Общие математические модели законов диалектики Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 2013 Математика. Механика. Информатика Вып. 4(23)

УДК 519.86; 519.87

Общие математические модели законов диалектики

О. Г. Пенский

Пермский государственный национальный исследовательский университет Россия, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15 [email protected]; (342) 2 396-424

Предложены общие математические модели, описывающие законы диалектики перехода количества в качество, единства и борьбы противоположностей, отрицания отрицания. Приведен пример применения моделей при рассмотрении диалектики одной из задач клас -сической механики.

Ключевые слова: математическое моделирование; диалектика; Гегель; классическая механика.

Введение

Современные философы по-разному относятся к законам диалектики Гегеля: от полного их признания до полного отрицания [1, 2]. Поэтому, чтобы не вдаваться в философские дискуссии, мы попытаемся построить общие математические модели этих законов для некоего виртуального мира, предполагая то, что диалектика этого мира основана на гегелевских положениях.

Модели законов диалектики Гегеля

Будем предполагать, что процесс разви-

н

тия описывается вектором х (t) функций x1(t Х-, xn (t), т. е.

X(t) t Fxi (t)..., Xn (t)f , причем справедливо соотношение

n

Л xf (t) 4 0, где t - время.

i 11

Пусть направление развития процесса

н

задает вектор a , где

н - г - _

A t Fa1v..,anf, ai t const, ai 4 0, i t 1,n ■

© Пенский О. Г., 2013

Согласно закону единства и борьбы противоположностей Гегеля, можно заключить, что развитие процесса идет в ходе этой борьбы, поэтому среди компонент вектора А существуют такие компоненты, что выполняется условие

В и В ] : а а { 0, i Т 1,п, ] Т i 61 п •

Отметим, что также должно быть справедливым соотношение

п

Л аг Т 0,

гТ 1

которое говорит о единстве противоположностей.

Очевидно, что компоненты вектора А являются своеобразными весовыми коэффициентами, определяющими значимость каждой противоположности в общем развивающемся процессе. Чем больше модуль компонента, тем выше значимость противоположности. Если расположить элементы вектора в неубывающем порядке, то легко видеть, что для весовых коэффициентов должны выполняться равенства Л аг Т Н 1 для аг { 0 и гТ 1

п

Л аг Т 1 для аг { 0 , где п1 - количество от-

г Т п 61

О. Г. Пенский

рицательных компонент вектора А , п Н п1 -количество положительных компонент вектора А , п1 12 1, п I п1.

Следует отметить, что согласно свойствам векторов все компоненты векторов

Н —

X) и А должны измеряться в одинаковых

единицах измерения и иметь одинаковый "физический" смысл.

В работах [3, 4] предложен способ, позволяющий численно оценивать величину достижения цели в ходе воспитательного процесса. Способ, предложенный в этих работах, также позволяет вычислять угол отклонения от цели воспитательного процесса. В аспекте моделирования диалектических законов Гегеля мы, модифицируя способ, будем предполагать, что цель процесса развития определяется вектором А направления этого развития. Тогда, не нарушая общности, можно заключить, что успешность развития процесса определяется математической зависимостью F ), являющейся отношением проекции вектора

Н — —

X(^) на вектор А к длине вектора А . Таким

образом, на основе правил векторной алгебры [5] становится справедлива формула

Л агхг ^)

F ($) t ^-

Л а2

гТ 1

(1)

Выполнение условия Развитие процесса

п Сх, и) Л Л а Л ' . 0 гТ 1 Л Развитие процесса идет в заданном вектором А направлении

Л а, Схг(') | 0 гТ 1 Л Развитие процесса характеризуется застоем

п Схг и), Л Л аг Л ' { 0 гТ 1 Л Развитие процесса идет в противоположном вектору А направлении

На основе работ [3, 4] и свойств скалярного произведения векторов [5] угол отклонения 0 (¿) процесса, характеризуемый векто-

Н —

ром х(^) , от направления развития А определяется функцией цикличности z(t) t со$Р|] ^^, задаваемой соотношением

Л агхг 0)

z(t) t

гТ 1

Л -2

а,

гТ 1

V

Л х](г)

(2)

гт 1

Будем считать, что процесс развивается успешно на интервале времени Ft0, Т f в направлении, заданном вектором А , если на этом интервале F ^) является монотонно возрастающей функцией. В предположении диф-

ференцируемости функций х ^), г t 1, п при t X Ft0.Tf, применяя теоремы математического анализа, описывающие свойства монотонных дифференцируемых функций [6], успешность, неуспешность или застой процесса развития можно отобразить следующей таблицей.

Условия протекания процесса

Принимая гегелевское положение закона отрицания отрицания о цикличности развития процессов, можно заключить, что колебательная функция z(t) определяет и описывает эту цикличность и борьбу противоположностей друг с другом.

Отметим, что зависимости F(О и z(t) являются безразмерными.

Предполагая, что каждая из компонент

х ^), г t 1, п является дифференцируемой функцией при t X Ft0.Tf, можно вычислить

сЪ(г)

производную

dt

значения которой опре-

деляют скорость циклов в законе отрицания отрицания. Легко показать, что эта производная удовлетворяет соотношению

,

Сг

t

п Лх1 (/) п 2 - п п ^Сх, (/)

Л а,-^- Л х,2(/) Н Л агхг(/)Л хг(/)-

Л

Л

А п О >2

■и х2(^ м

♦ г Т1 X

Согласно Гегелю необходимым условием развития является цикличность, т. е. функ-

1

г т 1

г Т1

г Т1

г Т1

а2

г Т1

ция z

(t) t coslo (t)f

должна менять свои

свойства: то становиться возрастающей, то убывающей, что эквивалентно свойству зна-

копеременности функции

dz (t) dt

. Последнее

уже накладывает ограничения на общие математические свойства противоположных друг другу процессов виртуального мира.

Так как согласно Гегелю для развития должны существовать как минимум два противоположных друг другу процесса, количе-

_ н

ство компонент в векторах A и х(t) должно

быть не меньше двух.

Докажем это утверждение матема-тиче-

ски.

Согласно Гегелю для развития должна быть цикличность, т.е. должна быть справедлива формула z(t) 4 const при t х Ft0.T f.

Пусть только один процесс характеризует развитие. В этом случае справедливо соотношение n t 1.

Подставляя значение n t 1 в соотношение (2) после несложных алгебраических преобразований получим равенство z(t) t coso (t) t 11 const, т. е. функция цикличности не является знакопеременной.

Таким образом, мы доказали, что для описания процесса развития должно быть справедливо соотношение n f 2 .

Покажем, что для развития противоположные друг другу процессы не должны быть полностью эквивалентными друг другу.

Докажем это методом "от противного". Пусть два противоложных процесса эквивалентны друг другу, т. е. обладают свойствами, определяемыми соотношениями

n

t 2, A t (1,Н 1), x (t) í x2 (t), t х Ft0, Tf.

чальной скоростью V 0 с поверхности земли

без учета сопротивления воздуха его движению.

Будем считать, что в этом процессе действуют две равноценных противоположности: перемещение х1 ), направленное вертикально вверх, и перемещение х 2 (/), направленное вертикально вниз.

Так как противоположности равноценны, вектор А имеет вид А Т (1 Н 1) Следовательно, развитие процесса Р (^) согласно соотношению (1) описывается формулой

х^)Н х2(г)

F (t) t

2

(3)

Нетрудно заметить, что противоположность ) определяется решением задачи Коши:

d 2 x1(t) t 0 dx1(t)

t vo, X1(0) t 0. (4)

dt dt / л 0

Противоположность х ) описывается задачей Коши:

d2х2и) ^ ) ^ „ ч ^

—р Т Е,—^ т 0, Х2(0) Т 0, (5)

Ш Ш / Я 0

где Е - ускорение свободного падения.

В результате решения задач (4) и (5) получаем соотношения:

x1(t) t V, x2(t) t

2

Легко видеть, что согласно соотношениям (1) и (2) в этом случае развития нет, так как справедливы равенства р (0 5 0 и ) 5 0. Полученное противоречие доказывает утверждение.

Пример применения моделей

Рассмотрим пример практического применения приведенных выше положений на основе простой задачи классической механики.

Опишем динамику процесса вертикального подкидывания камня вверх с первона-

Согласно равенству (3) развитие процесса выражается равенством х , ^2 , V

ртт Н 1,

4 2

т. е. параболической зависимостью, описывающей взлет камня с его последующим падением до начальной точки бросания.

Функция цикличности т.({) удовлетворяет соотношению

Н gt 6 2^

z(t) t

242

,. g 212

2 A S 1 V0

На рис. 1, 2 и 3 приведены графики изменения каждой из противоположностей х1 (t) и х2 (t) , график развития процесса Р ^) и график функции цикличности 2(1,) со-

О. Г. Пенский

ответственно при V0 Т 5 —, единицах изме-

п

рения времени t в секундах, а х1 (t) и х2 (t) в метрах.

t

Рис. 1. Графики изменения противоположностей

1

F(t) 0.5

0

.5

Рис. 2. График развития процесса

1

z(t) 0.5

0

.5

Рис. 3. График функции цикличности

На рис. 1 отражено, что с течением времени противоположности рассматриваемого процесса выравниваются, сглаживаются, а точка пересечения графиков х1 ^) и х 2 ^) со-

ответствует завершению рассматриваемого в примере процесса на рассматриваемом интервале времени. Анализ графика, изображенного на рис. 2, показывает, что развитие рассматриваемого процесса на этом же интервале со временем прекращается. График, изображенный на рис. 3, демонстрирует отсутствие цикличности, а значит, и яркого проявления в процессе на рассматриваемом интервале времени закона отрицания отрицания.

Алгоритм использования общих математических моделей законов диалектики

Исходя из написанного выше, можно предложить следующий алгоритм построения модели и анализа проявления законов диалектики виртуального мира:

1. Определяются противоположные характеристики, входящие в описание процесса.

2. Определяется вектор A , задающий направление развития процесса.

3. Записываются соотношения, определяющие численные значения противоположных характеристик

xi (t), i Т 1, n,

участвующих в процессе.

4. Для диалектического анализа процесса используются соотношения (1) и (2).

5. При необходимости строятся графики противоположностей, развития процесса и функции цикличности.

Заключение

Таким образом, в настоящей статье предложены общие математические модели философских законов Гегеля. Эти модели могут применяться при численном анализе диалектических процессов, проходящих в некоем виртуальном, а возможно, и реальном окружающем нас мире.

Список литературы

1. URL: http://www.greatphilosophy.ru/philgs-

795-1.html (дата обращения: 22.08.2013).

2. URL: http://truesite.ru/literatura/kritika-zakonov-dialekticheskogo-materializma/ (дата обращения: 22.08.2013).

t

t

3. Пенский О.Г., Черников К.В. Основы математической теории эмоциональных роботов: моногр. / Перм. гос. ун-т. Пермь, 2010. 256 с.

4. Пенский О.Г., Яковлев В.И. Рейтинг успеваемости студентов как способ улучшения качества образования в высших учебных заведениях // Качество. Инновации. Образование. 2010. № 6. С. 15-21.

5. Грешилов А.А., Белова Т.И. Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Кривые второго порядка: компьютерный курс. М.: Логос, 2004. 125 с.

6. Кудрявцев Л.Д.Математический анализ. Краткий курс. Т. 1. М.: Физматлит, 2002. 400 с.

The general mathematical model of the laws of dialectics

O. G. Pensky

Perm State University, Russia, 614990, Perm, Bookirev st., 15 [email protected]; (3424) 2 396-424

Offered to the general mathematical model describing the laws of the dialectic of transformation of quantity into quality, unity and struggle of opposites, the negation of the negation. An example of the use of models in the consideration of the dialectic one of the problems of classical mechanics.

Key words: mathematical modeling; the dialectic; Hegel; classical mechanics.