CC BY
14
УДК 532.5
К.В. Кириллин, Д. А. Петрова, С.И. Филиппов
ОБТЕКАНИЕ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА В ОТКРЫТОМ КАНАЛЕ
Рассмотрим поток идеальной несжимаемой весомой жидкости плотности Р . Поток, в котором
находится круговой цилиндр С, имеет свободную
поверхность и ограничен снизу дном на глубине Н. В системе координат (рис. 1), связанной с контуром, течение плоскопараллельное, установившееся, потенциальное. Скорость потока на бесконечности
равна — ио.
Согласно заимствованному из физики закону Лапласа, увеличение давления при пересечении поверхности жидкости пропорционально средней кривизне этой поверхности, то есть
Р - Ро = a
1
—+-
1
R1 R2
(1)
где р - давление внутри жидкости, р0 -
постоянное атмосферное давление, Я1, К2 - главные
радиусы кривизны поверхности, которые будут положительны, если соответствующий центр кривизны находится внутри жидкости, а - коэффициент поверхностного натяжения, величина которого зависит от температуры и физических свойств жидкости. Для
плоских движений К2 =¥ и в формуле (1) имеет место только первое слагаемое, которое для волн малой
амплитуды равно —аЭ2Л/Эх12, где л(х1) -
возвышение свободной поверхности.
Из интеграла Бернулли и условия, что частица жидкости, принадлежащая ее поверхности, остается все время движения на поверхности, получим следующие граничные условия для потенциала вызванных
А..
g
р
У1
Р - Ро = а / R1
^ггггггггггшшшшш
Рис. 1
скоростей:
тт ёц Эф л Ц Эф а ё2ц
и0~Т + ^ = 0, Л=—^ + — -гг (2)
ёх1 Эу % Эх1 Р%^х
Введем функцию тока у(х1, у),
соответствующую потенциалу ф(х^ У1), тогда первое условие (2) можно записать в виде
тт ёЛ Эу
ио — = ^— при У1 = 0 .
ёх1 Эх1
Интегрируя его, получим
Л= Ц-у(х, 0).
и 0
Подставив (3) во второе условие (2), найдем
(3)
а Э 2у Ц0 Эф
---—у + ——у = 0 при у = 0. (4)
Р% Эх1 % Эх1
Введем комплексный потенциал течения Ж(г1 ) = ф(x1, у1) + /у(x1, у1), тогда условие (4) можем записать в виде
Re
a d2W U°2 dW ,Tjr --iW
pg dzi2 g dzi
v
На цилиндре С выполняется условие
0, = °.(5)
/
ImW(zi) = U°y +y° , z е C, y° = const.
На дне канала
Im (dW / dz1) = 0 (y = ~H) .
Кроме того, должны выполняться условия на бесконечности, обеспечивающие ограниченность скоростей возмущений вне окрестности С, и условие излучения волн. Условие излучения будем задавать в соответствии с практическими наблюдениями. Согласно практическим наблюдениям более длинные волны, в образовании которых главную роль играет весомость, развиваются за телом, а более короткие волны, связанные по преимуществу с капиллярностью, распространяются вверх по течению [1]. Отметим, что в противовес чисто капиллярным и чисто гравитационным волнам смешанные волны
существуют только при числах Фруца Fr > Fr *, где Fr * -некоторое минимальное, отличное от нуля,
о
критическое значение.
Для решения задачи применим метод моделирования поверхностей раздела двойными слоями [2]. Будем отыскивать комплексный потенциал течения в виде
Ж (^ (^ + X [ (71 ) + Фк (^ ] , (6)
к=1
и а2
Ж¥ ^) = и 0 а
z1 + ih
z,) = ^ 2pi
dt1
v2( z!)--
2pi
m2 (t2 )
z1 -12 + iH
dt2
V1 (t1) = -ih + ~~7, V2(t2) = -ih + ^
t1 - ih t2 + ih1
h = H - h,
где контуры L1 и L2 получены инверсией линий y1 = 0 и y1 = - H в окружности C и
интегрирование по Lk идет в отрицательном
направлении. Представление потенциала в форме (6) позволяет точно удовлетворить условию на контуре.
Плотность распределенных особенностей определяется из условий на свободной поверхности и дне. Подставив комплексный потенциал (6) в (5), получим
„ [aid V U02 dK .тг aid 2-( z,)
Re \-------1------L----L - K +--------^ -
[pg dz1 g dz1 pg dz1
= 0, (7)
U0dW(z1)-rn(,)
I z1 = X1 —i • 0
g dz1
где -( z1 ) = K2( z1) + f1 (z1 ) + f2( z1) + W¥ (z1 ).
Уравнение (7) при z1 = X1 равносильно следующему:
Re\ai_JK -ЩdVL-k _
[Pg dz12 g dz1
ai d -(z1) U02 d-(z1) + - _ ] = 0
--------~T2---------------— +i-( z1) \ = 0.
pg dz1 g dz1 J
Поскольку теперь под знаком действительной части стоит функция, регулярная в полуплоскости y1 < 0, то она совпадает c чисто мнимой постоянной
ai dV U02 dK .Tr
1 0 — - V +
pg dz1 g dz1
+
ai d2 U0 d
pgdz12 g dz1
- +1
[-(z1)] = c0i, (8)
где с0 - вещественная постоянная. Не нарушая
общности решения, можно положить с0 = 0 . Рассмотрим (8) как дифференциальное уравнение относительно У1(z1). Общее решение уравнения можно получить методом вариации постоянных:
^ (= С ехр(^ ^) + с2 ехр(^zl), (9)
,1 =-pUi (+«0),
«2 =-pUol (1 - «0 ),
2a
«0 =^1 - 4ag/ (pU04).
c1(z1) = f exP (-«1 z1 )A(z1 )dz1
U 0 «0
C2( z1) = ■
A( z1) =
g
U2 «0
f exP (- «2 z1)(z1)dz1.
ai d2 + U0 d
pgdz1 g dz1
[-(z,) 1.
Необходимо назначить пределы интегрирования у неопределенных интегралов формул (9). Для этого необходимо применить принятые нами условия
излучения волн. Параметр 51 относится к волнам, в
образовании которых основную роль играет капиллярность, поэтому нижний предел
интегрирования в формуле для с1 () возьмем равным —¥, а верхний предел - равным z1. Параметр
s2 характеризует волны, в образовании которых основную роль имеет сила весомости, то есть в
формуле для c2 (г1) нижний предел следует взять равным ¥, а верхний - равным z1. Таким образом,
^1) = ц— ехр(^zl)| ехр(-sl^ )А(^1 -
и о 5о
ио2 Sо
1
еХР(S2Z1 ) | еХР ( S2Z1 )А(^ )dZ1 .
Меняя порядок интегрирования, найдем:
^1) = цГ~|ехР(^1)] ехр(-^1)/(1)й1- (10)
и о 5о
1
- ехр( s2 z1) ] ехр(-521) I (1)й 1
+
ехр( ^ ^) 2я/
ехр( £211) 2га
■П
] ехр(-511) Д(1, *2)й 1
■п
] ехр(-521)Д(1, *2) Й 1
т 2(*2) й*2
2т
р 1“ -1 О |ехр(-*Д)Д(к,
к
I (1)
А (1, V) =
-2ш/иоа2 и3а2 Цоа21 (1- /Л )3 g (1- /А )2 1-/А
-2ш/ Ц2 /
Рg
(1-4)3 g(1-0,)2 1-4 (к =1,2)’
Д(1, *2) =-
-2ш/
и о2
pg (1-*2 - /Н) g (1-*2 - /Н) 1-*2 - /Н'
Находя действительную часть предела (1о) при г1 ® х1 - / • о с учетом ранее введенного
представления для V1(г1) (предельный переход в
сингулярном интеграле осуществляется по формуле Сохоцкого), выделяя действительную часть полученного выражения и применяя интегрирование по частям, найдем:
тА) = °1( х) + ] *1) ^1(*1)й*1 +
] К4(Х1, *2 ) т2(*2)й*2, (11)
ш/ (^ - 52) иоа2
+
о1(х1) = 2<^ Яе
pg х1 + /А
■ +
+Е ( s1)exp( s1 х)
- Е ( S2)eХР( s2 х1)
ехр(-5,1) и°а й 1-^ 1 1 + /А
exp(-s21) Цоа й 1 ^ 2 1 + /А
к1( xl, *1) = - 1 Ц“ 1т
р Uоsо
ш/
—(s1- ^ Н1 (x1, *1)+ pg
1
+Е(51) ехр(^ х ) ] ехр(-511)Н1 (1, *1 )й1 -
х1
-Е(52 ) ехр(52х1)] ехр(-521)Н1 (1, *1 )Й 1
К 4 (х1, *2 ) = - ■~ТТ^1т
р ио5о
ш/
---(51 - 52)Н2 (р *2 ) +
, Ш/(51 - 52) +
pg (х1 - *2 + /Н )
х1
+Е(51)ехр(^ х1) ] ехр(-^1) (1- *2 + Ш ) 1 й 1-
х1
-Е(52 ) ехр(52х1)] ехр(-521) (1- *2 + Н ) 1 Й1 +
х
1
+Е(її) ехр(ї х1) | ехр(-ї\1)Н2 (1, *2 )ё 1 -
Х1
-Е(ї2 ) еХР(^2Х1 )| ехр(-ї21)Н2 (1, *2 М1
Нк (1, *к ) = ( .. )2 г. (“7],
(к-ІН) [-^к(*к)]
Рис. 2.
и02 а/я2
Е(ї.) = -і-^-ї. + —-і- (. = 1,2).
Р&
Уравнение (11) очевидно легко привести к безразмерному виду. При этом выделяются число
Фруда Бг = ио / и число Вебера
Weg = а / gрa2.
Из условия на дне, с учетом преобразования системы координат 22 = г1 + ІН , можно получить
второе уравнение для определения тк
т2 (Х2 ) = ^2 (Х2 ) + J К2 (Х2 , *2 )т2 (*2 )^*2 + (32)
+
J Кз (Х2 , )т! (*! ,
где ядра К2, К3 и 02 (х2) имеют вид
К2 (Х2 , *2 ) =^-1т р
К3( х2, *1) = — 1т р
а
(*2 + ІН0 ї (Х2 , *2 )
а1 1
( + ІН) ї4(Х2, *2) Х2 - *1 - ІН
ї3(х2, *2) = х2 - ІН - а2 / (*2 + ІН),
ї4(х2, *1) = х2 -ІН - а2 / (*1 - ІН), °2( Х2) = -2К-е [Х( Х2 )] .
Решение систем интегральных уравнений (11), (12) осуществлялось численно методом последовательных приближений. На рис. 2 представлен пример расчета коэффициента волнового сопротивления кругового
цилиндра
о, = 2 X / (рио а)
в зависимости от числа
Фруда при А/ а = 4 и Weg = о.8об . Сплошная кривая на рис. 2 соответствует ограниченному потоку при Н / а = 8, а штриховая - неограниченной снизу жидкости. Можно отметить существенное влияние дна на гидродинамические характеристики цилиндра, а также тот факт, что для ограниченного снизу потока
критическое число Фруда (Бг*) имеет меньшее значение.
Работа поддержана РФФИ (проекты № о5-о1 -оо794, об-о1-оо155).
Литература
1. Елизаров А.М., Спиридонов О.А., Филиппов С.И. Обтекание подводного контура с образование капиллярно-гравитационных волн // Изв. вузов. Авиационная техника, №2, 2оо1. - С.15-17.
2. Филиппов С.И. Г идродинамика крылового профиля вблизи границ раздела. - Казань: Изд-во Казанского математического об-ва, 2оо4. - 2оо с.
