CC BY
16
где Я^г, £)
1)е
¡АХ . л\2_-]/Х
+ \Уе
х
О
х р2(£ -
2 -гиг
X
О
хдЬ1((2-1)е ^ +1,
+
+
0м (,, о. ЩМ1
2р(0 + р2 №{-1 (2,0,
ах
р(0 = /яа-у>"^уб/х.
О
Так как 1 - Пп^дЧ*, и, О - вероят
ность занятости системы в периодическом состоянии, то имеем следствие.
Следствие. Пусть/?*(0 — вероятность занятости периодической системы Км(0\М\оо, тогда справедливо асимптотическое разложение
Л а —> О,
¿=1
где = \р2к-х)е =
О
= Нт/^Сг,^), г ^ 2
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
л
1. Дроздов Н. А. О вероятности занятости одной периодической системы обслуживания / / Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. 1985. № 4. С. 25 — 28.
2. Климов Г. П. Стохастические системы обслуживания. М.: Наука, 1966. 244 с.
3. Коваленко И. Н. Случайные процессы / И. Н. Коваленко, Н. Ю. Кузнецов, В. М. Шуренков. Киев: Наук, думка, 1983. 336 с.
4. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. 730 с.
5. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения: В 2 т. М.: Мир, 1984. Т. 1. 528 с.
Поступила 15.01.02.
ОБТЕКАНИЕ ЛИНЕЙНЫМ ПОТОКОМ ДВУХ КАПЕЛЬ, СОДЕРЖАЩИХ ТВЕРДЫЕ ЧАСТИЦЫ
О. А. ПЕТУХОВ А, аспирант
В настоящей работе исследуется гидродинамическое взаимодействие двух капель , содержащих твердые частицы, в линейном потоке вязкой несжимаемой жидкости.
Задаче об обтекании жидких частиц потоком другой жидкости посвящено большое число работ. Гидродинамическое взаимодействие двух жидких сфер в однородном течении изучалось в [7]. Решение было представлено в виде рядов в бисфе-рической системе координат. В работе [8] рассмотрено аксиальное движение капли внутри трубы с учетом взаимодействия
со стенками. В работе [2] рассмотрена более общая постановка задачи, когда одна из сфер может находиться внутри другой. Асимметричное движение двух жидких сфер рассматривалось в [3]. Взаимодействие двух сферических капель в линейном потоке изучено в [4]. В работах [2, 3] предложен метод численного решения задачи, процедура которого дает хорошую сходимость рядов. Деформация отдельной капли в однородном и линейном потоках рассматривалась в многочисленных работах (см., например, обзор [1]).
© О. А. Петухова, 2002
В работах [5, 6] предложен метод тате взаимодействия частицы приобретают
аналитического решения задачи о гидродинамическом взаимодействии конечного числа твердых и жидких частиц в потоках, скорость которых на бесконечности представляется в виде полинома любой целой степени.
В практике часто встречаются случаи, когда необходимо рассматривать взаимодействие между твердой и жидкой частицами или каплями, содержащими внутри себя какие-то твердые включения. В настоящей работе анализируется гидродинамическое взаимодействие двух капель, внутри которых находятся твердые частицы, в линейном течении вязкой несжимаемой жидкости.
Рассмотрим модель, описывающую взаимодействие двух частиц, окруженных оболочкой, в потоке вязкой жидкости. Задача о взаимодействии двух частиц является основополагающей в силу линейности уравнений и граничных условий, описывающих движение жидкости при малых числах Рейнольдса.
В вязкую несжимаемую жидкость вязкости 77/ помещены две твердые сферические частицы радиуса Ь, окруженные сло-
ем другой несжимаемой жидкости вязкости 7; жидкая оболочка имеет сферическую форму радиуса а. Твердые частицы в оболочке А и В помещены в линейный поток жидкости:
иI — ЕцХу + Q^ijXj.
Здесь Ец и £2 ¿у— симметричный и антисимметричный тензоры, определяемые таким образом:
1 2
/
Ц7 = -13 2
ч
/
э и{ Э с/у 1 —- + 3
Эху
дхг
\
д£г
Эху
диу ^ со-
положение произвольной точки жидкости относительно центров сфер А и В
обозначается векторами ХА и Хв соответственно. Для введенных векторов имеем
соотношение - Хл - г, где вектор г соединяет центры сфер А и В. В резуль-
скорости УА и Ув.
Для мелких частиц уравнения, описывающие движение жидкостей в областях 1 и 2, можно считать линейными, так как число Рейнольдса меньше единицы.
Запишем уравнение движения жидкости в областях 1 и 2 в приближении Стокса:
Чщ = 0, 77/Дг^ =
= 0, Т7с/А52 = v^?2.
Везде анализируется стационарный случай ламинарного потока жидкости.
Рассмотрим граничные условия:
А
1) Щ = О,
X
А
= а
(условие непротекания жидкости из области 1 в область 2);
А
2) ии + и ¡(А) + ЕуХЛ]- =
(условие равенства скоростей жидкостей на границе областей 1 — 2);
/
3) 7?/
V
Эху
+
Эр1; дх{
\
пу Х{
/
. Ч' Х
V
дху
дх{
и/тг .
X
А
= а
(условие равенства касательных напряжений на поверхности жидкой частицы);
4) ии
X
, Р\
О,
X
(условие затухания возмущений, вызван ных присутствием частиц в жидкости);
5) v&=uf+Wl*XAj,
X
А
= ь
(условие равенства скоростей на границе жидкость — твердое тело).
Здесь введены обозначения: щ — ско-
ско-
рость жидкости в области 1; ^ — рость жидкости в области 2; и ¡(А) — значение скорости 17 у = ^уХу + в
точке, занимаемой центром сферы А
при
А
= а\
пА
хА
единичные
векторы нормали и касательной к поверх
ности жидкой оболочки частицы А;
и
скорость поступательного движе
ния твердой частицы относительно жид
А
кости 1;
тензор угловой скоро
сти твердой частицы относительно жидкости 1.
Аналогичные граничные условия записываются для частицы В.
Считаем, что поверхность не деформируется, так как поверхность натяжения достаточно большая.
Метод решения задачи. В области 1 имеем уравнения
Чщ = О, 77/Д^! = Ур\.
Осуществляя операцию дивергенции от второго уравнения в силу того, что = О,
получаем уравнение Лапласа Ар\ = 0. Так как имеется граничное условие
Р1
0,
X
оо, то решение уравнения
Ар! = 0 записывается в виде суммы ела
гаемых:
Р\ ~ Н^г + ^¿/^г/ + + + ...
Здесь Нг, ¥гр
неизвестные
тензорные коэффициенты; £¿/6...
о
мультиполь, вычисляемым по правилу
Ь,
д
^•••£
дХ:
д
( Г
дх у
• •
а
1
\
X — расстояние отцентра системы координат наблюдателя до точки в жидкости,
дх
X
\
\
Л
к-; )
где
где берется значение давления;
1
X
фун-
даментальное решение уравнения Лапласа в пространстве.
В задаче рассматриваются две частицы, значит, решение должно зависеть от расстояний до центров двух сфер. Выражение для давления должно содержать мультиполи двух типов: с частными про-
изводными от функций
1
1
X
и
А
X
в
Поэтому выражение для давления записывает таким образом:
(1 ),ТА тВл ,
Рх = Н)Ч1*-Ф + ^
У
У
+ ф+
+
(для одинаковых частиц).
Здесь А и В означают мультиполи, содержащие частные производные от функ-
и
1
1
ции
X
и
А
X
соответственно.
в
Можно записать бесконечно много членов в этом выражении для давления по правилу: сумма мультиполей четного порядка и разность мультиполей нечетного порядка дают симметричную функцию.
Зная распределение давления, мы можем, используя результаты работы [6], записать выражение для функции скорос-
ти:
2 гг(1)
А
тщ = ад -
Ф -
3
3 + ьв) - - в{х\ь\ - Л)
В
1
б ] 1
(1)/гЛ^2 тВл, 2
(1)
2
В
цк
2
1 МОгтА
Г\и ( тЛ у-2 лгА \
О* .» л А л — Л и ; —
В
2
^ ]ке уке
1
А
¿//ге
В
а\ х
]кеп 1]кеп
Здесь и
А ^укеп ХВ ^
— скорость невозмущенного потока жидкости, далее следуют слагаемые с возмущением. На бесконечности эти слагаемые равны нулю, значит, граничные условия выполняются.
Так же, как и для давления, можно записать бесконечное число членов в выражении для скорости. Число членов определяется граничными условиями для скорости.
В области 2 решение строится аналогично, но есть отличия, исходя из того, что область 2 конечная. Чтобы построить решение в области 2, заметим следующее: решение должно содержать слагаемые не
только убывающие, но и возрастающие с расстоянием. То есть в области 2 можно переписать решение с другими индексами и добавить слагаемые с возрастающими функциями. Добавочные слагаемые должны быть сконструированы так, что если размер твердой частицы Ь = 0, то это решение должно быть конечным при X = О,
\
в отличие от решения _, которое обра-
щается в бесконечность. То есть в области 2 мы ищем решение уравнения Лапласа в
виде
1
и
1
А
X
и в виде степенных
в
многочленов, которые не дают особенности при X = 0. Это решение имеет вид
Р2 = + +
+G{21 aA-L - ь*)+d® a* +Lb.u )+...
ijk ijk
ijk
ijke ijke
гjke
+ CDjlf XA + 4*ijXA + XijkLfjkX7A +...
Запишем выражение для скорости жидкости в области 2:
2 гг(2)
*ldP2i = Ufa -1Я V"(Io - Ф
Af^Lj + LP Лс%а%
В
G\tk(L%
5
(2) /г A
g Dijke Щке+ Ljke ) • • •
« •
1 и(2)/гЛу2 TBV 2ч " 6 1 J' ~ LijXB>-
1
" 77: Fik} (LfjkxA + LijkXB ) +
10
ftiXA] + •••
В силу линейности уравнений движения жидкостей в областях 1 и 2 и граничных условий определение неизвестных
тензорных коэффициентов
р(2) г(1) г(2) п(1) п(2) т щ
Ч/ МОЖ-
НО свести к вычислению их в трех задачах. Задача 1. Частицы вморожены в
жидкость, то есть ЪА = 0, дв = 0, частицы помещены в линейный поток жидкости.
Задача 2. Поток = 0, частицы
ч
движутся СО СВОИМИ скоростями , иР
параллельно вектору ?.
Задача 3. Поток £,■,•= 0, частицы
ч
движутся со своими скоростями С//1, и?
перпендикулярно вектору г.
В каждой из задач проведены вычисления скалярных коэффициентов в выражениях для скорости и давления с точно-
о
стью до (а/г) .
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Гонор А. Л. Динамика капли при малых числах Рейнольдса / А. Л. Гонор, В. Я. Ривкин // Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. 1982. Т. 17. С. 86 — 159.
2. Зинченко А. 3. К расчету гидродинамического взаимодействия капель при малых числах Рейнольдса // ПММ. 1978. Т. 42, № 5. С. 955 - 959.
3. Зинченко А. 3. Медленное асимметричное движение двух капель в вязкой среде // ПММ.
1980. Т. 44, N9 1. С. 49 - 59.
4. Зинченко А. 3. Гидродинамическое взаимодействие двух одинаковых жидких сфер в линейном поле течения // ПММ. 1983. Т. 47, № 1. С. 56 — 63.
5. Мартынов С. И. Гидродинамическое взаимодействие частиц // Изв. РАН. МЖГ. 1998. № 2. С. 112 - 119.
6. Мартынов С. И. Гидродинамическое взаимодействие и деформация капель // Инж.-физ. журн.
2001. № 3. С. 155 - 160.
7. Haber S. On the low Reynolds number motion of two droplets / S. Haber, G. Hetsroni, A. Solan// Int. J. Multiphase Flow. 1973. Vol. 1. P. 57 - 71.
8. Hetsroni G. The flow fields in and around a droplet moving axially within in tube / G. Hetsroni, S. Haber, A. Wacholder // J. Fluid Mech. 1970. Vol. 41. P. 689 - 705.
Поступила 03.07.01.
