Капиллярно-гравитационные волны при циркуляционном обтекании подводного цилиндра в канале конечной глубины Текст научной статьи по специальности «Физика»

_____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 153, кн. 1 Физико-математические пауки

2011

УДК 532.5

КАПИЛЛЯРНО-ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ ПРИ ЦИРКУЛЯЦИОННОМ ОБТЕКАНИИ ПОДВОДНОГО ЦИЛИНДРА В КАНАЛЕ КОНЕЧНОЙ ГЛУБИНЫ

А.М. Елизаров, К.В. Кириллин, С.И. Филиппов

Аннотация

Исследуется обтекание подводного кругового цилиндра установившимся, ограниченным снизу потоком идеальной жидкости с учетом силы тяжести и поверхностного натяжения па свободной границе. Проведены систематические расчеты коэффициентов подъемной силы и волнового сопротивления, а также определены формы свободной поверхности в зависимости от числа Фруда при различных числах Вебера и разных значениях циркуляции.

Ключевые слова: капиллярпо-гравитациоппые волпы. обтекапие цилиндра, ограниченный поток.

Введение

Задача обтекания подводного кругового цилиндра в ограниченном снизу потоке весомой жидкости относится к классическим задачам гидромеханики. Первые ее решения были получены Л.Н. Сретенским [1] для модели диполя и М.Д. Хаскин-дом [2]. применившим метод Н.Е. Кочина. Современные подходы к исследованию данной задачи связаны в основном с уточнением выполнения граничных условий. Обзор работ по этой теме можно найти, например, в [3. 4].

Влияние силы поверхностного натяжения на свободной границе также изучалось многими авторами, но в случае, когда исследуемые потоки не содержали обтекаемых тел. В [5] нами начато исследование обтекания подводного цилиндра с образованием капиллярно-гравитационных волн для течения бесконечно глубокой жидкости. В настоящей работе в рамках линейной теории волн малой амплитуды при точном выполнении граничных условий на контуре и дне канала изучается циркуляционный поток конечной глубины.

1. Постановка задачи

Рассмотрим поток идеальной несжимаемой весомой жидкости плотности р. в котором находится круговой цилиндр С радиуса а. Пусть этот поток имеет свободную поверхность н ограничен снизу горизонтальным дном, находящимся на глубине Н. Центр цилиндра расположен на глубине Н, Н + а < Н .В системе координат (рис. 1). связанной с контуром, течение плоскопараллслыгое. установившееся и потенциальное. Скорость потока на бесконечности равна и0.

Согласно закону Лапласа, известному из физики, увеличение давления при пересечении поверхности жидкости пропорционально средней кривизне этой поверхности. то есть

р - Р0 = а/Я, (1)

Рис. 1. Схема течения

где p - давление внутри жидкости, р0 - постоянное атмосферное давление, R -главный радиус кривизны поверхности, а - коэффициент поверхностного натяжения, величина которого зависит от температуры и физических свойств жидкости. Для волн малой амплитуды выражение в правой части (1) равно -ad?n/dx2, где П = п(х) — возвышение свободной поверхности над горизонтальным уровнем.

Требуется найти форму образующейся свободной поверхности и рассчитать коэффициенты волнового сопротивления и подъемной силы цилиндра.

2. Краевая задача для потенциала возмущенных скоростей

Из интеграла Бернулли и условия, что частица жидкости, принадлежащая ее поверхности, остается все время движения на этой поверхности, получим следующие граничные условия для потенциала p = p(x, у) возмущенных скоростей:

clq dp _ Uq dip a ci2??

и°^+д^-°’ (2)

Введем комплексный потенциал W(z) = p(x,y) + гф(х,у) возмущенного течения, где ф(х, у) — функция тока, гармонически сопряженная к потенциалу p(x, у). Тогда из условий (2), как показано в [1], можно получить соотношения

^ (а d2W U0 dW \

Re-------—5------ —----iW)=0, y = 0, (3)

\pg dz2 g dz J

где Re - обозначение вещественной части комплексной величины. На границе C

цилиндра выполняется условие

Im W(z) = Uoy + фо (фо = const), z е C, (4)

где Im - обозначение мнимой части комплексной величины. На дне канала

Im (dW/dz) =0 (у = -H). (5)

Представим W(z) в виде суммы W(z) = W*(z) + WY(z), где W*(z) - комплексный потенциал возмущенного бесциркуляционного течения, удовлетворяющий условиям (3)—(5). Потенциал WY(z) чисто циркуляционного течения наряду с условиями (3) и (5) удовлетворяет условиям

Im WY(z) = ф\ (ф\ = const), z е C; ДсWY(z) = Г, (6)

где Ас — приращение функции щи положительном обходе С, Г - значение циркуляции.

Кроме того, должны выполняться условия на бесконечности, обеспечивающие

С

воли. Последнее будем задавать в соответствии с практическими наблюдениями, согласно которым более длинные волны, в образовании которых главную роль играет весомость, развиваются за телом, а более короткие волны, связанные преимущественно с капиллярностью, распространяются вверх по течению [1].

3. Моделирование поверхности раздела сред распределенными диполями

Для решения поставленной задачи применим метод моделирования поверхностей раздела особенностями (диполями), предложенный в [6] и развитый для многосвязных областей в [4|: будем отыскивать комплексный потенциал бесциркуляционного течения в виде

(7)

к= 1

^2 (^)А г — 1 + Ш’

фф) = _]_1^(СкУКк с г1г+-------------------°2 , А. = 1,2,

; 2тгг / г-Ск ’ ^ 1к+г(-1)Чгк' ’ ’

где Н1 = Н, Н2 = Н — Н, ^к = Ик (¿) ~ неизвестные плотности распределения диполей па свободной поверхности (к = 1) и дне (к = 2), контуры ¿1 и ¿2 получены инверсией линий у = 0и у = — Н относительно окружности С, а интегрирова-Ьк

форме (7) позволяет точно удовлетворить условию (4) на контуре.

Плотности ^к распределенных особенностей определяются из краевых условий на свободной поверхности и дне. Подставив комплексный потенциал (7) в (3), получим

И.е

1а в?У1 иО аVI

рд

¿г2

д аг

1а ¿?0,(г) и2 ¿0,(г)

рд

¿г2

д

аг

— Ш(г)

0,

(8)

г=х-г-0

где Q(г) = V2(z) + ф1(г) + ф2(г) + Шж(г). Уравнение (8) при г = х равносильно следующему:

И.е

1а d2Vl иО аVI

рд

¿г2

I-

д аг

га с12П(г) И2 (К1(г)

рд

аг2

д

аг

гО.(г)

(здесь черта обозначает комплексное сопряжение). Поскольку под знаком действительной части стоит функция, аналитическая в полуплоскости у < 0, то эта функция есть чисто мнимая постоянная, которую, не нарушая общности, можно положить равной пулю. Значит,

га 3?Т7! и2 дУ\ .у

рд аг2 д аг

(г) = 0,

(9)

где оператор А определен соотношением

<*>“>=(££-‘Н-

Рассмотрим (9) как дифференциальное уравнение относительно V1(г). Общее решение этого уравнения можно получить методом вариации постоянных:

1ри2

У1(г) = С1(г)ехр(в1г) + с2(г) ехр(в2г), вк =-[1 - (-1)%] ,

сф) = (-1)^!-^ I {АЩ (г)сЬ, к = 1,2; 80 = ^1 - 4ад/(РЩ).

Необходимо определить пределы интегрирования у неопределенных интегралов в формулах для ск(г). Для этого нужно использовать принятые памп условия излучения волн. Параметр в1 относится к волнам, в образовании которых основную роль играет капиллярность, поэтому в формуле для с1(г) нижний предел интегрирования возьмем равным —го, а верхний - равным г. Параметр в2 характеризует волны, в образовании которых основную роль играет сила тяжести,

с2 (г)

ным го, а верхний - рав ным г. Таким образом,

Vl(z)

Ф/'Ч !

-в2^

в^и^ ,] вои2

— сю

Поменяв порядок интегрирования, получим:

(л) ал.

П(г)

д

в оио2

J в-31Х1 (л) ал — е822 J в-32Х1 (л) ал +

+

2п1

е~Я1 £>1(А, С1)йХ

ц 1(00 <К\ —

е32~

27Г*

+

2п1

е-81ХБ3(л,г)ал

Ю 2

-Ю -Ю

№(ь) аь

+

2пг

е~Я1 £>2(А, С2) ¿А

А*2 ( С2) ¿С2 -

е82г

27Г*

е-82ЛД2(А,С2)^А

А*2(С2) ¿С2 > , (10)

т/ л ^ 2iaa2Uo | о2Щ | го2[/о ( ^ = ~рд(Х - Иг)3 + д(А - Иг)2 + А - ¿/г’

е

г

812

е

812

е

2

Ю

2

е

2

812

е

2

Ск) = ~ Яз(А,*) =

2іа

и 2 и0

рд(х~Ск)3 д(х~Ск)2 А-с к 2іа и2

= , к —1, 2;

рд(л — Ь — гН)3 д(л — Ь — гН )2 л — Ь — гН

Найдя действительную часть (10) в пределе при г ^ х — г ■ 0 с учетом ранее введенного представления для Vl(г) (предельный переход в сингулярном интеграле осуществляется по формуле Сохоцкого). выделив действительную часть полученного выражения и применив интегрирование по частям, имеем:

Ю Ю

Р1(х) = о~1(х) + J К1(х,ь)^1(ь)аь + ! К4(х,ь)р2(ь)аь, (п)

/ ч 2да к апх) = —гг^е

воио

Ша{(\+Е(ЙУ'*

рд{х + іН) ] л + іН

-с1Х- Е{-^)е8

¿л

д

1т

го. ___ _

---(«1 - «2)Ні(Х,І) +

рд

пвои§

+Е{1Т)е31Х І е-8іЛЯі(А^)ЙА-В(^)е82Ж / е-82ЛЯі(А,^)ЙА

X X

Iх І ^ и ( \ +\ л\ Т?(тгг\^2х і .-.—зі'А. ]

к4(х,і) = —-

д

ттвоЩ

1т

іа . ч / ч іа(ві — во)

— аГ -з5)Н2(х,і)+ / . ,Г^ +

рд рд{х - і + іН)

Нк {л, ік)

+ £(?І)е8іЖ е“8іА(А-# + гЯ)“МА-

— Гх —

Е(вїУ2:х е~8іЛ(А - і + ІН)-1 ¿Х+

«/ ос

+Е{Т[)еВ1Х є-ВіХН2(\,і)сі\-Е(1їУ2Х і є-В2ХН2(\,і)сі\

°2 _ .• и0^~ , іавк2 0 (+ і ~і9г\ ґ (+ м’ Е(вк) г з ¡і + , А, 1,^-

{ік - іН)2[Л - Ск[ік)] д рд

При приведении (11) к безразмерному виду выделим числа Фруда Рг = Щ/у/да и Вебера Weg — а/{дра2).

Из краевого условия на дне после преобразования системы координат г ^ г+Н найдем второе уравнение для определения рк '■

со о

р2{х) — а2{х) + ! К2{х,і)р2{і) аі Кз{х,і)рі{і) ¿і, (12)

К2(х,і) =-------Іт

п

{і + іН1)283{х,і)

X

X

X

2

а

СХ —

0.400.18-0.041.20 1.65 2.10 2.55 йг

Рис. 2. Зависимость коэффициента волнового сопротивления от числа Фруда при = = 0.824, Н/а = 12 Н/а = 4 для 7 = -0.5; 0; 0.5 (кривые 1-3)

Рис. 3. Зависимость коэффициента подъемной силы от числа Фруда при = 0.824. Н/а = 12, Н/а = 4 для 7 = -0.5; 0; 0.5 (кривые 1-3)

Кз(х, #) =------1т

п

(Ь + гИ,)234(х,Ь) х — Ь — гН ’

в2(х,ь) = х—гН\—о02/{Ь+гН\), $4(х,Ь) = х—гн1—о2/(г—гн), &2(х) = — 2Кв[^Ю(х)].

Для чисто циркуляционного течения комплексный потенциал Ш7(г) отыскивается в виде, аналогичном (7), где нужно заменить на , а ШЮ(г) - на

^-уоо (¿ ) — 0_. 1П

Г ] х + Иг — а?/— Иг)

27Г*

Здесь г - произвольная точка области у > 0. Тогда потенциал (г) удовлетво-

ряет условиям (6), а из условий (3) и (5) можно получить вторую систему уравнений для определения .

Решение систем интегральных уравнений (11), (12) осуществлялось численно методом последовательных приближений [4]. Разработанная на языке Фортран программа вычисления гидродинамических характеристик была протестирована для случая Н = ж - получены результаты, совпадающие с результатами [5].

На рис. 2-6 представлены примеры расчета коэффициентов сх = 2Х/(ра,и2) и су = 2У/(рои2) волнового сопротивления и подъемной силы кругового цилиндра в зависимости от числа Фруда, а также формы образующихся волн при а = 0.003 для канала конечной глубины. На рис. 2, 3 кривыми 1 3 представлены результаты расчетов гидродинамических характеристик цилиндра для различных значений

Рис. 4. Зависимость коэффициента волнового сопротивления от числа Фруда при к/а = = 5, Н/а = 10, 7 = — 0.5 и температуре 0 ° С (сплошная кривая) и 30 °С (штриховая кривая)

Рис. 5. Зависимость коэффициента подъемной силы от числа Фруда при к/а = 5, Н/а = = 10, 7 = — 0.5 и температуре 0 ° С (сплошная кривая) и 30 °С (штриховая кривая)

-30 -20 -10 0 10 20

Рис. 6. Форма свободной поверхности при Fr = 1.45, Weg = 0.824, 7 = -0.5, H/a = 12 и к/a = 4

циркуляции 7 = r/(aUo) = —0.5;0;0.^ щи H/a = 12, h/a = 4, Weg = 0.824. Отмстим, что для ограниченного снизу потока, в отлично от бесконечно глубокой жидкости [5], кривые cx = cx(Fr), cy = cy (Fr) имеют максимумы. Сплошная и штриховая кривые на рис. 4, 5 соответствуют разным числам Вебера Weg = 0.867 и 0.806 при h/a =5, H/a =10, 7 = —0.5. Это имеет место, например, для а = 0.0757; 0.0712, то есть для коэффициентов поверхностного натяжения при температуре воды 0 °С и 30 °С [7]. Как видно из графиков, с увеличением числа Фруда влияние на гидродинамические характеристики температуры, следовательно, и поверхностного натяжения, быстро ослабевает.

Отметим, что в целом для данной задачи характерно наличие двух критических чисел Фруда [1], в интервале между которыми и проводились расчеты, поскольку только там образуются капиллярно-гравитационные волны. Пример расчета свободной поверхности п = Ф/Uq щт Fr = 1.45, Weg = 0.824, 7 = 0.5, H/a = 12 h/a = 4 к радиусу цилиндра.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект X- 08-01-00163).

Summary

A.M. Elizarov, K.V. Kirillin, S.I. Filippov. Capillary-Gravity Waves in the Circulation Flow around an Underwater Cylinder in a Finite Depth Channel.

In this article, we study an underwater circular cylinder in a steady-state ideal flow restricted from below taking into account gravity force and surface tension 011 the free boundary. We performed systematic calculations to determine the lift, and wave drag coefficients as well as free surface shapes depending 011 the Froude number for different Weber numbers and circulation values.

Key words: capillary-gravit.y waves, flow around a cylinder, restricted flow.

Литература

1. Сретенский Л.H. Теория волновых движений жидкости. М.: Наука, 1977. 816 с.

2. Хаскинд М.Д. О поступательном движении тел под свободной поверхностью тяжелой жидкости конечной глубины // Прикл. мат. и мех. 1945. Т. 9, Л'! 1. С. 67 78.

3. Отурова И.В. Численные расчеты в задачах генерации плоских поверхностных волн:

Препринт .V 5 / ВЦ СО АН СССР. Красноярск, 1990. 48 с.

4. Филиппов С.И. Гидродинамика крылового профиля вблизи границ раздела. Казань: Изд-во Казап. матем. о-ва, 2004. 200 с.

5. Елизаров А.М., Спиридонов О.А., Филиппов С.И. Обтекание подводного контура

с образованием капиллярпо-гравитациоппых воли // Изв. вузов. Авиац. техника. 2001. 2. С. 15 17.

6. Тумашев Г.Г., Че.ре.пенин Н.Д.. Задача о движении круглого цилиндра под свободной поверхностью тяжелой жидкости // Труды семинара по краевым задачам. Казань: Изд-во Казап. ун-та, 1973. Вып. 10. С. 140 151.

7. Бэтчелор Дон:. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973. 758 с.

Поступила в редакцию 18.03.10

Елизаров Александр Михайлович доктор физико-математических паук, профессор, директор НИИММ им. Н.Г. Чеботарева Казанского (Приволжского) федерального университета.

E-mail: elizaruvekm.ru

Кириллин Кирилл Вадимович младший научный сотрудник НИИММ им. Н.Г. Чеботарева Казанского (Приволжского) федерального университета.

E-mail: kirillQksu.ru

Филиппов Сергей Иванович доктор физико-математических паук, ведущий научный сотрудник НИИММ им. Н.Г. Чеботарева Казанского (Приволжского) федерального университета.

E-mail: sergei.filippuvQksu.ru