CC BY
60
НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ МГТУ ИМ. Н. Э. БАУМАНА
НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ
Эл № ФС77 • 48211. Государственная регистрация №0421200025. ISSN 1994-0408
электронный научно-технический журнал
Эффект «застревания» и особенности движения ротора
с маятниковыми автобалансирами
# 08, август 2013
Б01: 10.7463/0813.0603673
Артюнин А. И.
УДК 62-752
Россия, Иркутский государственный университет путей сообщения
hunterr1@mail.ru
Введение. В числе проблем, активно обсуждаемых в теоретических и инженерных аспектах, большое внимание уделяется разнообразным формам прояления вибрационных процессов, сопровождающих работу многих технологических машин [1, 2]. Поиск и разработка способов и средств устранения вибраций вращающихся деталей и силовых передач привели к созданию автоматизированных и автоматических технологий устранения статической и динамической неуравновешенности до заданного уровня [3^5]. В меньшей степени внимание уделялось вопросам оценки форм и физическим особенностям синергетического плана и самоорганизации движений.Вместе с тем существуют многие виды технологических машин, в которых динамическая неуравновешенность является неотъемлемой формой взаимодействия исполнительных органов с рабочей средой [2,3^6], что характерно, например, для оборудования по добыче и переработке полезных ископаемых, сельскохозяйственных и строительно-дорожных машин. В последние годы заметно возрос интерес к направлениям автобалансировки с использованием вращающихся маятниковых систем, обладающих проявлениями ряда динамических особенностей. Теоретической основой рассмотрения возникающих колебательных процессов в маятниковых системах стали работы [7^9] отечественных ученых, предложивших методы исследования маятниковых систем в сложных динамических взаимодействиях.
I. Постановка задачи исследования
Использование вращающихся маятников для уравновешивания роторов, в частных проявлениях, освещалось в упомянутых выше работах, в том числе в работе [10], посвященной исследованиям ротора со статической неуравновешенностью и двумя
маятниками. Отметим, что при изучении динамических свойств были обнаружены особые режимы, которые могли бы быть названы эффектом «застревания». Жесткий ротор машины в этом случае вращается с рабочей скоростью, а маятники приобретают частоту вращения, совпадающую с одной из собственных частот колебаний ротора на упругих опорах. Целью настоящего исследования является изучение возможности существования эффекта при вращении жесткого ротора на упругих опорах, имеющего статическую и моментную неуравновешенность с четырьмя автобалансирами маятникового типа.
II. Особенности проведения эксперимента.
Схема экспериментальной установки представлена на Рис. 1 и состоит из массивного ротора 1, закрепленного в корпусе 2 на упругих опорах 3. Каждая из опор представляет собой призматический резиновый элемент с запрессованной втулкой для размещения подшипников ротора. На корпусе упругие элементы фиксируются с помощью специальных металлических обойм. Жесткости опор в горизонтальном и вертикальном направлениях выбраны равными. Ротор приводится во вращение электродвигателем постоянного тока 4 с помощью муфты 5, допускающей возможности компенсации несовпадения осей вращения.
Рисунок 1. - Экспериментальный стенд для исследования автобалансира жесткого
ротора на упругих опорах: 1 - ротор; 2 - корпус; 3 - резиновые опоры; 4 - двигатель; 5 - муфта; 6 - маятники; 7 -добавочный груз; 8 -тензорезисторы; 9 - тензоусилитель; 10 - осциллограф; 11 -тахогенератор; 12 - стробоскопический тахометр; 13 - фотодатчики
Электродвигатель жестко крепится в корпусе, расположенном на бетонном основании. Неуравновешенность ротора создается путем установки на роторе добавочного груза 7. На вале ротора, вблизи упругих опор, с их внешних сторон попарно устанавливались, с возможностью свободного вращения, четыре одинаковых маятника 6. Такое число маятников вызвано необходимостью компенсации динамической неуравновешенности ротора с четырьмя степенями свободы. Каждый маятник состоит из подшипника качения, втулки и стержня с резьбой для установки грузов с целью изменения моментов инерции маятников. Эффективность балансировки оценивается по нагрузкам в опорах, для измерения которых использованы тензодатчики 8, наклеенные на поперечины крепления опор ротора, тензоусилитель 9 и светолучевой осциллограф 10. Тарировка осуществлялась с помощью нагрузочного устройства и динамометра (на рис. 1 не показаны). Частота вращения маятников и ротора фиксировалась фотодатчиками 13. Для наблюдения за положением маятников и измерения угловых скоростей ротора и маятников применялся стробоскопический тахометр 12.
Масса и моменты инерции ротора, жесткости его опор, моменты инерции маятников подобраны таким образом, чтобы обеспечить устойчивость автобалансировочного режима движения. В частности, таковым является условие, согласно которому угловая скорость вращения ротора должна быть больше его критических скоростей [9].
Рисунок 2. - Осциллограммы, на которых зафиксированы частоты вращения маятников, соответствующие первой (а) и второй (б) критическим скоростям ротора
III. Физические эффекты
1. Как показали исследования движения ротора с маятниками при выбранных параметрах имеет место автобалансировочный процесс. Нагрузки в опорах ротора с автобалансиром становились существенно меньше, чем у обычного ротора, а маятники в необходимых пределах реагировали на изменение дисбаланса.
Для реализации автобалансировочного процесса, при увеличении дисбаланса ротора изменялись моменты инерции маятников. При этом в процессе разгона до рабочей частоты вращения и определенных соотношениях дисбаланса ротора и моментов инерции маятников, последние начинали вращаться с некоторой постоянной угловой скоростью, которая значительно отличалась от угловой скорости ротора. Неоднократные измерения с помощью стробоскопического тахометра показали, что частота такого вращения маятников близка к значениям критических скоростей ротора. С целью проверки данного эффекта первоначально, за счет изменения массы груза на стержнях маятников, был увеличен момент инерции каждого маятника до значения 3= 1,55 кг-м . В этом случае, после разгона ротора до угловой скорости шр = 466,0 рад/с, маятники совершали только колебания относительно своего положения равновесия. Этот же режим движения имел место при моментах инерции маятников 3 > 1,45 кг-м . Когда моменты инерции каждого из маятников составляли значения 3=1,45^0,84 кг-м , ротор после разгона вращался с заданной угловой скоростью, а угловая скорость маятников, достигнув первой критической скорости ротора, оставалась в дальнейшем неизменной. На рис. 2 приведены осциллограммы, где с помощью фотодатчиков зафиксированы частоты вращения ротора и крайнего маятника.
Из осциллограммы (рис. 2а), полученной для последнего случая, видно, что угловая скорость маятников составила шм = 165,5 рад/с. С учетом погрешности эксперимента эта величина близка к значению его первой критической скорости ш] = 176,69 рад/с. При моментах инерции в пределах 3=0,84^0,4050 кг-эм угловые скорости маятников все время изменялись и измерить их было затруднительно. При значениях моментов инерции маятников в пределах 3=0,4050^0,3060 кг-эсм маятники стали вращаться с постоянной угловой скоростью шм = 251,2 рад/с (рис. 2б). Эта величина с практической точностью эксперимента совпадает со значением второй критической скорости ш2=274,76 рад/с. После того, как моменты инерции маятников за счет уменьшения массы грузов (т < 0,050 кг) стали меньше 3 = 0,03060 кг-эм , все маятники разогнались до рабочей скорости ротора и начался автобалансировочный режим движения.
Рисунок 3. - Динамическая модель жесткого ротора на упругих опорах с автобалансиром маятникового типа
Отметим, что нет такой резкой границы значений масс и моментов инерции
2
маятников, когда, например, при моменте инерции маятников меньше 0,4050 кгом имеет место один режим движения, а больше 0,4050 кг©м - другой не прояляется из-за неидеальности опор, сложного характера сил сопротивления и других причин, на границах значений имеются зоны неустойчивости, в которых вероятен и тот и другой режим движения. В этих зонах или очень медленно устанавливается определенный режим движения, или, после установки одного из режимов движения, следует срыв и начинается другой.
2. Особый интерес представляют результаты наблюдений с помощью стробоскопического тахометра за положением маятников по отношению друг к другу при их вращении с угловыми скоростями, близких к критическим скоростям ротора. Когда ротор достигает заданной рабочей частоты вращения, а угловая скорость маятников близка к его первой критической скорости, обусловленной линейными колебаниями ротора, то все четыре маятника направлены при движении в одну сторону и их положение по отношению к ротору одинаково. Когда же маятники вращаются с угловой скоростью, близкой ко второй критической скорости, на которой в основном происходят угловые колебания, то маятники в разных парах направлены при движении противоположно друг другу. При этом, как показало тензометрирование, в обоих случаях амплитуды колебаний и реакции в опорах ротора возрастают значительно (практически до резонансных значений) и носят характер незатухающих биений, возникающих вследствии наложения колебаний с частотами, равными частотам вращения ротора и маятников.
Описанное выше явление или эффект «застревания» маятников обнаруживается также, если при постоянных моментах инерции маятников изменять трение в их опорах (в эксперименте это осуществлялось путем замены смазки в подшипниках опор маятников). Это свидетельствует о зависимости обнаруженного явления от соотношения между моментами трения в опорах маятников и их моментами инерции.
IV. Построение математической модели
Для аналитического исследования была выбрана динамическая модель в виде жесткого горизонтального ротора, установленного на упругих изотропных опорах (рис. 3).
При составлении уравнений движения модели во время разгона и в установившемся режиме выбирались следующие обобщенные координаты: у, 2 - перемещения точки 01 от положения статического равновесия ротора в направлении осей 0у и 02 (0] - точка пересечения оси ротора с плоскостью, проходящей через его центр масс перпендикулярно оси); 0, щ - углы между осью х и проекциями оси ротора на координатные плоскости ху и хz; ф - угол поворота ротора вокруг своей оси; ф1, ф2, ф3, ф4 - углы поворота маятников. Учет сил сопротивления проведен, исходя из предположения, что рассеивание энергии происходит в основном в упругих опорах и демпфирование носит характер «вязкого» трения. Использовалось также допущение, что двигатель имеет достаточно большую мощность и разгон ротора происходит с постоянным угловым ускорением 8. При этих предположениях и выбранных обобщенных координатах, используя уравнение Лагранжа второго рода, были получены уравнения модели, которые записывались в виде:
А • д = ^, или д = А-1 • ^, (1)
где 4 = [у,2Д ф, Ф^, Ф 2, Фз, Фа ]
А=
А1 А2
АГ Аз
А1 =
М * 0 0 0 0 М * 0 0 0 0 А * 0 0 0 0 А *
; А3 = т12
10 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
А2 = т1
- (рх 008
- 8Ш (2 008 (2
- 8Ш (3 008 (3
- 8in (4 008 (4
а1 8т р1 - а2 8in р2 а3 8in р3 а4 8т р4 ах 008 рх а2 008 р2 - а3 008 р3 - а4 008 р4
Меф2 008 ф + Меф8т ф - Ъ1у - Ъ2в - с1 у - с2в + т1 • ^ ф2 008 (рк;
к=1 4
Ме ф2 8т ф - Ме ф 008 ф - Ъ12 - Ъ2 ф - с1 г - с2 ф + т1 • ^ ф2 8т фк;
к=1
(Л - С)8ф2 оо8р - у)+(Л - С)>ф2 8т(ф -/)- Сфф - Ъ2у - Ъ3в -
4
р = -с2у-съв + т1 ак°кФк 008Фк;
к=1
(л - С)>ф2 8т(ф - /)+ Л5ф2 008(ф - /) + Сфв - Ъ22 - Ъ3ф - с22 -
4
- сз ф + ы • ^ ак^к Фк 81п фк;
к=1
М1 - т%1008 ф1; М2 - т%1008 ф2; М3 - т%1008 ф3; М4 - т%1008 ф4;
Здесь обозначено: М*=М+4т; Л* = Л + т • ^ а2к ; М, Л, С - масса, экваториальный и
к=1
полярный моменты инерции ротора; т - масса маятника, аи, а2, а3, а4 - расстояния от точки 01 до точек подвеса маятников; ок=1 при к=1, 2 ; ок=-1 при к=3, 4; Ъи, Ъ2, Ъ3 - коэффициенты
сопротивления; си, с2, с3 - коэффициенты жесткости ( с = к + к2 ; с2 = к¿1 - к2¿2 ; с3 = к^ + к21?2, где ки, к2 - коэффициенты жесткости опор); е, 5, у - характеристики неуравновешенности ротора; Ми, М2, М3, М4 - моменты сопротивления вращению маятников; ф , ф, ф - угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение ротора. При разгоне
принималось: ф = е ; ф = & ; ф = е2/2, а при вращении с постоянной угловой скоростью О: ф = 0; ф = О ; ф = -^ /2), где 8 - угловое ускорение ротора при разгоне; /1 - время разгона. При составлении математической модели принималась гипотеза о том, что сопротивление вращению маятников пропорционально скорости, т.е.:
М1 =МФ - Ф1) , М2 = И-(Ф - Ф2), М з = И-(Ф - Фз) , М4 = И-(Ф - Фа ) , где ц - коэффициент пропорциональности.
Для приведения системы (1) к стандартной форме вводились переменные и1 = у ,
и2 = 2, и3 = в, и4 = ф, и5 = ф1, и6 = ф2, и7 = ф3, и8 = ф4 и уравнения (1)
преобразовывались к виду:
X = б, (2)
где х = [у, ф,в, Ф1, ф2, Фз, ф„ Щ, 112, Щ, и 4, «6, и7,и 8 ] ;
б = [&, 0217 ; 01 =[иЬ и 2 , U3, U4, и5 , U6, и7,и8 Г ; 02 = Л-1 • р
Численное интегрирование системы (2) проводилось методом Рунге-Кутта. Особенностью используемого алгоритма расчета являлось обращение на каждом шаге
интегрирования матрицы инерции А. При расчете принимались следующие параметры ротора и маятниковых балансиров экспериментального стенда:
&=460раё/е; 8=230ра^/с2; е=25*10-1 м2; 5=у=0; т=5*10-2 кг; Ь1=Ь2=0,8м; а1=а4=0,28 м; а2=а3=0,25 м; а=0,265 м; Ь1=843,17 Но е/м; Ъ2= -0,47Но е; Ъ3=10,41Им^с; М=37 кг; А=0,479 кгм2; С=0,093 кгм2; ¿=0,165 м; Ь2=0,155 м; к1=0,604 106Н/м; к2=0,555 106Н/м.
V. Сравнительный анализ результатов
Полученные в результате расчетов значения критических скоростей соответственно составили: ю1 = 176,69 рад/с; ю2 = 274,76 рад/с.
В отличие от экспериментальных исследований при моделировании движения ротора с маятниками изменялись не моменты инерции маятников, а моменты сопротивления в их опорах за счет изменения коэффициента л, который варьировал в диапазоне значений
3 2
от 0,5о10 Нозмозс до 3оз 10 Нозмозс. По результатам расчета построены кривые, показывающие как изменяются угловые скорости маятников при разгоне (рис. 4). При величине ц < 1оо10 10 Нозмозс ротор разгоняется до заданной угловой скорости, а маятники колеблются около положения равновесия.
ш
400
300
200
100
0
У 2
—Л
т/ \ЛЛЛ
Л "——■
0
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 ^о
Рисунок 4. - Законы изменения угловой скорости маятника при различных моментах
сопротивления в его опоре
3 3
Если величина ц = (0,5оз 10 ^1,0оз 10 ) Нозмозс, то ротор после разгона вращается с
заданной угловой скоростью, а угловая скорость маятников (кривая 2, рис. 4) колеблется с
малой амплитудой Дю=3,1 рад/с около значения юм= 169,6 рад/с, которое близко к значениям
з
первой критической скорости ю1 = 176,69 рад/с. При изменении величины ц от 1,0© 10-Н©м©с до 1,5© 10 Н©м©с угловая скорость маятников (кривая 3, рис. 4) непостоянна, её значение колеблется между величинами первой и второй критических скоростей ротора и маятники в разных парах движутся, располагаясь противоположно друг другу.
При величине ц = (1,5© 10- ^2,0© 10- ) Н©м©с в процессе разгона угловая скорость маятников (кривая 4, рис. 4) колеблется с малой амплитудой Дю=4,6 рад/с около значения юм =271,1 рад/с, совпадающего с величиной второй критической скорости ю2 = 274,76 рад/с. В установившемся режиме движения маятники в разных парах направлены противоположно друг другу, образуя как бы вращающуюся по отношению к ротору пару сил. И в том, и в другом случаях «застревания» маятников колебания ротора носят характер незатухающих биений, возникающих в результате наложения собственных и вынужденных колебаний, а амплитуды колебаний и реакции в опорах ротора намного больше, чем у ротора без маятников. Если величина ц = (2,0© 10- ^4,0© 10-) Н©м©с, то угловые скорости маятников (кривая 5, рис. 4) после разгона становятся равными угловой скорости ротора и происходит процесс автоматической балансировки. Если же ¡и >4,0© 10 Н©м©с, то ротор и маятники после разгона имеют одинаковые угловые скорости, но автоматической балансировки не происходит. Из-за большого трения маятники не могут найти «легкое» место и раздвинуться, чтобы компенсировать дисбаланс. Они занимают каждый раз по отношению к ротору случайное положение и угол между ними равен нулю.
Заключение. Установлено, что у жесткого ротора с четырьмя степенями свободы на упругих изотропных опорах с маятниками для автобалансировки при определенных значениях моментов инерции маятников и моментов сопротивления их вращению также имеет место, ранее обнаруженное [10], явление, когда ротор вращается с рабочей частотой, а угловая скорость маятников близка к одной из двух критических скоростей ротора, обусловленных, его соответственно линейными или угловыми движениями (эффект «застревания»).
Особенности динамических процессов наблюдаемых в режимах изменения форм самоорганизации движений маятников, связаны с проявлениями закономерностей, характерных для перераспределения механической энергии между парциальными системами.
Список литературы
1. Фролов К.В., Фурман Ф.А. Прикладная теория виброзащитных систем. М.: Машиностроение, 1985. 286 с.
2. Бессонов А.П. Основы динамики механизмов с переменной массой звеньев. М.: Наука, 1967. 268 с.
3. Щепетильников В.А. Уравновешивание механизмов. М.: Машиностроение, 1982. 256 с.
4. Рагульскис К.М. Механизмы на вибрирующем основании (Вопросы динамики и устойчивости). Каунас: Ин-т энергетики и электротехники АН Лит. ССР, 1963. 232 с.
5. Левитский Н.И. Колебания в механизмах. М.: Наука, 1988. 358 с.
6. Артюнин А.И. Исследование движения ротора с автобалансировкой // Известия ВУЗов. Машиностроение. 1993. № 1. С. 15-19.
7. Кобринский А.Е. Механизмы с упругими связями. М.: Наука. 1964, 392 с.
8. Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Динамика неголономных систем. М.: Наука, 1967. 520 с.
9. Блехман И.И. Синхронизация динамических систем. М.: Наука, 1971. 894 с.
10. Артюнин А.И. Новые явления в автоматической балансировке роторов // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2011. № 5. С. 207-213.
SCIENTIFIC PERIODICAL OF THE BAUMAN MSTU
SCIENCE and EDUCATION
EL № FS77 - 48211. №0421200025. ISSN 1994-0408
electronic scientific and technical journal
The phenomenon of crawling and peculiarities of motion of a rotor
with pendular self-balancers
# 08, August 2013
DOI: 10.7463/0813.0603673
Artyunin A.I.
Russia, Irkutsk State Transport University
hunterr1@mail.ru
Results of the investigation of a new phenomenon in revolving of a rigid rotor in elastic supports with four pendular self-balancers were presented in this article. The rotor revolves with a working speed but pendulums move with a rotation frequency which is equal to one of two critical rotor's velocities; these velocities are conditional upon, respectively, linear or angular parameters of motion. An experimental apparatus used for obtaining the dynamical phenomenon was described; data on physical parameters of the system were also provided. A current hypothesis of emergent interactions as the fundamental of creating a mathematical model of the processes of locking was proposed. A procedure of creating a mathematical model for a system with eight degrees of freedom was also proposed. Properties of dynamical links between partial systems which could be set only for stated forms of self-organization of motion of a group of freely suspended pendulums were discussed.
Publications with keywords: automatical balancing, pendulum balancers, critical velocities of revolve, dynamics of rotor systems
Publications with words: automatical balancing, pendulum balancers, critical velocities of revolve, dynamics of rotor systems
References
1. Frolov K.V., Furman F.A. Prikladnaya teoriya vibrozashchitnykh system [Applied theory of vibroprotection systems]. Moscow, Mashinostroenie, 1985. 286 p.
2. Bessonov A.P. Osnovy dinamiki mekhanizmov speremennoy massoy zven'ev [Dynamics mechanisms bases with variable of links mass]. Moscow, Nauka, 1967. 268 p.
3. Shchepetil'nikov V.A. Uravnoveshivanie mekhanizmov [Balancing of mechanisms]. Moscow, Mashinostroenie, 1982. 256 p.
4. Ragul'skis K.M. Mekhanizmy na vibriruyushchem osnovanii (Voprosy dinamiki i ustoychivosti) [Mechanisms on vibratory base (Questions of dynamics and stability)]. Kaunas, Inst. Energetics and Electrical Equipment AS Lit. SSR Publ., 1963. 232 p.
5. Levitskiy N.I. Kolebaniya v mekhanizmakh [Oscillations in mechanisms]. Moscow, Nauka, 1988. 358 p.
6. Artyunin A.I. Issledovanie dvizheniya rotora s avtobalansirovkoy [Development of movement of rotor with autobalancing]. Izvestiya VUZov. Mashinostroenie [Proceedings of Higher Educational Institutions. Machine Building], 1993, no. 1, pp. 15-19.
7. Kobrinskiy A.E. Mekhanizmy s uprugimi svyazyami [Mechanisms with elastic ties]. Moscow, Nauka. 1964, 392 p.
8. Neymark Yu.I., Fufaev N.A. Dinamika negolonomnykh system [Dynamics of nonholonomic systems]. Moscow, Nauka, 1967. 520 p.
9. Blekhman I.I. Sinkhronizatsiya dinamicheskikh system [Synchronization of dynamical systems]. Moscow, Nauka, 1971. 894 p.
10. Artyunin A.I. Novye yavleniya v avtomaticheskoy balansirovke rotorov [New phenomenons in automation balancing of rotors]. Sovremennye tekhnologii. Sistemnyy analiz. Modelirovanie [Modern technologies. System analisys. Modelling], 2011, no. 5, pp. 207-213.
