Обтекание слабо деформированной капли вязкой жидкостью при малых числах Рейнольдса Текст научной статьи по специальности «Физика»

Н. В. Малай

Обтекание слабо деформированной капли вязкой жидкостью при малых числах Рейнольдса

Несмотря на то, что в научной литературе имеется большое количество публикаций, посвященных исследованию механики деформируемых капель, например [1-3], однако в настоящее время отсутствуют точные данные о влиянии формы поверхности капли на ее гидродинамическое сопротивление. Особенно это относится к описанию движения слабо деформируемых капель и жидких эллипсоидов. Деформация капли может возникнуть при движении ее в вязкой жидкости. В данной статье рассматривается этот случай. Г. Бреннером Ь работе [2] был разработан математический метод для описания движения слабо деформированной твердой сферы. Используя его, можно рассмотреть движение слабо деформированной капли. В приближении Стокса получено обобщение формулы Адамара-Рыбчинского на случай стационарного обтекания слабо деформированной капли вязкой несжимаемой жидкостью. Решение находилось в виде разложения по сферическим функциям. Показано, что на гидродинамическую силу оказывают влияние нулевая и вторая гармоника. Получено приближенное выражение для гидродинамической силы сопротивления сфероидальной капли.

Рассматривается безынерциальное стационарное обтекание слабо деформированной капли однородным потоком вязкой несжимаемой жидкости. Поверхностное натяжение, действующее на поверхности раздела двух несме-шиваемых жидкостей, стремится сохранить сферическую форму и противодействует сдвиговым напряжениям, стремящимся деформировать ее. Если напряжения со стороны внешнего потока, имеющие порядок М-си/Я0 — вязкость внешней жидкости, и — скорость

капли, К. 0 — средний радиус кривизны), сравнимы с капиллярными силами, то капля имеет форму слабо деформированной сферы. Учитывая, что капиллярные силы ~ 2а/Я0, каплю можно считать слабо деформированной при выполнении условия А < 1

ст

Для капель, падающих в жидкости вязкостью ~ 10_| кг/м • с с коэффициентом межфазного натяжения ст~10"2Н/м, условие

А < 1 выполняется при и < 10 см / с, что соответствует требованию малых чисел Рейнольдса.

Кроме того, форма поверхности капли существенно зависит от отношения вязкостей

(т^М^/Це)- Численные оценки, проведенные в работе [4], показали, что при т] < 0.5 форма капли существенно влияет на ее сопротивление. Это влияние особенно заметно при малой вязкости жидкости внутри капли.

Таким образом, в работе рассматривается движение слабо деформированной капли при малых числах Рейнольдса под действием некоторой силы (гравитационной, электрофо-ретической и т.п.).

Предположим, что поверхность деформированной капли можно описать при помощи уравнения [5] г = Я[1 + еГ(8,ср)], где г,8,ф — сферические координаты с началом в центре недеформированной сферы радиу-саГ = И.; | Е |<< 1 — малый безразмерный параметр, а f (0, ф) — произвольная функция углового положения, имеющая порядок 0(1) по отношению к параметру 8. Параметр б является искусственным параметром, неотделимым от функции £(8, ф). Он введен для того, чтобы указывать на степень приближения получаемых в итоге результатов.

Любую однозначную функцию переменных О и ф можно разложить в ряд по сфери-

ческим функциям Yk (9, ср) [6,7], т.е. при этом к

Yj, (в. ф) = а; Рк (х) + cos Шф + В™ sin тф) Р™ (х),

где А и В^" — постоянные коэффициенты, определяемые формулами

А!"

2 j J f (8, q>)P" (x) cos тф sin 0 d6d<p,

Y..

1 k II 0 0

I . 2л

Y,

k II О О

J Jf(e, ф)Р,;" (x) sin тф sin 9 d0d<p,

Систему уравнений (7)—(8) будем решать со следующими граничными условиями [5] на

,аи:

и; => и; -о, и; -

, и =U, cos6e, -U,sinG е,

г И " г Sr

i эи; и;

г 96 ' г

-» 0 , | U¡ 1*00, Р, *00.

(9) (10) (11)

2пби (к + т)! р (х) рЛх) _ к (2к +1) (к-т)! П0

линомы и присоединенные полиномы Лежан-

ГГ 1Л п / 1, ш>0

дра [6,7], х = cos9, е,„ = { £т = 0 .

Следовательно, поверхность слабо деформированной сферы можно записать в виде

r = R[l + ejrYk(e,<p)].

к=0

В общем случае движение слабо деформированной частицы будет как поступательным, так и вращательным. Вследствие линейности уравнений гидродинамики эти два движения можно рассматривать по отдельности. В работе рассматривается поступательное движение.

Удобно ввести систему отсчета, связанную с центром движущейся гидрозольной частицы, и задача сводится к анализу обтекания слабо деформированной капли бесконечным плоскопараллельным потоком со скоростью U . (U и = - U, где U — скорость упорядоченного движения слабо деформированной капли).

В рамках сформулированных допущений в квазистационарном приближении уравнения, описывающие распределения массовой скорости U и давления Р вне и внутри капли, запишутся в виде [8]

цсД Ue = VPe, divUe=0, (7) i.i,д и; = vР(, divu>0. (8)

Здесь через 8(| обозначена поверхность деформированной капли; индекс «е» и «Ь> относятся соответственно к области вне капли и внутри ее, а индексом « оо» обозначены значения физических величин, характеризующих вязкую среду на бесконечности в невозмущенном потоке; ию=| и^ | — величина скорости набегающего потока; и, и11в — нормальная и касательная компоненты массовой скорости; еги е9 — единичные векторы сферической системы координат.

В граничных условиях (9) на поверхности деформированной капли учтены: условия непроницаемости и непрерывности для нормальных и касательных скоростей, непрерывности касательных составляющих тензора напряжений. На большом расстоянии от капли ( г —> оо ) справедливы граничные условия (10), а конечность физических величин при г —> О учтена в (11).

Набегающий поток оказывает лишь возмущающее влияние, поэтому поля скорости и давления можно разложить в ряды по е

»«О 11=0

V«"', р. =¿8-^. (13)

п=() п=0

Подставляя (12)-(13) в (7)-(8) и приравнивая члены при одинаковых степенях е, получаем, что каждое из полей возмущений ( V,!"1, Р^"1, V/"1, Р(п)) удовлетворяет уравнениям Стокса

цеД Уе(п> = V Ре(п), <НуУе(,"=0, У'"' = УР<П), сНУУ<п>=0.

с граничными условиями

«• = «, У,"» = ив> 0 (п = 1, 2, ...),

1\!"' = \\Л, Рс"°=0 (п=1, 2,...),

г-»О, IV,*" И ю, У,<">=0 (п = 1,2, ...), Р,,в' = Р.1, Р/"' — 0 (п = 1, 2, ...).

При нахождении граничных условий для полей возмущений на поверхности деформированной частицы поступим следующим образом. Разложим поле скорости и<в> в ряд Тейлора относительно точки Г = И.

ir=u<»>ir=R+:r

(r-R)'1 8х XI дгх

(и[.">)|г=

R '

Учитывая, что г - И. - е Я £(8, ср), выражение для и е принимает вид

при г = Я,

или, группируя вместе члены при одинаковых степенях е, получаем

1ч = иг + |у[иг"*£ при Г = я. (14)

Аналогично можно записать и для скорости и,. Таким образом, выражения для нормальных и касательных составляющих скоростей вне и внутри капли в сферической системе координат имеют вид

у-г/И при г =

X! ду1

v^vr + ienvr + í1^—^] C« = e,¡) при r = R.(15)

формированной капли. Задача может быть в принципе решена вплоть до любого порядка по е- Мы ограничимся вычислением только поправки первого порядка к решению, полученному Адамаром и Рыбчинским [5].

Главный член разложения

(U¡,0),Uju>,Ре(0),Pj(0))является,конечно,решением Адамара-Рыбчинского для обтекания не-деформированной капли. Это решение имеет вид [5]

U""1 = и, cose (1 + + Дц, U?" = - и, sin 6 (1 + ^ - -^V), у у 2 у 2 у

I'!"' = I', +^fA,cos6, U;lal = U„cose(A; + A.y!), líy! "

Ui'"' = -U.sin6(A, +2A,y¡), P,w =P0 +10Ü^-A,ycose, (17)

где

■ 2S

'1+ TÜ 1

А, A, = '

2 1 + í

20+8)

, a3 —a4, a4 =

6 = ~ 2(1 + 8)' |i,

Поскольку мы ограничиваемся первой поправкой по е, то с учетом (17) из(9) получа-

ем

I!"" = U,xY. (^f + —А,), u;"> = -U„2xYkyA4, У" У

-Ai. .ЗА,, 2у-' 2у* '

uf> - и;;ь ^ vi - х;

л:;;" -J!-х: эи;"" и;"

с1)' у Зх у 2у 2у

-г\ А, за, . _ аи;<" ч/Г^7 аи;'" и;"» .

ох у у ду у ох у

-2Y,Vl-x!A, -гхТГ^х7 — А,].

дх

и соответственно

U|."= О при r = oo, и|" =0 при г —► 0.

(18)

(19)

Подставляя (15) в граничные условия (9), получаем, что граничным условиям на деформированной сфере можно удовлетворить вплоть до любого порядка по е. Начиная с поля нулевого порядка, каждое поле более высокого порядка можно последовательно получить путем удовлетворения соответствующим граничным условиям на поверхности неде-

Решая систему (18)-(19), можно найти явный вид компонентов скорости для первого приближения

у у" 2у 2у v

и;"1 =-2U.xYkyA4, и;1" =4и.у^1-хг A,, x = cos6.(21)

и(1) тт тт(1) Учитывая, что на поверхности частицы

Обозначим через И Н< величи- компоненты скоросхи нам известны, их мож-

ну скорости на поверхности капли, т.е. но разложить в ряды по поверхностным сфе-

Н^"(9,ф) - и(,"(Я,в,Ф), Н|"(в,ф)='и!'! СМ,ф). рическим пункциям [3].

С учетом (20)-(21) имеем

н:." = хУ,ДА, +ЗА,) е,. + Уь7Г^Т(|А| ев>

(22)

-г.Н=ХХ„(9,Ф), -гУ.Н = ^Ол(&,Ф),(2б)

Г п*| п*|

где функции Х„(0,ф) И 0„(8,ф) можно Н|" = - 2и„хУк а4 ег + 4и„ VI - х2 а4 е0 (23) найти при помощи заданной скорости Н на

_ „ поверхности частицы.

При дальнейшем решении задачи вое- у п

г Рассматривая совместно выражения

пользуемся методом, разработанным Дж. Хап- (24)-(25) и (26) в случае, когда жидкость зани-

пелем и Г. Бреннером [5]. Общее решение урав- мает внешнюю область от капли, имеем нения Стокса в сферической системе координат, полученное Г. Ламбом, в векторной форме '' ,„.» + +о„], имеет следующий вид [5] р =_1_(5.у»'ГпХ +о 1 р = Ур

2(п + 1) " &

(п + 3)г' у р.---р. г),(24) » + ' р г].

2ц(|1 + 1)(2п + 3) ц(п + 1)(2п + 3) > ' ъ -"'*" 2цп(2п-1) "" " пц(2п-1) " ' 1 (27)

|)= ур Так как функции Хп (©, ср) и У„(9,ф)

^ " ' могут быть вычислены из заданного значения

скорости на поверхности частицы, задачу мож-где г„ = г„ (х,у.ъ), р„ = р„(X,У,г), Г = +у3 + г3 , г — но считать в принципе решенной, радиус-вектор, V — трехмерный оператор на- Как только краевая задача для внешнего

дла обтекания решена, то сила, действующая на

Нормальную составляющую скорости из частицу, определяется по формуле [5] (24) с учетом теоремы Эйлера об однородных р = - 4л У(г3 Р

полиномах можно записать в виде

(28)

и соответственно

п Формула (28) справедлива для сфери-

V,. = -— Рп н— ) 5 , ческих и несферических частиц, т.е. она опре-

н=-* 2ц(2п + -0 г деляет силу, действующую на частицу произ-

вольной формы. м Поскольку на поверхности слабо дефор-

д\г _ у^ / п(п + 1)г р +п(п-1)р \ минованной капли величина скорости ' г " 2ц(2п + 3) " г 1 (0, ф) нам известна (см. (22)), то с учетом

(26) имеем

Если через Н = У (Я,6,ф) — обозначить величину скорости на поверхности час- 1^х»"(0-'ю = и»ху>даг +за,), тицы, ТО можно записать У 1с;;чв,р) = -илхУ1:(А, + 9А|,-(1-.о^ч1л.

7~! ' Эх 2 2

v =- г-н, = при г = я.

г 8 г Здесь индекс« к»указывает на сумми-

Причем справедливость второго из этих Р°вание по этому индексу согласно формуле

уравнении зависит от выполнения уравнения непрерывности, в то время, как первое справедливо для произвольной векторной функ- - л,+За, ции V.

(3). Эти выражения можно записать в следующем виде

2к +1

I

2к

У ^О'" Ж—— Г а, )--а, а,}ьк , + {к(-а, - —) + А , +9а,)м..,1, 1 Зк+11 2 2 2 ' 2 1 2 2 ' 11

где 1.к-,ю.ф)»^т(и.^)гьук, м„.,{в,ч>)-г,"1(и.-7)^>г — поверхностные сферические функции соответственно (к-1) И (к+1) степеней [5]. Учитывая это, имеем

к(2к +1) г'"' 2 ' 2" " '

при п = к-1,

■ [к(А, + А,) +1 AJ(U. ■

при п = к + 1, при всех других п. (29)

Поскольку при определении сил учитываем только члены с п = 1, Т.е. к = О И к = 2 из(29), получаем

Г -1. • и. • г+±(|А, - Ь-н и. (30)

Сила, действующая на слабо деформированную каплю, равна

F = F(0) + е F(l),

(31)

где F<0' — сила, действующая на недефорйи-рованную каплю (формула Адамара-Рыбчинс-кого [5]

\ + h

F(u| = 6nRneU0

п.

7 1 1

X" + У" Z J • +-----------

R2 R2(l -е);

= 1.

При б > 0 сфероид является сплюснутым, при е < О — вытянутым. До членов порядка 0(е) уравнение (37) можно записать в виде [5] 12,

г — R{1 — g[— Р0(х) + ~~ Pj(x)]} -f- 0(е ), j 3

где х = cos0. cos0 = z/r,P0(x) = 1 и Р,(х) = (l/2)(3xJ -1). (38)

Сравнивая (38)и (6), получаем

р ^=-|Р2(х).

Следовательно, с точностью до первого порядка малости, при обтекании параллельно оси симметрии сфероидальной капли сила равна

F =6nRu (i + ij

'1 + 5° 3

»-^-ако^)}!», (39)

1+5 * ' (32)

п , — единичный вектор в направлении оси г и Р(1, = -4т1У(г3Р^). (34)

Подставляя в (33) выражение (30), имеем

Г1" = 6* Я [(1 + 18)'V. и . -1 (1 - V« и . ■ V) г: Уг)]. (34)

1+6 J ю J

Таким образом, силу, действующая на слабо деформированную каплю, можно записать в виде

р-б^мД-у^ и. -1(1 -|)7(( и. • у)г'у,и]. (35)

Здесь 5 = •

При |Л| —> со формула (35) переходит в выражение для силы, действующей на слабо деформированную твердую частицу [2]

Г = 6п^.[и„ + Е[У„ии--17((и,„-?)ггУг)]]. (36)

В качестве примера полученных выше результатов рассмотрим обтекание сфероидальной капли. Поверхность сфероида определяется следующей формулой [5]

(37)

Выражение (38) позволяет приближенно оценить гидродинамическую силу сфероидальной капли. Эта сила существенно зависит от отношения вязкостей ( б ), что подтверждается численными расчетами [4].

Таким образом, формула (35) позволяет оценить гидродинамическую силу, действующую на слабо деформированную каплю. Эта сила зависит от формы поверхности, причем вклад дают только гармоники нулевого и второго порядка и от отношения вязкостей.

ЛИТЕРАТУРА:

1. Т. D. Taylor, A. Acrivos On the deformation and drag of a falling viscous drop at low Reynolds number II]. Fluid Mech., 1964. Vol. 18. №3. P. 466-476.

2. 1-1. Brenner The Stokes resistance of slightly deformed sphere // Chem. Eng. Sci., 1964. Vol. 19. P. 519-539.

3. Brignell B. The deformation of a liquid drop at small Reynolds number //Quart. J. Mech. And Appl. Match., 1973. Vol. 26. № 1. P. 99-107.

4. Берковский Б.М., Краков M.C., Никифоров И.В, Полевиков В.К. Гидродинамическое сопротивление эллипсоидальной капли при малых числах Рейнольдса/УМЖГ, 1987. № 3. С. 4-8.

5.Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. М.: Мир, 1976. 630 с.

6. Тихонов A.M., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 735 с.

7. Градпггейн Н.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физ-мат. лит., 1962. 1100 с.

8. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.