Общественный выбор по правилу большинства: многомерный победитель по Кондорсе Текст научной статьи по специальности «Математика»

иркутский государственный университет путей сообщения

где а

неотрицательные фиксированные веса, среди которых обязательно должны быть положительные.

Формула (14) задает широко используемый в настоящее время индекс цен по стоимости заданного набора товаров (в частности, „потребительской корзины"). Величины ад интерпретируются как нормативные объемы товаров.

Согласно теореме 5 требования транзитивности, среднего значения и продуктивности выполняются в том и только том случае, если индекс цен вычисляется в виде среднего геометрического от темпов роста цен по отдельным товарам, т.е. по правилу

_П я

г: =

де у',

(15)

где Р] - неотрицательные, в сумме равные 1 веса.

Уместно отметить, что в 20-х годах XX века в России рассчитываемые в то время многочисленные индексы цен вычислялись именно по формулам (14), (15) [1, 3, 4]. В это время уровень советской статистики занимал передовые позиции. В других странах в то время широко использовался расчет индексов цен в виде средней арифметической от темпов роста цен на отдельные товары. Такой метод обладает большими методическими недостатками, что подробно изложено в некоторых работах, в т.ч. в [1, 5].

Из теорем 1, 4, 5 вытекает приводимое ниже утверждение, которое также можно ин-

терпретировать как противоречивость требований к методам расчета экономических индексов.

Теорема 6. Для транзитивных средних индексов требования аддитивности и продуктивности выполняются в том и только том случае, если индекс цен совпадает с темпом роста цен одного из товаров, т.е. если для некоторого г е {1,..., п| всегда

I* = р^ .

р АЛ

Индекс цен, тождественно равный темпу роста цены только одного из товаров, нельзя рассматривать в качестве полноправного показателя темпов роста цен всего набора товаров.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Зоркальцев, В.И. Индексы цен и инфляционные процессы В. И. Зоркальцев. - Новосибирск.: Наука, 1996. - 279 с.

2. Зоркальцев, В. И. Транзитивные средние индексы / В.И. Зоркальцев. - Иркутск.: ИСЭМ СО РАН, 1998. - 268 с.

3. Кабо, Е.О. Бюджетный индекс (исторический обзор) / Е.О. Кабо. - Учен. зак. по статистике. М.: Наука, 1970, Т. 17.

4. Кохн, М.П. Русские индексы цен / М.П. Кохн. - Экономическая жизнь. М.: 1925. -212 с.

5. Фишер, И. Построение индексов: Пер. с англ. М.: ЦСУ СССР, 1928. - 420 с.

Маракулин В.М. УДК330.11(075)

ОБЩЕСТВЕННЫЙ ВЫБОР ПО ПРАВИЛУ БОЛЬШИНСТВА: МНОГОМЕРНЫЙ ПОБЕДИТЕЛЬ ПО КОНДОРСЕ

Введение. функционирования большинства политичес-

Начиная с политической философии ких институтов. Дебаты о справедливости Просвещения выбор правил голосования яв- различных методов голосования начались с лялся главной этической проблемой, связан- исследований де Борда (1781) и маркиза де ной с далеко идущими приложениями для Кондорсе (1785). В частности, Кондорсе пред-

ложил выбирать кандидата (альтернативу), который побеждает любого другого кандидата при парном сравнении (дуэли) по правилу большинства. К сожалению, такого рода кандидат — победитель по Кондорсе — может не существовать, что демонстрирует известный "парадокс голосования", см. напр. [1]. В теории общественного выбора был выделен особый класс унимодальных профилей (наборов) индивидуальных предпочтений, для которых победитель по Кондорсе заведомо существует и, более того, мажоритарное правило (попарное сравнение альтернатив по большинству) порождает транзитивное упорядочивание альтернатив и, значит, его можно взять в качестве коллективного упорядочивания. Требование унимодальности профиля означает, что на множестве всех альтернатив существует некоторый специфический (внешний) линейный порядок такой, что полезность каждого индивида монотонно возрастает при монотонно возрастающем по этому порядку изменении альтернатив вплоть до некоторой точки (альтернатива — пик полезности), после которой полезность монотонно убывает (альтернативы по-прежнему монотонно возрастают по порядку). Если альтернативы позиционировать как точки на числовой прямой, порядок на которой совпадает с порядком, задающим унимодальность, то график функции полезности избирателя будет похож на изображение горы: двигаясь слева направо (или наоборот) наблюдатель всё время (монотонно) поднимается в гору вплоть до пика, но, перевалив через пик, он начинает (монотонный) спуск. Отсюда проистекает ещё одно название — однопиковые предпочтения. Для од-нопиковых предпочтений победителя по Кон-дорсе можно найти как альтернативу, представляющую средний (по порядку унимодальности) пик индивидуальных предпочтений — это составляет содержание так называемой теоремы о медианном избирателе. Более того, для унимодальных предпочтений мажоритарное правило (попарное сравнение альтернатив по принципу большинства) транзитив-но и, значит, является линейным порядком (для нечётного числа избирателей). Именно в рамках однопиковых предпочтений избирателей были развиты современные модели политической конкуренции, в их числе модели Доунса и Хотеллинга и др.

Унимодальность в описанном выше смысле означает возможность отождествить

альтернативы с точками на числовой прямой, т.е. каждая альтернатива имеет одномерную числовую характеристику: например, это может быть ставка налога на специфический продукт (акцизы на алкоголь, табак и проч.). Однако при каком-либо политическом выборе, например, при избрании парламента или президента, наличие одномерной шкалы измерения альтернатив представляется чрезмерно сильным требованием, хотя порой и встречается в политической практике (принцип левый-правый). Более реалистично предполагать, что политические альтернативы можно отождествить с точками некоторого конечномерного пространства. Однако даже при очень сильных предположениях о предпочтениях избирателей (напр. евклидовы предпочтения) одно-пиковости предпочтений безусловно не достаточно для того, чтобы существовал победитель по Кондорсе (отбросим варианты, приводимые к одномерной шкале). Таким образом, многомерный общественный выбор является принципиально более трудной задачей. Цель настоящей заметки в том, чтобы предложить некоторый суррогат победителя по Кондорсе и придать ему некоторую "политическую" интерпретацию. Идея состоит в том, чтобы, разложив политическое пространство в прямую сумму одномерных подпространств, найти такую точку, которая обладала бы свойствами победителя по Кондор-се в рамках каждого из аффинных подпространств, проходящих через данную точку и отвечающих подпространствам разложения. Мы покажем, что для приемлемого класса од-нопиковых профилей и любого разложения в прямую сумму такая точка существуют и единственная. Конечно, для данного профиля предпочтений для каждого разложения политического пространства (т.е. линейного базиса) будет существовать своя такая точка и в этом смысле решение не единственное. Однако можно не безосновательно предположить, что базис политического пространства задаётся в контексте конкуренции "политических идей", реализуемых партиями или отдельными кандидатами. Многомерная модель общественного выбора.

Рассмотрим простейший, но содержательно приемлемый вариант многомерной модели общественного выбора.

иркутский государственный университет путей сообщения

Пусть Ь = R1 некоторое конечномерное

пространство альтернатив и пусть X множество избирателей. Предположим, что избирателей конечное число1, т.е. пусть Х={1,...,п}, где п - нечётно. Пусть предпочтения индивидов описываются функциями полезности щ :

г е X , которые строго вогнуты и имеют компактные верхние лебеговские множества уровня, т.е.|х е Ь|щ (х) > с| компакт при любом

с е R, г е X. Ясно, что последнее влечёт существование единственной точки максимума полезности на любом аффинном подпространстве Ь и, следовательно (из вогнутости), на любом аффинном подпространстве пространства альтернатив предпочтения избирателей однопиковые. Пусть и это множество (конус) всех таких функций и, соответственно, и = и1 -это множество всех профилей и = (и1,...,ип), удовлетворяющих указанным свойствам.

Задача общественного выбора состоит в нахождении "разумного" отображения2

(функции) Р: и —где Р(и) е Ь понимается как общественный выбор альтернативы при условии, что предпочтения индивидуумов описываются профилем и = (и1, ...,ип). Что значит разумного? — обычно это означает, что функция общественного выбора удовлетворяет некоторым аксиомам или просто определённым требованиям. Обсуждение данной тематики и соответствующие примеры (для конечного Ь) можно найти в [1].

1. Понятие обобщённого (квази)победителя по Кондорсе.

Опишем формальную конструкцию, определяющую общественный выбор.

Пусть задано некоторое разложение пространства альтернатив Ь в прямую сумму одномерных подпространств Ь = Ь1 Ф Ь2 Ф— ФЬ1 и пусть задан вектор ш е Ь. Тогда любой вектор х е Ь можно представить, причём единственным образом, в виде х = ш л у1 + у2 л—лу1, где у, е Ь,, / =1,2,..., 1.

Альтернатива ш е Ь называется обобщённым победителем по Кондорсе относительно заданного разложения

Ь = Ь1 Ф Ь2 Ф—ФЬг, если для каждого подпространства Ь/ альтернатива ш выигрывает парное сравнение по принципу большинства улю-бой другой альтернативы х, = ш л у,, у, е Ь,, / =1,2,., 1. Другими словами, для каж-Ьдого / требуется3:

саМ{/ еx \щ (ш) > щ (у, лш)}>П Уу, е Ь/.

Отметим, что существование победителя по Кондорсе на каждой из прямых Ь, + ш элементарно — это средний пик предпочтений на прямой. Однако в данном выше определении требуется, чтобы этот победитель был общим для каждой прямой и, тем самым, совпадает с их пересечением. Ситуацию можно представлять себе так: речь идёт о специфическом выборе начала координат, в то время как направления координатных осей заданы.

Проведём одну аналогию: если функция многих переменных определена и дифференцируема на всём пространстве, то в точке её максимума дифференциал обращается в нуль, т.е. все частные производные равны нулю. Обратное конечно верно не всегда и, более того, функция, достигающая в данной точке максимума по каждой координате, не обязана иметь настоящий максимум в этой точке. Подобное происходит и в нашем случае: в соответствующей координатной системе альтернатива является победителем по каждой из координат, но, вообще говоря, не обязана быть полноценным победителем по Кондорсе.

После нахождения обобщённого победителя по Кондорсе для заданного базиса на множестве (пространстве) всех альтернатив можно навести отношение частичного мажоритарного упорядочивания следующим образом. Пусть имеется две альтернативы х, у еЬ. Каждую из этих альтернатив можно единственным образом разложить в сумму элементов из Ь, и победителя ш е Ь, т.е. записать в виде х = ш луХ +—+уХ и у = ш лу у +—+у[ . Далее можно составить кортежи

(ш + уХ л у X,— + уХ )и(ш л уу ,ш л у у ——,ш л уу )и сравнить их "покоординатно" по мажоритар-

В данном контексте было бы более адекватно предположить, что множество избирателей описывается как измеримое пространство с мерой. Однако, не меняя содержательной стороны вопроса, это влечёт довольно громоздкие математические построения и технические трудности, что на данном этапе исследования представляется неуместным.

2 В общем случае точечно-множественного.

3 Здесь сагЩА) это мощность (число элементов) множества А.

ному правилу. Однако в этом случае мажоритарное правило является линейным порядком, заданным на ж + Ь], V/. Следовательно, отношение х > у, определённое как

х > у <^V/,w + Vх [=или побеждает

по большинству ]ж + Vу,

корректно задаёт отношение частичного порядка. Представляется, что данный факт может оказаться значимым в приложениях к моделям политической конкуренции. 2. Модельные примеры квази-победителей по Кондорсе.

Рассмотрим следующий пример. Пусть пространство альтернатив двумерно, имеется 3 избирателя и пусть у каждого из них евклидовы предпочтения, т.е. и/ (х) = (а{ -х,х -а^ , /=1,2,3, где (с,^ - это обычное скалярное произведение векторов, а а{ - некоторые векторы (пики предпочтений). Очевидно, эти полезности удовлетворяют вышеизложенным требованиям. Попробуем разобраться, что здесь происходит с обобщёнными победителями по Кондорсе. Ситуация изображена на рис. 1. Пики индивидуальных полезностей на рисунке переобозначены как вершины треугольника ААВС. Подпространствам Ь1, Ь2соответствуют семейства параллельных прямых. Так как предпочтения евклидовы, то кривые безразличия являются окружностями с центром в вершинах треугольника. Пики предпочтений на подпространствах находятся как (ортогональные) проекции вершин треугольника— показаны "точечными" прямыми. При этом победителю по Кондорсе отвечают "жирные" точки, а на пересечении этих прямых находится собственно обобщённый победитель по Кондорсе (левый рисунок). На правом рисунке изображено все многообразие возможных квази-победителей по Кондорсе для разных ортогональных координатных систем.

Принцип построения прост: на каждой из сторон треугольника надо построить окружность с центром в середине стороны и диаметром равным длине стороны. Теперь все квази-победители находятся как пересечение этих окружностей с треугольником: это объединение дуг, расположенных внутри треугольника. При этом, если исходный треугольник тупоугольный, то получится лунка как на правом рисунке; для остроугольного треугольника дуги образуют криволинейный треугольник с "вершинами" в точках основания высоты, опущенной из вершины на противолежащую сторону треугольника. Не слишком сложно исследовать и случай косоугольной системы координат.

Ситуация усложняется в случае неевклидовых предпочтений. Рассмотрим, например, случай нормируемых предпочтений: функцийтипаи(х) = -||х-а||, где||-||- некоторая

норма (любая, а не только евклидова), причём для разных индивидов норма может быть разной. Здесь дело упрощается благодаря тому факту, что пики данного индиви-да,отвечающие разным параллельным прямым, образуют прямую (не обязательно ортогональную, как у евклидовых предпочтений). Иллюстрация дана на рис. 2. Здесь овалы изображают возможные кривые безразличия избирателей А, В, С. Пунктирные линии -это пути, которые пробегают пики предпочтений по мере параллельного сдвига прямых, заданных одномерными подпространствами Ь1, Ь2. Две ломаные линии, представленные жирными точками, изображают соответствующих подпространствам победителей по Кондорсе. Пересечение этих ломаных даёт обобщённого победителя Кондорсе — обозначен ж. 3. Существование и единственность обобщённого победителя Кондорсе.

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

Рис. 2. Обобщённый победитель по Кондорсе для нормируемых предпочтений

Случай евклидовых предпочтений достаточно простой: доказательство фактически следует из анализа вышеприведённого примера. Действительно, если рассмотреть совокупность параллельных прямых вида V-1 + Ь1 ^^ е Ь2 +—+Ь1 ,то для евклидовых предпочтений легко видеть, что пики индуцированных на прямые предпочтений образуют гиперплоскости, ортогональные Ь1. Поэтому и победители по Кондорсе на этих прямых образуют (ортогональную) гиперплоскость, скажем Н. С другой стороны, по индукции для каждого из (аффинных) подпространств v1 + Ь2 н—+Ь1 обобщённый победитель по Кондорсе существует и единственный. Однако каждый пик индуцированного на подпространство предпочтения получается как ортогональная проекция пика на всем пространстве, т.е. индуцированные пики любого индивида образуют прямую, ортогональную к Ь-1 = Ь2 н—нЬ1. Так как все структуры пиков и кривых безразличия получаются друг из друга путём параллельного переноса, это будет происходить и с обобщёнными победителями Кондорсе, которые в совокупности образуют некоторую прямую д, ортогональную к Ь-1. Прямая д и гиперплоскость Н не параллельны и, поэтому, имеют единственную точку пересечения ж, которая и будет по построению обобщённым победителем по Кондорсе.

В общем случае ситуация сложнее, мы наметим только идею доказательства (похоже на описанный случай). Ведём индукцию по размерности пространства Ь. Рассмотрим как и выше семейство параллельных прямых V-1 + Ь1, V-1 е Ь-1. На каждой из них существует победитель по Кондорсе и мы можем опреде-

лить отображение из Ь-1 в Ь1, где точке V-1 е Ь-1 сопоставляется соответствующий победитель. Графиком этого отображения является некоторая (не дифференцируемая) I — 1-мерная

поверхность Н. Используя индуктивное предположение, определим подобным образом отображение из Ь1 в Ь-1, сопоставляя точке V1 е Ь1 обобщённого победителя по Кондорсе из v1 + Ь-1. График этого отображения

задаёт одномерную кривую д в Ь. Далее остаётся показать, что пересечение двух полученных объектов — поверхности Н и кривой д — непусто и состоит из единственной точки. Однако последнее является нетривиальной математической задачей и пока-что не доказано. Автору представляется, что этот факт должен быть справедлив по крайней мере для нормируемых предпочтений: здесь пики данного индивида, отвечающие разным параллельным гиперплоскостям V1 + Ь-1, V1 е Ь1, образуют прямую. Отсюда следует, что обобщённые победители Кондорсе, отвечающие гиперплоскостям V1 + Ь-1, V1 е Ь1, должны пробегать некоторую кусочно-линейную кривую. 4. Возможная интерпретация обобщённого победителя Кондорсе.

При каких условиях применение концепции обобщённого победителя Кондорсе является уместным? Далее я попробую предложить кое-что. Рассмотрим какие-нибудь политические выборы (в парламент, президента). В ходе политической рекламы и дебатов, сопровождающих выборный процесс, партии предлагают варианты экономических программ, в рамках которых расставляют свои приоритеты разным экономическим мероприятиям. Например, пусть политическое пространство двумерно: одна ось измеряет внутригосударственный уровень экономической свободы/несвободы (или социальной справедливости — сколько отобрать и разделить, т.е. уровень внутренних налогов), а вторая — степень защиты национальной промышленности (пошлины на импорт). Пусть имеется три конкурирующие партии: 1-я проводит идею эффективной национальной промышленности, 2-я декларирует принципы справедливости и открытого экономического пространства, 3-я партия центристская — умеренные внутренние налоги и умеренные налоги на импорт. В нашем политическом пространстве партийные позиции можно задать в векторном виде: для 1-й это Л1 = (а,1) —

свобода предпринимательской деятельности (низкие внутренние налоги, первая компонента) и высокая защита национального рынка (высокие пошлины на импорт); для 2-й партии ситуация обратная - это Л2 = (1,Р) и, наконец, для 3-й вектор Л3 = (1,1). Здесьа> 0ир>0 - некоторые числа, меньшие единицы; длины политических векторов пока не важны, но важны отношения компонент. Разные партии способны с разной степенью интенсивности вести рекламу своих программ (здесь это деньги, закулисная борьба разного рода, административный ресурс), тем самым навязывая общественному мнению свою шкалу оценки экономических программ. Эту меру интенсивности можно в модели выразить численно: пусть это будут величины е, > 0, / =1,2,3. Избиратель каким-то образом обрабатывает информацию из рекламы и формирует разные "шкалы" измерения (оценивания) политических партий. Первая шкала (пространство) натягивается на вектор д 1 = е 1Л1 ле 2 Л2 ле 3 Л3, вторая образуется в ортогональном пространстве и натягивается навекторд2 =е 1 Рг(Л1)ле2 Рг(Л2)ле3 Рг(Л3), где Рг(Л,) - это проекция вектора Л, на ортогональное к д 1 подпространство. Таким образом, под воздействием рекламы (массовый) избиратель выбирает удобную координатную систему и далее оценивает политические альтернативы "покоординатно". Отметим, что при этом политическое пространство может "свернуться" до подпространства (партий меньше чем размерность Ь) — действительно, лишние размерности могут только затруднить политический выбор. Кроме того, ясно, что на формирование итоговой координатной системы большее влияние оказывает та партия, у которой больше величина е, ||Л, || , измеряющая партийный вес в общем потоке политической рекламы. Представляется, что предлагая своего кандидата, преимущество получает та партия, чей кандидат находится "бли-

же" к идеальной точке — обобщённому победителю Кондорсе — ближе в смысле введённого выше отношения частичного порядка (*).

Изложенную выше схему политической конкуренции можно было бы и усовершенствовать. Например, можно предположить, что партии предлагают не один вектор политического "направления", а несколько, при этом придавая им разный "вес". Таким образом, на политический рынок поставляется несколько важных направлений развития (национальные программы?) экономики, культуры, политических институтов и т. д. Однако в целом это предмет дальнейшего анализа с подробной разработкой соответствующей формальной модели и с последующим изучением её свойств.

Конечно, здесь не всё так просто, даже если согласиться с изложенной схематической моделью политической конкуренции. Действительно, ведь тот факт, что проекции одной альтернативы на координатные оси (в новой координатной системе) выигрывают у проекций другой альтернативы по большинству, еще не означает, что сама первая альтернатива выиграет при сравнении со второй. Однако есть основание думать, что это ожидаемый результат (в смысле математического ожидания) и, главное, так может думать руководство выборных компаний политических партий. Возможно на этом пути можно будет обосновать многомерный аналог наблюдаемому в реальной политике факту сближения политических платформ ведущих партий в странах с развитой демократической системой.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Мулен Э. Кооперативное принятие решений: Аксиомы и модели: Пер. с англ. Москва: Мир, 1991, 464 с.