CC BY
11
8
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 7 (16), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
Представление обобщенных функций конечного порядка. Обозначим
©F(^n) -пространство обобщенных функций конечного порядка,
S' с ©F с ©'. Каждая функция f(x) £ ©F может быть представлена в виде
f(x) = Dau(x)g(x),
где g(x) непрерывна и из L2, а u(x) есть сужение на Rn целой аналитической функции u(z) (см. [1]).
Тогда в качестве аналитического представления f(x) можно взять функции
fj(z) = Dau(z)gj(z),j = 0,1, ...,n.
Список литературы
1. Tillmann H.G. Darstellung der Schwartzschen Distributionen durch analytischen Functionen. //Math. Zeitschr.- 1961. - B. 77. - S. 106-124.
2. Martineau A. Distributions et valeurs au bord des fonctions holomorphes. -//Theory distrib. Inst. Gulbenkian cienc., Lisboa. - 1964. - P. 193 - 326.
3. Бремерман Г. Распределения, комплексные переменные и преобразования Фурье. - М.: Мир, 1968 -276 с.
4. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. - М.: Наука, 1979 - 318 с.
5. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. - М.: Наука, 1977 -640 с.
6. Владимиров В.С. Задача линейного сопряжения голоморфных функций многих комплексных пере-менных.//ИАН СССР, сер. матем. - 1965. - Т.29 - С. 807 - 834.
ОБЩИЙ ВИД ПОЛНЫХ И ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
Барменков Анатолий Николаевич
Канд. физ. мат. наук, доцент НИЯУ МИФИ, г. Москва Барменков Николай Анатольевич
Старший консультант, «AT Consulting», г. Москва
АННОТАЦИЯ
Рассмотрено одно из обобщений классической тригонометрической системы функций. Показано, что класс полных и ортогональных последовательностей этого вида совпадает с точностью до константы в аргументе с простой системой данного типа.
ABSTRACT
In this article is considered one of the generalizations of trigonometric system offunctions. It is shown that the class of complete orthogonal sequences of this type equals to a simple system of this type up to a constant.
Ключевые слова: полнота, минимальность и ортогональность некоторых функциональных последовательностей.
Keywords: completeness, minimality and orthogonality of certain functional sequences.
В 1953 г. [1] К. Шайдуков методами теории функций действительного переменного доказал полноту в
L2[0; 2ж]
2 последовательности
{cos(n + а)x;sin(n + а)x}”= 0 ае r
а< 2
при 3, положив начало целому направлению исследований ее обобщений.
В работе [2] показано, что необходимым и доста-
точным условием полноты в
а< 3
L2[°;2^]
является выпол-
нение условия
4
. Впервые в [2] и [3] использован но-
вый метод изучения аппроксимативных свойств (полноты минимальности и базисности) такого вида систем сведением к исследованию разрешимости краевых задач теории функций комплексного переменного.
В частности, в [3] найдены необходимые и доста-
L2[0;2^]
точные условия полноты и минимальности в 2 последовательности
{cos(nx + а(x)); sin(nx + а(x))}“ 0 x e [0; 2Я-]
где а(x) - действительная непрерывная функция, ограниченной вариации.
Эти условия состоят в выполнении неравенства
1 а(2ж) -а(0) 3
— <-----------<— а( x)
4 2 4, где ^ ' не тождественная
константа.
(1)
В связи с важностью приложений ортогональных рядов возникает вопрос как много ортогональных и полных последовательностей среди систем вида (1). Имеет место
ТЕОРЕМА. Пусть а(x) -действительная непрерывная функция ограниченной вариации отличная от тождественной константы.
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 7 (16), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
Не существует полных и ортогональных в
!2[0;2л] „
2 последовательностей вида (1), отличных от си-
стемы функций
{cos(nx + ^ + c); sin(nx + ^ + c)}n=0
где c- произвольная действительная постоянная.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку система функций (1) полна и минимальна в ^[0; 2л], то биортогональная к ней последовательность {^” (Х); gn (X)}«=1 является она сама с точностью до константы. А именно
(рп (x) = — cos(nx + а(x)) gn (x) = — sin(nx + a(x))
A B„
где
2л
An =||cos(nx + а(x))|L [0.^.] = J cos2(nx + а(x))dx
0
2л
Bn =||sin(nx + а(x))||L[0;2л] = J sin2(nx + a(x))dx
с « !2[0;2л]
В гильбертовом пространстве 2
Г
- сумми- (f (x); g(x)) = J f (x)g(x)dx
руемых в квадрате действительных функций задано стан- 0
0 . Тогда по свойствам орто-
произведение
гональности последовательности (1)
дартное
скалярное
(cos(nx + а( x)); (p0 (x)) = J cos(nx + а( x)) — cos а( x)dx =
0 0
0
2л
2 л i
(sin(nx + а(x)); <p0 (x)) = I sin(nx + а(x)) — cos а(x)dx = 0
0 A0
2 л
J e,nxe,a(x) cosa(x)dx = Sn0
Отсюда 0 , где
^n0 1, при n=0 и ^т0 0, при n ^ 0 . Аналогично
для
2л
g0( x) = ^sina( x)) Bn
J e,nxe,a(x) sina(x))dx = iSn0
0 . Из двух последних ра-
2л
J ein<elia( x) dx = 0
венств получим
, n=0,1,2,... (2)
Выполнение соотношений (2) влечет (см.[3]
Ф+(С)
стр.102) существование функции 7 класса Харди
e~ixe2ia(x) =ф+ (eix )
a( x) н ласно
Ф+(#),
|С = 1 Ф+(£)
на окружности 1 1 . Причем функция 7 непре-
{С C: №< 1}
Ф+ (e,x)
получаем
рывна в круге
Значит, изменение аргумента функции
[0;2л]
на отрезке должно быть равно целому кратному
2л
то есть
Изм[дх% Ф+ (etx )][0;2л] = 2лп
(4)
Поскольку по условию теоремы последователь-
ность (1) полна и минимальна в
4[0;2л]
то применим
, для угловых граничных значений которой имеет место равенство
(3)
Так как ^ ^непрерывная функция ограниченной вариации, то согласно теореме Ф.и М. Рисс (см., напри-
J+ (С)
мер, [4] стр.101) v~ 7 будет абсолютно непрерывной
необходимое и достаточное условие полноты и минималь-
£2[0;2л]
ности в 2 системы функций (1) сформулиро-
ванное в начале статьи. Значит, функция a(x) удовлетворяет неравенствам
1 а(2л) - а(0) 3
4 2л _ 4.
Отметим, что в [1] и [2] этот результат сформулирован в упрощенной форме для гельдеровских функций, но используемый аппарат теории краевых задач [3] допускает такую же их формулировку и для непрерывных функций.
9
10
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 7 (16), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
Отсюда, изменение аргумента функции Ф (е ) на
[0;2ж] л 2ж
отрезке L J , будучи кратным , удовлетворяет
оценке
-п < Изм[дХ% Ф+ (е1Х )\о;2Л] < ж
Отсюда немедленно следует, что это изменение равно нулю, то есть n=0 в формуле (3). Поэтому, согласно принципу аргумента (см., например,[5] стр.244),
Ф+ (4) U = {4е C: |4|< 1}
у - аналитическая в круге 1 1 ,
U = {4е C: |4|< 1} „ U
непрерывная в 1 1 не имеет нулей в и
. Значит, взяв логарифм от обеих частей равенства, полу-
чим
i(-x + 2а(х)) = 1п(Ф+(e'x) x е [0; 2ж]
U
. (5)
То есть аналитическая в единичном круге ^ и не-
+ (£) ^ ~ix
для
x е [0; 2ж]
принимает чисто мнимые значения. Отсюда немедленно следует, что
U А 1п Ф+(4) 4 = e
прерывная в функция
ln ф+ (4) = iC
(6)
в замкнутом круге U, где С - произвольная действительная константа.
Следовательно, из равенств (5) и (6) получаем, что
, , x C 2 2
Поскольку C - произвольная постоянная, то это завершает доказательство теоремы.
Список литературы
1. Барменков А.Н. Об аппроксимативных свойствах некоторых систем функций. Дисс. ... канд. физ. мат. наук, М., 1983, с.154.
2. Барменков А.Н., Казьмин Ю.А. О полноте двух систем функций. Теория отображений, ее отображения и приложения, сборник научных трудов. В кн. Киев, Наукова думка, 10982, с. 29-43.
3. Данилюк И.И. Нерегулярные граничные задачи на плоскости. М., «Наука», 1975, с. 296.
4. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. Гостехиздат, М., 1950, с. 336.
5. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного, М., «Наука», 1977, с. 444.
РЕЛАКСАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В ПРОГНОЗИРОВАНИИ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ ХАРАКТЕРИСТИК КОМПОЗИЦИОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФАКТОРОВ ВНЕШНЕЙ СРЕДЫ
Гусев Евгений Леонидович
Доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник ИПНГ СО РАН, г. Якутск, Россия, Профессор кафедры прикладной математики Института математики и информатики Северо-Восточного Федерального
университета, г. Якутск, Россия
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований - грант № 13-0800229.
Введение. В последние десятилетия одной из важных задач при разработке различных конструкций, машин и механизмов является создание надежных методов количественной оценки работоспособности изделий из полимерных и композиционных материалов [1, 2]. Композиционные материалы, композиционные конструкции, как правило, постоянно находятся под влиянием статических и динамических нагрузок, на которые дополнительно накладывается влияние экстремальных факторов внешней среды. В соответствии с этим значительную актуальность имеет проблема разработки математических методов решения обратных задач прогнозирования определяющих характеристик компози-ционных материалов, композиционных конструкций при воздействии эксплуатационных нагрузок и экстремальных факторов внешней среды.
1. Общая постановка задачи прогнозирования ресурса работоспособности объектов. Общая постановка задачи о прогнозировании ресурса работоспособности объектов при воздействии на него эксплуатационных и природных нагрузок изложена в [2]. Согласно [2] состояние конструкции в момент времени t характеризуется системой скалярных параметров 12 p , характеризующих степень повреждения конструкции в момент времени t. Для компактного описания введем вектор
Ч’ = (у/1,у/1, „
v 1 2 p, который назовем вектором поврежде-
ний. Система параметров /1,/2,.",/p, характеризующих степень повреждения конструк-ции, меняется с течением времени, т.е. параметры p являются
функциями от t: <"■ W, = <ГМ ■ ,W„ = V
Вследствие этого векторная характеристика поврежден-
ий
ности 1 ,будет являться р-мерной функцией времени:
^(0 = (^i(0^2(0—^(0)
. Введем систему
q1s q2,..., q,
из l параметров 12 1 , характеризующих усло-
вия эксплуатации конструкции. Для компактного описания введем векторную характеристику
Я = (Я1,Я2 >•••>?/) q^ qi^.^ q
Система
параметров
характеризующих условия эксплуатации конструкции, также меняется с течением времени, т.е. па-
qx, q2,.., q
раметры являются функциями от t, т.е.
q1 = q1(tX q2 = q2(t),..., q = q(t)
Вследствие этого
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 7 (16), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
11
векторная характеристика, характеризующая условия экс-
q
плуатации конструкции функцией
будет являться l-мерной времени, т.е.
q(t) = (ql(t\q2(t\...,qi(t))
. Динамика изменения поврежденности объекта под воздействием эксплуатационных нагрузок и экстремальных факторов внешней среды может быть описана системой дифференциальных
уравнений, связывающей характеристики поврежденности, как функции времени
v = щ(1), = V,(t), с функциональными
зависимостями q = q,(t)’ q ^q q(t), ха-
рактеризу-ющими условия эксплуатации:
Будем рассматривать задачу с детерминистических позиций. Кроме того, будем предполагать, что применима гипотеза об автомодельности процесса накопления повреждений [3]:
dVi(t)
dt
dy2(t) dt
f ; q,(t X q2(t X^qi(t)),
f (vi,V2,-,Vp; q,(t X q2(t ),•••, qi(t)),
dVp(t)
dt
dVi(t) dt
/ (vi,v2>-wp; q,(tX q2(t ),•••, qi(t)) •
fi (viV2, --,Vp)h (q,(tуq2(tX--q(t)),
(i.i)
i = ,,-••, n-
(1-2)
Для интерпретации векторов ^ и ^ необходимо использовать информацию о реальных объектах и условиях их эксплуатации. Согласно традиционному подходу [2] начальное состояние объекта описывается векто-
Ч/(0) = 0 Ч'(0) = 11,о
ром повревденности 4 7 или w,
, , ^(т.) = 1
а в момент исчерпания (разрушение) — -
Результаты натурных испытаний, как правило, являются адекватными условиям предстоящей эксплуатации (хранения). При этом достоверность экстраполяции результатов натурных испытаний зависит от выбора функции, которой описываются экспериментальные данные.
Специфика исследуемых задач прогнозирования изменения прочности полимерных композитов под воздействием экстремальных климатических факторов приводит к тому, что для этих задач подход экстраполяции в традиционной постановке является малоэффективным.
Как отмечено в ряде работ [3, 4, 5, 6,7] принципиальное усовершенствование подхода экстраполяции может быть достигнуто на основе выбора математической модели с ориента-цией на физические представления.
2. Математические модели, описывающие воздействие на композиционные конструкции эксплуатационных нагрузок и экстремальных факторов внешней среды. В работе [8] было предположено, что для любого варианта старения композициионного материала теоретически возможна разработка математических моделей, содержащих определенное количество параметров, зависящих от объекта старения, и определенное количество параметров, зависящих от режима воздействия внешней среды. Выберем в качестве определяющей характеристики композиционной конструкции ее прочность R.
В соответствии с этим модели, описывающие зависимость изменения прочности R полимерных композитов при воздействии климатических факторов в общем виде могут быть представлены в форме функциональных зависимостей следующего вида:
R (u,, u2,---, un; t) = R0 +Ф(и1? u2,
(2-1)
В этих обозначениях: R — остаточная прочность композита, R0 - прочность композита в исходном состоя-
ui, U2,•••, un
нии; — параметры композиционной кон-
струкции, отражающие влияние эксплуатационных нагрузок и экстрема-льных факторов внешней среды. Введем вектор u параметров композиционной конструкции
u = (ui, Щ,---, un ). Обозначим ^R = R - R. Тогда выражение (2.1) может быть записано в компактном виде
(2-2)
