CC BY
21
ВЕСТНИК Югорского ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2009 г. Выпуск 2 (13). С. 77-79
УДК 532.529:541.182
обтекание составной капли эмульсии линейным потоком вязкой жидкости
Т. В. Пронькина
Введение
Эмульсии широко применяются на практике. Одной из важнейших характеристик является вязкость таких дисперсных систем. Вязкость смесей, в частности эмульсий, зависит от многих факторов: вязкости несущей и диспергированной фаз, формы включений и т.д. Однако сами включения могут представлять собой сложные структуры, состоящие из нескольких различных материалов, например, капли одной жидкости с твердыми частицами или каплями другой жидкости, с пузырьками газа внутри. Такие сложные частицы могут образовываться в результате перемешивания смеси или создаваться искусственно. В последние годы такого рода составные частицы создаются в медицине для транспорта лекарственных препаратов в организм человека. Представляет практический интерес рассмотрение влияния структуры таких частиц диспергированной фазы на вязкость эмульсии. Для этого, следуя [1], необходимо решить задачу об обтекании составной частицы линейным потоком.
Ниже рассматривается постановка задачи и ее решение для капли эмульсии с каплей другой жидкости внутри линейного потока несущей жидкости. Учитывается гидродинамическое взаимодействие капель.
Пусть жидкая частица В вязкости Ць находится внутри жидкой частицы А вязкости ца. Частица А, в свою очередь, помещена в неограниченную несжимаемую жидкость вязкости ц,. Радиусы частиц А и В соответственно равны а и Ь.
Положение точки несущей жидкости относительно выбранных центров в каплях обо-
разделяет центры частиц А и В.
Размеры частиц достаточно маленькие, чтобы число Рейнольдса было меньше 1. Скорость жидкости на бесконечности и есть линейная функция координат.
Так как число Рейнольдса меньше единицы, уравнения для скорости и давления в несущей жидкости и внутри каждой из частиц записываются в приближении Стокса [2, 3]:
На поверхности жидкой частицы А граничные условия записываются следующим образом:
Постановка задачи
значим векторами: Ха , Хв. Для введенных векторов имеем соотношение Хв = Ха — г, где г
V • и = 0, V • Уа = 0, V • Ув = 0,
V2й = ^р1, ЦаV2 Уа = Vра, ЦьV2Ув = Vрь.
й + и — Оа1, Ха — а,
шп? = 0, | Х^а | = а,
А на поверхности жидкой частицы В:
Уа1= Уы, | Хв | = Ь,
(Щ + Ж )П Х = * (Ц + ^) ПьХ, I Хв I = ь,
УаП =0, | Хв | = Ь.
Решение
Решение уравнения для жидкости вне частиц, удовлетворяющее условию на бесконечности может быть записано в виде:
р1 = И] ТА + Е—Ц + с]Т + Л—«ЬАН +...,
1 /~ТІ Т А \г2 1 7^1 7 А
14 С]кіІі]кіХА 18 Оікіп-^укіпХ А • ••
где - мультиполь, вычисляемый по правилу:
- А(А.( (А. Ьі]...* — Эх ( ЭХ) V" ( Эх.1 ^
Внутри капли А выражения для давления и скорости не должны содержать особенностей при | Ха | — 0, поэтому решение внутри капли А записывается в виде:
ра — Н2АЬАХА + Р^АЬ^ХА + ОАЦХА + о2£Дк1хА +... +
+Н2ВЦ + Р2вц + в?вцк + Щ) + •••
ЛаУіа — Н2А (2 І^ХАХі-А + 3 ) А) + Г;2А (2 ДХАха + 452 !А)кХ а) +
+ С к (1 ЬАкіХАХіА + 12 ІПікіХ9/^ + -О 2к1п (2 ІА]кІпХ1АХіА + 1 4о ЬА)кІпХ9А ^ +
+кіаьАх А + ЩАьАкХ А + ыЛиХ А + V,- [ ¥2аіАхА + Ф^АДХА + Г2АііА«хА +
■ /ГЛ2А гА - і 2 тг2В т В 3 т? 2В т В 4 /-г2В т В 5гл2ВтВ 1 ТТ2В т В у 2
+ 'Н )кІп І )кІп X А + •••] _ 3 Ні І0 _ 5 Г) І) _ "у Сі)кІ]к _ 9 ОїкІІ}кІ _ 6 Н ІуХВ _
1 'п2ВтВ \г2 1 ґ^2ВтВ \г2 1 г^2В 7 В \^2
■у0Г )к Іі]кХВ _ 14 С)кІІі]кіХВ _ 18О)кЫІі)кІпХВ
Внутри капли 5 выражения для давления и скорости не должны содержать особенностей при | Xв \ = 0, поэтому решение внутри капли В записывается в виде:
— и2в 7 в у3 , Т7 2в тв V5 I Г^2в Т в \г7 , 7Л2в 7 в 9 ,
рь = И/ Ь/Хв + Гу Ь,Хв + СукЬукЛв + ЛщЬщХв + ...,
— Н3В (2 ІВхВХіВ + -3ІВХв) + Г3В (2
і В х5 Х і 5 г в X71 і
2^]кЛВЛіВ + 42 і)к В I +
4- Сзв I — Ьв У1 х -I_^ Тв У9 14- Лзв I — Ьв X7^4- 7 Ьв X9 14-
+ С;И 1 2 Ь]ЫУвЛ1в + ]2 Ь‘}к1Лв I + Л;Ип 1 2 Ь]к1пУвЛ1в + ]]0 Ь‘3ЫпЛв I +
+^звьвхв + Щьвув + ^Львк;хв + V, [ ^з3вьвхв + и>звьвкХв + ПЦХ +
+ Н]шЬвЫпХв + ...] + ...
Последние слагаемые в выражениях для скоростей внутри жидких частиц должны удовлетворять уравнениям Лапласа и неразрывности.
Численный расчет
Неизвестные тензорные коэффициенты, содержащиеся в выражениях для скорости и давления, должны зависеть от величин Ец, г), г/Ь и быть линейными по Ец, т. к. граничные условия линейны по этой величине. Рассматривая всевозможные линейные по Ец комбина-
ции тензоров Eij, s, бы, можно записать выражения для неизвестных тензорных коэффициентов, включающие скалярные функции, зависящие только от параметра r/Ъ.
Для невзаимодействующих сфер (случай r/Ъ = 0) получаем значения неизвестных скалярных функций F0a, Q0a, Foa, Ф0а, FoOb, Q^b, Fo0b, Ф0Ъ для тензоров:
Fija = hiEijF0a, Djjki = hi {Eg ды + EikSji + Eu Sjt + Ejt8u + EjiSit + EkiSij'jQO11,
F0a = VaEi}FOa, U2a = haEij U2a,
Fijb = haEijF0b, Dijki = ha (Ey Ski + Eit Sji + Eu Sjt + 8,7 + Eji St + (и Sij')Q0b,
Ff = hbEijF0b, Ф3Ъ = hbE,j Ф0Ъ.
Следующий шаг в вычислениях дает порядок r/Ъ. На этом шаге получены ненулевые значения неизвестных скалярных функций EA0a, BA0a, PA0a, PB1, To1a, EA2a, PA°a, NOa, W0a,
rOa, EA0Ъ, BAOb, РА0Ъ, РВ0Ъ, TOb, EA0b, PA0b, N0b, W0b, Г0Ъ для тензоров:
Hla = hErjEAl, Fja = hiEij (F0a + Fi1a e),
Gijt = hi (Euri Sjt + Ejiri Sit + Etiri Sij) BAja + hi (E,jrt + Eitrj)PAla + hiEjtSiPBl1,
Dja = hi (E,j Sti + Eit Sji + Eu Sjt + Ejt Sa + Eji Sit + Eti S,j)(Q0a + Qi1a e),
Tijtin = hi (Eij (г Sin + s St„ + r Sti) + Eit (j Sin + s En + r Sji) + ...) To ,
HOa = haEjTjEAOa, F,j2a = haEij (FoOa + FiOa e),
Gp = ha (EijS + Eitrj + Ejtr)PAOa, №? = ha (- - OEitS + EjtS)),
WOa = haEijSj W0a, UOa = haEij (U0a + UOae),
Г°£ = ha (EijS + Eitrj + EjtS) r0a,
HOb = haErEA?, F,Ob = haEij (FoOЪ + FiOb e),
Gj = ha (EiiSi Sjt + Ejiri Sit + EtiSi Si])BA0b + ha (EijSt + EitSj)PA°Ъ + haEjtrPBlb,
Dijli = ha (Ej Sti + Eit Sji + Eu Sjt + Ejt Sa + Eji Sit + Eti Sij)(Q0b + QObe),
Tijtin = ha (Eij (t Sin + Si (tn + Si Sti) + Eit (j Sin + Si ( + Si Sji) + f) To ,
H0b = hbEijSjEAO, F 3b = hbEj (Fo0b + Fi0b e),
G°* = hb (EijS + Eitrj + EjtS)PA0b, N0b = hb (- OE^rt - OEtrj + EjtS)N0b,
W = hbEjS W0b, Ф0Ъ = hbEj (Ф0Ъ + Ф0Ъ e), rj = hb (EijSt + EitSj + Ejt Si) Г0Ъ.
Вычисления можно продолжить до любой степени точности по параметру r/Ъ. Для проведения расчетов был использован пакет Mathematica 5.0.
В работе [4] найдены выражения для вязкости эмульсии составных капель, в которых сферические включения имеют один центр. Полученное решение может быть использовано для определения вязкости эмульсии для более сложного случая.
литература
1. Batchelor G. K. The determination of the bulk stress in a suspension of spherical particles
to order c2 / G. K. Batchelor, J. T. Green // Journal of Fluid Mechanics. 1972. - V 56, pt. 3.
- P. 401-427.
2. Ландау Л. Д. Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифщиц - М. : Наука, 1986. - 736 с.
3. Батчелор Дж. Введение в динамику жидкости. - М. : Мир, 1973. - 758 с.
4. Пронькина Т. В. О влиянии включений в каплях на вязкость эмульсии // Образование, наука и техника : XXI век : сб. науч. ст. - Ханты-Мансийск, 2008. - Вып. 6. - С. 141-143.
79
