Общий вид линейного непрерывного функционала в пространстве функций, аналитических в неограниченной кратнокруговой области Текст научной статьи по специальности «Математика»

4. Chuu D.S., Hsiao C.M., Mei W.N. // Phys. Rev. 1992. V. 46. P. 3898.

5. Mailhiot C., Chang Y.-C. // Phys. Rev. 1982. V. 26. P. 4449.

6. Green R.L., Bajaj K.K. // Phys. Rev. 1986. V. 34. P. 961.

7. Hasselink W.T., Chang Y.-C. // Phys. Rev. 1985. V. 32. P. 5190.

8. Fraizzoli S., Pasquarello A. // Phys. Rev. 1991. V. 44. P. 1118.

9. Wilson D.W., Glytsis E.N., Gaylord T.K. // J. Appl. Phys. 1993. V. 73. P. 3352-3366.

10. Kaji R., Koshiba H. // IEEE Jour. of Quant. Electr. 1994. V. 30. № 4. P. 1036-1043.

11. Бычков Ю.А., Рашба Э.Н. // Письма в ЖЭТФ. 1984. Т. 39. №.2. С. 66-69.

12. Оптическая ориентация / Ред. Б. Захарченко. Л.: Наука, 1989.

13. Кревчик В. Д., Калинин Е. Н. // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Естественные науки. 2004. № 5. С. 108-121.

14. Кревчик В. Д., Калинин Е. Н., Грунин А. Б. // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Естественные науки. 2003. № 6. С. 66.

УДК 517.55

общий вид линейного непрерывного функционала в пространстве Функций, аналитических в неограниченной крАтно-круговой области

о. г. НИКИТИНА

Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского кафедра математического анализа

В статье устанавливается общий вид линейного непрерывного функционала в пространстве функций, аналитических в неограниченной полной кратно-круговой области G пространства С2 с центром в точке (0,0). Причем сопряженное пространство описано как в терминах характеристической функции области голоморфности G, так и с использованием обобщенной производной Гельфонда-Леонтьева, порожденной целой функцией, тейлоровские коэффициенты которой связаны с характеристической функцией области G .

Пусть G с C2 - полная неограниченная кратно-круговая область голоморфности с цент-

2

ром в точке (0, 0). Определим характеристическую функцию области G, отличной от С , положив K (X) = lim "1+"2 dnn (G),0 < X <да, где d (G) = sup " • |z2| "2.

«i+«2 V 1 2 12 (z1,z2)eG

n2

Отметим, что аналогичная функция K (X) в других терминах вводилась ранее в работе С. Д. Окуня [2]. Функция K (X) оказалась полезной при изучении некоторых многомерных задач, особенно в случае неограниченной области. В частности, она удачно выступает в роли обобщенного "радиуса" сходимости кратного ряда. Приведем пример функции K(X). Так, для области G = |Zi,22)е C2 : |zj + |z^ < l|

K(А) = /(l + A) (0 <Л< да), где K(0) = lim K(A) = 1, K(да) = lim K(A) = 1.

Л^0+ Л^х

Обозначим через H(G) пространство функций, аналитических в области G с топологией равномерной сходимости на компактах. Имеют место следующие теоремы. ТЕОРЕМА 1. Для того чтобы функция

да

F(Z1, Z2 )= I С"1"2 z"1 z"2 (1)

"1,"2 =0

принадлежала пространству H(G) , необходимо и достаточно, чтобы для каждого X (0 < X < да) выполнялось условие

^тк (2)

и1+и2 ^-да,^/"2 ^л »' 1 K (А)

(здесь и всюду ниже полагаем 1/ да = 0 ).

Прежде, чем перейти к доказательству теоремы, введем следующее определение.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность пар индексов {(m,s)}, у которой существует lim — = X , будем называть X -последовательностью.

Отметим, что во всяком бесконечном множестве пар индексов существует хотя бы одна X -последовательность.

Доказательство. Достаточность. Пусть для данной функции (1) и каждой X -последовательности (0 < X < ж) выполняется неравенство (2). Возьмем какую-нибудь точку (z1; Z2 )е G. Всегда найдется (1, r2 )е dG такая, что

\zA < rj, |z2I < r2. Вычислим P = lim "1+"2 \cnn • r"1 ■ r"2. Пусть ,n2')} такая последовательность,

n1+n2 VI 1 2I

что P = lim ni +«

"l' +"2' ^ж

2^|cn ' n '|' r"1 ' r"2 . Из {("i',n2')} выделим X -последовательность {(m,5)}. Тогда,

учитывая определение функции K(X) , получим P = lim m+-v|cms| • r{" • r2 ^ 1. Из этого неравенства

m+s^ж,m/s^Я

следует, что ряд (1) сходится внутри G абсолютно, а на любом компакте K с G равномерно. Поэтому

F(Z1, z2) е H (G)

Необходимость. Пусть F(Z1, Z2) е H(G) представляется в G рядом (1). Докажем сначала выполнимость неравенства (2) для тех X , для которых K(X) Ф ж. По определению K(X) найдется точка (1, r2 )е d|G| , такая что K(X) = r^ 1+X • r^^1+X. Так как F(Z1, z2) е H(G), то для любой фиксиро-

ванной точки (1, r2 )е dl Gl справедливо неравенство lim n1+n2\cnn • r1n1 • r"2 < 1. Следовательно,

n1+n2 ^-Ж VI 1 2I

lim ^J• dnm2(G) = lim n1+nVk"1nj '

n1+n2 ^-ж,^/n2 ^Ä " 1 12 n1+n2 ^-ж,^/ n2 ^Ä 121

• lim *1+n2d"1"2 (G) = lm *1+n£j • K(!) =

n1+n2 n2 ^Л * n1+n2 ^-ж,^/n2 ^A " 1

=rf+x. im "1+п$ПП2\ * lim < 1.

n1+n2 ^-ж,^/n2 ^Ä " 1 n1+n2 ^-ж Отсюда имеем lim n1+ni/|cn n I <—^—---r—— =-. Таким образом, для тех X , для которых

n1+n2^■<x,n1/n2Vi 1 2i rM1+A .rV1+x K(2)

K(X) Ф ж , неравенство (2) доказано.

Докажем теперь выполнение условия (2) в случае, когда K(X) = ж , то есть надо доказать, что для тех X , для

которых K(X) = ж , lim n1+n2/|cn n I = 0.

n1+n2 ^-ж,^/n2 ^X VI 1 2I

Предположим противное: lim n1+n2l c = p > 0.

n1+n2^ж,^/n2 ^X 'I n1"2 I

Пусть Gm = G n Em, где Em = |zb z2 )e C2: < m, |z2| < m) Тогда dn1n2(G) = ^^^n^^m) и tf (2) = lim "1+"2 d (G) = lim =

и1+и2 n2 * П1+П2 П2 ^Л vm^®

= lim ( lim n1+n2dn1n2(Gm)), »o *№ = «>.

т^ж П1+П2^ж,п1/П2*

Следовательно, найдется такое m0, что lim n1+n2/dn n (Gm ) = Kg (X) > —. Тогда

0 n1+n2 ^ж,щ/"2 ^X V 1 2 0 m0 p

"1+"2\сщщ \d„n2 (Gmo ) > 1. То есть ряд (1) не сходится в области Gmq с G. Это противоречит

lim

и1+и2 п2 ^^ ._

тому, что F(Z1,Z2) е H(G) . Следовательно, наше предположение неверно и lim n1+n2( cnn = 0.

n1+n2^ж VI 1 2 I

^X ,K (X )=ж

n2

Тем самым теорема доказана полностью.

ТЕОРЕМА 2. Любой линейный непрерывный функционал 5(р) на пространстве Н(О) представляется в

да

виде 5 (р) = У И,п, , (3)

S(F) = Z Й«1«2 C«l«2' =0

где F(zbz2)= Xc«1«2^z22 е H(G),

{Ья1я2 } последователЬностЬ комплексных чисел, удовлетворяющая ус

«1,«2 =0

ловию й(2) = lim "1+П2Кщ\ < ^ W (4)

n1+n2 n2 iX 121

(функция й(А,) = й(А,, S) ограничена).

Доказательство. Докажем, что ряд (3) с условием (4) определяет некоторый линейный функционал на пространстве H(G) . Возьмем любую функцию F(Z1, z2) е H(G) . Для нее в силу теоремы 1

lim "1+"llic~J (0 <Л< <ю).

I VI к (!) V у

„1+„2 ^^ 1 — (Л.)

Отсюда с учетом условия (4) имеем

"1+Ц с „А • М ^ 1 (0

щ+п2 „2 ' 1 1 1 1

То есть ряд (3) с условием (4) сходится абсолютно для любой функции р(г2) е Н(О) . Значит, он определяет

некоторый функционал на пространстве Н(О) . Очевидно, что этот функционал линейный. Докажем, что если

условие (4) выполняется, то функционал (3) непрерывен. Рассмотрим последовательность компактно вложенных

друг в друга областей Gl с О2 с... с От с...,От с От+1, таких, что ^От = О . С помощью этой последовать

тельности определим систему норм ||р|| = ша^ |р, г2 ) в пространстве Н(О) . Эти нормы задают локально

(г1,г2 )От

выпуклую топологию на пространстве Н(О) , которая совпадает с естественной топологией этого пространства -топологией равномерной сходимости на компактах.

I | ||Р||_

Для тейлоровских коэффициентов спп функции р(г 2) справедлива оценка с.... 1<

«1«2 ' d (G )

u n1n2\Jm )

ю ю b

Следовательно, имеем \S(F)< Z I jcn1n21 <|\F\m ' Z 1П2

m ^ d (G )

n1,n2 =0 n1,n2=0 n1n2\u mj

ю b

n1n2 I

d (G^ сходится. Из того, что lim dn n (Gm) = dnn (G) имеем

nbn2 =0 dn1n2 V^m) m—ю 12 12

к(X) = lim 1 n1+n2dnin2(G) = lim ^ W lim d^&m) =

n1+n2 —>ю,щ/n2 —>X v n1+n2 —>ю,п1/n2—»X \ miю (5)

= lim ( lim n1+n2dn1n2(Gm))

m—ю n1+n2 —>ю,и^/n2 —»X

Рассмотрим сначала те значения X , для которых K(X) Ф ю. Из условия (4) следует, что существует число q < 1 такое, что b(X) = lim n1+n2\bnn < qK(2).

S0 =

inf (к(X)- qK(A)), s0 > 0.

n1+n2 n2 ^Л V' 1 2' ä(K (лу<я)

Тогда для всякого сколь угодно малого положительного е < е0 имеем s < K{X) — qK{X) или K(X) — s > qK(X).

Из условия (5) следует, что Ve > 0 3m0 : Vm > m0 lim n1+n2dnn (G) > K(X)- е.

n1+n2 —>ю,щ/П2 i—X V

Тогда Ve,0 <s < so 3mo : Vm > mo

lim "

"l+"2 "2

"2dnin2 (G) > K(л)-£ > qK(.Я). Следовательно

Vm > mo

lim

"l+"2 ■

"!+"2 ^,"i/n2 ^Л Vd (Gm ) K (&)-

qK(/-) : 1

для любого значения X , при котором K(X) Ф да.

Теперь рассмотрим значения X , для которых K(X) = да. По условию функция b(X) = b(X, 5") ограничена. Положим b0 = sup {b(X )} Из условия (5) имеем

X (K(X )=да)

3m'o : Vm > m'o

lim x "i+"2d (G) > bo (K(X)=да)

"i+"2 ^да,щ/ n2 ^X *

Следовательно, Vm > m'o

lim

n1n2

"i^"!^^ V d«,n7 (Gm )

< 1.

Таким образом, Vm > max{mo, m'o } lim "1+"2|

"i+"2n2у d (Gm )

< 1 (o <Л<ж).

То есть номер т всегда можно выбрать столь большим, чтобы ряд ^

да b

_ сходился. Пусть Р его сум-

пх,п2 =0 ^п1п2 (рт )

ма. Тогда |5(р) < Р • ||р|| . Таким образом, получили, что функционал (3) при выполнении условия (4) ограничен, а следовательно и непрерывен.

Докажем теперь обратное утверждение: любой линейный непрерывный функционал 5" е Н * (О) можно представить в виде (3), где последовательность ЬпП2 ) удовлетворяет условию (4). С этой целью возьмем про-

да

извольную функцию р(^1, ^2 )= ^спп г^1 гП2 е Н(О) и подействуем на нее функционалом 5 . В результате

ni,n2 =o

получим:

S (F ) = S

I

"i,"2=o

cn1n2 zl1 z22

да / \ да

X C"i"2 ' SlZini Zn / = X C"I"2 bnn2 :

c

ni,n2 =o

ni,n2 =o

где обозначили S(z" • zn" ) = b

"1"2 *

Покажем выполнимость условия (4). Предположим, что для некоторого Xo

lim ni+n2bn\ * KWo).

ni+n2 ^x,",/ n2 ^-Äo

Тогда найдется такая подпоследовательность n\)} что lim "1+\bn^n' | — K(X0) и все

n l+n' 2 ^да,"' ll"' 2

bn' n. отличны от нуля. Введем вспомогательную функцию

P(z1, z2 )= £cn,n2 zini z2 , cn,n2 =

"l,"2 =o

bn

,"l = " 1, "2 = " 2 .

o, "i * n' 1 или "2 * "'2.

Так как

lim

"l+"2 "2 ^Äo

"i+njcnj а при X * Xo lim = o. mo p(zbz2)e H{G).

MI"1"2! K(2o) ^ Vl 121

и1+и2

b

nn

1"2

b

nn

1"2

1

И 2

n

2

Действуя на г2 ) функционалом 5 , получим 5"(Р)= = да. Пришли к противоречию, что и доказывает выполнимость условия (4). Теорема доказана. т 1

да

Пусть у)= ^я /И1 . ¿"2 целая функция, удовлетворяющая условию «1,«2=0

1 а„

lim и1+и?/|а |= —^, где —^ = ann Ф 0, и,, n2 = 0,1,2,.. «1+«2^да Vi n,n2\ K(X) n1l-n2! n,n2 12

n, / n2 ^-X

Рассмотрим оператор DnF(z,, z2 )= ^ n,+kl,n2 +k2 . a^^ • zk • zk2. Он называется обобщенной производ-

k,+k2 >0 an1+k1,n2 +k2

ной Гельфонда-Леонтьева порядка n = (n,, n2), порожденной функцией f [1]. Непосредственно проверяется, что D[F ] линейный оператор, определенный на H (G) и обладающий следующим свойством:

Dn f (Azi,^2)] = Г1 ¡un2 f (Azi, ^2 ), (А e С2. СЛЕДСТВИЕ. Любой линейный непрерывный функционал на пространстве H (G) может быть записан в виде

S (F )= I

д

n1n2 тл n

Dn [F (0,0)],

где О" (0,0)] значение в нуле обобщенной производной Гельфонда-Леонтьева, порожденной функцией у, а \Рщ„2 ) последовательность комплексных чисел, удовлетворяющая условию

в (X)< 1 длятех X, для которых К(Xда;

lim ni+n2| ß n,+n2 ^^ щ! n2 ^X

n1n2

0 и lim ni+n2

щ! n2

n1n2

a„

: да длятех X, для которых K(X)= да.

список ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гельфонд А. О., Леонтьев А. Ф. Об одном обобщении ряда Фурье // Матем. сб. 1951. Т. 29 (71). № 3. С. 477-500.

2. Окунь С. Д. Общий вид линейного функционала в пространстве функций двух переменных, аналитических в двоя-кокруговой области // Тр. Новочеркасск. политехн. ин-та. 1959. Т. 99. С. 3-27.

1"2