CC BY
18
УДК 62-251; 62-755 Артюнин Анатолий Иванович,
д-р техн. наук, профессор, проректор ИрГУПС, тел./факс: 83952638
ОБЩИЙ МЕТОД РАСЧЕТА АВТОБАЛАНСИРОВОЧНЫХ УСТРОЙСТВ РОТОРОВ МАШИН С БОЛЬШИМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
A.I. Artyunin
TOTAL METHOD OF ACCOUNTING OF AUTOBALANCE EQUIPMENT OF ROTOR OF MACHINES WITH BIG NUMBER OF FREEDOM DEGREES
Аннотация. Рассматриваются подходы к построению математических моделей сложных роторных систем. Предлагается нетрадиционное техническое решение по использованию вращающихся маятников. Обсуждаются вопросы обеспечения устойчивости автобалансировки.
Ключевые слова: роторы машин, балансировочные процессы, вращающиеся маятники, гашение колебаний.
Abstract. Approaches to complicate rotor systems of mathematical models creating are considered. A nontraditional technical decision as rotor pendulum for absorbtion of oscillations is discussed.
Keywords: rotors of machines, balancing processes, rotor pendulum, absorbtion of oscillation.
Основным агрегатом технологических машин для измельчения материалов служит один или несколько массивных роторов с укрепленными на них рабочими органами различного типа (ножи, фрезы, молотки и др.). Особенностью динамики таких машин является меняющаяся во время технологического процесса неуравновешенность ротора с рабочими органами. Эффективным способом компенсации этой неуравновешенности может служить применение автобалансировочных устройств.
В основу разработанного метода расчета автобалансировочных устройств роторов машин с большим числом степеней свободы положена динамическая модель машины, представляющая собой систему твердых тел с упруго-демпфирующими связями и входящего в эту систему ротора с автобалансировочным устройством маятникового типа. Примем, что все упругие связи линейны, а силы сопротивления носят характер «вязкого» трения. Ротор будем считать расположенным горизонтально, а его осевые смещения, которые не влияют на процесс балансировки, учитывать не будем. Автобалансировочное устройст-
во в выбранной модели представляет собой четыре маятника одинаковой массы m и длины ^ попарно установленные с возможностью свободного вращения с каждой стороны ротора. Такое количество маятников вызвано необходимостью компенсации динамической неуравновешенности ротора. Будем также считать, что двигатель машины имеет достаточную мощность и ротор вращается с постоянной угловой скоростью ш.
Обобщенная динамическая модель машины с ротором и автобалансировочным устройством изображена на рис. 1. Движение модели будем изучать по отношению к неподвижной системе отсчета 0xyz , причем ось х направим вдоль оси ротора, когда он находится в положении статического равновесия, а оси у и z таким образом, чтобы система координат была правой. В качестве обобщенных координат ротора, как бы он ни был закреплен (или жесткое крепление к одному из твердых тел, которое назовем корпусом, или установлен на упругие опоры), при любом расположении ротора по отношению к корпусу выберем следующие: у, z - перемещения точки 01 пересечения оси ротора с плоскостью его сечения, проходящего перпендикулярно оси ротора через центр масс ротора, в направлении осей у, - углы поворота ротора относительно осей, проходящих через его центр масс параллельно осям у, z неподвижной системы координат; фь ф2, ф3, ф4 - углы поворота маятников. В качестве остальных обобщенных координат динамической модели могут быть выбраны координаты центров масс и углы поворота твердых тел. На эти координаты ограничения не накладываются.
При указанных условиях дифференциальные уравнения, описывающие движение динамической модели, состоят из уравнений для машины с ротором, которые в матричной форме имеют вид
М М+ (И+ Н)Ы+ ИМ= м+ {/е}, (1)
и уравнений для маятников автобалансира:
у$п\фк - ¿'со$фк
акак (в$тфк - ц/со§фк) - £со$фк сое/5
I
. (к = 1,4) (2)
Вектор возмущающих сил от дисбаланса и автобалансира при выбранных обобщенных координатах имеет вид:
Здесь использованы обозначения {М}, {#}, {к} - соответственно матрицы инерции, демпфирования, гироскопических коэффициентов и жесткостей; {д} = {у, z, в,^, д1...дт }г - вектор обобщенных координат; у, z,в,Y - обобщенные координаты ротора; д - обобщенные координаты других элементов динамической модели; /30 - коэффициент сопротивления; g - ускорение свободного падения; ак - расстояние от центра масс ротора до точки подвеса каждого маятника (в дальнейшем из-за малости расстояния между маятниками в одной паре по сравнению с ак примем а2 = а2 = а3 = а4 = а; в - угол между осью ротора и ее проекцией на горизонтальную плоскость; {} - вектор или сумма векторов внешних воздействий, отражающих влияние технологического процесса, а также других механизмов машин (при расчете параметров автобалансира и его зон устойчивости примем {/е} = {0}).
4
Мресо2 соэсо1 + эш ф]! + ф^ эш ф]!
¡-=1 4
Мресо2 зш со1 + соъф,. + ф^ зш ф]!
¡-=1
4
(Л-С)Зсо2 со- г) + /»/«У а1 (фк эшфк + ф^ соъф^,
¡-=1 4
(А -С)й»2 зш - г) + т!аУ ак ^-фк сояф1 + фЦ эш^.
,(3)
где М , А, С - масса, экваториальный и полярный
моменты инерции ротора; е, 3, е - характеристики динамической неуравновешенности ротора (е -эксцентриситет массы ротора; 5 - угол между осью вращения и главной центральной осью инерции ротора; е - угол между главным вектором и вектором главного момента сил дисбаланса); ок = 1 при к = 1, 2 и ок = -1 при к = 3, 4.
Так же, как в других исследованиях по автоматической балансировке роторов [1], [2], [4], для построения периодических решений стационарного движения обобщенной динамической мо-
о
о
Современные технологии. Механика и машиностроение
ш
дели машины с ротором и автобалансировочным устройством, определения зон устойчивости и выбора параметров автобалансира используем метод малого параметра [з].
Рассмотрим нелинейные дифференциальные уравнения (1), (2) и найдем такие решения этих уравнений, а также условия их существования и устойчивости, при которых y (at ) = z (at ) = 0(at ) =
= \y(at) = 0 или, по крайней мере, остаются достаточно малыми, т. е. решения, отвечающие автобалансировочному режиму движения.
Исходя из того, что силы сопротивления движению маятников малы, а само их движение близко к равномерному вращательному, введем в уравнения (2) малый параметр ¡ и запишем их следующим образом:
(k = ^Фk((PkА,yz,^,¥), k = 14 (4)
где
Ф к(фкЖ,уЛв,г) = -А(ф-а>) +
^sin^ -zcosфк +астк(въшфк -ц/соьф^-gcosфкcosJЗ~^/1.
Предполагая, что изменение обобщенных координат ротора и машины является периодическим, а движение маятников близко к равномерному вращательному, будем искать решение уравнений (1), (4) в виде: _
q = q(at); (k = at + ak + ^Ф* (at), k = 1,4 (5) где q(at) - периодические функции времени t с периодом T = 2л/a и ak - неизвестные постоянные. В соответствии с методом малого параметра, подставляя (рк из (5) при ц=0 в (1), получим порождающую систему уравнений:
M ]{q}+ (М + ИЫ + [K]{qo}= {Fc }cosat + F }smat (6) Здесь {Fc} = {D,N, S, W,0,...,0}T;
F }={- N, D,-W, S,0,...,0}T, где
D=Mea2 + mla2 (cosa + cosa + cosa + cosa);
N = mla2 (sina1 + sina2 + sina3 + sina4 ); (7) s=(a - с a 25coss + mlaa2(cosa1 + cosa2 - cosa3 - cosa4) W = -(A-C]m2Ssine + mlaa2(sina + sina2 - sina3 -sina4) Как видно из (6), уравновешивание будет иметь место, если D = N = S = W = 0.
Тогда, приравнивая нулю правые части выражений (7) и вводя обозначения:
ц_Ме _ (A - C)tfcoss _ (A - C)^sin s ml ' ml ml
получим следующую систему уравнений для определения неизвестных постоянных ak :
1. cosa + cosa + cosa + cosa = ;
2. sin a + sin a + sin a + sin a = 0;
3. cosa + cosa - cosa - cosa = -£/a; (8)
4. sina + sin a - sin a - sin a =C / a .
Среди множества решений тригонометрических уравнений (8) основными будут являться следующие:
a =я-- arctg —- arccos — + (^a + £)
a2 = -л - arctg
a3 = л - arctg
a = - л - arctg
С ] - arccos
щ + %
' С + arccos
r¡a + %
Г С 1
- arccos
ra
" С "
+ arccos
ща
4a
¿i/C + Г-if
(9)
Так как косинус любого угла может быть только меньше или равен единице, то из (9) следует:
[(A-Csins]2 +[Mpea + (A-C^coss]2 <(4 mla) I n m [(A-C)¿sms]2 +[Míea-(A-C)¿coss]2 <(4mla)2f
Полученные выражения (10) представляют собой условия для выбора параметров маятников автобалансира.
Следующим этапом расчета является определение зон устойчивости автобалансира в зависимости от угловой скорости ротора и постоянных 0-2, а.3, 0.4. Периодические решения порождающей системы уравнений (6) будем искать в виде:
q0i = a cosat + b¡ sin at . (i = 1, n) Подставляя это выражение в (6) и приравнивая коэффициенты при cosat и sin at, получим систему алгебраических уравнений порядка 2n относительно ai и bi (n = m + 4, m - число обобщенных координат динамической модели машины).
[A]{q0}={F0}, (11)
где {q0} = {ai, К a2, b2 ,..,an, bn}T;
{F0 } = {d,-N , N, D, S ,-W, W, S,0,...,0}T. Так как {q0 } = [A]-1 {F0 }, то
ai = (afl + aj4 ) D + (-aj2 + aj3 ) N + (aj5 + aj8 ) S +
+(-a, 6 + aj 7)N;
Ь = (ak1 + ak4 )D + (-ak2 + ak3 ) N + (ak5 + ak8 ) S + + (-ak6 + ak7 )N,
(12)
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
8P
— -8Л
8а,- s
= 0, s, j = 1, к,
2п! Ф
Ps(a¡, а2, ..., ак) =
ф ~2л
|Ф к (Рк о , У о, zo, воУо ^ •
В нашем случае:
Pk(aha2,a3a4) =
(áD + CN + ÉS + GW) sin ак +
+(BD + KN + FS + HW) cos ak
где A = a11 + a14 + a41 + a44 + a(a51 + a54 + a81 + a84 ) B = a21 + a24 - a31 - a34 + a(a61 + a64 + a71 + a74 );
ф
'Yi
*61 ^ "64 ^ 71 "74/' С = -a12 + a13 - a42 + a43 + a(- a52 + a53 - a82 + a83 ) ;
■*21 "24 212 + a13 222 + a23
34
*42 + a43
32 - a33
K = -a22 + a23 + a32 - a33 + a(- a62 + a63 - a72 + a73) ;
E = a15 + a18 + a45 + a48 + a(a55 + a58 + a85 + a88);
8ps тф4\(~ .
- [(a + aa^e )sin a sin а -
8a 2
s -----j
(g + aasG)sinas cosa^ + (b + aasF)cosas sin(15)
-(k + aasH)cosa3 cosaj }
где у = 2/ -1; к = 2/ (/ - номер обобщенной координаты), Од,...,^,ак1,...,ак8 - элементы матрицы
[А]1.
При достаточно малом ц периодическим решением порождающей системы уравнений, зависящих от постоянных ак , только тогда соответствуют асимптотически устойчивые периодические решения исходных уравнений, когда для постоянных ак, удовлетворяющим уравнением
Р./а1, ..., ак ) = 0, 5 = 1,к выполняется условие, заключающееся в требовании отрицательности вещественных частей всех корней алгебраического уравнения:
(13)
где Р3(а1,а2,.,ак) - порождающие функции, 5у -символ Кронекера. Порождающие функции Р/а1,а2,...,ак) находятся после подстановки до/ и <ры = ю? + ак в правые части (4) и усреднения полученных выражений:
(14)
Р = а25 + а28 - а35 - а38 + а(а65 + а68 - а75 - а78) ; в = -а1б + а17 - а4б + а47 + а(- а56 + а57 - а86 + а87 ) ; Н = а26 + а27 + а36 - а37 + а(- а66 + а67 + а76 - а77 ) .
Здесь В, N 8, Ж определяются из (7). Полученные в аналитической форме выражения для порождающих функций позволяют найти частные производные дР / дак, то есть элементы определителя (13):
Раскрывая определитель (13), получим алгебраическое уравнение 4-го порядка относительно Л, для которого проверку отрицательности вещественных частей корней нетрудно провести с помощью какого-либо критерия, например критерия Рауса - Гурвица. Если вещественные части корней полученного алгебраического уравнения при заданном значении ш отрицательны, решение порождающей системы уравнений (6) близко к решению исходной системы уравнений и при этом значении ш режим движения, соответствующий автоматической балансировке, осуществим и устойчив. Задаваясь каждый раз новым значением ш, можно определить диапазон угловых скоростей ротора, в котором автобалансир будет работать устойчиво, то есть определить зоны устойчивости работы автобалансировочных устройств, когда будет происходить компенсация дисбаланса ротора, возникающего вследствие технологического процесса.
Метод позволяет на основе несложного алгоритма разработать компьютерную программу для определения параметров и зон устойчивости автобалансировочных устройств роторов машин с большим числом степеней свободы. В отличие от ранее предлагавшихся способов [2], [4], которые можно было использовать только тогда, когда число степеней свободы роторной системы было не больше четырех, данный метод позволяет рассчитывать автобалансировочные устройства для роторов машин со сколько угодно большим числом степеней свободы.
Кроме того, предложенный подход можно использовать для разработки метода расчета автобалансировочных устройств конечноэлементных моделей роторов и машин, на которых они установлены.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Блехман И. И. Синхронизация динамических систем. - М. : Наука, 1971. - 896 с.
2. Кравченко В. И. Исследование устойчивости шарового автобалансира рядного типа. - М. : Машиноведение, 1983. - № 1. - С. 25-27.
3. Малкин И. Г. Некоторые задачи в теории нелинейных колебаний. - М. : Гостехиздат, 1956. -492 с.
4. Нестеренко В. П. Автоматическая балансировка роторов приборов и машин со многими степенями свободы. - Томск. : Изд-во. Томск. унта, 1985. - 83 с.
о
