О выборе коэффициентов для некоторых ес-последовательностей порядка 2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК681.3.055

БАБЕНКО Михаил Григорьевич, аспирант кафедры высшей алгебры и геометрии Ставропольского государственного университета. Автор 8 научных публикаций

О ВЫБОРЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ

ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ЕС-ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ПОРЯДКА 2

В статье предложены алгоритмы нахождения коэффициентов для ^С-последовательностей порядка 2, а также нормированных неприводимых и примитивных многочленов второго порядка в Рр [х\.

Неприводимые и примитивные многочлены, ЕС-поспедоватепьность

Псевдослучайные последовательности используются для генерации секретных ключей шифрования, для вычисления цифровой подписи и для работы многих алгоритмов аутентификации. Одним из инструментов построения генераторов псевдослучайных последовательностей является эллиптическая кривая над конечным полем.

Эллиптическая кривая Е над простым полем , где д > 3 , задается уравнением в форме Вейерштрасса е{рч ): у2 = х3 + Ах + В, где 4А3 + 27 В2 Ф 0 . Пусть порядок | Е(^) | группы Е(^) равен г .

Последовательность Р0,Рх,Р2,... точек Е, удовлетворяющих рекуррентному соотношению:

П-1

р„+к = ^с{Р{+к + О г к = 0,1,2,..., (1)

/ - о

называют ^С-последовательностью порядка п,

п-1

а /(х) = х С1Х - характеристическим

г=о

многочленом над 1.

Для построения генераторов псевдослучайных последовательностей рассмотрим ЕС-последовательности порядка 2, где г = р, с1= р - а, с2= р - Ькр - простое число. Тогда формула (1) примет вид:

рк+г = (Р - а)рк+1 + (Р - Ь)Рк + б» (2)

а характеристический многочлен последовательности (2): /(х) = х2 + ах + Ь над Рр .

Найдем такие коэффициенты аи Ь, при которых последовательность (2) имела бы максимальный период.

О последовательности, заданной формулой (2), известно, что период ^С-последовательно-сти (2) есть делитель периода ее характеристического многочлена (см. [1]). В работе [2] показано, что наибольший период имеет примитивный многочлен над полем Рр .

Найдем примитивные многочлены второй степени, для чего воспользуемся следующей теоремой.

Теорема 1. (см. [2], теорема 3.18 на стр. 117). Нормированный многочлен /(х) е Рр[х] степени т > 1 является примитивным многочленом над полем Рр в том и только в том

случае, если (-1)”/(0) - примитивный эле- хр =-х - a (mod f (х)), значит,

мент поля Рр, и наименьшим натуральным числом для которого степень х‘ переменной X сравнима по модулю /(х) с некоторым элемен-

том поля Fp, является t =

т і

р -1

F.

р >-------

Р -1

Если f (х) - примитивный многочлен над то имеет место сравнение

р ■>

=(_ i)”/ (o)(mod f (х».

Это утверждение также верно, если

deg(/(х)) = 2 и/(х) неприводим в Fp[х]. Докажем это в следующей лемме.

Лемма 2. Если многочлен /(х) = х2 + ах + b неприводим в Fp[х], то

Хр+1 - b = f (0)(mod f (X)).

Доказательство.

Поскольку многочлен f(х) = х2 + ах + b

представляется в виде

2

х + —

2 у

V

а г.

------+ Ъ

4 1

то

V

а

= ~ _ b (mod f (х)). Возведем обе

части сравнения в степень

Р -1

получим

а

X н— 2

\

а , ----b

V 4 у

Р "I 2 —

= -l(mod f (х».

т.к.

V

Л~ U - Z7*

—— о - квадратичный невычет в гр .

Умножая левую и правую часть сравнения

на * + — , получим ^х + -^ х + (mod f (х))

(3). Поскольку Fp - поле характеристики р, то выполняется соотношение (а + Ъ'f = ар + Ър, следовательно,

/

х + -

а

= хр +

ґ \р а і . а

— лгР

= xF + — (mod /(х)), (4)

Из сравнений (3) и (4) следует, что

хр+1 = -х2 - ах = b = f (0) (mod f (х)) •

Лемма доказана.

Следствие. Нормированный неприводимый многочлен /(х) = х2 + ах + b е Fp[х], где а ф 0 и Р ~ простое число Мерсенна, является примитивным многочленом над полем Fp в том и только в том случае, если b - образующий элемент в Fp .

Доказательство.

Если f (х) - примитивный многочлен в

[х], то он является нормированным неприводимым многочленом, а b - образующий элемент в Fp , согласно теореме 1.

Для доказательства обратного утверждения покажем, что ord(х) = т ■ ord(хт ), где т наименьший делитель р + 1, такой, что 2 < т < р +1 и хт <= Fp .

Поскольку х2 = -ах - b, то х2 ^ Fp, следовательно, 2 < т < р +1.

Пусть +1 = mq + г , где 0 < г < т, тогда хр+1 = xm?+r = (хт )9ХГ, т.к. xp+1 G Fp , хт G Fp , ТО Xr G Fp .

Если 0 < г < т, то приходим к противоречию с тем, что т - наименьшая натуральная степень, для которой хт е Fp . Следовательно, г = 0, значит, т - делитель (р +1) .

Тогда (хт)ord(x”) = 1 или (x)"orrf((“^2+i"+c)”> = 1.

Если к < т ■ ord(хт ), то из рассмотренного нами выше следует, что хк ^ 1.

Таким образом, ord(х) = т ■ ord(хт), где 2 < т < р +1 - наименьший делитель р +1, для которого хт g F . Поскольку xp+1 = b , а b

Т~! *

первообразный корень в Fp и р +1 = 2‘, то х2 £ Fp для всех 0 < i < t > иначе 6 являлся бы квадратичным вычетом в Fp, чего не может быть. Следовательно, m = р +1 и ord(х) = = (р +1) • ord(xp+1) = (р +1) • ord(b) = р2 -1, а значит, многочлен f (х) = х2 + ах + b , где а ф 0, является примитивным в Fp [х].

Следствие доказано.

Заметим, что для нахождения примитивных многочленов необходимо уметь находить нормированные неприводимые многочлены второй степени в Рр [х]. Предложим алгоритм нахождения последних.

Алгоритм нахождения нормированных неприводимых многочленов.

Шаг 1. Найдем все квадратичные невычеты в Рр. Для этого возведем числа Р ~ 1

7 -0,1,2,...,—-— в квадрат. Они опишут все

квадратичные вычеты в Рр, исключив все квадратичные вычеты из множества {0,1,2,...,р -1} . Таким образом, получим все квадратичные невычеты в Рр (их будет ровно

Р ~ 1 р ~ 1

—г—) и обозначим их как а., где 1 < г < —--

2 ' 2 и а,- Ф а] при г Ф у .

Шаг 2. Вычислим все многочлены вида Х;г(х) = (х + я)2-а;, где 0 < 5 < р -1,

2 '

Докажем корректность алгоритма.

Из того, что а; - квадратичный невычет в Рр, следует, что многочлен х2 - а,- неприводим над Рр (см. [3]).

В работе [3] доказано, что из неприводимости х2 - а,- многочлена над Рр следует неприводимость ; (х) = (х + я)2 - а; многочлена

над Рр, где р - простое число.

Докажем, что ,■ (х) = (х + я)2 - а; многочлены попарно различны. Для чего покажем, что, если у многочленов ; (х) = (х + я)2 - а; п • (х) = (х + <3)2 - а] я Ф d или г Ф у , то

многочлены ,■ (х) Ф ;] (х) . Рассмотрим два

случая.

Случай 1. Если ^ ф ^ • Поскольку (2, р) = 1, то и 2я Ф 2d, значит, ,■ (х) Ф /а;] (х) для любого I и у.

Случай 2. Если {Ф у, то из доказанного выше нам нужно рассмотреть только такой случай, когда 5 = d. Поскольку г Ф у, то а,- Ф , следовательно, и 52 -а; Ф 52 - а] = d2 - а], значит, (х) Ф >] (х) .

Таким образом,многочлены (х) неприводимы над Рр и попарно различны, их количе-Р -1

ство равно Р —~— и совпадает с количеством

нормированных неприводимых многочленов второй степени (см. [2]), следовательно, они описывают все нормированные неприводимые многочлены второй степени.

Корректность алгоритма доказана.

Предложим алгоритм нахождения коэффициентов последовательности (2) такой, чтобы она имела максимальный период, где р - простое число Мерсенна.

Алгоритм нахождения а и Ь.

Шаг 1. Находим все нормированные неприводимые многочлены второй степени В Рр [х].

Шаг 2. Проверяем, является ли 6 образующим элементом в Рр . Если да, то выводим а и 6, если нет, то повторяем цикл.

В работе рассмотрены ^С-последователь-ности второго порядка и предложены алгоритмы для их построения, такие, чтобы псевдослучайная последовательность имела бы максимальный период, равный р2 -1. Если р -большое простое число, то и р2 -1 - тоже большое число. Это позволяет строить псевдослучайные последовательности большого периода, удовлетворяющие одному из основных предъявляемых к ним критериев - длине периода.

Список литературы

1. Gong G., Lam С. Linear Recursive Sequences over Elliptic Curves II Sequences and their Applications. L., 2002. P. 182-196.

2. Лидл P., Нидеррайтер Г. Конечные поля: пер. с англ.: в 2 т. Т. 1. М., 1988.

3. Михелович Ш. X. Теория чисел: учеб. пособие. М., 1962.

Babenko Mikhail

ON THE CHOICE OF COEFFICIENTS FOR SOME ORDER 2 £C-SEQUENCES

The algorithms of finding the factors for 2 order &-sequences as well as normal irreducible and primitive second order polynomials in & are suggested in the article

Контактная информация: e-mail\ [email protected]

Рецензент - Андреев П.Д., кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой алгебры и геометрии Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова