Циркуляционное обтекание цилиндра в ограниченном потоке над линией раздела двух жидкостей Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.5

К. В. Кириллин, С. И. Филиппов ЦИРКУЛЯЦИОННОЕ ОБТЕКАНИЕ ЦИЛИНДРА В ОГРАНИЧЕННОМ ПОТОКЕ НАД ЛИНИЕЙ РАЗДЕЛА ДВУХ ЖИДКОСТЕЙ

Исследуется обтекание кругового цилиндра двухслойным потоком весомой жидкости, ограниченным «крышкой» и дном. Проведены систематические расчеты коэффициентов подъемной силы и волнового сопротивления цилиндра в зависимости от числа Фруда при разных значениях циркуляции.

Рассмотрим поток идеальной несжимаемой жидкости, ограниченный сверху твердой крышкой М1, а снизу твердым дном М3 , и состоящий из слоя толщины Н1 плотности

Р1 и слоя толщины Н2 плотности р2 . Жидкость находится под действием силы тяжести, ускорение которой равняется 3 . Цилиндр радиуса а расположен в верхнем слое жидкости на расстоянии Л от верхней стенки (рис. 1). Величину Л будем называть глубиной погружения, Ь = Н1 — Л - отстоянием цилиндра от линии раздела жидкостей М2 .

Рис. 1 - Схема течения

О х

В системе координат, связанной с цилиндром так, что ось і і совпадает с горизонтальной крышкой и направлена навстречу потоку, а ось Оіу і направлена вверх и проходит через центр цилиндра С, течение плоскопараллельное, установившееся. Скорости

потока на бесконечности перед цилиндром параллельны стенкам канала и равны и

( к =1,2). Считаем, что внутри жидкости вихри отсутствуют, так что течение обладает потенциалом скорости.

344

Введем соответствующие слоям жидкости области ^к (к = !,2). Область А представляет собой полосу —Ні £ уі £ 0 за исключением области, ограниченной контуром С , область ^2 - полосу —(Ні + Н2) £ У і £ —Ні.

Рассмотрим комплексную переменную ^і _ хі + іуі и комплексные потенциалы

Wk (Zi) — j (Xi, Уі) + іф к (Xi, Уі)

D„

возмущенного течения ' 'кУ*-V ~ 'Ук\п11Л)' ''■Тк^ии в соответствующих областях к .

Используя предположения линейной теории волн малой амплитуды, с учетом обозначений

mi —

\Nk (Zi) — UkWk (Zi)

PiUi2

З (Pi— P2)

P1U12 + P2U22

P1U12 + P2U

2

22

m2 —

P2U2

P1U12 + p2U22 m — m1 — m2

придем к следующей задаче. Найти функции Wk (^i), аналитические в соответствующих областях и удовлетворяющие условиям:

на поверхности цилиндра C

Im W1(z1) = y1 + ^ (^ = const) z1 eC.

M1

(i)

на горизонтальной крышке

Im

dWi(Zi) dzi

—о

У1 — о.

на линии раздела жидкостей

M

Re

на дне канала

Im [Wi(Zi) — W2 (Zi)] — о,

dW,(z,) dW2(z,) . .... '

m m + /v2W2 (z,)

M

dZ

Im

dZ

—о

У1— —Hi-

(2)

(3)

(4)

dW2 (Zi) dzi .

У1 — —(Hi + H2).

на бесконечности

limWZ) — о

Xi®~ dz,

dWk (Zi)

dZi

<A

A<

(5)

(б)

Граничные условия (1), (2), (5) являются условиями плавности обтекания цилиндра и стенок канала. Условие (3) на линии раздела является кинематическим условием, (4) -динамическим и представляет собой комплексную запись условия непрерывности давления при пересечении поверхности раздела жидкостей, взятое в линеаризованной форме. При этом, следуя теории волн малой амплитуды, будем выполнять это условие на невозмущенном уровне линии раздела. Условия на бесконечности (6) обеспечивают отсутствие

2

о

345

скоростей возмущений далеко перед цилиндром и ограниченность возмущений вне его окрестности.

В силу линейности задачи представим ^к (^1) ( к =1,2 ) в виде суммы

Мк (*д = И^1к&) + К^2к (21), (7)

где ^1к (21) - комплексные потенциалы возмущенного бесциркуляционного течения,

удовлетворяющие условиям (1) - (6), ^2к (21) - комплексные потенциалы чисто циркуля-

V = Г7

ционного течения, /^1, Г - значение циркуляции. Потенциалы ^2к (21) (к = I,2)

наряду с условиями (2) - (6) должны удовлетворять еще следующим условиям:

\mW2l(zl) = ^2 (^2 = соп^), ^ е С. (8)

Лс^А) =1, (9)

где ^с - приращение функции при положительном обходе С .

Метод решения задачи заключается в распределении двойных слоев особенностей (диполей) вещественной плотности по невозмущенному уровню линии раздела жидкостей

М2 и горизонтальным крышке М1 и дну Мз, к потенциалам которых добавляются такие регулярные вне цилиндра функции, что условие на цилиндре (1) выполняется точно. Такой метод был впервые предложен в [1] и развит для многосвязных областей в [2].

Будем искать комплексные потенциалы в виде

М5к (^) = ^ (^) + К^) + Ф^) + V 2^) + Ф 2^) + Кз(^) + Фsз(Zl)

(1о)

где

a2 м, 1 zi— ZY ....... a2

Wi^ (Zi) — —^- W2¥ (Zi) —z* — — ih +

z, + ih, 2п/ Zi — Zy , * Zy — ih

Vsi(zi)— 2П Jdt Fsi(zi)— 2П j^t)Us(t)dt

2п/ z, — t 2п/

Z,

2

a

Fi(Zi, t) a

і t—ih )2 [z, + ih — a2j і t — ih)]

V (Z) —f—Us2(t)— dt Ф (Z) —f F (Z t) и (t)dt

s2( l) 2ni f z, — t + iH, s2( l) 2ni f 2( 1, )Us2( )

—¥ 1 1 —¥

F2(Zi, t) —

a2

і t — ih + iH, )2 [ z, + ih — a2/і t—ih + iH,) ]

^ — ^ 1 Zi — t +sH + H2 ) dt, ^ — ^j^’(>Us3(td

^ (z,, t) —............

a2

іt — ih + i і H1 + H2 ))2 [zi + ih — a 2/ іt — ih + i і H1 + H2 ))] s — 1,2

34б

Здесь ^і~ (^і) - комплексный потенциал возмущенного течения при обтекании цилиндра С безграничным потоком. Слагаемое ^2~ (^і) в представленном виде удовлетворяет условию (8), точка ^ находится в области уі > 0 . Функции ^і(^), 2(^) , Угз «) -

у = О

вещественные плотности диполей, непрерывно распределенных по линиям і , уі =—Ні, уі = —(Ні + Н2) (под 2(0 и ^ 3(І) подразумевается ^ 2(^ — іНі) и

Мзз(^ — І(Ні + Н2)) соответственно). Функции ФзА), 2(^і), фзз(^і) построены с ис-

пользованием теоремы Милн-Томсона об окружности [3] так, чтобы мнимая часть их суммы соответственно с ^гі(^і), Ц>2(^і), Ц.3^0 на цилиндре С являлась постоянной [і], что обеспечивает выполнение граничного условия на цилиндре (і), если комплексный потенциал записан в виде (і0).

Для определения плотностей (*) (э = і

,2; 1 = !,3 ) воспользуемся граничными условиями (2), (4), (5). Условие (3) выполняется на основании свойств предельных значений интеграла типа Коши.

Рассмотрим подробно условие на границе раздела жидкостей (4) для случая чисто циркуляционного обтекания, куда перенесем ось абсцисс, т. е. проведем преобразование

координат ^2 = ^і + ІНі. Подставим комплексный потенциал в форме (іО) (> = 2) в условие (4) с учетом преобразования координат, получим:

Re

dZ2

+ iV„

V22(Z2)+

V

d

m— + /V 2 dZ 2

(Q22(Z2 ) + V23(Z2 ))

о

где

^22^) - W2¥ (Z2) + V2i(Z2) + Ф21 (Z2) + Ф22(Z2) + Ф23 (Z2)

Ox,

и

- Z2 —X2 +/ 0

V22(Z2) -

, (11) предельное

значение при подходе к оси 2 2 сверху.

Условие (11) представляет собой сингулярное интегро-дифференциальное уравнение, которое содержит три группы слагаемых: с особенностями на линии раздела ( У2 _ 0), с особенностями внутри рассматриваемой области (у2 > 0 ) и с особенностями вне области

(У2 > 0). Его можно регуляризовать используя следующий прием. Заметим, что (11) эквивалентно следующему уравнению:

Re

Л

V dZ2

+ iV„

V22 (Z2)+

V

d

m------------/V 2

dZ 2

\ r

^22 (Z2 ) +

V

d

m— + /V 2 dZ 2

V23(Z2 )

о

z2 —X2 +/ 0

где черта сверху означает сопряжение относительно оси 02Х2. Функции ^22(^2), Цз(^2) ,

^22(^2) регулярны в верхней полуплоскости в системе координат Х202у 2, следовательно, выражение под знаком действительной части в этой области является чисто мнимой по-

стоянной:

d

V dZ2

+ /V,

V22(z2) +

m-

d_ dz,

^22^) +

V

d

m— + /V 2 dZ 2

V23 (Z2) - iN

(i2)

347

где N - вещественная постоянная, определяемая из условия на бесконечности (6): N — 0. Соотношение (12) представляет собой линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно ^22 , решив которое, найдем

Vate) — -m [О^) + V^ (Z2 )

+ iV, e iVA I e'v 2

j eiv 2 [(m +1)022 (т) + (m -1) V* (т)] dт

7 О X

Устремив 2 сверху к оси 2 2, на основании формулы Сохоцкого получим

У22М - П { — 2т [Й^) + Ц>з(^2)_ -

Х2 _

^е^ | е"2 [(т + 1)022(Т) + (т- 1)Цз(г)]&

+¥ . (13)

Перемена порядка интегрирования позволяет представить действительные части выражения (13) в виде линейного интегрального уравнения Фредгольма второго рода.

Остальные пять уравнений для нахождения плотностей особенностей можно получить, проделав аналогичные (11) - (13) преобразования для граничных условий (2), (5) для случая чисто циркуляционного и для условий (2), (4), (5) для случая бесциркуляционного обтекания. В результате получим две системы уравнений для определения плотностей

особенностей Уэ!(*) ( 5 — 1,2; 1 — 1,3 ):

+¥ +¥ +¥

ИЛ) — ^(*1) +1 кп(хх, о у^м +1 к^, о у^да +1 к^, о у5з(ОМ,

—¥ —¥ —¥

+¥ +¥ +¥

Уз 2(*2) — Рз 2(*2) + | К 21 (*2, О УММ + | К22(Х2, О У32(0М + | К*^, 0 У3з(ОМ,

—¥ —¥ —¥

+¥ +¥ +¥

Узз(*з) — Рз з(*з) + | Кз^ *) УзАОМ + | Kз2(Xз, *) Уз 2(0М + { ^(^ *) У3 з(^М,

(14)

где

j11( x1) — -2а2 Re<

xl +ihj n

1

K12 (x1, t) — — Im

Ku( X1, t) — - Im{Fl( X1, t)} 1

TT+f2 (Xl, t)

K13( x1, t) — — Im

1

77 I X1 - t + i (H1 + H2 )

+ Fз (Xl, t)

j12 (x2) — -2а2 Re

x.

m *2 e-|V2Т

—------------- + (m +1) iv2eiV2X2 j------------------------

i (H, - h) y ’ 2 j т - i (H, - h)

dr

Z

з48

K (x2,t) — — Im

x.

m f lV /v x г e 2 .

-----------+ (m +1) iv2e 2X2 I---------------------------dт +

t - H y ’ і т -1 - iH.

+¥ 1

+mF; (x2, t) + (m +1) iv2e/VlXl j e F. (т, td

K22(X2, t) — - Im

1

mF2(x2, t) + (m +1)iv2e/v2X2 j e^F2(т,td

K 23( x2, t) — — Im

m

X

- - (m -1) iv2e/v2X2 I —e----------------dт +

X -1 + iH ^ • т -1 - iH ^

+mF3(x2,t) + (m +1)iv2eiV2X2 j e '^F^,t)dт P13 (x3) — 2a2 Re-' 1

X3 -1 (H. + H2 - h)

K3.( ^ nIm 1 X, - t-i.H; + H2 ) + F.( X3, (>

K32(x3,t) — —1 Im, ■ * ^-3

32 3 п І x3 -1 - iH2 2 3

;— + F2(X3, O K33(x3, t) — - -іIm{F3(x3, f)}

j2l( X;) — — Im

П

in

X1 - ZY

1

(P23 (X3) — — Im

in

X3 - І (H; і H2 ) - Zy

X3 - І(H; + H2 ) - Zy

P22(X2 ) — 1 Im

min

X2 - iH1 - ZY

X2 - iH1 - ZY

Т - iH - Z*

+ (m +1) iv2eiv2x2 j e-^ in------------------

v ' 2 J т - iH -

dт

1 ZY

Полученные системы линейных интегральных уравнений Фредгольма второго рода (14) (э — 1,2) могут быть решены численно методом последовательных приближений [2].

В качестве нулевого приближения могут быть выбраны свободные члены системы Рз! .

По найденным значениям плотностей можем определить комплексный потенциал возмущенного течения (7) и по формуле Чаплыгина [4] вычислить подъемную силу и волновое сопротивление цилиндра С :

—■ “|2

X - /Y — !Р J]

2

dZ1

dZ; - /р.иг

Результаты расчетов гидродинамических характеристик представлены на рис. 2, 3. На графиках изображены зависимости коэффициента волнового сопротивления

cx 2X/PiUi а и коэффициента

подъемной силы У

Су — 2Y/ P;U;2a

от числа Фруда

349

X

X

X

-!=

X

C

Рг ии \да для случая одинаковых скоростей слоев (и и2). Отношение плотностей

жидкостей р2/р1 в расчетах было принято равным 1.0з, что соответствует отношению плотностей морской и пресной воды, и рассмотрен цилиндр единичного радиуса.

Для данной задачи характерно наличие критического числа Фруда Рг*, значение которого зависит от Р2/Р1, а, Н2/а

[5]. Периодические волны на границе раздела

существуют только при Рг < Рг *, поэтому именно в этом диапазоне изменения числа Фруда проводились расчеты.

На рис. 2, з представлены результаты расчетов при циркуляционном обтекании цилиндра, расположенного над линией раздела при Ь1а — з, а — Н2/а — 9. Сплошной кривой изображены гидродинамические характеристики при бесциркуляционном обтекании У — 0, штриховой - при отрицательном значении циркуляции У — —0-5, а штрих-пунктирной - при положительном значении У — °-5 . Как видно из графиков, циркуляция

начинает влиять на коэффициент волнового сопротивления при Рг > 0.12; максимум уменьшается при увеличении значения У .

Рис. 2 - Зависимость коэффициента волнового сопротивления от числа Фруда Рг

при и1 — и2, Рг/р1 — ЬЮ, Nа — 6, Н\!а — Нг1а — 9 , У — {-0-5Л0-5} (штриховая, сплошная, штрих-пунктирная кривые)

350

Рис. 3 - Зависимость коэффициента подъемной силы Су от числа Фруда Рг. Параметры рис. 2

На рис. 4 продемонстрирован пример расчета линий тока течения и границы раздела жидкостей при 1а = Н\/а = 6-5. Нг/а = 3-5. Рг = 0.11, У = °-5

Рис. 4 - Линии тока и граница раздела жидкостей при и иг, Рг/Р\ ^03

11/а = 3.75 Н1/а = 6.5 Н2/а = 3.5 Рг = 0.11 У = 0.5

Работа поддержана РФФИ (проект 05-01-00794).

Литература

351

1. Тумашев Г.Г., Черепенин Н.Д. Задача о движении круглого цилиндра под свободной поверхностью тяжелой жидкости // Труды семинара по краевым задачам. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1973. Вып. 10. С. 140-151.

2. Филиппов С.И. Гидродинамика крылового профиля вблизи границ раздела. Казань: Изд-во Казанского матем. об-ва, 2004. 200 с.

3. Милн-Томсон Л.М. Теоретическая гидродинамика. М.: Мир, 1964. 656 с.

4. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1970. 904 с.

5. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. М.: Наука, 1977. 816 с.

© К. В. Кириллин - мл. науч. сотр. НИИММ КГУ; С. И. Филиппов - д-р физ.-мат. наук, проф. каф. высшей математики КГАСУ.

352