ОБРАЗУЮЩИЕ И СООТНОШЕНИЯ В ОБОБЩЕННЫХ m-ТРЕУГОЛЬНЫХ ГРУППАХ НАД АССОЦИАТИВНЫМ КОЛЬЦОМ. I Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОБРАЗУЮЩИЕ И СООТНОШЕНИЯ В ОБОБЩЕННЫХ т-ТРЕУГОЛЬНЫХ ГРУППАХ НАД АССОЦИАТИВНЫМ КОЛЬЦОМ. I

Ж.С. Сатаров1, д-р физ.-мат. наук, профессор Э.А. Мамазиаева2, канд. физ.-мат. наук, доцент Ж.И. Мамбетов1, канд. физ.-мат. наук, доцент 1Ошский технологический университет им. М. Адышева 2Ошский государственный университет (Кыргызстан, г. Ош)

Б01:10.24412/2500-1000-2023-12-4-129-135

Аннотация. Вопрос представления линейных групп (и связанных с ними конструкций) образующими элементами и определяющими соотношениями всегда представлял интерес в общей комбинаторной теории групп. В названном направлении на сегодня уже накопилось большое количество журнальных и книжных материалов. Возникли также новые методы исследования. Одним из них является универсальный комбинаторный метод трансформации, суть которого заключается в преобразовании слов выбранного порождающего алфавита изучаемой группы к их стандартным формам. В работе дается описание через образующие и определяющие соотношения обобщенных т-треугольных групп Т°пт (К), п > 2, заданных над произвольным ненулевым ассоциативным кольцом. Опираясь

на этот результат, находятся комбинаторные описания также проективных факторов РТ°пт (К) названных групп. В основу решения названных задач положен упомянутый метод трансформации.

Ключевые слова: образующие, соотношения, квазиумножение, квазигруппа, обобщенная т-треугольная группа, стандартные формы, трансформация букв, полнота соотношений, проективный фактор.

Представление линейных (и близких к ним) групп в терминах образующих и соотношений составляет один из главных вопросов комбинаторной теории групп. Этот раздел уже давно вырос в специальное направление в общей теории и в настоящее время испытывает бурное развитие. В рамках названной тематики можно отметить замечательные (и уже ставшие классическими) результаты [1-4]. Предлагаемая работа также посвящена к названному разделу, а точнее здесь мы дадим комбинаторное описание обобщенных т-треугольных групп степени п > 2 над произвольным ассоциативным кольцом К .

Всюду ниже К считается произвольным ненулевым ассоциативным кольцом, для которого существование 1 не обязательно. Через о , как всегда, мы обозначаем квазиумножение в К, т.е. х о у = х + ху + у для элементов х,уеЯ .

Элемент х из К называется квазиобратимым, если для него X о у = 0 = у о х при некотором у е К . По квазиобратимому х его квазиобратное всегда определяется однозначно, и оно обозначается как у = х1. Совокупность всех квазиобратимых элементов К ° из К непуста (например 0е К °) и она образует группу относительно операции о . Единицей в К ° послужит элемент 0. Эту группу мы назовем квазигруппой кольца К .

Положив в частном случае вместо К кольцо (верхних) треугольных матриц Т (К) , мы приходим к понятию обобщенной треугольной группы \Тп (К)]° = ТО (К)

степени п над кольцом К . Для натурального т, 1 < т < п, по аналогии с [5]

(см.стр.24) обозначим через Т0т (К) множество матриц из ТО (К) с т-1 нулевыми диагоналями выше главной, т.е.

К* (R) = = X ) e T°n (R) - o < j - i < m ^ xtj = 0} .

Покажем, что введенные множества образуют подгруппы в Т°т (Я). Для этого нам достаточно проверить замкнутость Тпт (Я) относительно матричного квазиумножения и операции взятия квазиобратного элемента. Пусть наряду с указанной

выше х = (хг>.) взята из Т°т (Я) еще одна матрица у = (уг>.) . Как легко видеть, для позиций (г, ^, 0 < j - г < т, квазипроизведения этих матриц имеют место формулы

(x ° y) j = xj + £ x,kyk] + y,j = £ x,kyk]

Поскольку

при

k ^ i

0 < j - г < т & г < к < j ^ 0 < к - г < т, первые сомножители х1к, г < к < j, последней суммы будут равны нулю. При же к = г мы имеем ук = 0. Таким образом,

равенства (х о у) = 0 верны для всех указанных выше позиций (г, ^, т.е. замкнутость в Т° (Я) имеет место.

п,т V /

Чтобы продолжить рассуждения и далее, нам необходимы и следующие обо-

значения: для ве Я° йг (в) -матрица из Т°° (Я), отличающаяся от нулевой матрицы лишь позицией (г, , где стоит элемент в; аналогичным образом ^ (Л), г ф j , будет означать матрицу (также из Т° (Я)), полученную от нулевой матрицы заменой ее позиции (г, ^ на аргумент Л е Я (они

называются квазитрансвекциями). Для введенных матриц очевидны формулы

d/(s) = dl(S ), tj(Л) = tj(-Л).

О

Пусть теперь х-произвольная матрица из Т°т (Я) . Из равенства (/ настоящей работы (см.п.1) следует, что

х' = /' о ... о /7 о й'(£ ) о ... о а'Лв )

./1 J п-т п^-п'

/ - некоторые слова, составленные из квазипроизведения трансвекций вида ¡¡к (Л)). Применение к правой части последнего равенства соотношений ( ) приведет нас к представлению матрицы Xх, состоящему из квазипроизведения (конечного числа) диагональных букв йк (в) и ква-зитрансвекций ? (*). А это, согласно уже установленной выше замкнутости, означает принадлежность в Т ° (Я) не только х, но и квазиобратной ей матрицы Xх. Итак,

групповое включение Т°т (Я) < Т° (Я)

нами полностью установлено.

Введенную группу Т°т (Я) мы и назовем обобщенной т-треугольной группой степени п > 2 над кольцом Я. Как отмечено выше, нашей основной целью в этой части работы является задание в терминах образующих и соотношений треугольных групп Т°т (Я) т = 1,2,...,п . Она проводится совершенно одинаково для всех указанных значений т. Введенные группы в Т ° ( Я) образуют убывающую цепочку

T°° (R) = TO (R) > T° (R) > ... > T°°n(R) = D°(R)

(где £„0(Я) ~ Я0 х... х Я0 - диагональ в

п раз

ТО (Я)). Аналогичное серийное описание

было проведено ранее и в работе [6] для подгрупп полной линейной группы ОЬп (Л), п > 2, над локальным кольцом Л

(при небольших ограничениях на Л), содержащих группу диагональных матриц (Л). По замыслу наша работа является

близкой также к работе [7], где было изучено комбинаторное строение треугольной группы любого (даже бесконечного) порядка.

Нетрудно видеть, что в случае наличия 1 в Я отображение

Т „(Я) ^ Т0т(Я), е + х ^ х

п,т V У п,т V

(е-единичная матрица порядка п), задает изоморфизм групп. Поэтому введенные выше группы Т0т (Я) являются обобщениями обычных да-треугольных групп (соответственно) на самые общие случаи ассоциативных колец Я. При решении поставленной задачи мы вновь применяем метод трансформации, развитый еще в работах [9] и [10].

1. Стандартные формы в Т0т (Я)

Они определяются относительно какой-то порождающей системы названной группы. В качестве таковой мы возьмем систему

dt (е), ее Ro, 1 < k < n; t (Л), Ле R, j-i > m.

(g)

Тот факт, что группа Т0т (Я) порождается алфавитом (§), напрямую следует из теоремы 1 настоящей работы. Под формами ступени г здесь мы понимаем слова вида / = П ^ (^) (где умножение - ква-

зиумножение и порядок следования сомножителей несущественен). В качестве же стандартных форм здесь объявляются всевозможные комбинации алфавита (§) вида

x = d, (е ) ° ... ° d (е ) о f ° ... о f

1V 1/ n\ n/ J n-m J1

(sf)

(где при m=n выражению f„_m °...°f

придается смысл 0).

Относительно введенных форм имеет место

Теорема 1. Всякая матрица х из T0m (R),

n > 2, представляется в стандартном виде (sf), причем такое представление единственно.

Доказательство. Единственность. Пусть fi = ti,m+i (Лт+i) °... ° tm (Лп ) • Поскольку здесь

d2 (е2 ) ° - ° dn (en ) ° fn-m ° - ° f2 имеет кле-

точно-диагональный вид

diag (0, x1), d1 (е1) ° f1 имеет одинаковую с х первую строку, т.е. xn,0,...,0, x^,..., Хщ.

Приравнивание соответствующих позиций здесь дает нам

е1 = x11,^m+1 = е1 x1,m+1 + x1,m+1,..., Лп = е1 x1n + x1n,

т.е. £х и / матрицей х определяются однозначно. Переходя теперь от х к матрице

^е^ ° х о // = ^С^) °... ° (£п) °/п-т °... ° /2 мы аналогичным образом заключаем единственность е2 и /2 и т.д. Описанный процесс на (п-да)-м шаге приводит нас к заключению об единственности еп_т и

/п-т . А далее равенства

8к = хкк, п - т < к < п, имеют место уже

очевидным образом.

Что касается части существования теоремы, то она является прямым следствием теоремы 3 настоящей работы. Поэтому и ее мы здесь можем опустить. Случай т=п также можно включить в эту теорему, если считать, что там /и_т °...°/ = 0. 2. Определяющие соотношения

В алфавите (§) можно написать следующие (проверяемые напрямую) соотноше-

1.й (в) о (а) = (в

2. йг(в) о йк (а) = йк (а) о йг (еХ г ф к;

3. ¡к(Л) о ¡к (а) = ¡к (1 + а);

4. ¡к (Л) о ¡„ (а) = ¡г] (Л) о ¡л (а), к Ф г, г Ф Л;

5. ¡к (Л) о ¡к} (а) = ¡1} (Ла) о (а) о ¡.к (Л);

6. ¡гк (Л) о й (е) = й (е) о ¡к (Л + е'Л);

7. ¡к (Л) о йк (е) = йк (е) о ¡к (Л + Ле);

8. ¡к (Л) о йг (е) = йг (е) о ¡к (Л); г ф Г, к.

Нашей ближайшей целью является показать полноту системы соотношений 1-8 для группы Т°т (Я) в порождающих

Для этой цели вводим на множестве всех слов алфавита (§) (бинарные) отношения

/ I

1 <г< п - т, положив Ж ^V тогда и толька тогда, когда слова Ж и V связаны соотношением Ж = X о V, где

Х-некоторое слово, не содержащее ненулевые квазитрансвекции вида ¡¿. (*), к < г.

Как легко проверить, введенные отноше-

I

ния ^ являются рефлексивными и транзитивными.

Далее нам понадобится и следующая Теорема 2 (о трансформации букв). Пусть / - некоторая форма ступени г и х -

ния группы Tn°m (R) :

ненулевая буква алфавита (§), для которой при х = ^ (Л) считается выполненным

условие р >г. Тогда для них применяя соотношения 3-8 можно выполнить преоб-

I

разование V = / о х ^ gi, где gi - также

некоторая форма ступени г.

Доказательство является комбинаторным и проводится в два этапа. Ниже мы для упрощения записей под fi (ф г) условимся понимать форму /г , не содержащую букву вида ¡гг (*), * ф 0 .

Этап I. х = йк (е)

Здесь мы применяя соотношения 6-8, будем иметь

V = f (ф п) о [¡.п (Л) о йк (е)] = [f (ф п) о йк (е)] о ¡.и (Л). Продолжая это перемещение йк (е) и далее, мы к требуемому виду приходим так

V = й, (е) о ¡.. (*. ) о... о Г (* ) ^ ¡.. (*. ) о... о ¡. (* ) = е .

к V / г,г+т V г+т' г п V п' г.г+т V г+т ' гп^ п' & г

Этап II. х = ¡г/ (Л).

Здесь наше рассмотрение разветвляется следующим образом.

а) г=г. Применяя соотношения 4 и 3, здесь мы требуемую форму получаем так

V = f , (ф л) о [¡л (*) о ¡ j (Л)] = [Л , (ф j) о ¡ j (* + Л)] = е.

в) г>г. В этом случае мы используя соотношения 4 и 5, будем иметь

V = fl (Ф г ) о [¡г (*) о ¡л (Л)] = [fl (Ф г ) о ¡л (Л)] о ¡л (а) о ¡г г (*) = ¡л (*) о fl (ф г) о ¡л , (*) о ¡ ^ (*) ^ .

[Л (Ф Г) о ¡л (*)] о ¡,г (*) .

Полученное слово применением к выделенному отрезку уже разобранного пункта а)

I

приводит нас к требуемому виду как V ^ Л (ф г) о ¡г> (*) = е.. Теорема 2 доказана.

3. Представление группы Т°т (Я)

У нас теперь все готово, чтобы сформулировать основное утверждение о представлении названной группы.

Теорема 3. Обобщенная да-треугольная группа Т°т (Я), п > 2 (1 < т < п), над ассоциативным кольцом Я Ф {0} в образующих (§■) представляется соотношениями 1-8.

где /1-некоторая форма ступени 1 и Х-соответствующее ей дополнение. Пусть далее, X = х ° Х1 т.е. х-первая буква дополнения Х. Применяя трансформационную теорему 2 (т.е. при помощи соотношений 3-8), заданное слово приводим к

1

виду Ж = [/ ° х] ° X ^° X, т.е. получаем запись того же вида (0), но уже с укороченным дополнением Х. Продолжая это сокращение и далее (до тех пор, пока не

исчерпается все Х), мы приходим к записи

1

вида Ж ^ / (где уже /1 -другая форма ступени 1). Последнее согласно определе-

1

нию ^ означает, что Ж = У1 ° /1, где (уже левое) дополнение У1 не содержит квази-трансвекции ^ ■(*), * ф 0 . Теперь мы аналогичным образом поступая с 71, вытягиваем из него форму /2 (ступени 2), т.е. имеем Ж = У2 ° /2 ° /1, где дополнение 72 не содержит квазитрансвекции вида Ьк (*), * Ф 0, / < 2, и т.д. Описанный процесс отщеплений форм на (п-да)-м шаге приводит нас к записи

Ж = У ° / °...° ° /,

п-т ^ п-т ^2 ./1'

п-т

где уже слово Уп-т (по определению ^ ) не содержит трансвекции вида Ьк (*), * Ф 0, / < п - т, т.е. оно состоит

сплошь из диагональных букв алфавита (£). Применением к нему соотношений 1 и 2, теперь оно приводится к виду ^ (е ) ° .. ° ^(еп) очевидным образом, т.е.

заданное слово приведено к его стандартному виду £(Ж).

Доказательство состоит из двух частей.

I. Приведение к стандартному виду.

В этой части мы покажем приводимость любого слова Ж алфавита (§) к его стандартному виду S(Ж при помощи соотношений 1-8. Без потери общности заданное слово можно считать представленным в виде

W4f ° X, (0)

II. Полнота соотношений 1-8.

Пусть теперь Ж=0-произвольное соотношение группы Т°т (Я) (в образующих

^)). Записав левую часть в ее стандартном виде (при помощи соотношений 1 -8), заменим его с ^(Ж)=0. Но по теореме 1 последнее возможно только при нулевых буквах формы £(Ж). А это уже означает выводимость заданного соотношения Ж=0 из 1-8. Теорема 3 доказана полностью.

Как мы отметили выше, при т=п считается /и_т °...°/ = 0, т.е. в этом случае как трансвекции из (§), так и (связанные с нами) соотношения 3-8, исчезают из нашего поля рассмотрения. Другими словами (§■) заменяется с подалфавитом

dt (е), ее Я°, 1 < I < п,

а соотношения же 1-8 с 1,2, и здесь теорема 3 просто-попросту превращается в диковское задание диагональной подгруппы В0(Я) .

4.Задание проективного фактора

РТ° (Я).

п,т V /

Опираясь на (основную) теорему 3, в этом пункте мы дадим комбинаторное представление фактора группы Т ° (Я) по

ее центру С = сеШТ°т (Я) . А для этого нам

сначала нужно вычислить этот центр, а точнее найти какую-нибудь порождающую С систему слов Ж алфавита (§). Тогда рассматриваемый фактор будет представ-

лен как Тп°т (Я) = {(# )||1 - 8& Ж = 0

(см.[11], стр.77).

В случае, когда т=п, изучаемая группа Т°т (Я) превращается в (классическую)

диагональную группу О0 (Я) . Задание ее

проективного фактора не представляет труда и оно не интересно.

Случаи же т<п в Т°т (Я) требуют дополнительного исследования. Пусть

х = (хг>.) - произвольная матрица из центра

С. Взяв также произвольно (диагональную) матрицу (г), ге Я°, 1 < к < п, мы имеем

Лк (г) ° х = х ° Лк (е).

Последнее очевидным образом приведет нас к е ° хкк = хкк ° г, т.е. к включению

хкк е centRo.

(е)

Рассмотрим в х ее "угловые" позиции хц (т.е. позиции, для которых г < п - т и у >г + т ). Для этих элементов мы имеем и равенства

г 1} (Л) ° х = х ° г 1} (Л)

(^-произвольный элемент из Я). Сравнение в последнем позиций < г, г >, < ], у >, < ], г > приведет нас к

ЛхИ = 0 = х. А и

V Ч

x„ Л = Ax,

(s)

Таким образом, в центральной матрице х все ее угловые элементы хг> обязаны

входить в аннулятор АппЯ, а диагональные же ее элементы (помимо включений (е)) должны удовлетворять еще и требованиям "скалярности" (я). Теперь же проверка того, что матрица х, удовлетворяющая всем перечисленным выше условиям, будет центральной в Т°т (Я), уже не представляет труда. Стало очевидным также, что центр С порождается квазитрансвекциями ги (5), 5 е АппЯ (г < п - т, у >г + т, и

всеми "скалярными" словами

Л1(г1) ° ■■■ ° Лп (гп ) .

Подытаживая эти факты, мы здесь можем сформулировать следующий результат.

Теорема 4. Проективная обобщенная m-треугольная группа

РТ°°т(Я), п > 2 (1 < т < п), над ассоциативным кольцом Я Ф {°} в образующих (§)

представляется соотношениями 1-8, угловыми соотношениями гг> (5) = 0, 5 е АппЯ (г < п - т, у > г + т), и

еще следующими соотношениями

скалярными

dl{sl) о ... о dn {sn ) = 0

(sk е centRo ).

Библиографический список

1. Green S.M. Generators and relations for the special linear group over a division ring // Proc. Amer. Math. Soc. 62, 1977, №2. P. 229-232.

2. Носков Г.А. Порождающие элементы и определяющие соотношения симплектиче-ских групп над некоторыми кольцами // Мат. заметки. 1974. Т. 16. №2. С. 237-240.

3. Романовский Н.С. Образующие и определяющие соотношения полной линейной группы над локальным кольцом // Сиб. мат. ж. 1971. Т.XII. №4. С. 922-925.

4. Янь Ши-цзянь. Определяющие соотношения n-мерной модулярной группы // Бейцзин шифань дасаюэ кэсюэ луньвень сюанцзи. 1959. окт. С. 48-70.

5. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. - М. Наука, 1982. 288 с.

6. Сатаров Ж.С. Определяющие соотношения подгрупп полной линейной группы, содержащих группу диагональных матриц // Изв. вузов. Математика. 1991. №1. С. 47-53.

7. Сатаров Ж.С. Образующие элементы и определяющие соотношения в линейных группах // Автореферат дисс.... докт. физ.-мат. наук. Красноярск, 1998. 31 с.

8. Сатаров Ж.С. Определяющие соотношения в элементарной треугольной группе над кольцами // Мат. заметки. 1986. Т.39. №6. С. 785-790.

9. Сатаров Ж.С. Образующие и определяющие соотношения обобщенной полной линейной группы над полулокальными кольцами без единицы. I // Изв. вузов. Математика. 2006. №10. С. 59-67.

10. Сатаров Ж.С. Образующие и определяющие соотношения обобщенной полной линейной группы над полулокальными кольцами без единицы II // Изв. вузов. Математика. 2006. №11. С. 33-41.

11. Магнус В., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп. - М. Наука, 1974. 450 с.

GENERATORS AND RELATIONS IN GENERALIZED m-TRIANGULAR GROUPS

OVER AN ASSOCIATIVE RING. I

Zh.S. Satarov 1, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor,

E.A. Mamaziaeva2, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor

Zh.I. Mambetov1, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor

1Osh Technological University named after M. Adyshev

2Osh State University

(Kyrgyzstan, Osh)

Abstract. The question of representing linear groups (and related constructions) by forming elements and defining relations has always been of interest in the general combinatorial theory of groups. A large number of magazine and book materials have already accumulated in this direction. New research methods have also emerged. One of them is a universal combinatorial transformation method, the essence of which is to transform the words of the selected generating alphabet of the studied group to their standard forms. The paper describes the generative and defining relations of generalized m-triangular groups defined over an arbitrary nonzero associative ring. Based on this result, combinatorial descriptions of the projective factors of these groups are also found. The mentioned transformation method is used as the basis for solving these tasks.

Keywords: generators, relations, quasi-multiplication, quasi-group, generalized m-triangular group, standard forms, transformation of letters, completeness of relations, projective factor.