Процедуры голосования в малых группах Текст научной статьи по специальности «Математика»

бзоры

УДК 303.425.3

ПРОЦЕДУРЫ ГОЛОСОВАНИЯ В МАЛЫХ ГРУППАХ

В.И. Вольский

Предложена классификация процедур голосования в м алых группах, основанная на использовании информации в виде упорядочений кандидатов в избирательных бюллетенях, полученных от избирателей. Описаны известные из литературы процедуры голосования.

Ключевые слова: процедура голосования, избиратель, упорядочение, ранжирование, попарное сравнение кандидатов.

ВВЕДЕНИЕ

Можно различить два типа голосования, положив в основу этого различия число избирателей.

Первый тип — всеобщее (конституционное) голосование, в котором принимают участие сотни тысяч и миллионы человек. Голосование такого рода проводится в общенациональном или крупно-региональном масштабе. В таких голосованиях от избирателя требуется отметить в избирательном бюллетене лучшего по его мнению кандидата, и при подборе процедуры выявления коллективного решения встают проблемы уточнения понятия «большинство голосов»:

— «больше, чем другие» или «больше половины голосов»;

— от какого списка отсчитывать это большинство (от общего ч исла избирателей или от ч ис-ла принявших участие в голосовании);

— как учитывать голоса воздержавшихся при голосовании (если такая графа есть в избирательном бюллетене).

Ко второму типу относится голосование в малых группах, когда в голосовании участвуют десятки избирателей. Примерами таких групп могут служить комитеты и комиссии парламента, советы директоров компаний, общие собрания акционеров небольших акционерных обществ и т. д. От участников голосования в этом случае можно получить более детальную информацию об их предпочтениях о кандидатах (или альтернативах), которые включены в избирательный бюллетень.

Далее рассматриваются процедуры голосования, которые требуют от избирателя строго упорядочить кандидатов в соответствии со своими пред-

почтениями. Такая более детальная информация избирателей относительно кандидатов позволяет использовать различные процедуры агрегирования индивидуальных мнений в коллективное решение.

Данная статья посвящена обзору существующих процедур голосования второго типа.

Эти процедуры голосования можно классифицировать следующим образом1:

1. Позиционные процедуры, использующие информацию о положении кандидатов в упорядочениях избирателей.

1.1. Процедура простого большинства.

1.2. Процедура относительного большинства (плюралитарная процедура).

1.3. Двухступенчатая плюралитарная процедура.

1.4. Процедура одобряющего голосования.

1.5. Практическая процедура Кондорсе.

1.6. Процедура передачи голосов.

1.7. Обратная процедура относительного большинства (обратная плюралитарная процедура).

1.8. Процедура Уэйра.

1.9. Процедура Кумбса.

1.10. Пороговая процедура.

2. Позиционные процедуры, использующие суммы рангов кандидатов в упорядочениях избирателей.

2.1. Процедура Борда.

2.2. Процедура Нансона.

2.3. Процедура Болдуина.

3. Процедуры, основанные на попарном сравнении кандидатов в упорядочениях избирателей.

1 Классификация процедур голосования предложена совместно профессором Ф.Т. Алескеровым и автором.

3.1. Процедуры выбора непосредственно по мажоритарному графу.

3.1.1. Процедура выбора победителя Кондорсе.

3.1.2. Процедура Блэка.

3.1.3. Процедура последовательного исключения кандидатов.

3.1.4. Процедура выбора минимального доминирующего подмножества.

3.1.5. Процедура выбора м инимальных недоминируемых подмножеств.

3.1.6. Процедура фон Неймана — Моргенштерна.

3.2. Процедуры, использующие мажоритарный граф и вспомогательную шкалу на нем.

3.2.1. Процедура Коупленда.

3.2.2. Процедура Доджсона.

3.2.3. Процедура Янга.

3.2.4. Процедуры, использующие понятие собственного вектора турнирной матрицы.

3.3. Процедуры, использующие м ажоритарный граф и вспомогательное бинарное отношение на нем.

3.3.1. Процедура Фишберна.

3.3.2. Процедура выбора по отношению покрытия.

3.3.3. Процедура Ричелсона.

3.4. Паретовские процедуры голосования.

3.4.1. Процедура выбора множества Парето.

3.4.2. ^-паретовская процедура.

4. Аппроксимационные процедуры.

4.1. Процедура Кемени

4.2. Процедура приближенной триангуляции турнирной матрицы.

5. Процедура Симпсона.

Рассмотрим каждую из этих процедур. Далее нумерация и заголовки разделов настоящей статьи совпадают с нумерацией и названиями процедур в приведенной классификации.

Принятые обозначения: А = х, у, ..., г — множество кандидатов; |А | = п — число кандидатов; И1, И2, ..., ИЛ — избиратели 1, 2, ..., Л;

р,, I = 1, N — упорядочение избирателя I кандидатов из множества А (линейный порядок). Набор {р}, I = 1, N, называется профилем индивидуальных упорядочений избирателей относительно кандидатов из множества А.

1. ПОЗИЦИОННЫЕ ПРОЦЕДУРЫ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ ИНФОРМАЦИЮ О ПОЛОЖЕНИИ КАНДИДАТОВ В УПОРЯДОЧЕНИЯХ ИЗБИРАТЕЛЕЙ

1.1. Процедура простого большинства

Согласно этой процедуре строится вспомогательная шкала «Сумма первых мест в упорядочениях избирателей». Лучшим считается кандидат,

сумма первых мест которого в упорядочениях избирателей превышает половину от числа избирателей. Пусть имеются 4 избирателя И1—И4. Их предпочтения относительно кандидатов х, у, г, V представлены в табл. 1.

Таблица 1

И1 И2 И3 И4

х х у V

г V г г

V у V х

у г х у

Вспомогательная шкала «Сумма первых мест» представлена на рис. 1.

2 у, V X

0 1 2 Сумма первых мест

Рис. 1

Лучшим считается кандидат, сумма первых мест которого в упорядочениях избирателей превышает половину от ч исла избирателей. Как видно из табл. 1 и рис. 1, для этого случая победителя по процедуре простого большинства нет.

1.2. Процедура относительного большинства (плюралитарная процедура)

Здесь так же, как и в процедуре простого большинства строится вспомогательная шкала «Сумма первых мест». Лучшим считается кандидат (или кандидаты), имеющий наибольшую оценку по этой шкале.

Лучшим согласно этой процедуре для случая, представленного в табл. 1 и на рис. 1, считается кандидат х.

1.3. Двухступенчатая плюралитарная процедура [1]

Если по вспомогательной шкале «Сумма первых м ест» имеется кандидат, превышающий половину от числа избирателей, то он объявляется избранным.

Если такого кандидата нет, то объявляется второй тур, в который проходят два кандидата, имеющие наибольшие числовые оценки по шкале «Сумма первых мест», и далее применяется плю-ралитарная процедура для этого двухэлементного множества.

Для примера, представленного в табл. 2, вспомогательная шкала «Сумма первых мест» показана на рис. 2.

v х,у

0 1 2 Сумма первых мест

Рис. 2

Таблица 2

И1 И2 ИЗ И4 И5

х У v У х

v х х z z

У z У х v

z v z v У

Ни один из кандидатов не набрал более половины от числа избирателей, поэтому во второй тур выходят кандидаты х и у.

Если предпочтения избирателей ко второму туру не изменятся, то будет иметь место табл. 3.

Таблица 3

И1 И2 ИЗ И4 И5

х У х У х

У х У х У

Победителем согласно этой процедуре называется кандидат, превосходящий другого кандидата по числу первых мест, т. е. кандидат х.

1.4. Процедура одобряющего голосования (Approval Voting Procedure) [2—4]

Согласно этой процедуре строится вспомогательная шкала «Сумма k первых мест в упорядочениях избирателей» (k < n). Для случая k = 2 в примере, представленном в табл. 1, эта шкала имеет вид (рис. 3).

у X,V Z -1-1-1-1- —>•

0 12 3

Сумма двух первых мест

Рис. 3

Согласно этой процедуре будет избран кандидат г.

Существует другая разновидность процедуры одобряющего голосования. Каждый избиратель имеет право отметить в своем бюллетене любое количество лучших с его точки зрения кандида-

тов. Затем каждому кандидату приписывается число, равное количеству бюллетеней, в котором этот кандидат отмечен. Лучшим (или лучшими) считается кандидат, у которого этот показатель максимален.

1.5. Практическая процедура Кондорсе [5].

В жирондистском проекте конституции Кондорсе предложил следующую процедуру голосования:

1) число кандидатов, указанных в бюллетене для голосования, должно втрое превышать число выборных мест;

2) бюллетень состоит из двух граф: графы решающих голосов и графы дополнительных голосов;

3) избиратель должен отметить в графе решающих голосов ровно столько кандидатов, сколько имеется выборных мест; кроме того, избиратель должен отметить в графе дополнительных голосов ровно столько кандидатов, сколько имеется выборных мест, но уже других кандидатов, отличных от тех, которых он отметил в графе решающих голосов (например, если необходимо избрать трех человек, то избирательный бюллетень должен содержать девять кандидатов; пример заполнения такого бюллетеня представлен в табл. 4);

Таблица 4

Кандидаты Графа решающих голосов Графа дополнительных голосов

х +

У

z +

v +

w

Р +

q +

s +

r

4) если более половины избирателей отметили в графе решающих голосов какого-либо кандидата, то этот кандидат считается избранным;

5) если ч исло таких кандидатов, набравших более 50 % голосов в графе решающих голосов, больше ч исла выборных мест, то избираются кан-

2 Мари Жан Антуан Николя д е Карита, маркиз д е Кондорсе (1743—1794) — французский философ, ученый-математик и политический деятель. Он является (наряду с Ж.-Ш. де Борда (1733—1799)) родоначальником науки, которая позднее была названа теорией голосования.

дидаты, имеющие наибольшее число решающих голосов;

6) если число кандидатов, набравших более 50 % голосов в графе решающих голосов, меньше числа выборных мест, то недостающее число кандидатов берется из графы дополнительных голосов. Для этого берется сумма голосов из графы решающих голосов и графы д ополнительных голосов для каждого из оставшихся кандидатов, и недостающее число кандидатов избираются согласно значению полученной суммы.

В силу того, что проект жирондистской конституции был отвергнут, эта процедура голосования не применялась во Франции. Однако авторитет Кондорсе был так велик, что эта процедура голосования в течение ряда лет применялась при выборах в Верховную Ассамблею Женевы.

1.6. Процедура передачи голосов (Single Transferable Vote) [6]

Эта процедура была предложена английским математиком Т. Р. Хиллом в 1819 г. (Thomas Wright Hill (1763-1851)).

Она применяется, если из списка кандидатов необходимо избрать некоторое заранее фиксированное число лучших. Устанавливается квота, т. е. число голосов, которое должен получить кандидат для того, чтобы быть избранным.

На первом этапе учитываются только первые в упорядочениях избирателей кандидаты. Кандидат, получивший число первых мест в упорядочениях избирателей, равное или превышающее квоту, считается избранным. Если число голосов, поданное за этого кандидата, превышает квоту, то избыток голосов передается по жребию кандидатам, стоящим на втором месте в упорядочениях тех избирателей, которые были выбраны этим жребием. Если после этого появился кандидат, который получил число голосов, равное или превышающее квоту, то он считается избранным. Если при этом число голосов за него превысило квоту, то процесс продолжается до тех пор, пока не будет избрано заранее фиксированное число лучших кандидатов.

Поясним эту процедуру на примере. Пусть имеются 6 избирателей и 3 кандидата (x, y и z), из которых надо избрать двух лучших. Организатор голосования установил значение квоты, равное 3. Предпочтения избирателей представлены в табл. 5.

Таблица 5

И1 И2 ИЗ И4 И5 И6

x x y x x x

y z x z y y

z y z y z z

На первом этапе избирается кандидат х, получивший 5 голосов. Избыток голосов равен 2 (5 - 3 = 2).

По жребию определяются 2 из 5 избирателей, поставивших кандидата х на первое место в своих упорядочениях. Пусть жребий выпал на избирателей И1 и И5. Тогда имеет место ситуация, представленная в табл. 6, т. е. голоса этих избирателей передаются кандидатам, стоящим на втором месте в их упорядочениях.

Таблица 6

И1 И2 ИЗ И4 И5 И6

x y x x

y z x z y y

z y z y z z

Избирается кандидат y, набравший 3 голоса, т. е. число голосов, равное квоте.

Итак, согласно процедуре, предложенной Хиллом, избираются кандидаты x и y.

С 1855 г. по предложению датского математика и политика К. Андре (Carl Christofer Georg Andrae (1812—1893)) процедура передачи голосов начала применяться в Ригсдаге (датском парламенте).

В 1857 г. английский юрист Т. Хар (Thomas Hare (1806—1891)) независимо от своих предшественников предложил такую же процедуру для выборов в парламент и муниципальные органы власти [7]. В качестве квоты Хар предложил использовать числовое значение

Hare quota =

number of electors

number of candidates to be chosen

Так же, как Хилл, Хар предлагал избыток голосов, превышающий квоту, распределять по жребию. Процедура передачи голосов, основанная на квоте Хара, применялась на выборах в Палате ассамблей Тасмании в 1897 г.

В 1868 г. английский математик Г. Друп (Henry Richmond Droop (1832—1884)) предложил другое выражение для вычисления квоты [8]:

Droop quota = number of electors

number of candidates to be chosen + 1.

+ 1,

где [•] означает целую часть числа.

Смысл введения этой квоты состоит в том, чтобы исключить ситуации, когда число кандидатов, преодол евших квоту, было бы больше числа кандидатов, которые должны быть избраны.

Процедура передачи голосов, использующая квоту Друпа, широко применялась (и применяется до настоящего времени) во многих странах, вклю-

чая Ирландскую республику, Мальту, Австралию, Новую Зеландию и др.

В 1880 г. Дж. Б. Грегори (John Burslem Gregory (1844—1920)) предложил распределить избыток голосов при использовании процедуры передачи голосов не случайным образом (по жребию), как это делалось ранее, а с помощью так называемого передаваемого значения [9].

Поясним метод Грегори на примере. Имеются 20 избирателей и 5 кандидатов — х, У, z, v, w. (Заметим, что избиратели не обязаны упорядочивать всех кандидатов в соответствии со своими предпочтениями). Необходимо избрать трех лучших кандидатов, используя квоту Друпа. Предпочтения избирателей представлены в табл. 7.

Таблица 7

Число избирателей

1 2 8 4 4 1

x y z z v w

y x v w w

z z w

w

Droop quota =

' 2 0 ' .3 + 1.

+ 1 = 6.

Первый этап. Подсчет числа голосов. Для каждого кандидата подсчитывается число голосов избирателей, поставивших этого кандидата на первое место в своих предпочтениях: х: 1 голос; у: 2 голоса; г: 12 голосов; V: 4 голоса; ж 1 голос.

Кандидат г, набравший число голосов, превышающее квоту, избран.

Избыток голосов = 12 — 6 = 6. Второй этап. Подсчет передаваемого значения. Передаваемое значение подсчитывается как частное от деления избытка голосов, полученного избранным кандидатом, на общее число голосов, полученное этим кандидатом, т. е. передаваемое значение = 6/12 = 0,5.

Третий этап. Распределение голосов. Для бюллетеней, в которых избранный на первом этапе кандидат г указан на первом месте, 0,5 голосов передаются кандидатам, которые стоят на втором месте. Из тех, кто поставил на первое место в своих упорядочениях кандидата г, 8 избирателей поставили на второе место кандидата V и 4 избирателя — кандидата ж

Таким образом, кандидату V переходят 8-0,5 = = 4 голоса; кандидату ^ переходят 4-0,5 = 2 голоса.

В итоге после первого распределения голосов имеем:

х: 1 голос; У: 2 голоса; z: 12 — 6 = 6 голосов; v: 4 + 4 = 8 голосов; w: 1 + 2 = 3 голоса.

Кандидат v, набравший число голосов, превышающее квоту, избран.

Избыток голосов = 8 — 6 = 2. Четвертый этап. Подсчет передаваемого значения.

Передаваемое значение = 2/8 = 0,25. Пятый этап. Распределение избытка голосов. Для бюллетеней, в которых имеется кандидат, стоящий после кандидата v, 0,25 голоса передается этому кандидату.

В восьми упорядочениях после кандидата v стоит кандидат w и еще в четырех упорядочениях после кандидата v стоит кандидат w.

Таким образом, кандидату w на этом этапе переходят 8-0,25 + 4-0,25 = 2 + 1 = 3 голоса.

В итоге после второго распределения голосов имеем:

х: 1 голос; У: 2 голоса; z: 12 — 6 = 6 голосов; v: 8 — 2 = 6 голосов; w: 3 + 3 = 6 голосов.

Кандидат w, набравший число голосов, равное квоте, избран.

Таким образом, избраны кандидаты z, v и w. В XX в. были предложены различные модификации метода Грегори: включающий метод Грегори, взвешенный включающий метод Грегори [10]. Осознание недостатков всех модификаций метода Грегори привело в конце XX в. к появлению еще одной процедуры передачи голосов — метод Мика [11]. Этот м етод настолько сложен, что его прямое описание затруднительно. Программа, реализующая этот метод, занимает на языке Pascal значительный объем.

Обзор различных процедур передачи голосов приведен в работе [9]. Аксиоматическое описание одной из версий процедуры передачи голосов дано в статье [12].

1.7. Обратная процедура относительного большинства (обратная плюралитарная процедура) [2, 3]

Строится вспомогательная шкала «Сумма последних мест в упорядочениях избирателей», избранным считается кандидат (или кандидаты), имеющие наименьшее числовое значение по этой шкале.

Для примера, представленного в табл. 1, вспомогательная шкала «Сумма последних мест» изображена на рис. 4.

Таблица 9

Рис. 4

Лучшим согласно этой процедуре считается кандидат v.

1.8. Процедура Уэйра (Instant-Runoff Voting) [6, 13]

Эта процедура была предложена в 1871 г. американским архитектором В.Р. Уэйром (W.R. Ware).

Фактически она представляет собой модификацию процедуры передачи голосов в случае, когда используется квота Друпа и необходимо избрать одного лучшего кандидата.

В этом случае

Droop quota =

num-b er o f e lecto r-s 1 + 1

+ 1,

т. е. требуется, чтобы победитель голосования получил более 50 % голосов избирателей.

Согласно этой процедуре избирается кандидат, получивший более 50 % первых мест в упорядочениях избирателей. Если такой кандидат существует, то процедура заканчивается. В противном случае из списка кандидатов исключается кандидат, который имеет наименьшее число первых мест в упорядочениях избирателей. Процедура повторяется для уменьшенного таким образом списка кандидатов, и так далее до тех пор, пока не появится кандидат, получивший более 50 % первых мест в сокращенном списке кандидатов.

Поясним действие этой процедуры на примере. Пусть мнения восьми избирателей относительно кандидатов х, у, г, V представлены в табл. 8.

Таблица 8

И1 И2 ИЗ И4 И5 И6 И7 И8

x x x y y z z v

y y y v v x x y

z z v x z v v x

v v z z x y y z

И1 И2 ИЗ И4 И5 И6 И7 И8

x x x y y z z y

y y y x z x x x

z z z z x y y z

Как мы видим, при исключении из рассмотрения кандидата V не появился кандидат, имеющий более 50 % первых мест в упорядочениях избирателей. Поэтому снова исключаем кандидата, имеющего наименьшее число первых мест, т. е. кандидата г. Получаем следующую ситуацию (табл. 10).

Таблица 10

И1 И2 ИЗ И4 И5 И6 И7 И8

x x x y y x x y

y y y x x y y x

Согласно процедуре Уэйра избирается кандидат x, набравший 5 первых мест (т. е. более 50 % первых мест в упорядочениях избирателей).

1.9. Процедура Кумбса [6, 14]

Эта процедура была предложена американским психологом Клайдом Кумбсом (Clyde Hamilton Coombs (1912—1988)).

Лучшим считается кандидат, получивший более 50 % первых мест в упорядочениях избирателей. Если такой кандидат существует, то он считается избранным, и процедура заканчивается. В противном случае из списка кандидатов удаляется кандидат, которого считают худшим наибольшее число избирателей. Процедура повторяется для уменьшенного таким образом списка кандидатов до тех пор, пока появится кандидат, имеющий более 50 % первых мест в сокращенном списке кандидатов.

В примере, представленном в табл. 8, ни один из кандидатов не набрал более 50 % первых мест. Поэтому исключается кандидат, имеющий наибольшее число последних мест в упорядочениях избирателей, т. е. кандидат z.

Тогда имеет место ситуация, представленная в табл. 11.

Ни один из кандидатов не набрал более 50 % первых мест в упорядочениях избирателей (т. е. 5 или больше). Поэтому исключается кандидат, имеющий наименьшее число первых мест в упорядочениях избирателей, т. е. кандидат V.

Таким образом, имеет место ситуация, представленная в табл. 9.

Таблица 11

И1 И2 ИЗ И4 И5 И6 И7 И8

x x x y y x x v

y y y v v v v y

v v v x x y y x

Как видим, при исключении кандидата г появился кандидат, имеющий более 50 % первых мест в упорядочениях избирателей — кандидат х. Он и признается победителем.

1.10. Пороговая процедура [15]

Эта процедура голосования применима в случае, когда отрицательное мнение одного из избирателей относительно какого-то кандидата не может быть скомпенсировано положительным мнением относительно этого кандидата другими избирателями. При таком подходе лучшим в коллективном упорядочении будет назван кандидат, имеющий наименьшее число последних мест в упорядочениях избирателей. При равенстве последних мест у нескольких кандидатов лучшим из них признается кандидат, у которого меньше всего предпоследних мест в упорядочениях избирателей, и т. д.

Поясним этот принцип на примере с тремя кандидатами х, у, г (табл. 12).

Таблица 12

И1 И2 И3 И4

y y y z

x x x x

z z z y

Лучшим согласно этой процедуре будет кандидат х, которого никто из избирателей не поставил на последнее место в своем упорядочении, вторым в коллективном упорядочении будет стоять кандидат у, имеющий меньше последних мест в упорядочениях избирателей, чем кандидат г. Таким образом формируется коллективное упорядочение, которое в общем случае является слабым порядком.

Эта процедура обобщена для случая п кандидатов [16, 17].

2. ПОЗИЦИОННЫЕ ПРОЦЕДУРЫ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ СУММЫ РАНГОВ КАНДИДАТОВ В УПОРЯДОЧЕНИЯХ ИЗБИРАТЕЛЕЙ

2.1. Процедура Борда [1—3, 6, 14, 18]

Процедура предложена французским ученым Ж.-Ш. де Борда (Jean Charles de Borda (1733— 1799)).

16 июня 1770 г. на заседании Королевской академии он выступил с докладом, в котором представил разработанную им процедуру голосования .

3 Процедура голосования, основанная на суммировании рангов и совпадающая с описанием процедуры Борда, была предложена немецким философом и ученым Николаем Кузан-ским (№ео1аш Сшапш (1401—1464)) [19—21]). Борда, безусловно, не знал о работе Николая Кузанского.

Статья с ее описанием была напечатана в «Истории Королевской академии наук за 1781 год» [18].

Согласно этой процедуре каждому кандидату в упорядочениях избирателя приписывается ранг. Если в избирательном бюллетене имеется п кандидатов, то первому в упорядочениях кандидату приписывается ранг п, второму — ранг (п — 1), и т. д. Последнему в упорядочении кандидату приписывается ранг 1. Далее каждому кандидату приписывается сумма рангов во всех упорядочениях избирателей. Кандидат, у которого сумма рангов максимальна, считается избранным.

Поясним действия процедуры Борда на примере. Пусть имеется 3 избирателя и 4 кандидата. Упорядочения избирателей относительно кандидатов представлены в табл. 13.

Таблица 13

И1 И2 И3 Ранг

x z v 4

y y y 3

z x z 2

v v x 1

Суммы рангов кандидатов: x: 4 + 2 + 1 = 7; y: 3 + 3 + 3 = 9; z: 2 + 4 + 2 = 8; v: 1 + 1 + 4 = 6.

Победителем по процедуре Борда стал кандидат y. Заметим, что ни один из избирателей не поставил кандидата y первым в своем упорядочении.

Важно отметить также, что даже если в данном профиле предпочтений избирателей существует кандидат, который побеждает каждого другого кандидата при попарном сравнении (так называемый победитель Кондорсе, о котором см. далее п. 3.1.1), процедура Борда нередко называет лучшим другого кандидата.

2.2. Процедура Нансона [6, 14, 22]

Английский математик Э. Дж. Нансон (Edward John Nanson (1850—1936)) предложил процедуру, которая является модификацией процедуры Борда.

Согласно процедуре Нансона на первом этапе для каждого кандидата подсчитывается сумма рангов в упорядочениях избирателей. Далее под-считывается среднее арифметическое сумм рангов всех кандидатов. Исключаются из рассмотрения все кандидаты, сумма рангов которых меньше или равна среднему арифметическому. Для оставшихся кандидатов подсчитывается сумма рангов. Подсчитывается среднее арифметическое. Исключаются из рассмотрения кандидаты, сумма рангов которых м еньше или равна среднему ариф-

метическому. Процесс повторяется до получения единственного победившего кандидата.

Поясним эту процедуру на примере. Имеются 3 избирателя, предпочтения которых относительно кандидатов х, у, г, V представлены в табл. 14.

Таблица 14

И1 И2 ИЗ Ранг

х v v 4

у х х 3

z у z 2

v z у 1

Согласно процедуре Нансона на первом этапе подсчитываются суммы рангов всех кандидатов: х: 4 + 3 + 3 = 10; у: 3 + 2 + 1 = 6; г: 2 + 1 + 2 = 5; V: 1 + 4 + 4 = 9.

Среднее арифметическое = (10 + 6 + 5 + 9)/4 = = 7,5.

Исключаются из рассмотрения кандидаты, имеющие суммы рангов, меньшие или равные среднему арифметическому, т. е. кандидаты у и г, таким образом имеет место ситуация, представленная в табл. 15.

Таблица 15

И1 И2 И3 Ранг

х v v 2

v х х 1

Сумма рангов: х: 2 + 1 + 1 = 4; v: 1 + 2 + 2 = 5, т. е. избирается кандидат v.

Процедура Нансона характерна тем, что несмотря на то, что для определения победителя используется суммирование рангов (как и в процедуре Борда), коллективный выбор обязательно совладает с победителем Кондорсе (если он существует в данном профиле индивидуальных упорядочений избирателей). Если победителя Кондорсе нет, то выбор по процедуре Нансона может отличаться от выбора по процедуре Борда.

2.3. Процедура Болдуина [6, 23]

Эта процедура была предложена австралийским астрономом Дж. М. Болдуином (Joseph Mason Baldwin (1878—1945)). Она так же, как и процедура Борда и Нансона, основана на подсчете сумм рангов кандидатов в упорядочениях избирателей.

Согласно процедуре Болдуина на каждом этапе исключается из рассмотрения кандидат, имеющий

наименьшую сумму рангов в упорядочениях избирателей.

Поясним действия этой процедуры для случая, представленного в табл. 14.

Сумма рангов всех кандидатов: х: 4 + 3 + 3 = 10; у: 3 + 2 + 1 = 6; г: 2 + 1 + 2 = 5; V: 1 + 4 + 4 = 9.

Исключается из рассмотрения кандидат г с наименьшей суммой рангов (табл. 16).

Таблица 16

И1 И2 И3 Ранг

х v v 3

у х х 2

v z у 1

Суммы рангов: х: 3 + 2 + 2 = 7; у: 2 + 1 + 1 = 4; v: 1 + 3 + 3 = 7.

Исключается кандидат у (табл. 17).

Таблица 17

И1 И2 И3 Ранг

х v v 2

v х х 1

Таким образом, согласно процедуре Болдуина избирается кандидат V.

Процедура Болдуина (как и процедура Нансо-на) всегда в качестве лучшего называет победителя Кондорсе (если он существует).

3. ПРОЦЕДУРЫ, ОСНОВАННЫЕ НА ПОПАРНОМ СРАВНЕНИИ КАНДИДАТОВ В УПОРЯДОЧЕНИЯХ ИЗБИРАТЕЛЕЙ

В качестве структуры, описывающей попарное сравнение кандидатов, используется мажоритарный граф.

Мажоритарным графом М профиля индивидуальных упорядочений избирателей {р}, I = 1, N, называется ориентированный граф, вершинами которого являются кандидаты х е А, а ориентированная дуга из вершины х е А в вершину у е А проводится в том и только том случае, если число

избирателей в профиле {р}, I = 1, N, предпочитающих кандидата х кандидату у, превосходит половину общего числа избирателей N.

Мажоритарный граф содержит в себе качественную информацию обо всех попарных сравне-

ниях кандидатов между собой, полученную на основании профиля индивидуальных упорядочений

Таблица 19

избирателей {р}, i = 1, N. Непосредственно из определения следует, что мажоритарный граф M является антирефлексивным (Vx е A: xMx) и асимметричным (Vx, у е A: xMy ^ уМх). В случае, когда число избирателей N нечетно, мажоритарный граф М является связным (Vx, у е А: xMy V уМ%).

В литературе по теории графов связанные асимметричные графы называются турнирами. В случае, когда N четно, мажоритарный граф является асимметричным, но, вообще говоря, не является связным, т. е. может и не быть турниром.

Далее в этом разделе последовательно рассматриваются как процедуры, осуществляющие коллективный выбор непосредственно по мажоритарному графу, так и процедуры, в которых по мажоритарному графу строится та или иная д опол-нительная вспомогательная структура, по которой затем осуществляется коллективный выбор, а также специальные процедуры, применяемые только в том случае, когда мажоритарный граф является турниром.

3.1. Процедуры выбора непосредственно по мажоритарному графу

3.1.1. Процедура выбора победителя Кондорсе [1—3, 6, 24, 25]

При использовании в качестве вспомогательной структуры мажоритарного графа представление о лучшем кандидате естественно связать с кандидатом, «лучшим в попарных сравнениях», т. е. с таким кандидатом, который при сравнении с любым другим является более предпочтительным более чем для половины избирателей. Такой подход был предложен маркизом де Кондорсе в опубликованном 1785 г. труде «Рассуждения о применении анализа к оценке выборов большинством голосов4» [24].

Кандидат, побеждающий всех других кандидатов при попарном сравнении, называется победителем Кондорсе. На мажоритарном графе ему соответствует вершина, от которой отходят дуги ко всем остальным вершинам мажоритарного графа. Часто мажоритарный граф таких вершин не содержит, и победителя Кондорсе не существует.

Для профиля предпочтений (табл. 18) мажоритарный граф имеет вид, представленный на рис. 5. Здесь кандидат x является победителем Кондорсе.

Впервые процедуры голосования, основанные на попарном сравнении кандидатов, были предложены в XIII в. каталанским ученым, философом и богословом Раймундом Лулли-ем (1235—1315) [6, 26—29].

И1 И2 И3

у x г

x у x

г г у

Рис. 5

Для случая, представленного в табл. 19, мажоритарный граф имеет вид, показанный на рис. 6. Здесь победителя Кондорсе нет, т. е. имеет место так называемый парадокс Кондорсе (линейные упорядочения предпочтений избирателей приводят к циклическому коллективному предпочтению).

Таблица 18

И1 И2 И3

x г у

у x г

г у x

Рис. 6

В случае четного числа избирателей возможно три случая:

— победитель Кондорсе на мажоритарном графе существует;

— победителя Кондорсе не существует;

— имеются несколько недоминируемых вершин на мажоритарном графе.

Например, для случая, представленного в табл. 20, мажоритарный граф имеет вид, показанный на рис. 7.

Таблица 20

И1 И2 И3 И4

x x у у

у у x x

г V г г

V г V V

Рис. 7

В этом случае вершины x и у можно интерпретировать как слабые победители Кондорсе.

3.1.2. Процедура Блэка [30]

Как было отмечено ранее, для многих профилей предпочтений избирателей выбор победителя Кондорсе (если он существует) и выбор по процедуре Борда отличаются. В своей книге Дункан

Блэк (Duncan Black) предложил следующую процедуру голосования: если существует победитель Кондорсе на мажоритарном графе, то он объявляется коллективно избранным. Если такого кандидата нет, то коллективный выбор осуществляется с помощью процедуры Борда.

3.1.3. Процедура последовательного исключения кандидатов [6, 29, 31]

Кандидаты располагаются в строго фиксированном порядке. Избиратели сравнивают (согласно своим предпочтениям) первого и второго кандидатов в этом фиксированном порядке. Далее избиратели сравнивают победителя этого сравнения с третьим кандидатом, и т. д. Победитель последнего сравнения объявляется коллективно избранным.

Подобная процедура используется в законодательных органах США5. Так, в Конгрессе США при рассмотрении вопроса о внесении поправок в какой-либо документ принята следующая процедура. Допустим, имеется несколько альтернативных вариантов поправок к документу. Тогда на голосование выносится исходный документ (status quo) и стоящий первым по порядку вариант поправки. Победитель в этом попарном сравнении ставится на голосование со вторым вариантом поправки, и т. д. На последнем этапе на голосование выносятся вариант, победивший на предпоследнем этапе, и исходный документ (status quo).

3.1.4. Процедура выбора минимального доминирующего подмножества [2, 3, 32—35]

Непустое множество вариантов Q называется доминирующим подмножеством множества A на мажоритарном графе М, если для всех x е Q и всех y е A\Q выполняется xMy. Другими словами, доминирующим подмножеством в А называется множество Q, от каждого элемента которого идет дуга ко всем вершинам в множестве A\Q.

Множество вариантов Q называется минимальным доминирующим подмножеством в A, если Q является доминирующим подмножеством в A и не существует подмножества в Q, являющего доминирующим подмножеством в A.

Мажоритарный граф имеет единственное минимальное доминирующее подмножество [34].

В коллективный выбор согласно данной процедуре включаются все кандидаты из минимального доминирующего подмножества, которое находится по мажоритарному графу M.

5 Впервые процедура последовательного исключения кандидатов была предложена в XIV в. Р. Луллием [28].

В качестве примера рассмотрим мажоритарный граф M, построенный по некоторому профилю индивидуальных упорядочений избирателей (рис. 8) на множестве кандидатов {x, у, г, V}. По процедуре выбора на этом графе победителя Кондорсе не существует, так как нет вершины, к которой бы не шли стрелки от других вершин. В то же время вершины х, у и г, входящие в цикл, составляют минимальное доминирующее подмножество, которое доминирует над кандидатом V.

Рис. 8

Применение правила выбора минимального доминирующего подмножества часто приводит к выбору слишком большого числа вариантов. Например, для графа М, представленного на рис. 9, минимальное доминирующее подмножество составляет все подмножество {х, у, г, V, #}, хотя интуитивно ощущается, что цикл {х, у, г} «лучше», чем цикл {V, м>, #}. Приведенное ниже правило выбора минимальных недоминируемых подмножеств позволяет осуществить в этом примере именно выбор вариантов из цикла {х, у, г}.

Рис. 9

3.1.5. Процедура выбора минимальных недоминирумых подмножеств [2, 3, 32—35]

Непустое подмножество вершин О называется недоминируемым подмножеством множества А в мажоритарном графе М, если никакая вершина в А\О не доминирует ни над какой вершиной из О.

Другими словами, недоминируемым подмножеством называется подмножество О с А, к элементам которого не идут стрелки из множества А\О. На рис. 10 таким подмножеством является подмножество {х, у, г}.

мана—Моргенштерна. Например, для графа, изображенного на рис. 11 имеется д ва возможных м но-жества фон Неймана—Моргенштерна: множество {х, г} и множество {у, V}. В таких случаях для выделения коллективно выбранных вариантов процедура как-либо доопределяется. (Например, в коллективный выбор включаются все существующие множества фон Неймана—Моргенштерна, т.е. их объединение).

Множество А может содержать несколько минимальных недоминируемых подмножеств. Например, на рис. 10 множества {х, у, г} и {V} являются минимальными недоминируемыми подмножествами множества {х, у, г, V, м>, #}.

Согласно описываемой процедуре в коллективный выбор включается объединение всех минимальных недоминируемых подмножеств, т. е. коллективный выбор состоит из кандидатов {х, у, г, V}.

В случае, когда число избирателей нечетно, коллективный выбор по процедурам выбора минимального доминирующего подмножества и минимальных недоминируемых подмножеств совпадают, так как в этом случае совпадают минимальное доминирующее и минимальное недоминируемое подмножества: эти подмножества состоят или из одной вершины, которая доминирует над всеми другими вершинами (победитель Кондорсе), или из «выигрывающего» цикла, т. е. такого цикла, каждая вершина которого доминирует над всеми вершинами вне этого цикла.

3.1.6. Процедура фон Неймана—Моргенштерна [2, 3, 36]

Идея этой процедуры возникла в теории игр как решение кооперативной игры N лиц. В коллективный выбор по правилу фон Неймана—Мор-генштерна включается множество вершин О мажоритарного графа М такое, что:

1) если х и у — вершины, входящие в О, то ни одна из них не доминирует над другой в мажоритарном графе М;

2) если г — вершина, не входящая в О, то имеется по крайней мере одна вершина х, входящая в О, которая доминирует над г в графе М.

Такое м ножество вершин называется ядром мажоритарного графа. Заметим, что для некоторых графов существует несколько решений фон Ней-

Рис. 11

Множество фон Неймана—Моргенштерна может и не существовать. Например, это имеет место, если граф представляет собой цикл нечетной длины без хорд. Нетрудно убедиться, что если мажоритарный граф М ацикличен и транзитивен, то множество фон Неймана—Моргенштерна совпадает с парно-доминантным выбором на этом графе. В случае, когда мажоритарный граф ацикличен, парно-доминантный выбор вложен (вообще говоря, нестрого) во множество фон Нейма-на—Моргенштерна.

* * *

Рассмотренные в п. 3.1 процедуры осуществляют коллективный выбор непосредственно по мажоритарному графу. Наряду с этим существует группа процедур, когда по мажоритарному графу строится та или иная дополнительная вспомогательная структура, по которой и осуществляется коллективный выбор. Такой дополнительной структурой может быть шкала или бинарное отношение (ориентированный граф, уже не мажоритарный).

3.2. Процедуры, использующие мажоритарный граф и вспомогательную шкалу на нем

3.2.1. Процедура Коупленда [2, 3, 37, 38]

Согласно этой процедуре, используя мажоритарный граф М, каждой вершине х е А приписывается определенное ч исло. Существуют три м оди-фикации процедуры Коупленда.

Первая процедура Коупленда. Каждой вершине приписывается значение, равное разности числа исходящих из этой вершины дуг и входящих в нее дуг на м ажоритарном графе М (т. е. разности м ощ-

ностей нижнего и верхнего срезов в данной вершине). Коллективно выбранным считается кандидат (или кандидаты), у которого это значение м ак-симально.

Вторая процедура Коупленда. Лучшим признается кандидат (вершина на мажоритарном графе), у которого максимально число исходящих из этой вершины дуг (т. е. максимальна мощность нижнего среза).

Третья процедура Коупленда. Избранным считается кандидат, у которого минимально число входящих в эту вершину дуг на мажоритарном графе (т. е. минимальна мощность верхнего среза).

Пример, приведенный в табл. 21, иллюстрирует применение процедур Коупленда.

Таблица 21

И1 И2 ИЗ И 4

x y x y

z x z x

y z y z

Рис. 12

Для профиля предпочтений избирателей (см. табл. 21) построен м ажоритарный граф М (рис. 12). Значения мощностей нижнего и верхнего срезов для вершин графа, а также разность между мощностями нижнего и верхнего срезов приведены в табл. 22.

Таблица 22

Параметр x y z

Нижний срез {z} {0} {0}

Мощность нижнего среза 1 0 0

Верхний срез {0} {0} {x}

Мощность верхнего среза 0 0 1

Разность между м ощностями нижнего и верхнего срезов 1 0 -1

Согласно первой процедуре Коупленда коллективный выбор состоит из кандидата х, согласно второй процедуре — из кандидата х, согласно третьей процедуре — из кандидатов х и у.

Нетрудно заметить, что в случае нечетного числа избирателей мажоритарный граф М является турниром (т. е. антирефлексивным, асимметричным и связным графом). В этом случае все три процедуры Коупленда дают один и тот же коллективный выбор.

Для наглядности процедура Коупленда допускает матричное представление. По мажоритарному графу М строится квадратная матрица смеж-

ности Т по правилу: если от вершины х к вершине у идет стрелка, то в клетке на пересечении строки х и столбца у м атрицы Т ставится 1, а на пересечении строки у и столбца х ставится 0.

Поясним построение матрицы смежности на примере (табл. 23, рис. 13). По первой процедуре Коупленда (а если число избирателей нечетно, то и по остальным двум процедурам) подсчитывается сумма очков в строке матрицы смежности, и победителем объявляется кандидат (или кандидаты), у которого эта сумма м аксимальна. В д анном примере это кандидаты х, у и г. Такой способ определения победителей широко используется в спортивных турнирах, где за победу дается 1 очко, а за проигрыш — 0.

Таблица 23

И1 И2 ИЗ

x z y

y x z

v y x

z v v

Мажоритарный граф M

Матрица смежности Т

0 1 0 1

0 0 1 1

1 0 0 1

0 0 0 0

Рис. 13

3.2.2. Процедура Доджсона [6, 39—42]

Чарльз Лютвидж Доджсон (Charles Lutwidge Dodgson (1832—1898), широко известный под литературным псевдонимом Люис Кэролл, написал три статьи, посвященные проблеме голосования. В одной из них [41] он ввел понятие степени превосходства одного кандидата над другим. На основе этого понятия построена процедура голосования Доджсона.

Поясним эту процедуру на примере. Профиль предпочтений 11-ти избирателей относительно кандидатов x, y, z, v представлен в табл. 24.

Таблица 24

И1 И2 ИЗ И4 И5 И6 И7 И8 И9 И10 И11

x x x x y y y z z z v

v v y y z z v y y y z

z z v v x x z v v v y

y y z z v v x x x x x

Мажоритарный граф, построенный по этому профилю предпочтений избирателей, имеет вид, представленный на рис. 14. Если имеется победитель Кондорсе, то он объявляется коллективным выбором. Победителя Кондорсе на этом мажоритарном графе нет.

Рис. 14

На основании профиля предпочтений избирателей строится квадратная матрица размерности п х п по правилу: на пересечении строки х и столбца у стоит дробь, в числителе которой число избирателей, предпочитающих кандидата х кандидату у, а в знаменателе — число избирателей, предпочитающих кандидата у кандидату х. Главная диагональ матрицы не заполняется.

Для примера (см. табл. 24), такая матрица представлена рис. 15.

Обозначим через ч исло перемещений вверх (инверсий), которые позволят кандидату стать победителем Кондорсе. Тогда ¿(у) = 1. Аналогично, для того, чтобы кандидат г стал победителем Кон-дорсе, достаточно одного перемещения вверх (например, поменять местами г и V в столбце избирателя И1), т. е. ¿(г) = 1. С другой стороны, для того, чтобы кандидат х стал победителем Кондорсе, необходимо произвести по два перемещения вверх в столбцах избирателей И5 и И6, т. е. в сумме 4 перемещения, и ¿(х) = 4. Еще больше перемещений вверх требуется для кандидата V, чтобы он стал победителем Кондорсе. Так формируются числовые оценки кандидатов по шкале «число инверсий».

Коллективно избранным согласно процедуре Доджсона признается кандидат (или кандидаты), который требует м инимального перемещения вверх в упорядочениях избирателей для того, чтобы стать победителем Кондорсе (т. е. кандидат (или кандидаты) имеющий минимальное числовое значение по шкале «число инверсий») Для примера, (см. табл. 24) коллективно избираются кандидаты у и г.

Поясним действие процедуры Доджсона на более простом примере. Предпочтения трех избирателей относительно кандидатов х, у, г, V представлены в табл. 25, а соответствующий м ажоритарный граф на рис. 16.

Таблица 25

X У 2 V

X 4/7 4/7 6/5

V 7/4 5/6 8/3

2 7/4 6/5 5/6

V 5/6 3/8 6/5

Рис. 15

Рис. 16

Проанализировав эту матрицу, заметим, что для того, чтобы кандидат у стал победителем Кон-дорсе, в профиле предпочтений избирателей (см. табл. 24) достаточно одного перемещения вверх в столбце избирателя И11 (т. е. поменять местами кандидатов у и г).

В табл. 26 стрелками указано, сколько инверсий необходимо для каждого кандидата, чтобы он стал победителем Кондорсе.

Согласно процедуре Доджсона коллективно избранными будут кандидаты х и г.

Таблица 26

Для кандидата х:

И1 И2 ИЗ

х 7 II Л у

V V N х г

у V V

г у х

Для кандидата у:

И1 И2 ИЗ

И х N г у

V II Л х г

И N у V V

г у х

Для кандидата г:

И1 И2 ИЗ

х г И у N

V х г

у V V

г у х

Для кандидата V:

И1 И2 ИЗ

х г у

V И х N И г N

у V V

г у х

3.2.3. Процедура Янга [3]

В этой процедуре также используется попарное сравнение кандидатов, но происходит это сравнение для различных подсписков избирателей из профиля предпочтений избирателей. Для ее реализации строится вспомогательная числовая шкала: каждому варианту х е А приписывается числовая оценка р(х), равная числу избирателей в наибольшем подсписке избирателей, в котором этот вариант х лучше любого другого варианта при попарном мажоритарном сравнении. Считается, что вариант х лучше варианта у при попарном мажоритарном сравнении в пределах некоторого подсписка избирателей, если более половины избирателей из этого подсписка предпочитают вариант х варианту у в своих индивидуальных упорядочениях (т. е. вариант х является победителем Кондорсе в этом подсписке избирателей). Так возникает вспомогательная коллективная шкала р, которая используется для нахождения коллективного выбора (например, при помощи правила экстремиза-ции, т. е. в коллективный выбор включаются варианты, имеющие максимальные оценки по вспомогательной шкале р).

Для каждого варианта х число р(х) находится специальным переборным алгоритмом. С ростом числа избирателей и кандидатов в бюллетене переборная задача усложняется, и тогда вспомогательная шкала в процедуре Янга может быть построена лишь с помощью компьютера.

Рассмотрим примеры применения процедуры Янга. Пусть профиль индивидуальных упорядочений трех избирателей имеет вид, представленный в табл. 27, а. Возможные подсписки избирателей (И1, И2, И3) представлены в табл. 27, б—ж. Подсчитаем значения р для каждого из кандидатов х, у, г и V, т. е. найдем максимальный размер подсписка, в котором данный кандидат является лучшим при попарном мажоритарном сравнении с каждым из других кандидатов.

Для кандидата х: если взять весь список (И1, И2, И3), то кандидат х хуже кандидата у в попарном мажоритарном сравнении (Избиратели И1 и И3 предпочитают кандидата у кандидату х), т. е. р(х) ф 3.

Возможны три подсписка, содержащих упорядочения двух избирателей: (И1, И2), (И1, И3) и (И2, И3) см. табл. 27 б, в и г соответственно. Ни в одном из этих подсписков кандидат х не является победителем при попарном мажоритарном сравнении со всеми другими кандидатами. Например, в случае подсписка (И1, И3) (см. табл. 27, в) хотя кандидат х лучше, чем кандидат г и кандидат V для обоих избирателей И1 и И3, но кандидат х не лучше кандидата у в попарном сравнении (избиратель И1 предпочитает кандидата х кандидату у, но избиратель И3 предпочитает кандидата у кандидату х).

Аналогично проверяются подсписки (И1, И2) и (И2, И3). Итак, не существует подсписка, содержащего упорядочения двух избирателей, в котором х является лучшим в попарном мажоритарном сравнении с другими кандидатами.

Рассмотрим теперь подсписки, состоящие только из одного избирателя. В подсписке, состоящем из избирателя И1 (см. табл. 27, д) кандидат х является лучшим в попарном мажоритарном сравнении с другими кандидатами. Следовательно, р(х) = 1.

Аналогичная проверка показывает, что р(г) = 1,

рО) = 0.

Для кандидата у р(у) = 3. Действительно, если взять полный список (И1, И2, И3), то кандидат у лучше, чем любой другой кандидат более чем для половины избирателей: кандидат у лучше, чем кандидат х для избирателей И2 и И3; кандидат у лучше, чем кандидат г для избирателей И1 и И3; кандидат у лучше, чем кандидат V для всех трех избирателей И1, И2, И3.

Итак, числовые оценки кандидатов по вспомогательной шкале р: р(у) = 3, р(х) = р(г) = 1, р(у) = 0.

Таблица 27

И1 И2 И3

х г у

у у х

V V г

г х V

И2 И3

г у

у х

V г

х V

И1 И2

х г

у у

V V

г х

г

И1 И3

х у

у х

V г

г V

И1

И2

И3

х

у

г

у

у

х

V

V

г

г

х

V

д

в

Применяя правило максимизации к этой шкале, находим коллективный выбор. Согласно процедуре Янга он состоит из кандидата у.

3.2.4. Процедуры, использующие понятие собственного вектора турнирной матрицы [3, 43—45, 46—49]

Эти процедуры применимы, если мажоритарный граф М, построенный по профилю предпоч-

тений избирателей {р}, i = 1, N, является графом-турниром. По графу М строится турнирная матрица Т.

Согласно теореме Фробениуса [50] турнирная матрица Г всегда имеет положительное собственное значение а, которое является простым корнем характеристического уравнения Тр = ар. Этому значению соответствует собственный вектор ра с положительными координатами. Приведенные д алее три процедуры осуществляют ранжирование вариантов из множества А на основе сравнения числовых значений координат собственного вектора турнирной матрицы Т. Таким образом, возникает вспомогательное коллективное упорядочение, по которому затем осуществляется коллективный выбор.

Первая процедура. На основании содержательных соображений предлагается построение вспомогательного упорядочения вариантов из множества А в соответствии с величиной компонент правого собственного вектора ра турнирной матрицы Т. Под правым собственным вектором понимается вектор ра, удовлетворяющий характеристическому уравнению Тра = ара. Правый собственный вектор ра интерпретируют как вектор относительной «силы» вариантов из множества А. Варианты упорядочиваются в соответствии с числовыми значениями компонент собственного вектора. В коллективный выбор включаются варианты, соответствующие наибольшим компонентам вектора ра.

Вторая процедура [46]. Вспомогательное коллективное упорядочение вариантов производится в соответствии со значением левого собственного вектора, соответствующего наибольшему собственному значению. Под левым собственным вектором понимается вектор аг, удовлетворяющий характеристическому уравнению а Г = га. Левый собственный вектор интерпретируется как вектор относительной «слабости» вариантов. В выбор предлагается включать варианты, соответствующие наименьшей компоненте л евого собственного вектора.

Третья процедура [46]. Варианты из А упорядочиваются в соответствии с числами, которые получаются делением компонент правого собственного вектора на соответствующие компоненты

левого собственного вектора. В коллективный выбор включаются варианты, которые соответствуют максимальному отношению компонент.

Приведем пример осуществления коллектив -ного выбора с помощью процедур, использующих понятие собственного вектора турнирной матрицы. На рис. 17 изображены мажоритарный граф-турнир М на множестве вариантов А = {х, у, г, V} и соответствующая ему турнирная матрица Т.

Мажоритарный граф М Турнирная матрица Т

я; У 2 V

X 0 1 1 0

V 0 0 1 0

2 0 0 0 1

V 1 1 0 0

Рис. 17

Значения компонент собственных векторов для этой матрицы взяты из работы [47]:

а = 1,3956; ра = {0,3213; 0,2833; 0,1651; 0,2303}.

В коллективный выбор по первой процедуре включается вариант х, соответствующий наибольшей компоненте вектора ра.

Левый собственный вектор аа, соответствующий наибольшему собственному значению, имеет вид аа = {0,2303; 0,1660; 0,2833; 0,3213}.

В коллективный выбор по второй процедуре включается вариант у, соответствующий наименьшей компоненте левого собственного вектора.

Отношение компонент правого и левого собственных векторов:

(1,3951; 1,7170; 0,5828; 0,7168).

В коллективный выбор по третьей процедуре включается вариант у.

В работе [48] предложен ранжирующий вектор в виде

(Т + цТ2 + + V - 1Тк + )е = Т(1 - цТ)-1е,

где ц — некоторая положительная компонента, при которой ряд сходится (ц < г, где г — наибольшее собственное значение матрицы Т), I — единичная матрица, е — единичный вектор. Показано, что при ц = г такое ранжирование совпадает с ранжированием по компонентам правого собственного вектора, соответствующего наибольшему собственному значению.

В работе [49] предложен способ упорядочения в соответствии со значениями компонент собствен-

ного вектора для произвольных неотрицательных матриц (а не только матриц однокругового турнира). Дана также вероятностная постановка задачи.

3.3. Процедуры, использующие мажоритарный граф и вспомогательное бинарное отношение на нем

3.3.1. Процедура Фишберна [2, 3, 14, 51]

Согласно этой процедуре по мажоритарному графу М дополнительно строится вспомогательное бинарное отношение Ф (т. е. вспомогательный ориентированный граф Ф), по которому в дальнейшем осуществляется коллективный выбор. Вершина х доминирует по этому бинарному отношению Ф над вершиной у (т. е. проводится ориентированная дуга на графе Ф из вершины х к вершине у), если все вершины, которые доминируют по отношению М над х, доминируют также и над у, и при этом существует хотя бы одна вершина, которая доминирует по отношению М над у, но не доминирует над х, т. е.

хФу » F(x) с Ду),

где F(x) = {V е А: уМх} — множество вершин, которые доминируют по отношению М над вариантом х.

Таким образом, вершина х д оминирует над вершиной у по бинарному отношению Ф, если множество F(x) вложено во множество Ду).

Отношение Ф является транзитивным, асимметричным и антирефлексивным отношением, т. е. строгим частичным порядком.

В коллективный выбор по правилу Фишберна включаются вершины х е А, недоминируемые по отношению к Ф, т. е. такие вершины, к которым не подходит ни одной дуги от других вершин. Этот выбор всегда непуст, так как непуст выбор по парно-доминантному правилу на строгих частичных порядках.

Содержательный смысл по правилу Фишберна заключается в том, что выбираются вершины, над которыми д оминирует «мало» вершин из м ножест-ва А на мажоритарном графе М.

В качестве примера рассмотрим мажоритарный граф М (рис. 18).

По мажоритарному графу найдем множества F(x) для всех вершин из множества А:

F(x) = {г}, F(y) = {х, V}, F(v) = {х}.

Построим граф Ф (см. рис. 18). Парно-доминантный выбор по бинарному отношению Ф содержит вершины х, г и V. Эти вершины и включаются в выбор по правилу Фишберна, т. е. в коллективный выбор входят кандидаты х, г и V.

3.3.2. Процедура выбора по отношению покрытия [2, 3, 52, 53]

Рассмотрим еще одну процедуру, в которой для осуществления коллективного выбора по мажоритарному графу строится другая вспомогательная структура — отношение покрытия Г (граф Г).

Вершина х доминирует по бинарному отношению покрытия Г над вершиной у, если все вершины, которые доминируются по отношению М вершиной у, доминируются также вершиной х, и при этом существует хотя бы одна вершина, которая доминируется по отношению М вершиной х, но не доминируется вершиной у, т. е.

хГу » Б(х) з Б(у),

где Б(V) = {г е А: vMг}.

Обратим внимание, что если в правиле Фишберна в отношении Ф для того, чтобы было хФу, требуется вложенность множеств вершин, которые доминируют по отношению М над вершинами х и у, то в отношении Г для того, чтобы было хГу, требуется вложенность множеств вершин, над которыми доминируют вершины х и у.

Отношение Г, как и отношение Ф, является отношением строгого частичного порядка.

В коллективный выбор по данной процедуре включаются вершины, недоминируемые по отношению Г. В связи с тем, что парно-доминантный выбор по отношению строгого ч астичного порядка непуст, непуст и выбор по отношению покрытия Г.

Содержательный смысл выбора по отношению покрытия заключается в том, что выбираются вершины, которые доминируют по бинарному отношению М над «большим числом» вершин из предъявления X.

В качестве примера рассмотрим мажоритарный граф М (рис. 19).

По этому мажоритарному графу найдем множества Б(х) для всех вершин:

Б(х) = {г}, Б(у) = {V}, Б(г) = {0}, Б(У) = {г},

по которым затем построим бинарное отношение покрытия Г (см. рис. 19). Парно-доминантный выбор по бинарному отношению Г содержит вершины х, у и V. Эти вершины и включаются в коллек-

Граф М Граф Ф

Рис. 18

тивный выбор по отношению покрытия, т. е. в коллективный выбор входят кандидаты х, у, V.

3.3.3. Процедура Ричелсона [2, 54]

Эта процедура представляет собой как бы «синтез» процедуры Фишберна и процедуры выбора по отношению покрытия. В качестве д ополнительной вспомогательной структуры, которая строится по мажоритарному графу М, в правиле Ричелсона используется бинарное отношение Л:

хЛу о [Дх) с F(y)] л [Б(х) з Б(у)],

причем хотя бы одно включение с или з является строгим включением. Отношение Л, также как и отношения Ф и Г, является отношением строгого частичного порядка. В коллективный выбор по правилу Ричелсона включаются вершины, недоминируемые по отношению Л.

3.4. Паретовские процедуры голосования

3.4.1. Процедура выбора множества Парето [2]

Каждое упорядочение кандидатов избирателем представляет собой линейный порядок. Если рассматривать упорядочение избирателя как критерий, то кандидатам можно приписать ранговые оценки по этому критерию. Тогда в качестве процедуры голосования можно рассматривать выделение множества Парето в многокритериальном пространстве избирателей. Проиллюстрируем действие этой процедуры на примере. Мнения трех избирателей относительно четырех кандидатов х, у, г, V представлены в табл. 28, соответствующий граф Парето изображен на рис. 20. В кол-

Рис. 20

лективный выбор по этой процедуре попадут кандидаты х и у.

3.4.2. д-паретовская процедура голосования [2, 55] Обозначим через р1 линейный порядок, который задается упорядочением кандидатов ,-м избирателем. Введем понятие ^-доминируемого кандидата в линейном порядке р. Кандидата х назовем ^-доминируемым в линейном порядке р,, если |рх| < д, где рх — верхний срез элемента х в линейном порядке р,.

Пусть линейный порядок р1 имеет вид, представленный в табл. 29. Тогда х — 0-доминируемый элемент, х и у — 1-доминируемые элементы, х, у и г — 2-доминируемые элементы, х, у, г и V — 3-до-минируемые элементы.

Таблица 29

р!

х

у г

V

Смысл этого определения состоит в том, что рассматриваются не только недоминируемые (т. е. 0-доминируемые) элементы в линейном порядке р,, но и те элементы, которые имеют не более одного предпочтительного элемента (х и у), не более двух предпочтительных элементов (х, у и г) и т. д.

Можно распространить это понятие на профиль предпочтений избирателей, состоящий из N линейных упорядочений. Будем говорить, что кандидат х является д-доминируемым в профиле {р,},

, = 1, N, если

I П р х I < д.

I «'еЛ' I

Тогда включение в коллективный выбор 0-до-минируемых кандидатов совпадает с выбором множества Парето.

Поясним функционирование д-паретовской процедуры на примере профиля предпочтений избирателей, представленного в табл. 28.

Значения верхних срезов и их м ощностей представлены в табл. 30. Видно, что в коллективный выбор 0-доминируемых кандидатов (т. е. в множество Парето) входят кандидаты х и у, в выбор

Таблица 28

И1 И2 ИЗ

х х у

у у г

г V х

V г V

Таблица 30

А И1 И2 И3 Пересечение верхних срезов Мощность пересечения

х Р1* = {0} р2х = {0} р3х = {у, г} П р (х) = {0} iеN l п р ¡х iеN =0

у р у 1 1 х} р2у = {х} ру = {0} п р (у) = {0} lеN п р у iеN = 0

г р1г = {х, у} р2г = {х, у, V} р3г = {у} п р (г) = {у} lеN п р г iеN = 1

V р^ = {х, у, г} р^ = {х, у} р^ = {х, у, г} п р (г) = {х, у} 1е N 1 п р¡V iеN = 2

1-доминируемых кандидатов — кандидаты х, у и г, в выбор 2-доминируемых кандидатов — кандидаты х, у, г и V.

4. АППРОКСИМАЦИОННЫЕ ПРОЦЕДУРЫ

4.1. Процедура Кемени [3, 56]

По индивидуальным упорядочениям избирателей строится вспомогательное коллективное строгое упорядочение, ближайшее в некотором смысле ко всем индивидуальным упорядочениям. Лучший кандидат в этом вспомогательном упорядочении и является коллективным выбором.

Коллективное упорядочение производится следующим образом. Рассматривается множество Ь, содержащее все возможные упорядочения кандидатов из множества А. Каждому упорядочению I е Ь приписывается числовая оценка §(/), характеризующая степень близости этого упорядочения

I к профилю индивидуальных упорядочений изби-

рателей {р.}, I = 1, N, т. е. строится вспомогательная шкала, но уже не на кандидатах (как в некоторых ранее рассмотренных процедурах), а на всех возможных упорядочениях кандидатов:

%(!) = I Р(х, у)Цх, у),

х, у е А х ф у

(1)

где р(х, у) — число избирателей, предпочитающих кандидата х кандидату у в профиле индивидуаль-

ных предпочтений {р.}, I = 1, N,

Цх, у) =

1, если в упорядочении I кандидат х лучше, чем кандидат у, 0, в противном случае.

Поясним, почему такая оценка §(/) является условной мерой близости упорядочения I к профилю индивидуальных упорядочений избирате-

лей {р.}, I = 1, N. Для каждой пары кандидатов х, у соответствующее слагаемое в этой оценке тем больше, чем большее число избирателей взаимно располагают кандидата х и у так же, как они рас-

положены в упорядочении I. В связи с тем, что такие слагаемые суммируются по всем возможным парам кандидатов, значения §(/), подсчитанное по формуле (1), характеризует близость упорядочения I и профиля индивидуальных упорядочений

{р.}, . = 1, N.

Так возникает вспомогательная коллективная шкала на множестве Ь всех возможных упорядочений кандидатов. В качестве вспомогательного коллективного упорядочения выбирается упорядочение Г, имеющее максимальную оценку §(/*), т. е.

|(Г) = тах |(/).

I е Ь

Это упорядочение может не совпадать ни с одним из индивидуальных упорядочений избирателей. По этому вспомогательному упорядочению I * и осуществляется коллективный выбор путем правила максимизации. Реализация этой процедуры требует решения громоздких переборных задач и практически невозможна без помощи компьютера.

Приведем пример нахождения числовой оценки §(/), приписываемой упорядочению I е Ь, для простого случая, когда число избирателей N = 3 и число кандидатов п = 3. Рассмотрим профиль индивидуальных упорядочений избирателей, изображенный в табл. 31. Множество всевозможных упорядочений Ь состоит из шести элементов, приведенных в табл. 32: 1Х,

Таблица 31

И1 И2 И3

х х у

у г г

г у х

Таблица 32

11 12 13 14 15

х х у у г г

у г х г х у

г у г х у х

Подсчитаем по формуле (1) значения £(/,) для всех возможных упорядочений: ^(/1) = 6; ^(/2) = 5; £(/3) = 5; ^(/4) = 4; ^(/5) = 4; ОД = 3. Таким образом, в качестве вспомогательного коллективного упорядочения / * принимается упорядочение /1, имеющее максимальную оценку по шкале В коллективный выбор включается кандидат, лучший в упорядочении /1, т. е. кандидат х.

4.2. Процедура приближенной триангуляции мажоритарной турнирной матрицы [3, 57—60]

Эта процедура применима к мажоритарным графам специального вида — турнирам, т. е. связным, асимметричным, антирефлексивным графам. Напомним, что если число избирателей N нечетно, то мажоритарный граф М, построенный по профилю предпочтений избирателей, является турниром, а матрица смежности, построенная по этому графу М, является турнирной матрицей.

Турнирной матрицей называется квадратная матрица Т = И* ||, х, у е А, размерности п х п, которая строится по мажоритарному графу М следующим образом:

Пусть по профилю индивидуальных упорядоче-

ху

1, если хМу, 0, если уМх, *хх = 0.

На рис. 21 изображен пример мажоритарного графа-турнира М и соответствующей ему турнирной матрицы Т.

Мажоритарный граф М Турнирная матрица Т

X У г V

X 0 1 1 0

У 0 0 1 0

г 0 0 0 1

V 1 1 0 0

ний {р,}, / = 1, N построен мажоритарный граф М, а по нему — турнирная матрица Т. Наряду с ней рассмотрим все мыслимые транзитивные турнирные матрицы, построенные на этом множестве вершин А. Такие матрицы отличаются только тем, в каком порядке приписаны вершины х е А строкам (и соответственно столбцам) матрицы.

Рассмотрим какую-нибудь конкретную транзитивную матрицу ТТ из этого множества. Обратившись к исходной турнирной матрице Т, переставим в ней строки и столбцы так, чтобы их порядок оказался точно таким, как в матрице6 ТТ. Подсчитаем сумму элементов, расположенных в такой преобразованной матрице под главной диагональю. Обозначим эту сумму т(ТТ) и рассмотрим это число как условное расстояние исходной м атрицы Т, построенной по мажоритарному графу М, от данной транзитивной матрицы ТТ. Подсчитав такие числа т(ТТ) для всех возможных транзитивных турнирных м атриц ТТ, получаем шкалу, построенную на множестве транзитивных турнирных матриц.

По этой шкале выбирается транзитивная матрица Т*, у которой шкальная оценка т(Т*) имеет наименьшее значение по построенной шкале. Такая матрица Т* в смысле введенного расстояния наиболее близка к исходной турнирной м атрице Т. В коллективный выбор включается вариант, у которого сумма очков по этой транзитивной турнирной матрице Т* максимальна.

Приведем пример построения коллективного выбора при помощи процедуры, использующей приближенную триангуляцию турнирной матрицы. Мажоритарный граф М и соответствующая ему турнирная матрица Т приведены на рис. 23.

Мажоритарный граф М х w У

Турнирная матрица Т

Л: У г V

X 0 1 1 0

У 0 0 1 1

г 0 0 0 1

V 1 0 0 0

Рис. 23

Рис. 21

В случае, когда м ажоритарный граф М является строгим порядком, ему соответствует турнирная матрица, называемая транзитивной. Пример транзитивной матрицы приведен на рис. 22. В такой матрице все элементы над главной диагональю равны 1, а под главной диагональю — равны 0.

X У г V

X 0 1 1 1

У 0 0 1 1

г 0 0 0 1

V 0 0 0 0

Рис. 22

6 Перестановка строк и столбцов, в результате которой из некоторой матрицы получается верхнетреугольная матрица, называется триангуляцией матрицы. При описанной в тексте процедуре перестановки строк и столбцов под главной диагональю матрицы могут остаться элементы, отличные от нуля. Такая триангуляция называется приближенной, и с этим связано название данной процедуры.

z У V X X У Z V X V z У

Транзитивная z 0 1 1 1 X 0 1 1 1 X 0 1 1 1

У 0 0 1 1 У 0 0 1 1 V 0 0 1 1

V 0 0 0 1 z 0 0 0 1 Z 0 0 0 1

X 0 0 0 0 V 0 0 0 0 У 0 0 0 0

z V V X X У Z V X V z У

Приближенно Z 0 0 1 0 X 0 1 1 0 X 0 0 1 1

триангулированная У 1 0 1 0 У 0 0 1 1 V 1 0 0 0

матрица V 0 0 0 1 Z 0 0 0 1 Z 0 1 0 0

X 1 1 0 0 V 1 0 0 0 У 0 1 1 0

а б в

Рис. 24

На четырех вариантах возможно построение 24-х различных транзитивных турнирных матриц. Подсчитываются значения т-оценки отличия каждой из этих транзитивных матриц от исследуемой. На рис. 24 приведены три примера таких транзитивных матриц, а под ними приведена исходная матрица (та же, что и на рис. 23), но после соответствующей перестановки строк и столбцов. Значения для этих трех транзитивных матриц соответственно равны: Та = 3, Тб = 1, Тв = 4. Для остальных транзитивных турнирных матриц оценки подсчитываются аналогично.

Матрица, изображенная на рис. 24, б, имеет наименьшую оценку т среди всех 24-х транзитивных турнирных матриц. Этой транзитивной матрице соответствует строгое упорядочение вариантов, по которому лучшим вариантом является х, т. е. согласно данному правилу коллективно избирается кандидат х.

5. ПРОЦЕДУРА СИМПСОНА [2, 14]

По профилю предпочтений избирателей строится турнирная матрица специального вида размерности п х п, где п — число кандидатов (не путать с турнирной матрицей, которая строилась в процедуре приближенной триангуляции и процедурах, использующих понятие собственного вектора турнирной матрицы). На пересечении строки х и столбца у стоит число избирателей, которые в своем упорядочении кандидатов поставили кандидата х выше кандидата у. Обозначим это число через У(х, у). Элементам главной диагонали приписывается значение да. Для профиля предпочтений избирателей, представленного в табл. 33 турнирная матрица имеет вид, изображенный на рис. 25.

Таблица 33 X у z V

И1 И2 И3 X oo 2 2 2

У 1 oo 1 2

x У z z 1 2 oo 3

z x v V 1 1 0 oo

y z x

v v y Рис. 25

Согласно этой процедуре каждому кандидату приписывается минимальное значение в строке турнирной матрицы. Коллективно избранным считается кандидат (или кандидаты), у которых это значение максимально. В примере, изображенном на рис. 25, коллективно избран кандидат х.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приведенные в этом обзоре процедуры голосования основаны на разных принципах и часто приводят к разным коллективным выборам. Применение той или иной процедуры зависит от конкретного содержания задачи.

Обилие накопившихся процедур голосования и трудности, связанные с выделением среди них «лучшей» процедуры, привели к постановке задачи синтеза «разумных» процедур. В начале 1950-х гг. Кеннет Эрроу (Kenneth Arrow (род. в 1921 г.)) впервые четко и по-новому сформулировал задачу синтеза процедур голосования [61]. Он впервые развил аксиоматический подход к синтезу процедур голосования. Эрроу сформулировал набор условий, который вошел как канонический во все последующие исследования и, доказав их несовместимость, определил центральное направление в развитии задач синтеза процедур голосования.

В обширной литературе, последовавшей после классической работы Эрроу, исследовалась задача

в постановке, когда как индивидуальные мнения, так и коллективное решение моделировались бинарными отношениями. В работах [62, 63] впервые была поставлена задача о синтезе операторов коллективного выбора, в которой как индивидуальные мнения, так и коллективное решение описывались функциями выбора. Полностью решена задача аксиоматического синтеза локальных соответствий группового выбора [64].

Во второй половине 1970-х гг. направление синтеза переросло в сравнительный анализ различных процедур голосования, т. е. выяснение того, в какой мере те или иные процедуры удовлетворяют некоторому набору условий и критериев, и разные авторы используют для сравнительного анализа процедур различные их наборы. Ни одна из известных процедур голосования не удовлетворяет всем вводимым критериям, и при выборе процедуры голосования возникает та же проблема, с которой сталкивается исследователь в многокритериальной ситуации.

В работах [65, 66] показано, что все д етермини-рованные процедуры голосования м анипулируемы со стороны избирателей. Различные процедуры голосования были исследованы на предмет определения степени их манипулируемости [67, 68].

Так постепенно наука накапливает набор нужных для голосования «технических средств» — процедур голосования и знаний об их свойствах, преимуществах и недостатках.

ЛИТЕРАТУРА

1. Алескеров Ф.Т., Ордешук П. Выборы. Голосование. Партии. — М.: Academia, 1995. — 208 c.

2. Алескеров Ф.Т., Хабина Э.Л., Шварц Д.А. Бинарные отношения, графы и коллективные решения. — М.: Изд. дом ГУ ВШЭ, 2005. — 279 с.

3. Вольский В.И., Лезина З.М. Голосование в малых группах. Процедуры и методы сравнительного анализа. — М.: Наука, 1991. — 192 с.

4. Brams S., Fishburn P. Approval voting // American Political Science Review. — 1978. — Vol. 72, N 3. — P. 831—847.

5. L 'Huilier S. Examen de mode d'election propose a la convention nationale de France en fevrier 1793 et adopte a Geneve. — Geneve: Bonnant, 1794.

6. Вольский В.И. Процедуры голосования в малых группах с древнейших времен до начала XX века. Препринт WP7/2014/02. — М.: Изд. дом ВШЭ, 2014. — 76 с.

7. Hare T. The election of representatives, parliamentary and municipal. — London: Longmans, Green, Reader and Dyer, 1873.

8. Droop Y.R.. On methods on electing representatives // Journal of the Statistical Society of London. — 1881. — Vol. 44, N 2. — P. 141—202.

9. Вольский В.И., Карпов А.В. Применение различных вариантов правил передачи голосов // Полития. — 2011. — № 2. — С. 162—174.

10. Gilmour J. Detailed description of the STV count in accordance with the rules in the Scottish local government elections order 2007 // Representation. — Vol. 43, N 3. — P. 217—229.

11. Meek B.L. The problem of nontransferable votes // Voting Matters. — 1994. — N 1. — P. 7—11.

12. Aleskerov F.T., Karpov A.V. A new single transferable vote method and its axiomatic justification // Social Choice and Welfare. — 2013. — Vol. 40, N 3. — P. 771—786.

13. Reilly B. Democracy in divided societies: electoral engineering for conflict management. — Cambridge University Press, 2001. — 217 p.

14. Петровский А.Б. Теория принятия решений. — М.: Академия, 2009. — 400 с.

15. Aleskerov F.T., Yakuba V.I., Yuzbashev D.A. A «threshold aggregation» of three-graded rankings // Mathematical Social Sciences. — 2007. — Vol. 53. — P. 106—110.

16. Aleskerov F.T., Chistyakov V.V., Kalyagin V. The threshold aggregation // Economic Letters. — 2010. — Vol. 107. — P. 261—262.

17. Aleskerov F.T., Chistyakov V.V. The threshold decision making effectuated by the enumerating preference function // International Journal of Information Technology and Decision Making. — 2013. — Vol. 12, N. 6. — P. 1201—1222.

18. Borda J.C. Memoire sur les elections au scrutiny // Histoire de l'Academie Royale des Sciences pour 1781. — Paris, 1784.

19. Nicolas of Cusa: Catholic concordance. — Cambridge, 1996.

20. Nicolaus Cusanus. De concordantia catholica. — S.L., 1431.

21. Вольский В.И. Николай Кузанский и его система голосования // Полития. — 2011. — № 3. — С. 173—175.

22. Nanson E.J. British government blue book. — London, 1907. — 137 p.

23. Baldwin J.M. The technique of the Nanson preferential majority system of election // Proceedings of the Royal Society of Victoria. — 1926. — N 39. — P. 42—52.

24. Condorcet (M.J.A.N. Caritat, marquis de Condorcet). Essai sur l'application de l'analyse a la probabilite decisions rendues a la pluralite des voix. — Paris, 1785.

25. Вольский В.И.Ж.-Ш. де Борда и маркиз де Кондорсе — родоначальники теории голосования // Полития. — 2013. — № 3. — С. 147—159.

26. Llull R. Artifitium electionis personarum / Biblioteca Apostolica Vaticana, Cod. Vat. Lat. 9332, f. 11 r —12 v. — 1283.

27. Llull R. Blanquerna, chapter 24 (En qual manera Natana fo eleta a abadessa). Bayerische Staatsbibliothek, Cod. Hisp. 67, f. 32 v — 34 r. — 1283.

28. Llull R. De arte eleccionis. — Sankt Nicolaus — Hospital / Cusanusstift, Cod. Cus. 83, f. 47 v — 48 r. — 1299.

29. Вольский В.И. О вкладе Раймунда Луллия в теорию голосования // Полития. — 2011. — № 1. — С. 188—196.

30. Black D. The theory of committees and elections. — Cambridge University Press, 1958. — 242 p.

31. Banks J.S. Sophisticated voting outcomes and agenda control // Social Science and Welfare. — 1985. — Vol. 1. — P. 295—306.

32. Good J.J. A note on Condorcet set // Public Choice. — 1971. — Vol. 10. — P. 97—101.

33. Ferejohn J.A., Grether D. On a class of rational social decision procedures // Journal of Economic Theory. — 1974. — Vol. 8. — P. 471—482.

34. Schwartz T. The logic of collective choice. — New York: Columbia University Press, 1986. — 315 p.

35. Schwartz T. Collective choice, separation of issues and vote trading // American Political Science Review. — 1977. — Vol. 71, N 3. — P. 999—1010.

36. Нейман Дж. фон, Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. — М.: Наука, 1970. — 983 c.

37. Copeland A.N. A reasonable social welfare function. Ann Arbor: University of Michigan. Seminar of Application of Mathematics to the Social sciences, 1951.

38. Nurmi H. Voting procedures - a summary analysis // British Journal of Political Science. — 1983. — Vol. 13. — P. 181—208.

39. Dodgson C.L. A discussion on the various methods of procedure in conducting elections. — Oxford, 1873.

40. Dodgson C.L. Suggestion as the best method of taking votes where more than two issues are to be voted on. — Oxford, 1874.

41. Dodgson C.L. A method of taking votes on more than two issues. — Oxford, 1876.

42. Вольский В.И. Работы Чарльза Лютвиджа Доджсона в области теории голосования // Полития. — 2012. — № 3. — С. 168—179.

43. Казанская Т.А., Шмерлинг Д. С. Парные сравнения, турниры и методы упорядочения в принятии решений и обработке данных (обзор). — М.: ЦЭМИ АН СССР, 1980. — 58 с.

44. Kendall M.G. Further contributions to the theory of paired comparisons // Biometrics. — 1955. — Vol. 11, N 1. — P. 43—62.

45. Wey T.H. The algebraic foundations of ranking theory. — Cambridge University. PhD thesis, 1952.

46. Ramanujacharyulu C. Analysis of preferential experiments // Psychometrika. — 1964. — Vol. 29, N 3. — P. 257—261.

47. David H.A. Ranking the players in a round robin tournament // Review of International Statistic Institute. — 1971. — Vol. 39. — P. 137—147.

48. Thompson G.L. Lectures on game theory, Markov chains, and related topics. — Monograph SCR-11, Sandia Corporation, Al-bugnerque, N.M., 1958.

49. Брук Б.Н., Бурков В.Н. Методы экспертных оценок в задачах упорядочения объектов // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. — 1972. — № 3. — С. 29—39.

50. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1966. — 576 с.

51. Fishburn P. Condorcet social choice functions // SIAM Journal of Applied Mathematics. — 1977. — Vol. 33, N 3. — P. 469—489.

52. Miller N. A new solution set for tournaments and majority voting: further graph-theoretical approaches to the theory of voting // American Journal of Political Science. — 1980. — Vol. 24, N 1. — P. 68—96.

53. Shepsle K., Weingst B. Uncovered sets and sophisticated voting outcomes with implications for agenda institutions. — Mimeo. Center for Study of American Business, 1982.

54. Richelson J.T. Majority rule and collective choice. — California Institute of Technology (Mimeo), 1980.

55. Aleskerov F.T. Categories of Arrowian voting schemes // Handbook of Social Choice and Welfare. — 2002. — Vol. 1. — P. 95—129.

56. Kemeny J. Mathematics without numbers // Daedalus. — 1959. — Vol. 88. — P. 577—591.

57. Белкин А.Р. Приближенная триангуляция матриц в задачах ранжирования и обработки межотраслевого баланса // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. — 1981. — № 1. — С. 26—31.

58. Slater P. Inconsistencies in a schedule of paired comparisons // Biometrika. — 1961. — Vol. 48, N 3—4. — P. 303—312.

59. Remage R. Jr., Thompson W.A.. Maximim-likelyhood paired comparison rankings // Biometrika. — 1966. — Vol. 53, N 1—2. — P. 252—272.

60. Levenglick A. Fair and reasonable election systems // Behavioral Science. — 1975. — Vol. 20. — P. 34—46.

61. Arrow K. Social choice and individual values. — New Haven: Yale University Press, 1963. — 144 p.

62. Айзерман М.А. Некоторые новые задачи общей теории выбора (обзор одного направления исследований // Автоматика и телемеханика. — 1984. — № 9. — С. 5—43.

63. Айзерман М.А., Алескеров Ф.Т. Выбор вариантов (основы теории). — М.: Наука, 1990. — 240 c.

64. Aleskerov F.T. Arrowian aggregation models. — Dordrecht: Kluwer Academic Publisher, 1999. — 243 p.

65. Gibbard A. Manipulation of voting schemes: a general result // Econometrica. — 1973. — Vol. 41. — P. 587—602.

66. Satterthwaite M.A. Strategy-proofness and Arrow's conditions existence and correspondence theorems for voting procedures and social welfare functions // Journal of Economic Theory. — 1975. — Vol. 10. — P. 187—217.

67. Алескеров Ф.Т., Карабекян Д. С., Санвер Р., Якуба В.И. Оценка степени манипулируемости известных схем агрегирования в условиях множественного выбора // Журнал новой экономической ассоциации. — 2009. — № 1—2. — С. 37—61.

68. Алескеров Ф.Т., Курбанов Э. О степени манипулируемости правил коллективного выбора // Автоматика и телемеханика. — 1998. — № 10. — С. 134—146.

Статья представлена к публикации членом редколлегии чл.

корр. РАН Д. А. Новиковым.

Вольский Владимир Иванович — канд. техн. наук,

ст. науч. сотрудник, Институт проблем управления

им. В.А. Трапезникова РАН, г. Москва,

И vlad.volskiy@gmail.com.

Девятая международная конференция «Управление развитием крупномасштабных систем»

3—5 октября 2016 г.

Направления работы конференции:

• проблемы управления развитием крупномасштабных систем, включая ТНК, госхолдинги и госкорпорации;

• методы и инструментальные средства управления инвестиционными проектами и программами;

• проектные офисы — институты развития крупномасштабных систем;

• имитация и оптимизация в задачах управления развитием крупномасштабных систем;

• управление топливно-энергетическими, инфраструктурными и другими системами;

• управление транспортными системами;

• управление развитием авиационно-космических и других крупномасштабных организационно-технических комплексов и систем;

• управление региональными, городскими, муниципальными системами;

• управление объектами атомной энергетики и другими объектами повышенной опасности;

• информационное и программное обеспечение систем управления крупномасштабными производствами;

• методы, инструментальные средства и приложения мониторинга в задачах управления крупномасштабными системами;

• управление развитием крупномасштабных систем здравоохранения, медико-биологических систем и технологий;

• методология, методы и программно-алгоритмическое обеспечение обработки и интеллектуального анализа больших массивов информации.

Более подробная информация на сайте http://mlsd2016.ipu.ru.

с

истемный анализ

УДК 004.822(824,827)

СЕМИОТИЧЕСКИЕ КОГНИТИВНЫЕ КАРТЫ. Ч. 2. Основные определения и алгоритмы

A.A. Кулинич

Предложена модель представления семиотических когнитивных карт в виде концептуального каркаса в структурированном семантическом пространстве. Определены условия активности метазнака и правила смены состояний семиотической системы. Для конкретной когнитивной карты предложен алгоритм построения интерпретирующего концептуального каркаса, предназначенного для поддержки процессов интерпретации результатов моделирования и верификации когнитивных карт.

Ключевые слова: когнитивная карта, когнитивное моделирование, знак, знаковая система, семиотика, концептуальный каркас, понятийная система.

ВВЕДЕНИЕ

В первой части статьи были проанализированы семиотические подходы в процессах анализа, проектирования и принятия решений в областях информатики и управления [1]. Во второй части приводятся основные определения модели представления семиотических когнитивных карт в семантическом пространстве, предлагается метод структуризации семантического пространства в виде концептуального каркаса. Формулируются условия активности метазнака семиотической системы, определяющие правила смены ее состояний.

Показано, что конкретным причинно-следственным отношениям между значениями признаков ситуации (на когнитивной карте) соответствует конкретный интерпретирующий концептуальный каркас предметной области, в которой эта когнитивная карта построена. Этот факт позволяет применять интерпретирующий каркас для поддержки процессов интерпретации и верификации когнитивной карты. Предложен алгоритм и приведен пример построения интерпретирующего концептуального каркаса.

1. КОГНИТИВНАЯ КАРТА КАК ФОРМАЛЬНАЯ СИСТЕМА

Вначале рассмотрим множество символов, с помощью которых будут описываться сложные динамические ситуации. Это множества:

— имен объектов {С2};

— имен признаков объектов ^2};

— лингвистических значений признаков ^2};

— имен классов объектов {йН}.

На множестве объектов и их имен определено множество семантических отношений {гд}. Отметим два вида отношений — это отношение «часть — целое», обозначим его через г0, и отношение «род — вид» обозначим через г1. Например, для сложных объектов запись у1 г0 у0 означает, что объект у1 является частью объекта у0. Для имен классов объектов запись й12 Г1 (2 означает, класс

объектов й1 является видом класса объектов й22.

Пусть эксперт (аналитик) наблюдает некоторый объект управления V. Будем считать, что объект простой, т. е. его декомпозиции на составные ч асти не требуется. Используя перечисленные выше символы, эксперт описывает наблюдаемый объект, который будем формально представлять как когнитивную карту объекта управления V, названного и определять кортежем

{dv, F, Z*, Z*(0), W*, Z*(t + 1»,

(1)

где:

— объектов {v};

( — имя наблюдаемого объект управления; F = {— множество признаков объекта V, — название признака, , = 1, ..., п;

2* = {2*} — множество значений признаков; для каждого признака определено упорядоченное множество возможных лингвистических значений, т. е. 2* = {г*1, -, г*д}, г* +1 > г*, г = 1, -, п, ] = 1, ..., щ, щ = \2* |;

2*(0) = (г*, ..., г*) — вектор начальных значений всех признаков;

Ж*: х 2* ^ х 27°, где Ж* — множество правил

отображения значений признаков; это правила продукции «если, то», которые задают причинно-следственные отношения на множестве значений признаков;

2*(/ + 1) = Ж2*(/) — уравнение динамики, где ° — правило вывода, 2(/ +1), 2(/) = (г*г, ..., г*и) — векторы значений признаков — это состояния в последовательные моменты времени, г*, е 2* .

В этом определении все значения признаков лингвистические, которые в дальнейшем будем представлять их числовыми эквивалентами. Для этого определим отображение упорядоченного множества лингвистических значений на отрезок числовой оси, т. е. определим шкалу ф: 2* ^ 2,,

где 2* = {г*1, ..., г*Ь г*д + х > г*Щ, 2 = {г^ ..., гiq},

-1.

г-ц + 1 > 1« е [0 1], 41].

Существует и обратное отображение: ф

2. ^ 2*, которое позволяет представить числовое

значение признака его лингвистическим эквива-—1

лентом ф *: г« ^ г*, 4].

На множестве числовых значений признака 2. определены арифметические операции: сложение (+) и вычитание (—). Определим приращение

значения признака г«, 4], относительного его на]

чального значения 1тт как разность р{ = — г«, 4], где гт е 2(0). Значение любого признака может быть выражено через его приращение, а именно = гт + р, где р{ е [-1, 1] приращение значения признака.

Правила Ж: х 2* ^ х 2* также могут быть

представлены с помощью числовых эквивалентов

лингвистических значений: Ж х 2 ^ х 2, т. е.

i l i l

лингвистическое и числовое представление когнитивной карты взаимно-однозначны (эквивалентны), Ж, 2*, 2*(0), Ж*, 2*(/ + 1)> ж, г, 2(0), Ж, 2(/ + 1)>.

В самой общей постановке когнитивного моделирования правила Ж (Ж) задаются в виде таблицы, в которой всевозможным векторам состояния (ситуациям) ставится в соответствие некоторый

иной вектор (ситуация), т. е. правила выражают зависимости между состояниями объекта управления. Задание таких таблиц соответствий достаточно трудоемкая экспертная задача. Поэтому в когнитивном моделировании принято допущение, что эти зависимости в числовом представлении когнитивной карты могут быть заданы аналитически в виде системы простых линейных зависимостей между значениями признаков объекта.

Полученные в результате экспертной оценки коэффициенты линейной зависимости между значениями признаков (м>.]) представляются в виде матрицы смежности Ж = ориентированного графа (Ж, Ж), который называют когнитивной картой.

В этом случае получение прогнозов развития ситуаций сводится к решению системы конечно-разностных уравнений 2(/ + 1) = Ж°2(/), причем значения признаков 2(/ + 1) в прогнозе принимают значения на интервале [0, 1] или на интервале [-1, 1], если конечно-разностные уравнения записаны для приращений.

Отображение числовых значений в лингвистические значения в этом случае станет сюръек-

тивным, т. е. числовой интервал zlq ± 1/(2(т — 1))

щ

соответствует лингвистическому значению г",

щ ;

где т = \2* \, т. е. ф: ± 1/(2(т

1)) ^ г*к, 4q, где

е 2е

Чщ

В настоящее время такая линейная аппроксимация в общем вербальной модели объекта управления общепринята в когнитивном моделировании. Такого рода модели называют линейными когнитивными картами, которые воспринимаются и исследуются как чисто математический объект. При этом лингвистическая природа исходного описания объекта управления забывается и не рассматривается. Понятно, что такая линейная аппроксимация вербальной модели объекта верна для моделирования классов объектов управления, в которых множество значений признаков заданы как упорядоченные множества. Если значения признаков заданы как неупорядоченное множество (номинальная шкала), то допущение о линейной зависимости значений признаков неверно. В настоящее время это обстоятельство, как правило, игнорируется, и классы моделируемых систем, также как и область применения когнитивных карт, ничем не ограничивается. Это порождает множество проблем, краткий обзор которых был приведен во Введении к статье [1].

Отметим, что далее в теоретических построениях семиотической когнитивной карты, для упрощения подачи и понимания материала, мы будем

е

пользоваться числовым описанием линейной когнитивной карты.

Итак, формально семиотическая система включает в себя множества FS = (Т, Я, А, Р) определяющие формальную систему и множество правил ее модификации МР5 = (т, р, а, п). Можно установить соответствие между формальной системой [2, 3] и приведенным выше определением когнитивной карты. Действительно, множество признаков F объекта V и множество их значений 2 образуют множество основных символов формальной системы — Т, синтаксическое правило Я определяет правило построения вектора состояния 2 = (£,, ..., г) е х 7, множество знаний о

1 Ч ) I

предметной области (А) задано начальным состоянием 2(0), а правила вывода (Р) задаются множеством правил Щ и уравнением динамики ИЦ +1) = W°Z(t), т. е. Р = (Щ, + 1)).

Таким образом, когнитивная карта как формальная система FS определяется кортежем

Имя ¿Г

(, F, г, 2(0), Щ, + 1)).

(2)

Для построения семиотической когнитивной карты в определении [2, 3] необходимо определить правила модификации этой формальной системы, Мю = (т, Р, а, п). Поэтому далее будут рассмотрены модели представления когнитивной карты в виде знака, понятийной системы предметной области в виде ее концептуального каркаса, а также определим условия активности метазнака и правила смены формальной системы.

2. МОДЕЛЬ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОГНИТИВНОЙ КАРТЫ В ВИДЕ ЗНАКА

Пусть задана когнитивная карта (2) в виде формальной системы FS. Вначале выделим в кортеже (2) тройку (имя, смысл, представление), позволяющую определить когнитивную карту как знак. Рассмотрим первые четыре элемента этого кортежа: первый элемент ( очевидно определяет имя объекта управления; элементы (¥, 2, 2(0)) — множество признаков и множество их значений определяют смысл знака; вектор начальных значений 2(0) определяет представление конкретного объекта V, имя которого С.

Следующие элементы кортежа (Щ, + 1)), определяющие правила вывода, будем использовать при определении правил модификации формальной системы.

На рис. 1 схематично показано представление когнитивной карты, заданное кортежем (2) в виде знака. Вершины 1, 2 и 3 представляют, соответственно, имя, смысл (признаки и их значения) и

Смысл

(р, г, х(0)

Представление (денотат у)

Метазнак

(ж, г (*+!)>

Рис. 1. Когнитивная карта как знак

представление (денотат) конкретной ситуации, представленной когнитивной картой. В вершине 4 представлен метазнак, который реализует активность этого знака. Метазнак задан правилами вывода и при определенных условиях может изменить знак — его смысл, имя и значение. Точное определение метазнака будет рассмотрено далее.

Когнитивную карту, заданную кортежем (2), далее будем рассматривать в семантическом пространстве.

Модель представления экспертных знаний в виде субъективного семантического пространства используется в психологии и в искусственном интеллекте для описания и анализа организации знаний. Субъективное семантическое пространство (от лат. зиЬ/веШт — подлежащее и греч. звтапШоз — обозначающий) — система категорий индивидуального сознания, при помощи которых происходит оценка и классификация различных объектов, понятий [4].

Для целей анализа субъективного семантического пространства система категорий индивидуального сознания с помощью экспертных методов (например, метода репертуарного тестирования [5]) представляется в виде формальных признаковых таблиц, в которых в строках записаны имена анализируемых объектов — это понятия, а в столбцах — название их признаков. В признаковых таблицах на пересечении строки с понятием и каждого столбца с именем признака приводится экспертная оценка значения признака для каждого объекта. Признаковые таблицы могут быть также представлены в виде формального семантического пространства, размерность которого определяется числом признаков объекта. Каждая ось семантического пространства соответствует одному из признаков понятия, а сами понятия представляются в виде точек в этом пространстве. Положение

точки, характеризующее понятие, определяется значениями его признаков. Для оценки и классификации понятий в семантическом пространстве принимается гипотеза, что это пространство метрическое [6]. Семантические пространства в качестве модели представления экспертных знаний находят широкое применение для анализа ситуаций и принятия решений в психологии, социологии, политологии [7, 8].

Модель представления знаний в виде семантического пространства позволяет представлять знаковые системы. Действительно, точки семантического пространства обозначают некоторый реальный объект (денотат) и его состояние, все они именованы (определены имена объектов и их состояний — имена знака) и определены значения всех признаков (координаты точки), которые, по сути, определяют состояние объекта и, в общем, определяют смысл знака.

Определение 1. Семантическим пространством когнитивной карты Р? будем называть пространс-

Р?

тво '' , определяемое прямым произведением

Р?

значений всех его признаков, т. е. ?? = х7. ♦

Начальное состояние 2(0) объекта в семанти-

р?

ческом пространстве '' определяется вектором значений всех его признаков 2(0) = (т- ..., 7пт),

2(0) е 71у е 21, ..., 7пт е 2п и определяет точку в этом пространстве с координатами значений признаков объекта V в начальном состоянии.

На рис. 2 показан пример семантического пространства для абстрактного объекта V, имеющего два признака Р = {/1, /2\, значения которых определяются из множеств значений (21, 22). Начальное состояние 2(0) = (т1г, 72р) объекта показано как точка с координатами (т1г, 72р) в пространстве = 21 х 2.

Г. Фреге определил знак тройкой: имя, смысл (понятие) и значение знака. В логике есть синонимичное определение знака — это определение понятия. Формально определим понятие тройкой {й, Р(й), У(й)), где й — имя понятия, Р(й) = {/, т..} —

I у

содержание понятия (множество признаков и их значений, е 2, V/), ^(й) — объем понятия, ко-

У *

торый включает в себя множество объектов, удовлетворяющих содержанию понятия Р(й). Далее будем пользоваться именно этим определением.

В семантическом пространстве можно представить множество состояний значений признаков в виде векторов Ъ(Р) = (7-,,..., 7. ), 2(/) е V. Обыч-

У1 }т

но считается, что в семантическом пространстве задана метрика 5(-), а состояния, имеющие близкие по значению признаки 8(2(7); 2(1 + т)) < е,

Рис. 2. Семантическое пространство

принадлежат одному классу состояний (понятию), где е определяет границы класса.

Рассмотрим окрестность точки семантического пространства, представляющей начальное состояние 2(0) = (7, ± е,, ..., 7т ± ет), где 7 ± е1 е 2,,

I = 1, ..., т.

Определение 2. Окрестность 7 ± е, значений ,-го признака состояния 2(0), определяющие класс состояний, будем называть интервалом толерантности класса по этому признаку Д, = [т,к + ек, т,кк — егк].

Определение 3. Подпространство семантического пространства "(й0) с ??Р', полученное прямым произведением интервалов толерантности всех признаков состояния 2(0) будем называть содержанием базового понятия Р(й0) или областью толерантности базового класса состояний:

0) = * [7-к + е^ - е*к] = * Д, с Р(й0) = ?'(й0).

Определение 4. Объемом Г(й0) понятия й0 будем называть множество состояний У(сР) = = {2(^), ..., 2(1 + т)}, значения признаков которых попадают в область толерантности этого понятия

2^), ..., 2^ + т) е ?'(й0). ♦

В базовый класс состояний вначале включено только одно известное нам состояние — это начальное состояние 2(0), однозначно определяющее объект V.

Определение 5. Базовый класс состояний или базовое понятие определены тройкой {й0, ?'(й0),

т

А ^

Д2

= А1 х Д2

2ц 2х1 А, >

•\п

Рис. 3. Базовое понятие

Р(С0)), где С — имя базового класса состояний, его содержание — ¿¿(С0) и объем — Р(С°).

На рис. 3 показан пример базового понятия С0, содержание которого определено как подпространство ¿¿(С0) = Дх хд2 семантического пространства В подпространство включен объект с именем С, значения признаков которого определены начальным состоянием 2(0).

Строго говоря, мы м ожем рассматривать не один объект V с множеством состояний У(сС') = [2(1), ..., 2(1 + т)}, а множество объектов ..., Vр0}, значения признаков которых — состояния 2Х(0), ..., ^(0)

принадлежат подпространству 33(С0). Все эти объекты будут иметь имя класса С0 и включаться в его объем У(С°) = {21(0), ..., ^(0)} и отличаться только значениями признаков — состояниями.

Любой объект V0 из этого множества V0 е У(сР)

описывается кортежем (Ск, Т, 2,2к(0), (Жк, 2к( +1))), к = 1, ..., р, и, строго говоря, может иметь свое, отличное от других объектов правило вывода —

(Ж, 2к( + 1)).

Допущение 1. Все объекты {^}, включенные в объем базового понятия Г(С0) с общим именем базового понятия С0, имеют одинаковое правило вывода, т. е. (Жк, 2к(1 + 1)) = (Ж, 2(1 + 1)), У к. ♦

Тогда, подставляя в выражение (2) определение базового понятия (определение 5), получим следу-

ющее определение когнитивной карты для базового класса состояний объектов:

((С0, 33(С0), Г(С0)), Д 2, (Ж, 2(1 + 1))). (3)

Выражение (3), с учетом сделанного допущения 1, обобщает выражение (2) для класса аналогичных объектов управления. С позиций семиотического управления это означает, что решения, принимаемые на основе семиотической модели, верны для любого нового объекта, состояние которого попадает в класс базового понятия.

3. МОДЕЛЬ ПОНЯТИЙНОЙ СИСТЕМЫ ПРЕДМЕТНОЙ ОБЛАСТИ

Обычно при построении когнитивных карт аналитики структурируют ту предметную область, для которой когнитивная карта будет построена. В обзорной работе [9] описан ряд методов и подходов структуризации ситуации, применяемых разными исследователями когнитивного подхода. В основном эти методы ориентированы на декомпозицию ситуации, описание ее составных частей, причинно-следственных отношений между их параметрами. Все эти методы и соответствующие приемы, конечно, используются для построения семиотических когнитивных карт. Но отличие семиотических когнитивных карт, ориентированных на знаковое представление ситуации, заключается в том, что здесь нужна не только структурная декомпозиция ситуации, рассмотренная в разных аспектах, но и структуризация понятийной системы (знаковой системы) предметной области, в которой когнитивная карта построена.

Понятийная система предметной области представляется в виде множества понятий этой области. Каждое понятие определяет класс объектов предметной области тройкой: имя класса, атрибуты (признаки) класса и экземпляры класса — это объекты реального мира. По сути, каждое понятие в понятийной системе предметной области, определено тройкой в смысле знака Г. Фреге: имя, смысл — это множество атрибутов (признаков) и значение — это экземпляры предметной области (денотаты). В понятийной системе предметной области, между понятиями определены отношения «род — вид», что позволяет представить их в виде иерархии. В иерархии понятий, понятия верхнего уровня — это «род», обобщают, связанные с ним понятия нижнего уровня «вид». При этом понятия нижнего уровня наследуют все свойства своего родового понятия верхнего уровня. Иначе понятийные системы предметной области называют онто-логиями.

Обычно онтологии строятся экспертным способом. В этом случае онтологии плохо определенных предметных областей, отражая уровень знаний экспертов об этой области, оказываются бедными и малополезными для интерпретации результатов когнитивного моделирования. Поэтому в работе [10] для плохо определенных предметных областей вместо подробных онтологий предметной области было предложено при принятии решений использовать качественные концептуальные каркасы понятийных систем (онтологий), построенных в семантическом пространстве этой области.

Концептуальный каркас отражает возможную идеализированную структуру знаний о предметной области. Он включает в себя множество обобщенных понятий предметной области, для которых определены отношения «род — вид», но при этом точно определены только смысл (содержания) обобщенных понятий предметной области, а их имена и объемы (экземпляры — денотаты) должен доопределить эксперт.

В концептуальном каркасе все возможные обобщенные понятия предметной области определяются путем логического обобщения базового понятия. Например, логическое обобщение в случае, если понятие задано конъюнкцией признаков (значения признаков бинарные: признак есть; признака нет), заключается в отбрасывании признаков. В работе [2] такой тип обобщения называется структурным обобщением. В работе [10] этот подход логического обобщения применяется для понятий, признаки которых заданы упорядоченным множеством лингвистических значений и представлены в семантическом пространстве.

Кратко поясним, как строится концептуальный каркас в семантическом пространстве. Допустим, в семантическом пространстве эксперт определил

базовое понятие </, 55(й0), у/)> и некоторое

н н н другое понятие также тройкой: {й , 55(й ), У(й )>,

нн где й — имя понятия, 55(й ) — содержание понятия, заданное как подпространство семантического пространства, и У(йн) — объем понятия.

Н ¥5

Показано, что подпространство 55(йн) с 55 , оп-

н

ределяющее понятие с именем й , является обобщением базового понятия й0, определенное подпространством 55(й0) с 55^5, в том и только в том случае, если 55(й0) с 55(йн) [10].

Действительно, пусть имеется включение под-0 н

пространств 55(й °) с 5(й ). Допустим, что определены: объем понятия У(й°) = {¿0}, где е 55(й 0) — состояние объекта V,- , и объем по-

Рис. 4. Положительное обобщение базового понятия

нятия йн, У(йн) = {¿°}, где е 55(йн) -

] ' 5

н

00

состояния объектов V] и vq. Тогда, при условии

0н

включения подпространств (55(й ) с 55(й )), будет выполняться достаточное условие для определения обобщенного понятия, а именно, включение объемов У(й0) с У(йн), т. е., объем обобщенного понятия й0 включен в объем обобщающего н

понятия й .

Определение 6. Обобщенное понятие (класс) йй

называется реальным обобщенным понятием, ес-

н

ли разность объемов обобщенного понятия У(й ) и обобщаемого понятия У(й0) есть не пустое множество, т. е. У(йН)\У(й 0) ф 0, в противном случае это обобщенное понятие будем называть виртуальным. ♦

В работе [10] были определены качественное положительное или отрицательное обобщение базового понятия по одному признаку и обобщение по нескольким признакам.

Определение 7. Содержание качественного положительного обобщенного понятия базового

0н понятия й по признаку 5, 55(й ), определяется

как подпространство семантического пространства 55^:

55(йн) = х д. х [шшД„; шахД,],

I Ф 5 1 5 5

55(йн) с 55р5, 55(й0) с 55(йн). ♦

Пример качественного положительного обобщения базового понятия представлен на рис. 4. Здесь показано обобщение базового понятия по

Zl т

д2

Z2\

SS(d2) = = [Zn,Zlm] х Д2

Zu [Zu', zlm] Zlm <->

'-1 n

[Zls', Zlnil

Zb

Z21

SS(d3) = = [Zu, Z\m] X х [Zzi, Zbn]

Zu [Zu', Zlm] Z\m <->

Z\n

Рис. 5. Отрицательное обобщение базового понятия

Рис. 6. Обобщение базового понятия по двум признакам

признаку Zj, т. е. образуется новое понятие с именем d1 и содержанием SS(dJ) = [Z1q; Z1n] х д2.

Определение 8. Содержание качественного отрицательного обобщенного понятия базового понятия d по признаку q определяется из соотношения

SS(dH) = х д. х [max ДЧ; min Zq],

i Ф q 1 q q

SS(dH) с SSFS, SS(d0) с SS(dH). ♦

Определение 9. Содержание качественного обобщенного понятия базового понятия С0 по нескольким признакам определяется из соотношения:

33^) = ; х ^ д.х в [ш1пДк; шах2к] х^ [шахД?; ш1п2?],

kg е С1

33(СН) с 33(С0) с 33(СН),

где А — множество индексов необобщенных признаков, В — множество индексов положительно обобщенных признаков, С — множество индексов отрицательно обобщенных признаков |А и В и С| = ♦

Пример качественного обобщения базового понятия по двум признакам представлен на рис. 6. Согласно правилу обобщения базового понятия по двум признакам получаем новое понятие с именем

С6 и с содержанием 33(С6) = [211; 21т] х [2^; 22т].

Рассмотрим множество всех подпространств

{33(С )}, УН, полученных в результате качествен -ного положительного или отрицательного обобщения базового понятия по одному, двум и так далее признакам в семантическом пространстве

333 33(СН) с 333 УН, Н = 1, ..., 3*.

Множество подпространств {33(СН)} удовлетворяет свойствам рефлективности, антисимметричности и транзитивности, для любой пары которых определены верхняя и нижняя границы [10]. В этом случае это множество подпространств образует решетку ({33(СН)}, п, и), структурирующую семантическое пространство [10].

Определение 10. Решетку подпространств ({33(СН)}, п, и), УН, Н = 1, ..., 3*, будем

называть

качественным концептуальным каркасом этого семантического пространства [10]. ♦

Обобщенные понятия по включению подпространств образуют решетку, которая может быть представлена в виде диаграммы Хассе. Пример концептуального каркаса в виде диаграммы Хассе для рассмотренного примера показан на рис. 7.

Для рассмотренного примера с двумя признаками число обобщений базового понятия составит: по признаку 2Х — два обобщения (положи-

12 тельное С , отрицательное С ); по признаку 22 —

Пример качественного отрицательного обобщения базового понятия представлен на рис. 5. Показано отрицательное обобщение базового понятия по признаку 2Х, т. е. образуется новое понятие

с именем С2 и содержанием 33(сР) = [2П; 21т] х д2. признаку 22 — С5; отрицательное по признаку 2Х и

два обобщения (положительное С , отрицательное С4), по двум признакам 2Х и 22 — четыре обобщенных понятия (положительное по признаку 21 и

отрицательное по признаку 22 — С8; положительное по признаку 21 и положительное признаку по

значений признаков ¿(0). Но в этой предметной

области могут быть и другие объекты ] с векто-

н

ром значений признаков 2] , но не попадающие в

область 55(й0) базового понятия, т. е. £ 55(й 0),

2, е Такие объекты попадают в область

обобщенных понятий, (7) е 55(йн), имеют имя

йн и объем У(СН) = {2(0), 2Н}, и, строго говоря,

правила вывода {ЖН, (7 + 1)> для этих объектов (ситуаций) могут не совпадать с правилом вывода для объектов из базового класса сС0, т. е. {жН, ](7 + 1)> Ф {Ж, 2(7 + 1)>.

Ранее было сделано допущение 1, согласно которому все объекты базового класса имеют одно и то же правило вывода {Ж, ¿(7 + 1)>. Теперь сделаем такое же допущение для объектов, попадающих в класс обобщенных состояний.

Допущение 2. Множество ситуаций с состояниями е

55(йН), принадлежащие объему обобщенного понятия (классу состояний), имеют одинаковое правило вывода {Жн, ¿н(7 + 1)>, т. е. {ЖН, ¿Н (7 + 1)> = {ЖН, ¿Н(7 + 1)>, V]. ♦

Определение 11. Правило вывода {Жн, ¿н(7 + 1)>

будем называть правилом вывода обобщенного

н

понятия С , которое справедливо для всех ситуаций или объектов ] с состоянием , V], принадлежащих разности объемов обобщенного У(СН) и необобщенного понятия У(С0), т. е., ¿]Н е У(йН)\У(сР). ♦

Тогда семиотическая когнитивная карта определится кортежем:

{Сн, 55(А У(СН), ¥, {Жн, ¿н(1 + 1)>>, VH, (4)

где Н = 0, ..., 3* Сн — имя, 55(йн) е ({55(йн)}, п, и) — содержание, У(йн) — объем, {Жн, ¿н(7 + 1)> — правило вывода для обобщенного класса состояний.

В отличие от определения (3) в определении (4) базовое понятие {С0, 55(й0), У(С°)> (¿¿(с0) с 55(йн), VH), исходная ситуация с состоянием ¿(0), (У(С0) = {¿(0)}) стали частью структурированной понятийной системы, в которой появилось множество других имен обобщенных понятий (классов состояний) йн, с содержанием

и объемом У(йн), VH(по сути это новые знаки), связан-

Рис. 7. Концептуальный каркас в семантическом пространстве

положительное признаку по признаку ¿2 — С6; отрицательное по признаку и отрицательное признаку по признаку ¿2 — С7).

Самый верхний уровень — понятие С — это самое обобщенное понятие этой предметной области, совпадающее с семантическим пространством предметной области Дуги на диаграмме Хас-се означают вложение подпространств. Так, дуги

0 12 3

между базовым понятием й0 и понятиями

С1, С2, С

и С означают, что его содержание включено в содержание этих понятий. Соответственно, включение содержаний понятий, обобщенных по одному признаку, в содержание понятий, обобщенных по двум признакам, также показано соответствующими дугами.

Такая семантическая структура — концептуальный каркас — является идеализированной качественной онтологией предметной области, в которой построена когнитивная карта. Фактически концептуальный каркас поделил все семантическое пространство на вложенные подпространства ¿¿(йн), для каждого из которых может быть оп-нн

ределено имя

С1 и объем У(С), VH.

3.1. Состояние семиотической когнитивной карты

Отметим, что концептуальный каркас был построен для базового понятия й0, в объем которого включался конкретный объект V, имеющий вектор

ных с базовым классом состояний отношением «род — вид».

С позиций прикладной семиотики это означает, что кроме исходного семиотического описания объекта управления, заданного в виде знака кортежем (3), в предметной области существует множество других, обобщенных описаний, представленных другими знаками: (Сн, 33(СН), У(СН)), пра-НН

вилом вывода (Ж , 2 (1 + 1)), структурированных в качественном концептуальном каркасе предметной области.

Определение 12. Состоянием семиотической когнитивной карты будем называть описание ситуации кортежем (4) для конкретного значения уровня обобщения Н. ♦

Например, при Н = 0 имеет место начальное описание ситуации с кортежем (2).

Поясним сказанное на простом (без строгой формализации) примере вербального описания ситуации конфликта в семье: «Жена желает приобрести собаку, но муж против этого». Описание этой ситуации может быть представлено в виде сети знаков, в виде некоторой семантической сети, узлами которой будут имена знаков: жена, муж и собака. Заданы также и отношения между этими знаками (желает приобрести и против приобретения). Рассмотрим один из знаков этой семиотической системы: собаку. В терминах концептуального каркаса, на первом уровне обобщения этого знака (собака это вид домашних животных) описание конфликта будет выглядеть так: «Жена желает приобрести домашние животное, но муж против этого». Это описание будет новым состоянием семиотической системы. В этом случае в сети знаков знак «собака» заменен знаком «домашние животные». Отношения между узлами не изменились.

Теперь обратимся к определению 11, согласно которому новые правила вывода (возможно разрешающие конфликт) могут быть определены для объектов из разности объемов обобщенного и необобщенного понятия. Разностью объемов понятия «домашние животные» за исключением объема базового понятия — «собака» может быть, например, «кошка». Тогда описание ситуации м ожет выглядеть так: «Жена желает приобрести кошку, и муж не против этого». Это описание уже неконфликтно и, следовательно, основано на других правилах вывода. Конечно, не обязательно «муж» изменит свое отношение к домашним животным — это вопрос его личных оценок ситуации, и он будет рассмотрен далее.

Не любое из 3* возможных состояний могут быть верными в семиотическом описании (объекта) ситуации. Для определения возможных состо-

яний семиотической когнитивной карты и возможных переходов между состояниями в данной предметной области определим метазнак, который реализует активность семиотической системы.

4. МЕТАЗНАК, УСЛОВИЯ АКТИВНОСТИ

Под метазнаком в настоящей работе понимается управляющая система, оценивающая текущее состояние знака и предлагающая действия, направленные на изменение этого знака. По сути, метазнак реализует правила Мр3 смены формальной системы Р3.

В нашем случае изменение состояния семиотической когнитивной карты, согласно определению 12, заключается в замене описания ситуации базовым понятием (С0, 33(С0), Г(С°)) на обобщенное описание понятием (СН, 33(СН), Г(СН)). Естественно, что такое обобщение возможно в рамках концептуального каркаса предметной области с учетом отношений «род — вид» между разными классами состояний.

Рассмотрим правила смены состояний когнитивной карты семиотического типа.

4.1. Правила смены состояния семиотической когнитивной карты

Правила смены состояния основаны на правилах формальной системы Р, которые ранее были

определены парой Р = (Ж0, 2 (1 + 1)). Правила Ж0, связывающее различные вектора значений признаков и уравнение динамики 2° (1 + 1) = Ж (О были описаны при формальном определении когнитивной карты в § 2.

При определении правил смены состояния семиотической когнитивной карты считается, что если в векторе состояния 2(1), У1, значение хотя бы одного признака вышло за пределы базового

понятия 33(С°) = х д 7 е 2(0, 7 г 33(С0), то изменяется состояние семиотической когнитивной карты.

Изменение состояния семиотической когнитивной карты, согласно ее определению кортежем (4) и определению 12, означает изменение:

0 Н 0 Н

имени — С ^ С ; содержания 33(С ) ^ 33(С ); объема Г(С0) ^ У(СН) и правил вывода (Ж0, 20(1 + + 1)) ^ (ЖН, 2Н(г + 1)).

Далее мы рассмотрим правила изменения содержания обобщенного состояния когнитивной карты, предполагая, что это изменение приведет к изменениям имени, объема и правил вывода.

Правило 1. Если значение признака е 2(1) превысило максимальное значение интервала то-

лерантности этого признака, zq > maxAq, то содержание обобщенного состояния определится из соотношения

SS(dq) = х a,, х [minA; maxZl.

i ^ q q

Иначе это правило запишем как

3zq 6 Z(t) I zq г SS(d0) & Zq > maxAq ^ SS(dq) = = s a, s [minA; maxZq]. ♦

i Ф q . q

Например, качественное положительное обобщение базового понятия (см. рис. 6) произойдет, если при моделировании динамики системы значение zx(t) признака Zx превысило значение верхней границы интервала толерантности A1 = [Z1q; Z1m], т. е. z1(t) > z1m. Тогда, согласно правилу смены семиотической системы, происходит обобщение базового понятия по признаку Z1, т. е. образуется новое понятие с именем d1 и содержанием SS(d1) = [Z1q; Z1n] s A2 и объемом V(dl) = {Z(t + 1)},

Z(t + X) = (z^ Z2,), z2r 6 A2'

Правило 2' Если значение признака zq eZ(t) меньше минимального значения интервала толерантности этого признака, zq < minAq, то содержание обобщенного состояния определится из соотношения:

SS(dq) = s A,, s [max Aq; min Zq].

i Ф q q q

Иначе это правило запишется как

3zq 6 Z(t) I zq г SS(d) & zq < minAq ^ SS(dq) = = s a, s [max Aq; min Zq]. ♦

i Ф q 1 q q

Например (см. рис. 7), если при моделировании значение признака Z1, z1(t + 1) стало меньше значения нижней границы интервала толерантности A1 = [Z1q; Z1m], т. е. z1(t) < z1q, то согласно правилу смены семиотической системы происходит отрицательное обобщение базового понятия по признаку Z1, т. е. образуется новое понятие с

2 2 именем d и содержанием SS(d) = [Z11; Z1m] s a2.

Представим вектор значений признаков в некоторый момент времени t в виде:

Z(t) = Zß) u Zß) u Zc(t),

где Zß) — часть вектора состояния, содержащего элементы zi(t), значения которых не пересекли границ интервалов толерантности, т. е. z,(t) 6 A,, i 6 A, где A — множество индексов элементов ZA (t); Zß) — часть вектора состояния, содержа-

щего элементы Zk(7), значения которых больше верхней границы их интервалов толерантности, т. е. zk(t) > шахДк, к е В, где В — множество индексов элементов ¿В(7); ¿с(7) — часть вектора состояния, содержащего элементы Zk(7), значения которых меньше нижней границы их интервалов толерантности, т. е. zg(t) < шшД^, к е С, где С — множество индексов элементов ¿с(7).

Правило 3. Если в векторе значений признаков есть множества признаков значения, которых: zí е Д., превысили максимальное значение zk > шахДк, меньше минимального значения zg < шшД^ интервалов толерантности этих признаков, то содержание обобщенного состояния определится из соотношения

¿¿(С5) = елА1ке в [ш1пДк; шах^]^ [шахД ; шш^]. Иначе это правило запишем в виде

3 ¿*(7 + 1) = ^ (7 + 1)}\zi (7 + 1) е Д., Iе А &

3 ¿+(7 + 1) = (7 + 1)}кк (7 + 1) > шахДк, ке В &

3 ¿-(7 + 1) = Ц (7 + 1)}\ Zg (7 + 1) < шшД^ к е С ^ ¿¿(й5) =

= . е а Д.к * в [ш1пДк; шах^к] г е с[шах\; ш1п4]. ♦

Например, рассмотрим качественное обобщение базового понятия по двум признакам (рис. 6). Здесь значение z1(7 + 1) признака стало меньше значения нижней границы интервала толерантности Дх = [¿15; ¿1т], т. е. z1(7 + 1) < z1q, а значение признака ¿2 стало больше интервала толерантности z2(7 + 1) > z2r Тогда, согласно правилу обобщения базового понятия по двум признакам, получаем новое понятие с именем С и с содержанием

ад3) = [¿п; ¿т] X [¿2,; ¿2т].

Правило 3 — это общее правило смены состояния, будем обозначать его Я к. Оно позволяет представить любое состояние динамической системы, заданное вектором значений признаков ¿(7) е ¿б^, V7, в виде знака концептуального каркаса предметной области, заданное уже тройкой: {Сн, 55(dн), У(СН)>, где ¿¿(СН) е ({¿¿(сН)}, п, и), ¿(7) е У(СН).

Таким образом, правило Яс11 указывает на новый обобщенный класс состояний, элементы объ-Н Н

ема которого ¿] е У(С ), V] могут принадлежать другой формальной системе ¥¿(7). Динамичес-

Имя ситуации

(Т)

( 2 )- ( 3 ) ^бъем

СодержаниеЧ уу Пй^))

8Б(с1н(0)е п, и)\

Метазнак

Рис. 8. Динамическая семиотическая когнитивная карта

кую семиотическую когнитивную карту определим кортежем

(СН(1), 33(СН(1)), Н(СН(1)), Р, 2,

(ЖН(1), 2Н(1 + 1)), Яск),

(5)

где

Н = 0, , 3*, СН(1) — имя, 33(СН(1)) е ({33(СН)}, п, и) — содержание, Н(СН(1)) — объем, (ЖН(1), 2 (1 + 1)) — правило вывода для обобщенного класса состояний в некоторый момент времени 1, Яск — правило смены состояния семиотической системы.

Этот кортеж определяет динамическую когнитивную карту семиотического типа, поскольку

правила вывода (ЖН, 2Н(1 + 1)) определяют новые значения признаков 2(1), а правило смены состояний семиотической системы Яск определяет ее новые состояния в разные моменты времени в виде знака (СН(1), 33(СН(1)), Н(СН(1))).

На рис. 8 схематично показана динамическая семиотическая когнитивная карта, соответствующая кортежу (5). В вершине «Содержание» определен концептуальный каркас — как множество

вложенных подпространств ({33(СН)}, п, и) — и текущее содержание 33(С (1)) обобщенного понятия, в вершине «Имя ситуации» определено имя

СН(1), соответствующее подпространству 33(СН(1)) концептуального каркаса, и в вершине «Объем»

¥(ё (1)) определен объем обобщенных понятий с

Н

именем

СН(1), УН. В

вершине «Метазнак» заданы НН

множество правил вывода (Ж , 2 (1 + 1)) для каждого из обобщенных понятий СН и правило смены состояния семиотической системы Яск.

Три вершины «Содержание», «Имя ситуации» и «Объем» связаны семиотическими отношениями. Это означает, что элементы множеств, определенных в этих вершинах: различные имена, содержания и объемы, образуют знак. Один из этих знаков в концептуальном каркасе точно определен — это начальное состояние или базовое понятие, для которого определено имя — С0, содержание — 33(С0),

объем — Н(С0) и правила вывода — (Ж, 2(1 + 1)). Для остальных обобщенных понятий концептуального каркаса, которые также представляются знаками, точно определены только их содержание.

Далее считаем, что методы определения имен, объема и правил вывода для обобщенных понятий концептуального каркаса существуют, и будем рассматривать семиотические когнитивные карты на абстрактном уровне.

4.2. Интерпретирующий концептуальный каркас

Определение семиотической когнитивной карты (5) дано для общего случая. Считается, что любое обобщенное состояние определяется именем, содержанием, объемом и правилами вывода, отличными от имени, содержания, объема и правил вывода базового понятия.

Однако интерес представляет случай, когда для

разных семиотических состояний (СН, 33(СН), Н(СН)) НН

правила вывода (Ж , 2 (1 + 1)) остаются неизменными, например, это может быть правило базового понятия, т. е. (ЖН, 2Н(1 + 1)) = (Ж, 2(1 + 1)), УН.

В этом случае часть концептуального каркаса, обобщенные понятия которого имеют общее правило вывода, образуют интерпретирующий концептуальный каркас для этого правила.

Определение 13. Интерпретирующим концептуальным каркасом называется ч асть (подрешетка)

({33(СН )}, п, и) полного концептуального каркаса (полной решетки подпространств семантического

пространства) ({33(СН)}, п, и), {33(СН*)} с {33(СН)}, УН, в каждом из подпространств, определяющих

Н* Н* Н*

содержание 33(С ), имя С и объем Н(С ) класса ситуаций, выполняется одно и то же правило вывода (Ж, 2(1 + 1)), а разности объемов обобщенного и необобщенного классов ситуаций

(СН = Н(СН)/Н(Сч)) * 0, С4 г С) не пустое множество, т. е. определен денотат для каждого обобщенного понятия. ♦

Поясним это определение на простом примере. Пусть задана семиотическая когнитивная карта кортежем (2), определены два признака X и У, их значения на интервале ту, ^ е [0, 1], определено

базовое понятие 88(С0) = [гп, т12] х [т21, 722].

Рис. 9. Представление когнитивной карты (я) в семантическом пространстве и интерпретирующий концептуальный каркас (б) для зависимости признаков (6)

Пусть два эксперта задают правила вывода для базового понятия С0, которые записываются уравнениями

Zy = 0,6^х, (6)

zy = (1)

где 7 е [z21, Z22], ^ е [Z11, Z12].

В когнитивном моделировании принято, что линейная аппроксимация зависимости признаков для базового понятия справедлива во всей области

определения значений признаков, т. е. zy е [0,1], zx е [0,1].

Представление этих когнитивных карт в семантическом пространстве, поделенном на вложенные подпространства, определяющие содержание обобщенных понятий концептуального каркаса, показано на рис. 9, а и 10, а. Подпространства семантического пространства обозначены как С0 и

1' 8' 1' 8' С —С . В работе [10] подпространства С —С были

определены как разности содержаний обобщен-

ного и необобщенного понятий, например, для рис. 4—6, эти подпространства определятся из соотношений: С1' = 33(С1)/33(С0), С2' = 33(С2)/33(С0),

С6' = 33(С6)/33(С0) и С3' и С2. Показано, что если значения функции зависимости признаков (на-

1' 8'

пример, 6) попадают в подпространства С —С , то

18

обобщенные понятия С —С будут включены в интерпретирующий концептуальный каркас, соответствующий этой зависимости [10].

На рис. 9, б показан интерпретирующий концептуальный каркас, в который включены только те обобщенные понятия (С0, С1, С4, С7), подпространства (С0, С1, С4, С7) которых пересекают график функции (6) (см. рис. 9, а), а на рис. 10, б — интерпретирующий каркас для зависимости м ежжду признаками (7) (см. рис. 10, а), который включает

0 2 3 7

в себя обобщенные понятия (С0, С2, С3, С ).

Сравнивая концептуальные каркасы, представленные на рис. 9, б и 10, б, видим, что разные зависимости признаков порождают разные интерпретирующие концептуальные каркасы.

Здесь возникает естественный вопрос: «Какая из зависимостей (6) или (7) верна?». Согласно определению 13, это будет та зависимость, в концептуальном каркасе которой для всех обобщенных понятий существует объект реального мира — денотат.

Н*

Фактически содержания 33(С ) обобщенных понятий интерпретирующего концептуального каркаса определяют подпространства значений признаков реального объекта (или его состояний) — денотата, существование которого подтверждает правильность правил вывода когнитивной карты. В этом смысле интерпретирующий каркас полезен для верификации когнитивной карты, поскольку явным образом определяет свойства возможного денотата.

С учетом интерпретирующего концептуального каркаса перепишем кортеж (5) в виде:

(СН*(1), 33(СН*(1)), Н(СН*(1)), Д 2, (Ж, 2(1 + 1)), Яс).

(8)

Определение 14. Описание динамической ситуации, заданное кортежем (8), будем называть семиотической когнитивной картой или когнитивной картой семиотического типа. ♦

Здесь, в отличие от определения (5) концептуального каркаса всей предметной области для множества возможных правил вывода в этой области, определен интерпретирующий концепту-Н*

альный каркас ({33(С )}, п, и) для конкретного набора правил вывода (Ж, 2(1 + 1)).

В отличие от классического определения когнитивной карты (см. Введение к статье [1]) как множества признаков ситуации, для значений которых определены причинно-следственные отношения, заданные взвешенным графом, в определении (8) появилась «надстройка» в виде интерпретирующего концептуального каркаса. Теперь любое состояние ситуации, заданное вектором значений признаков, можно представлять в виде знака, заданного тройкой: имя, содержание, объем. Это позволяет снять проблему интерпретации результатов когнитивного моделирования, а также решить и проблему верификации когнитивной карты.

В методологии когнитивного моделирования определены методы построения, параметризации когнитивных карт, их анализа и принятия решений [9]. Все эти методы применяются и для построения семиотических когнитивных карт. Специфическим элементом семиотической когнитивной карты является интерпретирующий концептуальный каркас, алгоритм построения которого будет рассмотрен далее.

5. АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ИНТЕРПРЕТИРУЮЩЕГО КОНЦЕПТУАЛЬНОГО КАРКАСА ПРЕДМЕТНОЙ ОБЛАСТИ

В данном параграфе предлагается конструктивный метод определения интерпретирующего концептуального каркаса семиотической когнитивной карты.

Итак, задана когнитивная карта семиотического типа кортежем (5). Знания о предметной области Ж, которые в общей постановке определены как множество правил продукций, аппроксимируются линейными зависимостями и представляются матрицей смежности Ж, wн е Ж, wн е [—1, 1],

У У

элементы которой есть коэффициенты линейной зависимости значений признаков.

В качестве правила вывода для вычисления прогнозов развития ситуаций применяют метод независимого вычисления положительных и отрицательных влияний в когнитивной карте с помощью положительно определенной матрицы смежности [11]. Матрица смежности Ж ^ , w.. е Ж ^ ,

-1 г п X п ¡/ П X п

w¡j е [—1, 1], представляется матрицей Ж2п х2п по правилу:

если ^ > ° то ^¡-12-1 = ^¡-12/ = Щ

если w., < 0, то w,

2а/-1

= ^¡-12/ = ^¡/,

где ^¡-1, 2/, W2¡, 2/—1, W2¡-12j-1, ^¡2/ е Ж2п х2п е [0, 1].

Входной вектор 2(0) и вектор прогноза развития ситуации 2(п) также имеют размерность 2п,

(7Р 72

■2' •••' 72-1, 72Р ..., 72п

-1, ^2п). Причем элементы

этого вектора с индексами 21 - 1 характеризуют отрицательное приращение признака, а элементы с индексами 21 — положительное [11].

В этом случае интервалы толерантности для каждого признака Д. = [£¿(0) — ег.; £¿(0) + ег], определяющие содержание базового понятия, также будут представлены векторами размерности 2п, т. е. вектор интервалов толерантности будем представлять в виде: ТЬ = (771, ..., Т1р ..., Т1п), где Т1{ = (е2/-1; е2г-), VI, I = 1, ..., п, где б2—1 > 0 — положительные и е2/ > 0 — отрицательные отклонения до границы интервала толерантности признака ..

Для вычисления прогнозных значений приращений признаков применяется правило тах-ргоёыс7 [11]:

2(7 + 1) = 2(7)° Ж,

где ° — правило вычисления элементов вектора прогноза — £¿(7 + 1) = тах £.(7) м?^ £¿(7 + 1) е 2(7 + 1);

£¿(7) е 2(7), г = 1, 2, ..., п.

Задача заключается в нахождении интерпретирующего концептуального каркаса предметной области {йн\ ({¿¿(¿н*)}, п, и), У(йн")) с учетом причинно-следственных зависимостей значений признаков, определенных правилами вывода <Ж, 2(7 + 1)).

Нахождение такого концептуального каркаса представлено в виде следующего алгоритма.

Шаг 1. Вычисляем транзитивное замыкание матрицы смежности Ж2п х 2п:

Ж = " Ж.

, = 1

Шаг 2. Вычисляем матрицу прогноза развития

ситуации из соотношения 2(п) = ЕпЖ. Здесь Еп — единичная матрица, еи = 1, еи е Еп, 2(п) — матрица прогноза размерностью 2п х 2п. Строки матрицы 2(п) определяют установившиеся значения всех признаков, по сути это прогноз 2. = (£р ..., £п) при условии, что на 1-й фактор будет подано приращение £ = 1, т. е. в уравнении прогноза 2(п) = 2(0)° IV начальный вектор 2(0) = (0, ..., £., ..., 0), V/.

Шаг 3. В матрице прогнозе 2(п) определяются все признаки, значения которых вышли за пределы области толерантности базового понятия. Для этого используется удвоенный вектор интервалов толерантности ТЬ = (Т/р ..., Т1,, ..., Т1п), V/. Получаем новую матрицу Ж*, в которой представлены все признаки, установившиеся прогнозные значения которых вышли за пределы интервала толе-

рантности. Это квадратная матрица, значения которой определяются с помощью правила:

м/

¿2] - 1

и М*2] =

_ [ 1, если £,2] - 1 >62] - 1, 0, если £¿2]- 1 < 62]- 1,

_ [-1, если £¿2] <62], 0, если £¿2] >62],

(9)

где 62; - р 62; е Т1Р ^

Шаг 4. Определяем множество всех входных воздействий. Входные воздействия — это вектор 2(0) = (вр ..., еп), где е{ е {-1, 0, 1}. По сути, элементы этого вектора принимают максимально возможные приращения значений, -1 и 1 — максимальные отрицательное (по модулю) и положительное приращения, 0 — отклонений нет. Определим множество всех возможных входных воздействий 2*(0) = {2к(0)}, где 2к(0) — всевозможные

векторы входных воздействий, |2*(0)| = 3Н, N — число признаков, к = 1, ...,

Шаг 5. Вычисляем состояния понятийной системы по правилу:

2* = 2/0)° Ж,

где 2к(0) — вектор входных воздействий, 2к* — вектор, элементы которого принимают значения из множества {-1, 0, 1}, что отражает их выходы за пределы интервалов толерантности признаков. По

сути, 2к* — это состояние понятийной системы, которое указывает на ту область семантического пространства, в которую система перейдет, если на ее вход подать начальный вектор 2к(0) е 2 *(0).

Элементы вектора 2к* вычисляются по правилу агрегации следующим образом:

£* = ]

£ м * .

Правило вычисления значений £]* приведено в табл. 1. В первой строке и столбце представлены возможные значения произведения 1гм*г], а на пересечении соответствующих строк и столбцов — значения элемента £]* вектора 2к* .

Операция °

£ М* 1 0 -1

1 1 1 ?

0 1 0 -1

-1 ? -1 -1

.

Рис. 11. Концептуальный каркас, не учитывающий зависимости признаков

Рис. 12. Когнитивная карта

альный каркас предметной области, в которой была построена когнитивная карта.

Поясним рассмотренный алгоритм на примере.

Пример построения интерпретирующего концептуального каркаса предметной области семиотической когнитивной карты. Пусть известны три признака А, В и С некоторого объекта V, принадлежащего некоторой предметной области. Пусть известны области определения всех признаков 2А = 2В = 2С = [0, 1] и определен вектор значений признаков. Пусть объект определен точкой с координатами: V = (0,5; 0,5; 0,5). Определен базовое понятие этого объекта, границы которого заданы интервалами Аа = [0,25; 0,75]; АВ = [0,25; 0,75]; АС = [0,25; 0,75].

Тогда содержание базового понятия 33(С 0) определится из соотношения: 33(С0) = Аа х АВ х АС.

Вектор, определяющий положительные и отрицательные отклонения от текущего положения до выхода значений за пределы интервалов толерантности Аа, АВ, АС, ТЬ = (-0,25 0,25; -0,25 0,25; -0,25 0,25).

Если нет гипотез о возможных зависимостях между значениями признаков, то концептуальный каркас для этой когнитивной карты будет включать в себя 33 = 27 элементов и иметь вид, показанный на рис. 11.

В вершинах диаграммы числами 1, —1 и 0 закодированы подпространства 33(СН). Например, значение в вершине 001 означает, что положительное обобщение получил только признак С и подпространство, определяющее содержание нового понятия, 33(С001) = Аа х АВ х [0,25; 1].

Пусть эксперт определил зависимости между значениями признаков. Эти зависимости выражены с помощью когнитивной карты, изображенной на рис. 12.

Транзитивное замыкание Ж, которое совпадает с матрицей прогнозов 2(п), представлено в табл. 2. С учетом вектора толерантности Т определим все значения признаков, которые в прогнозе вышли за пределы интервала толерантности, и получим новую матрицу транзитивного замыкания Ж* по правилу (9) (табл. 3).

На пересечении разнополярных значений элементов агрегации стоит знак «?». В этом случае возникает противоречие и, следовательно, определить значение элемента 1/ невозможно.

Шаг 5 выполняется для всех входных векторов из множества 2*(0), полученных на шаге 4. Таким образом, в результате выполнения этого шага получаем множество векторов 2 * = {2*} У к. В мно-

Z*

не включаются вектора, содержащие хотя бы один противоречивый элемент, т. е. элемент со знаком «?».

Шаг 6. Определяется частичный порядок на множестве состояний понятийной системы 2 , что позволяет представить его в виде д иаграммы Хассе (2*, <). По сути, это частично упорядоченное множество определит интерпретирующий концепту-

Таблица 2

Матрица прогнозов I для когнитивной карты (см. рис. 14)

+А -А +В -В + С -С

А 0,014 -0,038 0,26 -0,010 0,095 -0,26

В 0,053 -0,002 0,014 -0,0005 0,36 -0,014

С 0,15 -0,006 0,039 -0,0015 0,014 -0,038

Таблица 3

Транзитивное замыкание матрицы смежности

+А -А +В -В +С -С

А 0 0 1 0 0 -1

В 0 0 0 0 1 0

С 0 0 0 0 0 0

Рис. 13. Концептуальный каркас предметной области для когнитивной карты (см. рис. 10, б)

Рис. 14. Концептуальный каркас предметной области для измененной когнитивной карты

Множество всех возможных входных воздействий: 2 *(0) = {100, -100, 010, 0 - 10, 001, 00 - 1, -110, 1 - 0, 101, -101, 011, 0 - 11, 10 - 1, -10-1, 01-1, 0-1-1, -111, 1-11, -11-1, 1-1-1, 110, -1-10, 111, -1-11, 11-1, -1-1-1}.

Отметим, что элементы подмножества входных воздействий: {001, 00-1, 101, -101, 011, 0-11, 10-1, -10-1, 01-1, 0-1-1}, последний, третий элемент которых ненулевой, можно не рассматривать, поскольку третья строка матрицы Ж * нулевая и произведение ггм*г] всегда будет равно нулю, т. е. ггм*г} = 0, так как

К] = 0, V].

Элементы подмножества входных воздействий {110, -1-10} дают противоречивые значения векторов

состояний понятийной системы 2*: 01?, 0—1?, и поэтому далее не рассматриваются.

Для всех оставшихся элементов входных воздействий

2(0) по правилу агрегации получаем множество непро-

*

тиворечивых векторов 2 , характеризующих возможные состояния понятийной системы: 2* = {01-1, 0-11, 001, 00-1, 0-11, 01-1}.

Диаграмма Хассе интерпретирующего концептуального каркаса для этой когнитивной карты (см. рис. 9, а) показана на рис. 13.

Рассмотрим еще один случай. Увеличим вес дуги из вершины С в вершину А от 0,15 до 0,45.

Прогноз развития ситуации, представленной матрицей 2(п) и транзитивным замыканием матрицы смежности Ж*, представлен в табл. 4. Матрица транзитивного замыкания Ж* для этого случая представлена в табл. 5.

Множество входных воздействий: 2 *(0) = {100, -100, 010, 0 - 10, 001, 00 - 1, - 110, 1 - 10, 101, - 101, 011, 0 - 11, 10 - 1, - 10 - 1, 01 - 1, 0 - 1- 1, - 111, 1 - 11, - 11 - 1, 1 - 1 - 1, 110, - 1- 10, 111, - 1 - 11, 11 - 1, - 1 - 1 - 1}.

Подмножество входных воздействий: {110, -1 - 10, 111, - 1 - 11, 11 - 1, - 1 - 1 - 1} приводят к противоречивым векторам состояний понятийной системы: {01?, 0 - 1?, 1 - 1?, 11?, - 11?, - 1 - 1?}.

Остальные элементы множества входных воздействий дают непротиворечивые состояния понятийной системы: 2* = {100, - 100, 001, 00 - 1, 101, - 101, 0 - 11, 01 - 1, 1 - 11, - 1 - 11, 11 - 1, - 11 - 1}.

Диаграмма Хассе для когнитивной карты с измененными весами показана на рис. 14. ♦

Как видно из рассмотренного примера, измене -ния весов когнитивной карты приводят к изменениям интерпретирующего концептуального каркаса предметной области. Это обстоятельство может быть использовано в процессах интерпретации результатов моделирования, для верификации когнитивной карты и поддержки выработки решений для управления сложными ситуациями.

Таблица 4

Транзитивное замыкание измененной матрицы смежности

+А -А +В -В + С -С

А 0,040 -0,11 0,26 -0,029 0,095 -0,26

В 0,15 -0,017 0,040 -0,004 0,36 -0,039

С 0,43 -0,047 0,11 -0,012 0,040 -0,11

Таблица 5

Матрица для измененной когнитивной карты

+А -А +В -В +С -С

А 0 0 1 0 0 -1

В 0 0 0 0 1 0

С 1 0 0 0 0 0

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Определены и проанализированы основные проблемы применения методологии когнитивного моделирования для принятия решений в плохо определенных динамических ситуациях, а именно, проблема интерпретации результатов моделирования, полученных с помощью грубых субъективных моделей (когнитивных карт), и проблема верификации этих моделей.

В рамках существующего теоретического базиса решить эти проблемы не удается. Поэтому предложен иной теоретический базис когнитивного моделирования, основанный на принципах прикладной семиотики. В этом случае основным элементом для построения когнитивных карт служит знак, определенный тройкой треугольника Фреге: имя, смысл и значение для конкретных когнитивных карт.

Семиотическая когнитивная карта формально определена в семантическом пространстве предметной области как семиотическая система, имеющая имя, содержание, определенное подпространством семантического пространства предметной области, денотат — конкретную ситуацию реального мира и правила вывода, действующие в рамках содержания когнитивной карты.

Предложен метод структуризации семантического пространства на вложенные подпространства, которые образуют частично упорядоченное множество подпространств, определенных как знак: именем, содержанием, объемом и правилами вывода. Это множество подпространств называется качественным концептуальным каркасом предметной области и представляется как идеализированная качественная онтология этой области.

Показано, что в каждом подпространстве концептуального каркаса определена новая семиотическая когнитивная карта, которая является обобщением исходной когнитивной карты. Дано определение состояния семиотической когнитивной карты и определены правила смены ее состояний. Исследована зависимость структуры концептуального каркаса, определяющего родо-видовую структуру знаний о предметной области, от структуры когнитивной карты, определяющей множество причинно-следственных отношений между значениями признаков в этой предметной.

Предложен алгоритм построения интерпретирующего концептуального каркаса предметной области, направленного на поддержку процессов верификации и интерпретации причинно-следственных отношений в предметной области, заданных конкретной когнитивной картой.

Приведена абстрактная модель когнитивной карты семиотического типа, в которой строго определены содержания классов новых обобщен -ных состояний, но имена классов состояний и их объемов остаются не определенными. Она может стать теоретической основной нового класса систем поддержки принятия решений семиотического типа.

Имена и объемы обобщенных классов состояния м огут быть определены экспертным путем или с помощью разработанных методов и алгоритмов.

Важная особенность такого класса систем поддержки принятия решений заключается в знаковом представлении результатов моделирования, что позволяет в процессах интерпретации результатов моделирования, верификации когнитивной карты, поиска управлений в качестве базы знаний для поддержки принятия решений использовать неструктурированные знания Интернет — семантического WEB а, а также неструктурированных хранилищ знаний формата NO-SQL.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кулинич А.А. Семиотические когнитивные карты. Ч. 1. Семиотический подход в информатике и управлении // Проблемы управления. — 2016. — № 1. — С. 2—10.

2. Поспелов Д.А. Ситуационное управление: теория и практика. — М.: Наука, 1986. — 288 с.

3. Поспелов Д.А., Осипов Г. С. Прикладная семиотика // Новости искусственного интеллекта. — 1999. — № 1. — С. 9—35.

4. Психологический словарь. — М.: Педагогика-Пресс, 1999. — 440 с.

5. Келли Дж. Теория личности. Психология личных конструктов. — СПб.: Речь, 2000. — 249 с.

6. Shepard R.N. Metric structures in ordinal data // Journal of Math. Psychol. — 1966. — Vol. 3, N 2.

7. Петренко В.Ф. Психосемантика сознания. — М.: Изд-во МГУ, 1988. — 207 с.

8. Терехина А.Ю. Методы многомерного шкалирования и визуализации данных // Автоматика и телемеханика. — 1973. — № 7. — С. 86—94.

9. Кулинич А.А. Компьютерные системы моделирования когнитивных карт: подходы и методы // Проблемы управления. — 2010. — № 3. — С. 2—16.

10. Кулинич А.А. Концептуальные каркасы онтологий слабо структурированных предметных областей // Искусственный интеллект и принятие решений. — 2014. — № 4. — С. 31—41.

11. Силов В.Б. Принятие стратегических решений в нечеткой обстановке. — М.: ИНПРО-РЕС, 1995. — 228 с.

Статья представлена к публикации членом редколлегии чл.-корр. РАН Д. А. Новиковым.

Кулинич Александр Алексеевич — канд. техн. наук, ст. науч. сотрудник, Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, г. Москва, H kulinich@ipu.ru.