ОБЩЕЕ ДЛЯ "ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ", СОВЕРШЕННЫХ, БОКОВЫХ ЧИСЕЛ И УРАВНЕНИЯ ПЕЛЛЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 511

Васильев Ю.Н.

Российский университет (Россия, Магнитогорск)

ОБЩЕЕ ДЛЯ «ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ», СОВЕРШЕННЫХ, БОКОВЫХ ЧИСЕЛ И УРАВНЕНИЯ ПЕЛЛЯ

Аннотация: используя соотношение между коэффициентами многочлена и его корнями, можно через элементы последовательности построенной в зависимости от коэффициентов этого многочлена получить корни данного многочлена по общей формуле для числовых последовательностей, таких как Фибоначчи, совершенных, боковых чисел и других, а так же выявить корреляцию между последовательностями.

Ключевые слова: последовательность, дискриминант, предел, корень, уравнение, многочлен, коэффициент, числа.

Теорема 1. Пусть Р (х)=хт+а1хт-1+а2хт-2+...+ат-1х+ат (т>1) (1) данный многочлен над полем действительных чисел, {Вп} (п=1,2,...)-последовательность, элементы которой определены рекуррентной формулой: В;=1 (1=0, 1, ... , т-1)

Бп=-а1Бп-1-а2Б п-2-...-ат-1Бп-(т-1)-атБп-т, тогда, если с1, с2, ...ст-1, Ст действительные корни многочлена (1) такие, что |с1|>|с2|>...>|ст-1|>ст|, то

Ь1тп->»(Бп+а1Бп-1+...+(-1)т-1ат-1Бп-(т-1))/(Бп-1+а1Бп-2+...+(-1)т-1ат-1Бп-т)=С! (1=0, 1, ... , т-1) где

(-а1)=с1+с2+...+ст-2+Ст-1,

а2=С1С2+С2Сз+... Ст-2Ст-1

(-1)т-1ат-1=С1С2Сз...Ст-2Ст-1. Квадратные уравнения.

Пусть элементы последовательности связаны формулой

^=^N^1^2^-2, П>1

где N0=0, N1=1, do=1, а коэффициенты dl, d2 взяты из квадратного уравнения

х^^2=0 (*)

тогда элементы последовательности {Кп} можно получить по формуле:

Н^х^11)/^^) (2)

где х1, х2 корни квадратного уравнения (*)

Для удобства заменим коэффициенты ^1, -d2 на а и d. Тогда формула и квадратное уравнение будут выглядеть так: К=аНп-^Нп-2 (3) x2=ax+d (4)

Запишем формулу (2) через коэффициенты а и Ь, где Ь - дискриминант квадратного уравнения (4) то есть b2=a2+4d, тогда Х1=(а+Ь)/2, Х2=(а-Ь)/2, b2-a2=4d, [(a+b)/2][(b-a)/2]=d (5) Нп=[(а+Ь)П-(а-Ь)П]/2ПЬ (2.1)

Вычислим первые элементы последовательности {N1 образованной по формуле (2), где (х1+х2)=а, XlX2=-d, (ХГХ2)=Ь

Н1=(Х11-Х21)/(Х1-Х2)=1, N1=1 (6)

N2=(Xl2-X22/(Xl-X2)=(Xl-X2)(Xl+X2)/(Xl-X2)=Xl+X2=a, N2=a (7)

Докажем, что из формулы (3) можно получить формулу (2). Если NП=aNП-1+dNП-2, где а=(х1+х2), (^)=(х^2), тогда Н2=(Х1+Х2)Н1 Нз=(Х1+Х2)Н2-Х1Х2Н1

подставим N в N3, получим ^=х12+х1х2+х22 Подставим N2 и N3 в N4, получим N4=x13+x12x2+x1x22+x23 Предположим, что КП=(х1П-1+х1П-2х2+х1П-3х22+...+х12х2П-3+х1х2П-2+х2П-1), a

Нп-1=(Х1П-2+Х1П-3Х2+Х1П-4Х22+.. .+Х12Х2П-4+Х1Х2П-3+Х2П-2), тогда

Nп+l=aNп+dNп-l,

Нп+1=(Х1+Х2)(Х1П-1+Х1П-2Х2+Х1П-3Х22+...+Х12Х2П-3+Х1Х2П-2+Х2П-1)-Х1Х2 X х(х1П-2+Х1П-3Х2+Х1П-4Х22+.. .+Х12Х2П-4+Х1Х2П-3+Х2П-2)=(Х1П+Х1П-1Х2+Х1П-2Х22+...+ +Х12Х2П-2+Х1Х2П-1+Х2П)

Значит ^=(х1п-1+х1п-2х2+х1п-3Х22+...+х12х2п-3+х1х2п-2+х2п-1)

(Х1п-Х2п)/(Х1-Х2)=(Х1п-1+Х1п-2Х2+Х1п-3Х22+.. .+Х12Х2п-3+Х1Х2п-2+Х2п-1) тогда Кп=(Х1п-Х2п)/(Х1-Х2)

Следовательно из формулы (3) можно получить формулу (2). Докажем, что из формулы (3) можно получить квадратное уравнение (4). Пусть элементы последовательности связаны формулой Кп+1=аЫп+^п-1, поделим это отношение на N Кп+1/Мп=а+ёКп-1/Мп Найдем предел Limn-><x>Nn+l/Nn Ытп->даКп+1=Ь1тп->даа+Ытп->даёКп-1/Мп

Дополним, как влияют знаки коэффициентов приведенного квадратного уравнения на знаки и относительную величину корней этого уравнения.

Абсолютная величина действительных корней |х1|, |х2| приведенного квадратного уравнения (4) изменяется, если изменится знак коэффициента d, так как корни квадратного уравнения вычисляются по формуле: х1х2=а/2+^ [(а/2)2+d], и не меняются, при изменении знака коэффициента а.

Числовая последовательность образованная квадратным уравнением (4) имеет общее решение по формуле (2) то есть зависит от значений х1 х2 и от знака коэффициента d. Следователь- но, в зависимости от знака этого коэффициента можно получить две последовательности, если для обоих случаев дискриминант приведенного квадратного уравнения больше нуля. Эти последовательности в свою очередь могут быть различны, но с одинаковыми по абсолютной величине элементами и зависит это от знака коэффициента а.

При а>1, последовательность будет монотонно возрастающая,

ограниченная снизу, для N>1

Если (а, Ь)>0, то (а+Ь)>(а-Ь), х1>х2, тогда (а+Ь)п-(а-Ь)п>0 для формулы (2.1) при любой п-ной степени элементы последовательности {N^>0.

При а<-1, последовательность будет неограниченная, знакопеременная

Если а<0, Ь>0, |(b-a)|<|(b+a)|, |х1|<|х2|, (Ь-a)>-(Ь+a)

Значит при четной степени элементы последовательности {Кп}<0, а при нечетной степени элементы последовательности {Кп}>0.

При а>0 Х1>Х2, тогда Limn-><x>(xl/x2)п=<, Ытп-><х>(х2/х1)п=0 При а<0 |х1 |<|х2|, тогда Limп->®(xl/x2)п=0, Ышп->®(х2/х1)п=<

Если Нп=(Х1П-Х2ПУ(Х1-Х2), то Кп+1=(Х1П+1-Х2П+1)/(Х1-Х2) Нп+1/Нп=(Х1П+1-Х2П+1)(Х1-Х2)/(Х1П-Х2П)(Х1-Х2)=(Х1П+1-Х2П+1)/(Х1П-Х2П)= =Х1П+1/(Х1П-Х2П)-Х2П+1/(Х1П-Х2П)

Произведем алгебраическое преобразование. Разделим знаменатель и делитель первой дроби на (х1п), а второй на (х2П).

Нп+1/Нп=(Х1П+1/Х1П)/[(Х1П/Х1П)-(Х2П/Х1П)]-(Х2П+1/Х2П)/[(Х1П/Х2П)-(Х2П/Х2П)]=

=Х1/[ 1 -(Х2П/Х1П)]-Х2/[(Х1П/Х2П)-1 ] Ь1Шп->»Нп+1/Нп=Ь1Шп->»Х1/[ЫШп->» 1 -ЫШп-

><(Х2П/Х1П)]-

-Ь1Шп->®Х2/[ЫШп->®(Х1П/Х2П)-ЫШп->» 1]

При а>0, ЫШп->®Нп+1/Нп=Х1/(1-0)-Х2/(<-1)=Х1 1_!тп-><х>Мп+1/Мп=Х1, При а <0 ЫШп->®Нп+1/Нп=Х1/(1-<)-Х2/(0-1)=Х2 итп-ххНп+^п^ Значит Ышп->®Нп+1/Нп=|х| (8)

где число х-корень квадратного уравнения (4), имеющий наибольшее абсолютное значение.

Если LimП-><NП+1/NП=x, то LimП-><NП/NП+1=1/x тогда LiШп->®Nп+l/Nп=LiШп->®a+LiШп->®dNп-l/Nп x=a+d/x или х2=ах+d

Значит из формулы (3) можно получить уравнение (4).

Используя зависимость между элементами монотонной, ограниченной последовательности {Кп}, можно классифицировать эту последовательность. Основная последовательность

Если элементы последовательности {Кп} связаны формулой (3) Nп=aNп-l+dNп-2, п>1

а элементы последовательности можно вычислить по формуле (2) или (2.1), а так же существует характерная зависимость между элементами последовательности {Нп}

^п-^н^+аны2 (9)

Нп-аНп+а=Нп2+ёп-аНа2 (10)

где d-коэффициент квадратного уравнения (4) то такую последовательность можно считать основной. Числа Фибоначчи.

Для них уравнение (4): х2=х+1, а=1, Ь=^5

Если в формулу (2.1) подставить значения коэффициентов а и Ь, то получим формулу Бине, Бернулли.

Нп=[(1+^5)п-(1-^5)п]/2п^5 Боковые числа.

Для них уравнение (4): х2=2х+1, а=2, Ь=^8.

Если в формулу (2.1) подставить значения коэффициентов а и Ь, то после сокращения получим.

Нп=[(1+^2)п-(1-^2)п]/2^2

Совершенные числа.

Для них уравнение (4): х2=6х-8, а=6, Ь=2.

Проверим формулу совершенного числа: ^=2п-1 ( 2п-1), где (2п-1) простое число. Если в формулу (2.1) подставить значения а и Ь, то после сокращения получим.

Нп=[(6+2)п-(6-2)п]/2п+1=2п-1 (2п-1)

Числа Мерсенна.

Для них уравнение (4): х2=3х-2, а=3, Ь=1

Проверим формулу этих чисел: ^=2п-1, где (2п-1) простое число. Если в формулу (2.1) подставим значение коэффициентов а и Ь, то после сокращения получим.

N=[(3+1 )п-(3-1)п]/2п=2п-1 Обратные последовательности.

У основной последовательности {Кп} существует только одна обратная последовательность {Мп}.

Обратная последовательность {Мп}, при d^0 образуется по формуле: Мп=(х1п+Х2п)/(Х1+Х2) для a2+4d>0 (11) Mn=aMn-l+dMn-2 для a2+4d>0 (12)

Запишем формулу (11) через коэффициенты а и Ь, где Ь-дискриминант квадратного уравнения (4), b2=a2+4d, тогда Х1=^+Ь)/2, Х2=(a-Ь)/2, Mп=[(a+Ь)П+(a-Ь)П]/2Пa (11.1)

Вычислим первые элементы последовательности {Мп} образованной по формуле (11), где (Х1+Х2)=^ Х1Х2=^, (Х1-Х2)=Ь Ml=(Хl1+Х21)/(Хl+Х2)=1, Ml=1 (13)

M2=(x22+x22)/(xl+x2)=[(xl+x2)2-2xlx2]/(xl+x2)=a+2d/a, M2=a+2d/a (14)

Есть зависимость между элементами основной и обратной последовательностями:

Nп/Mп=>(xl+Х2)/(Х1-Хз)=a/Ь, где Ь^2+44 при п->< (15)

Если подставить значения коэффициентов а и Ь от уравнения (4) х2=х+1 (числа Фибоначчи) в формулу (11.1) для обратной последовательности {Мп}, то получим формулу для ряда обратных чисел Фибоначчи.

Mп=[(1+V5)П+(1-V5)П]/2П (16) Обратная последовательность (Мп) чисел Фибоначчи (1, 3, 4, 7, 11,...)

Если подставить значения коэффициентов а и Ь от уравнения (4) х2=2х+1 (боковые числа) в формулу (11.1), то после сокращения получим формулу для диагональных чисел.

Mп=[(1+V2)П+(1-V2)П]/2 (17)

Если подставить значения коэффициентов а и Ь от уравнения (4) х2=6х-8 (совершенные числа) в формулу (11.1) то после сокращения получим формулу обратных от совершенных чисел. Mn=[2П-1 (2П+1)]/3 (18)

Обратная последовательность {Мп} совершенных чисел (1, 10/3, 12, 136/3, 176,

... )

Если подставить значения коэффициентов а и Ь от уравнения (4) х2=3х-2 (числа Мерсенна) в формулу (11.1), то после сокращения получим формулу обратных от чисел Мерсенна.

Мп=(2п+1)/3 (19)

Обратная последовательность {Мп} чисел Мерсенна (1, 5/3, 3, 17/3, 11,...) Обобщенные последовательности.

У основной последовательности существует бесконечное число

обобщенных последовательностей {Кп}, к ним относятся Пифагоровы, фигурные, Люка числа и другие, которые формируются в зависимости от начальных элементов, то есть рекуррентным способом.

Строгая зависимость между основной и обратной {Мп}

последовательностями образованные квадратным уравнением (4) является решением диофантовых уравнений второй степени.

"... Обратимся теперь к диофантовым уравнениям второй степени с двумя неизвестными

а1х2+а2ху+а3у2+а4х+а5у+а6=0... ... Остается рассмотреть уравнение х2-ау2=Ь (5)

при целом Ь и натуральном а, не являющимся квадратом... в этом уравнение числа а и Ь натуральные... для его решения надо обратиться к следующему частному уравнению

х2-ау2=1 (6)

Как показал Л. Эйлер, если (х1, у1) наименьшее натуральное решение уравнения (6), то числа

Хп=[(х1+у1^а)п+(х1-у1^а)п]/2 Уп=[(х1+у1^а)п-(х1-у1^а)п]/2^а

удовлетворяют уравнению (6) при любом натуральном п...

50

... Лагранж показал, что цепная дробь для квадратичной иррациональности всегда периодическая: ^=40^1^2,..^^, ...)

В 1769 году он нашел способ получения наименьшего натурального решения уравнения (7),

х2-3у2=1 (7)

Если длина периода S-четное число, то обращаются к дроби (Р8-1)/(08-1)=[до^1^2,... 48^1,... 08... ] В этом случае пара (Р8-1, 08-1) является наименьшим натуральным решением уравнения (6)

Приведем теперь все натуральные решения (хп, уп) этого уравнения... х2-2у2=1

Хп= [(^2+1)2п+(^2-1)2п]/2 уп= [(^2+1)2п-(^2-1)2п]/2^2

Как видим, числа хп являются диагональными, а числа уп-боковыми, причем в соответствующих последовательностях они имеют четные номера." [1]

В данном случае, если взять для боковых и диагональных чисел уравнение (4) х2=2х+1, где Х1=(1+^2), Х2=(1-^2),

для боковых чисел (основная последовательность) формула (2.1)

Нп=[(1+^2)П-(1-^2)П]/2^2

диагональных чисел (обратная последовательность) формула (11.1) Мп=[(1+^2)П+(1-^2)П]/2

Если в приведенных формулах заменить числа 1 на (х1), а 2 на (у12а), то получим решение уравнения Пелля (Ферма).

Квадратное уравнение х2=ах+d имеющее действительные корни и d^0, образует {Нп} основную и {Мп} обратную последовательности. (аМп)2-(ЬН0^П (20)

при d>0 для любого числа п, при d<0 для четного числа п (ЬNП)2-(aMП)2=4dП при d<0 для нечетного числа п. (21)

Заменим (аМп^^^2) на (хп), a (ЬNп/2|d|n/2) на (уп), то получим уравнение при d>0, для любого числа п, при d<0 для четного п:

х2-у2=1 (22)

для нечетного числа п: у2-х2=1 (23)

где (хп, уп) корни этих уравнений. Хп=[(а+Ь)п+(а-Ь)п]/2п+1|ё|п/2 (24) уп=[(а+Ь)п-(а-Ь)п]/2п-1|ё|п/2 (25)

Так как (а+Ь)(а-Ь)=^, то корни (хп, уп) можно выразить Хп= [(а+Ь)п+(а-Ь)п]/2п+1|(а+Ь)(а-Ь)|п/2 (24.1) уп= [(а+Ь)п-(а-Ь)п]/2п+1|(а+Ь)(а-Ь)|п/2 (25.1)

Если за хп взять аМп(в/4р|ё|)п/2, а за уп взять Ь^ (в/4д|ё|)п/2, где s,p,q-натуральные числа; то при d>0, для любого числа п, при d<0 для четного числа п: рх2^у2=Б (26) ду2-рх2=Б (27)

для нечетного числа п, где (хп, уп) корни этих уравнений.

Хп=(Б/р)1/2 [(а+Ь)п+(а-Ь)п]/2п+1|ё|п/2 (28)

уп=(в^)1/2 [(а+Ь)п-(а-Ь)п]/2п+1|ё|п/2 (29)

Точно так же корни (хп, уп) можно выразить

Хп= (Б/р)1/2[(а+Ь)п+(а-Ь)п]/2п+1|(а+Ь)(а-Ь)|п/2 (28.1)

уп= (Б/д)1/2[(а+Ь)п-(а-Ь)]/2п+1|(а+Ь)(а-Ь)|п/2 (29.1)

Список литературы

Шибасов Л. П. " От единицы до бесконечности"-М.: Дрофа, 2005 г.