов при введении понятия процента и решении типовых задач опирается на действия с обыкновенными дробями. После изучения десятичных дробей и операций над ними приступают к решению перевода процентов в десятичную дробь. Тема разворачивается по спирали, и при каждом переходе учащиеся возвращаются к процентам на новом уровне, и их знания пополняются и добавляются новые типы задач и приемы решения.
Трудности при рассмотрении данной темы состоят в том, что на начальном этапе ученику необходимо выполнять операцию перевода процентов в десятичные дроби. Так как учащиеся до изучения данной темы не имеют представления о понятии процентов, им трудно опереться на жизненные ситуации. Особую трудность учащиеся испытывают при решении задач на нахождение части от числа и числа по величине его части. Если при изучении дробей одно арифметическое действие всегда соответствовало одной операции (сложение, вычитание, умножение, деление), то теперь при рассмотрении таких задач, одно арифметическое действие выполняется с помощью двух операций (при умножении и делении на дробь).
Пример. На покупку овощей хозяйка израсходовала 6р., что составило '/6 имевшихся у нее денег. Затем она купила 2 кг яблок по 7 р. за килограмм. Сколько денег у нее осталось после этих покупок?[2,23].
При рассмотрении задачи на смеси и сплавы и экономические задачи, которые являются задачами повышенной сложности, у учащихся также могут возникнуть затруднения, из-за низкой математической культуры.
В виду этих сложностей целесообразно дать характеристику встречающихся задач на проценты и дать методические рекомендации для изучения данного курса. Характеристика задач, встречающихся при подготовке ЕГЭ, может быть отражена следующей таблицей (Таблица 1).
Таблица 1.
Нахождение процентов данного числа.
х % ■ a 100 % Число 200 увеличили на 30 %, полученное число увеличили еще на 20 %. Какое число получится в итоге?
Нахождение числа по его процентам.
100 % ■b х % Некоторое число уменьшили на 12 % и получили 85. Чему равна величина этого числа (с округлением до 0,01)?
Нахождение процентного отношения чисел.
— ■ 100 % b При плановом задании 60 автомобилей в день завод выпустил 66 автомобилей, тогда он выполнил план на (66/60) 100 %, т.е. на 110 %.
Задачи на сложные проценты.
х % ч „ х % ч a ■ (1--) a ■ (1 +-) 100 % 100 % Клиент положил в банк на год 4000 рублей. Какая сумма у него будет через год, если банк выплачивает 8% годовых?
Задачи на концентрацию, смеси и сплавы.
Составление уравнений, метод пропорции. Кусок сплава золота и серебра весом 3 кг содержит 30% золота. Сколько кг чистого золота нужно прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% золота?
На основе представленных типов задач можно построить курс, состоящий из цикла задач, представляющего все основные типы и минимизирующие сложности при подготовке данной темы к сдаче в виде экзамена.
Проведенный анализ учебников и вариантов ЕГЭ позволяет выделить основные этапы работы по введению понятия «Процент». Первый этап работы отводится повторению сведений об обыкновенных дробях и трех основных задач на дроби. Второй этап сводится к формированию умения решать простые задачи на проценты. При решении задач на проценты необходимо не только развивать вычислительные навыки учащихся, но и формировать у учащихся умение выполнять прикидку или оценку результата вычислений. Третий этап основывается на формировании умения решать сложные задачи на проценты. В алгебре основной школы естественно рассматривать задачи на проценты, решаемые алгебраическим способом: составляя уравнение или систему уравнений[1]. Четвертый этап знакомит нас со статистическими задачами, в которых встречаются проценты. При решении задач на процентное содержание растворов, сплавов и смесей невозможно обойтись без алгебраических знаний, с помощью которых можно установить зависимость между величинами, составляя уравнение или систему уравнений для решения задачи. Если имеется необходимость производить аналогичные, одинаковые вычисления для различных исходных сумм и процентных ставок при решении задач на процентный рост, можно составить формулу и проводить необходимые расчеты с помощью вычислений, а не рассуждений.
Поэтому задачи данного характера сегодня становятся еще более актуальны, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется (повышение цен; объявления коммерческих банков, привлекающих деньги населения на различных условиях; сведения о повышении процента банковского кредита; сведения о доходах по акциям различных предприятий и фондов и т. д.).
Для подготовки абитуриентов к сдаче экзамена, в котором присутствуют задачи на проценты, необходимо иметь определенный банк заданий. Наиболее эффективно он будет применятся, если его структура будет удовлетворять всем требованиям, описанным выше. Автором составлен такой банк в оболочке АСТ- тест, он применяется при подготовке как абитуриентов, так и будущих учителей математики.
Подводя итог, можно сделать следующий вывод: задачи на проценты являются традиционными для школы; обучение их решению всегда рассматривалось как необходимое условие подготовки учащихся к жизни, а теперь и подготовки учащихся поступления в вузы. Необходимо построить процесс изучения данной темы таким образом, чтобы добиться высокого уровня знаний, умений и навыков, столь необходимых для дальнейшего успешного обучения не
только по математике, но и по другим школьным предметам. Навыки решения задач на проценты необходимо поддерживать и развивать в старших классах средней школы.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Старокожева, Е.И. Методика преподавания математики в основной школе. Курс лекций: в 2-х ч. Учебное пособие. - Валуйки: Валуйский колледж, 2008. - 260 с.
2. Учебно-тренировочные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. Математика./ Составители: Денищева Л.О., Глазков Ю.А. и др. - М.: Интеллект-Центр, 2007. - 123 с.
УДК 514 ББК 22.151
Е. В. Кружилина
ОБУЧЕНИЕ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ ВЕКТОРНЫМ МЕТОДОМ В
СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ
Аннотация. Векторы - мощнейший аппарат решения геометрических задач. Сила векторного метода заключается в том, что он позволяет легко делать обобщения, роль которых в математике трудно переоценить.
Ключевые слова: геометрическая задача, обучение решению задач, вектор, векторный метод.
E.V. Kruzhilina
EDUCATION SOLUTION OF THE PROBLEM ON THE GEOMETRY OF VECTOR METHOD IN HIGH SCHOOL
Annotation. Vectors - a powerful machine solutions of geometric problems. The strength of the vector method is that it makes it easy to make generalizations, whose role in mathematics is difficult to overestimate.
Keywords: geometric problem, learning problem solving, vector, vector method.
Переход к всеобщему среднему образованию поставил перед педагогической наукой и практикой нашей страны ряд важных и неотложных задач: разгрузить школьные курсы за счет выделения основного содержания и исключения второстепенных вопросов, освободить их от излишнего теоретизирования, усилить практическую направленность обучения. Со всей остротой встала проблема определения уровня подготовки учащихся средней школы, гарантированного для всех ее выпускников, и путей достижения этого уровня. Очевидно, что необходимым шагом на пути к решению этой проблемы являются уточнение, конкретизация и научное обоснование требований к общеобразовательной подготовке школьников. Явное задание таких требований должно повлечь за собой и существенное изменение методик обучения в плане усиления их целенаправленности на обеспечение формирования знаний и умений на обязательном для всех уровне, предполагаемом средним образованием.
Одним из средств достижения этого уровня в условиях всеобщего среднего образования является перенос акцента с обучения фактам на обучение методам, благодаря чему знания учащихся приобретают действенность и способность к саморазвитию.
Обучение математике является важнейшим компонентом среднего образования, так как в эпоху научно-технической прогресса математика больше, чем когда-либо, становится языком и аппаратом естествознания, техники и производства.
Одним из эффективных и имеющих широкие приложения математических методов, изучаемых в школе, является векторный метод. Поэтому проблема совершенствования содержания и методов обучения математике в школе в свете современных требований с необходимостью включает совершенствование методики изучения векторов. Все сказанное выше свидетельствует об актуальности темы данного исследования.
Традиционно материал по указанной теме является одним из самых трудных в школьном курсе геометрии. В то же время понятие вектора есть одно из фундаментальных понятий современной математики, а векторный метод есть один из широко употребляемых, красивых и современных методов решения задач. Сила векторного метода заключается и в том, что он позволяет легко делать обобщения, роль которых в математике трудно переоценить [1-3]. Для учащихся, владеющих векторным аппаратом, не составит труда решать сложные задачи простым путем.
