CC BY
39
ВЕСТНИК ЮГОРСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011 г. Выпуск 2 (21). С. 35-39
УДК 532.529:541.182
ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СОСТАВНЫХ КАПЕЛЬ В
ЛИНЕЙНОМ ПОТОКЕ
Н. В. Дворянинова, С. И. Мартынов, Т. В. Пронькина
Введение
При моделировании динамики многофазных сред одна из важнейших задач состоит в определении сил, действующих на каждую фазу. Для одиночной сферической капли было найдено аналитическое решение I. Наёашагё [1] и '. КуЬс2уи8к1 [2]. Ими же был вычислен коэффициент сопротивления капли.
В работах А. З. Зинченко [3], О. Нйбгош [4] находилась сила, действующая на каплю в результате гидродинамического взаимодействия при малых числах Яв. При Яв > 1 получить точное аналитическое решение даже для сферической капли невозможно, поэтому для построения численного решения используются численные методы [5, 6].
Практический интерес представляет вопрос о скорости и направлении движения составных капель вязкой жидкости под действием внешней силы, например, силы тяжести. В отличие от одиночной капли наличие включения в виде другой капли со своими физическими параметрами приводит к изменению внутреннего течения, что приводит к изменению гидродинамических сил, действующих на каплю. В случае составной капли силы зависят от относительных скоростей капли и ее включения. Другими словами, движение включения приводит к появлению силы, действующей на каплю и, следовательно, к появлению у нее скорости. И наоборот, движение самой капли вызывает силу, действующую на ее включение и приводящую ее в движение с определенной скоростью. Как следует из общих теорем динамики системы, такое относительное движение капли и ее включения не должно вызвать смещения центра тяжести составной капли, однако приводит к смещению центров тяжести составляющих капли, что должно сказываться на траектории ее движения. Кроме того, такое сложное движение должно вызывать дополнительную диссипацию энергии и, следовательно, приводить к увеличению эффективной вязкости составной эмульсии [7].
Ниже рассматривается постановка задачи и ее решение для составных капель эмульсии в линейном потоке несущей жидкости. Учитывается гидродинамическое взаимодействие капель.
1. Постановка задачи для N составных капель
Пусть в неограниченной несжимаемой жидкости вязкости п находятся N составных сферических жидких частиц. Обозначим их ЛИ, где И изменяется от 1 до N. Каждая капля имеет вязкость Па и размер аИ, соответственно. Сами капли представляют собой сложные структуры: внутри каждой из них находится жидкая сферическая частица ВИ вязкости щ и размера ЪИ, соответственно. Размеры частиц достаточно маленькие, чтобы уравнения движения жидкости вне и внутри частиц были линейными.
Уравнения для скорости и давления в несущей жидкости и внутри каждой из частиц записываются в приближении Стокса [8, 9]:
У-и = 0, У-\И = 0, V-м’И = 0, V-Vй = 0,
пV2 - и = Ур,, пУ - Vй = УрИ, ПъУ2 - ^ = УрИ
^ I ~ ^ И И
здесь и , р - скорость и давление в несущей жидкости; V , ра - скорость и давление внутри
л И ^ И И т~%И
капли Л ; w , рь - скорость и давление внутри капли В .
Обозначим вектором Xй положение произвольной точки несущей жидкости относительно центра капли ЛИ, а вектором уИ - положение точки несущей жидкости относительно центра капли ВИ.
На поверхности каждой капли ЛИ можно записать следующие граничные условия:
1. Условие равенства скоростей жидкостей на границе капли ЛИ:
и + и = уИ + У И
X
= а
где и - скорость потока несущей жидкости, невозмущенного присутствием составных капель ЛИ, У И - скорость капли ЛИ.
2. Условие равенства касательных напряжений на поверхности жидкой частицы ЛИ:
( тт\ ъ(.. . тт \Л ( ъ1-.ь . тгй\ ъ1-.ь . т^\ ^
д( + иг ) + д(и( + и1 )
дх,
дх;
ПИТИ = Па
д( уИ + У И) д( Vй + УИ)
дх,
-,ЛИ „И п1 ,
при
х
= аИ . Здесь пИ и ТИ - единичные векторы нормали и касательной к поверхности ка-
Л п
пли Л .
3. Условие непротекания несущей жидкости внутрь частицы Л :
х
= а
Соответствующие граничные условия записываются на поверхности каждой жидкой частицы ВИ.
На бесконечности имеем следующее граничное условие:
и, ^ 0, |Х| .
То есть скорость возмущения обращается в нуль при бесконечном удалении от составных капель ЛИ.
Требуется найти скорость и давление потока несущей жидкости, скорость и давление внутри частиц ЛИ и ВИ. Зная их, можно определить силы, действующие на каждую из капель со стороны внешней жидкой фазы.
2. Гидродинамическая сила, действующая на составную каплю в линейном потоке
Рассмотрим случай одной составной капли. Аналитическое решение задачи о гидрод и-
^ 'П'Л
намическом взаимодействии капель в однородном потоке позволяет вычислить силу г , действующую со стороны несущей жидкости на жидкую частицу Л1, и силу ГВ, действующую внутри капли Л1 на частицу В1. Сила, действующая на произвольную частицу в жидкости, вычисляется следующим образом:
-р8п +п
^ ди, ди, ^
дх, дх,
V 1 1 J
Здесь интеграл берется по поверхности частицы, внешняя нормаль к которой есть вектор п . Для вычисления сил необходимо знать распределения скорости и давления вокруг частиц. Для частиц, находящихся в линейном потоке, выражения принимают следующий вид
ггг
ГЛ = 4щ&ЛЕ]к1±
Г,В = 4пПаЪ!1ВЕ
Г1ГкГ
1к 2 г
Здесь /Л, /хв - функции безразмерных параметров п / пъ, па / пъ, а / Ъ, £ . Выражения для функций имеют сложный вид, поэтому их зависимость от указанных выше параметров представлена в графическом виде.
Рисунок 1. Графики зависимости функций /А и /в от параметра є при п /П = 1,2, Пь >Па = 0,5, а / Ь = 5
Рисунок 2. Графики зависимости функций /А и /в от параметра пь / Па при Пі / Па = 1,2, є = 0,1, а / Ь = 5
Рисунок 3. Графики зависимости функций и /в от параметра / ца
при г)ь / Па = 0,5, є = 0,1, а / Ь = 5
Рисунок 4. Графики зависимости функций /А и /в от параметра а / Ь при П, /Па = 1,2, Пь /Па = 0,5, є = 0,1.
Полученные выражения для сил, действующих на составляющие капли, могут быть использованы для изучения динамики составной капли в линейном потоке
3. Поле скоростей внутри составной капли.
Ввиду сложности выражений, анализ, какое движение совершает включение можно провести, зная поле скоростей течения жидкостей в каждой из фаз. Рассмотрим составную каплю Л1, содержащую жидкое включение В1, в линейном потоке вязкой жидкости при следующих значениях параметров а = 1, Ъ = 0,2, п = 0,007, ща = 0,01, щъ = 0,005, г = (0,02; 0,02; 0),
( 0 10 ^
1 0 0
0 0 0
ч У
Ниже приводятся рисунки полей скоростей внутри каждой их фаз.
Рисунок 5. Проекции поля и на плоскости 0ххх2 и 0ххх3
Рисунок 6. Проекции поля Vі на плоскость Оххх2 и Охх
Рисунок 7. Проекции поля м>1 на плоскость 0хіх2 и 0хіх3
Рисунок 8. Проекции поля W1 на плоскость x3 = 0,1 и x" = 0,1
Полученные результаты свидетельствуют о сложной гидродинамической картине течения жидкости внутри составной капли. Наличие вихревых течений как в области A1, так и в
Б1 позволяет предположить, что происходит увеличение диссипации энергии в составной капле, что и приводит к увеличению эффективной вязкости составной эмульсии.
ЛИТЕРАТУРА
1. Hadamard, J. Movement permanent lent d’une sphere liquide et visqueuse dans un liquide vis-queux / J. Hadamard // Acad. sci. - 1911. - V. 152. - № 25. - P. 1735-1741.
2. Rybczynski, W. Uber die fortschreitende Bewegung einer fliissigen Kugel in einem zahen Medium / W. Rybczynski // Bull. Int. Acad. Sci. Cracovia. - 1911. - Ser. A. - № 1. - P. 40-46.
3. Зинченко, А. З. К расчету гидродинамического взаимодействия капель при малых числах Рейнольдса [Текст] / А. З. Зинченко // Прикладная математика и механика. - 1978. -Вып. 5. - С. 955-959.
4. Haber, S. On the low Reynolds number motion of two droplets / S. Haber, G. Hetsroni, A. Solan // J. Multiphase Flow. - 1973. - V. 1. - P. 57-71.
5. Langtangen, H. P. Numerical methods for incompressible viscous flow / H. P. Langtangen, K.-A. Masdal, R. Winther // Advances in Water Resources. - 2002. - V. 25. - P. 1125-1146.
6. Флетчер, К. Вычислительные методы в динамике жидкостей : в 2-х т. - Т. 2 : Методы расчета различных течений [Текст] / К. Флетчер ; [пер. с англ.] : В. Ф. Каменецкий ; под ред. Л. И. Турчака. - М. : Мир, 1991. - 552 с.
7. Мартынов, С. И. Моделирование взаимодействия капель в линейном потоке и вязкость эмульсии [Текст] / С. И. Мартынов, Т. В. Пронькина // Информационные системы и технологии. - Орел, 2010. - № 3. - С. 86-90.
8. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика. - Т. 6 : Гидродинамика [Текст] / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. - 3-е изд., перераб. - М. : Наука, 1986. - 736 с.
9. Бэтчелор, Дж. Введение в динамику жидкости [Текст] / Дж. Бэтчелор - М. : Мир, 1973. -758 с.
