CC BY
0
ОБРАЗУЮЩИЕ И СООТНОШЕНИЯ В ОБОБЩЕННЫХ m-ТРЕУГОЛЬНЫХ ГРУППАХ НАД АССОЦИАТИВНЫМ
КОЛЬЦОМ. II
Ж.С. Сатаров1, д-р физ.-мат. наук, профессор Э.А. Мамазиаева2, канд. физ.-мат. наук, доцент Ж.И. Мамбетов1, канд. физ.-мат. наук, доцент 1Ошский технологический университет им. М. Адышева 2Ошский государственный университет (Кыргызстан, г. Ош)
DOI:10.24412/2500-1000-2023-12-4-136-141
Аннотация. Эта работа продолжает исследования, начатые в ее первой части, где с позиции образующих и соотношений были изучены обобщенные т-треугольные группы T°m (R), n > 2, (1 < m < n), над произвольным ассоциативным кольцом R. Названные образующие и соотношения выявлялись там единообразно для всех значений т. Там же было найдено также комбинаторное описание проективных факторов PT°m (R) названных
групп. В комбинаторной теории вызывают интерес описания не только каких-то классических подгрупп полной линейной группы, но и их естественных частей. В этой части работы аналогичным образом выявляются образующие и определяющие соотношения обобщенной элементарной треугольной группы ET°m (R) и ее проективного фактора
PET°m (R) (n > 2, 1 < m < n) также над произвольным ассоциативным кольцом R.
Ключевые слова: коммутатор, коммутант, алфавит, стандартные формы, образующие, соотношения, трансформационные преобразования, полнота соотношений, центр.
В этой работе мы продолжаем исследо- ни n над кольцом R (отвечающей т-ой вания, начатые в ее первой части. Поэтому диагонали). Нашей целью в этой части ра-сохраняя все определения и обозначения боты является представление групп как раньше, и здесь мы R считаем произ- ET°m (R), n > 2, (1 < m < n), в терминах вольным ассоциативным ненулевым коль-
образующих и соотношений. Наше пред-
цом. Примем дополнительно еще следую-
ставление производится совершенно оди-щие обозначения: для номеров , л
, , , ^ наково (т.е. серийно) для всех указанных
г, k, 1 < г < k < n, и аргумента
значений т и также использует метод se RO dik (s) = dt (s) о dk (s ); [ ^ y] = x ° y ° x трансформации, развитый еще в работах -коммутатор элементов [1-5]. Несмотря на кажущуюся близость,
x,y e RO, [RO,RO ]- коммутант группы рассматриваемая здесь группаET°m (R) RO, т.е. подгруппа в RO, порожденная имеет существенные различия от ее пред-всеми ее коммутаторами (он образует
в шественниц Tn,m (R).
RO, нормальную подгруппу); 1. Стандартные формы в ET^m (R)
ETOm ( R) = (dik (s), se RO, 1 < i < k < n; tik (À), À e R кп < i + показывают разложения
rto rj,o тл d ([s,ct]) = d[,(& ° s) °d(s) ° d(ст) и
ETnm(R)-подгруппа в Tnm(R), по- 1U ' v 1kV ' 1kW 1ky '
т е. ЕТП,т (К) -п0дгруппа в Т°т
/ ё, (\е! ,ст!]) = ё[,(е ост)о(е)о(ст), 1 < к < п,
рожденная всеми указанными там (эле- ки ' 1кД ; 1kV
ментарными) матрицами. Эту группу одинарные матрицы (т), 1 < у < п, с ар-
ЕТП,т(К) мы и назовем °б°бщенн°й эле- гументами те \К0,К0] являются некото-ментарной да-треугольной группой степе-
рыми элементами из ET°m (R) . Для представления группы ET°m (R) мы изберем не
порождающую ее систему, а более симметричный алфавит
dlk (е), ее Ro, 1 < i < k < n; dq (a), ae [Ro, Ro ], 1 < q < n; tif (А), А e R, m < i + m < j < n.
(Eg)
И в этой части мы используем стандартные формы элементов из ЕТ°т (R) . Формы ступени г и здесь мы определим как £ = ^ ^ (Ак ), где к пробегает множе-
ство { + т,...,п} (в произвольном порядке). В качестве же стандартных форм мы здесь объявляем всевозможные комбинации алфавита (Eg) вида
d (е ) °... ° d , (е ,) о d (е) ° f °... о f,
1/ n-1,n\ n-1 / nV / J n-m
(sf)
Относительно введенных форм имеет место
Теорема 1. Всякая матрица х из ЕТ°т (К), п > 2, (1 < т < п), представляется в стандартном виде (¿Д причем единственным образом.
Доказательство этой теоремы проводится без существенных изменений как в соответствующей теореме из первой части. Его мы воспроизводить здесь не будем.
1. а к (8) = (8) О акп (81) к < Щ
2. (а) = йЧп О ап 1 < Ч < п;
3. йп(а) о йп(е) = йпО О в);
Чтобы придерживаться единообразия в рассуждениях, и здесь мы при т=п в (¿£) будем считать £п-т о ... о £ = 0.
2. Система определяющих соотношений
Напишем в алфавите (Eg) следующие (легко проверяемые) соотношения группы
ЕТ„°т (К):
4. dm (е) ° dm (a) = din (е °a) ° dn ([е7, a7 ]);
5- dkn(е) ° dn (a) = dn (a) ° dkn(е) ° dn([е ,a ]), k > 6. dn(a) ° din(е) = din(е) ° dn (S °a ° e');
7. tm (А) ° dn (е) = dn (е) ° tin (А + Ае);
8. tik (А) ° dn (е) = dn (е) ° tik (А), k < n;
9- tik (А) ° dkn (е) = dkn (е) ° tlk (А + Ае);
10. tik (А) ° dm (е) = dm (е) ° tlk (е'А + А), k < n;
11. tin (А) ° dn (е) = dm (е) ° tm (А + Ае1 +е'(А + Ае1));
12. tn(А) ° drn (е) = drn (е) ° tm(А + Ае');
13. tik(А) °drn(е) = drn(е) ° tik (А1 k < n r *i, k;
14. tkk (А) ° tk (a) = tk (А + а);
15. tik (А) ° tkj (a) = tj (Аа) ° tk] (a) ° tlk (А);
16. tik (А) ° tj (a) = tj (a) ° tik (А1 i * j,k * r.
Чтобы продолжить дальнейшие рассуждения, вводим на множестве всех
слов алфавита (Eg) отношения
1 < 1 < п - т, положив W тогда и только тогда, когда слова W и V связаны между собой соотношением W = XV, где слово Х не содержит ненулевые транс-векции Ч](*), к < 1. Эти отношения
являются рефлексивными и
транзитивными.
И здесь верна вспомогательная (трансформационная справа)
Теорема2. Пусть /-некоторая форма ступени г (1 < 1 < п - т) и х-ненулевая буква алфавита (Eg), для которой при
X = (х)
считается
выполненным
неравенство р > 1 . Тогда для них применяя соотношения 7-16 можно
выполнить преобразования V = £х^gi,
где gi-'также некоторая (уже другая!) форма ступени г.
Доказательство является комбинаторным и различает следующие случаи. I. х-диагональная буква Здесь мы применяя соотношения 7-13, 16 (и понимая под £ (ф г) форму без букв ¿гг (X), X Ф 0), будем иметь
V = £(Ф Г) О [^ (*) о х] = [£1 (Ф Г) О х] О г1г (*г ).
Продолжая это перемещение х и далее, мы к требуемой форме приходим так
1
V = (х О gl)^gl.
В этом случае
i
V = £ ° x ^ gx проводится использовани-
ем соотношений 14-16 как в теореме 2 из первой части. Эти повторяющиеся подробности здесь мы также опускаем.
II. х = (X)
преобразование 3. Левые трансформационные преоб-
разования
Этот пункт также является вспомогательным. Здесь нам нужен диагональный подалфавит
dft (е), ее Ro, 1 < i < k < n, dt (a), ae [Ro, Ro ], 1 < j < n.
(Ed)
алфавита (ЕФ). Вводим на множестве всех слов этого алфавита отношения
1 1
1 < 1 < п - т, положив V тогда и только тогда, когда эти слова связаны соотношением V=WY, где слово У не содержит ненулевые буквы вида
й^(е) (е Ф 0), к < ¡. Эти отношения также
рефлексивны и транзитивны. Ниже нам нужна и следующая Теорема 3 (о трансформации слева). Используя соотношения 1 -6 всякое слово V алфавита (ЕФ) можно записать в виде
d1n (е)>
d , (е ,) ° d (е).
n-1,n\ n-1 / n\ /
(d)
Доказательство. Без потери общности рассматриваемое слово можно считать представленным в виде V = У о й1п (*).
Применяя к части У соотношения 1 и 2, V можно считать состоящим только из букв вида й1п (е) и йп (ст). Пусть теперь
У = У о у т.е. ^-последняя буква в У. Применяя соотношения 4-6, далее мы будем иметь V = у о [у о йХп (*)]^У о йХп (е),
т.е. этой операцией мы добились сокращения длины У. Продолжая эти сокращения и
1
далее, мы приходим к записи V ^ й1п (е1).
1
Это по определению отношения ^ означает, что V = йы е ) о Х1, где Х-некоторое слово алфавита (ЕФ), не содержащее ненулевые буквы вида аи(*) (* Ф 0). Аналогичным образом отщепляя из Х букву
ё2п (е2), мы будем иметь
V = йые о й2п(е2) о Xгде Х1 не содержит буквы вида (*), * Ф 0, г < 2, и т.д.
Описанный процесс отщеплений на (п-1)-м шагом приводит нас к разложению
V = ё1п (е1) о ••• о ёп-1,п (еп-1 ) о Х п-2 , где остаток Хп-2 не содержит буквы вида
„(*), * Ф 0, к < п, т.е. состоит сплошь из
одинарных букв йп (*)• Применением соотношений 3 теперь последнее приводится к виду йп (е) очевидным образом. Теорема доказана.
4. Комбинаторное задание группы
ЕТп0т (К)
Основной результат работы сформулируется как
Теорема 4. Обобщенная элементарная да-треугольная группа
ЕТ°т (Я), п > 2, (1 < т < п), над ассоциативным кольцом Я Ф {0} в образующих
(Е$) задается соотношениями 1-16.
Доказательство и здесь разбивается на две части.
I. Приведение к стандартному виду В этом пункте мы покажем, что применяя соотношения 1-16, всякое слово Ж алфавита (Ed) можно преобразовать к его стандартному виду s(W). Как и в теореме 3, считая Ж составленным только из букв ^ (Л), (е), (ст) и повторяя с небольшими изменениями рассуждения теоремы 4 из первой части работы (т.е. соотношениями 1, 2 и 7-16), слово Ж можно записать в виде
W = D о f о ... о f о f,
J n-m J 2 J 1 '
где О-некоторое слово подалфавита (Еф. Применяя теперь к О только что доказанную теорему 3 (т.е. соотношения 1 -6), приводим его к виду
V = ё1п (е1) о •• о ёп-1,п (еп-1 ) о ёп (е)• Таким
образом, равенство Ж=$(Ж) из соотношений 1 -16 действительно может быть извлечено.
II. Полнота соотношений. Пусть теперь Ж=0-произвольное соотношение группы ЕТ°т (Я) в порождающих (Еф. Применяя к его левой части результат п. I, заменим последнее с s(W)=0. Но по теореме 1 последнее возможно только при нулевых буквах слова s(W). А это уже означает выводимость соотноше-
ния Ж=0 из 1-16. Теорема 4 доказана полностью.
5. Описание проективного фактора
РЕКт (Я)
Отправляясь от основной теоремы 4, мы здесь приводим комбинаторное задание фактора РЕТ°т(Я) = ЕТ°т(Я)/С элементарной группы ЕТ (Я) по ее центру С = centET°m(Я)• Случай т=п и здесь является тривиальным и для нас никакого интереса не представляет.
Считая всюду ниже да<п, рассмотрим в ЕТ (Я) произвольную центральную
матрицу х=(ху) (т.е. матрицу из С). Взяв произвольно и матрицу
(е), ее Я0, 1 < г < п, имеем равенство
ё,п (е) о х = х о (е
Последнее дает нам, что
е о хи = хн о е, 1 < г < п, (/)
и е о хпп = хпп о е (^ е о хпп = хпп о е), т.е. равенство (/) верно при всех /=1,2,.. ,,п. Таким образом, включения
xkk е centRo, k = 1,2,...,n, имеют место и здесь. Далее, включения x е AnnR и равенства
хЯ = Ях,
(s)
(г < п - т, у > I + т) верны и показываются они как в первой части работы.
Таким образом, в центральной матрице х все ее угловые позиции хц обязаны попасть в аннулятор ЛппЯ, а диагональные же ее элементы, наряду с (е) должны удовлетворять также и условиям "скалярности" (я). А то, что матрица х = (хгу), удовлетворяющая всем
перечисленным выше требованиям, попадет в центр С, теперь уже проверяется непосредственно. Взяв в качестве порождающих слов центра С
квазитрансвекции ^ (5), 5 е ЛппЯ (< г, у >
-угловые позиции) и "скалярные" слова ^ (&!) о... о ^(еп), мы можем здесь
сформулировать следующий результат.
Теорема5. Проективная обобщенная т-треугольная группа
РЕТ°т (Я), п > 2, (1 < т < п), над ненулевым ассоциативным кольцом Я в образующих (Е$) представляется соотношениями 1-16, угловыми соотношениями ^ (5) = 0, 5 е ЛппЯ (г < п - т, у > г + т), и
еще "скалярными" соотношениями
di(Si) о ... о dn (sn) = О
(здесь sk е centRo). Monn(R), PMonn(R), n > 2, над ассоциа-
В заключение отметим, что аналогич- тивным кольцом R ранее были решены в ные вопросы для мономиальных групп работах [6] и [7].
Библиографический список
1. Сатаров Ж.С. Образующие элементы и определяющие соотношения в линейных группах: автореф. дисс. ... д-ра физ.-мат. наук. Красноярск, 1998. 31 с.
2. Сатаров Ж.С. Определяющие соотношения подгрупп полной линейной группы, содержащих группу диагональных матриц // Изв. вузов. Математика. 1991. №1. С. 47-53.
3. Сатаров.Ж.С. Определяющие соотношения в элементарной треугольной группе над кольцами // Мат. заметки. 1986. Т. 39. №6. С. 785-790.
4. Сатаров Ж.С. Образующие и определяющие соотношения обобщенной полной линейной группы над полулокальными кольцами без единицы. I // Изв. вузов. Математика. 2006. №10. С. 59-67.
5. Сатаров Ж.С. Образующие и определяющие соотношения обобщенной полной линейной группы над полулокальными кольцами без единицы. II // Изв. вузов. Математика. 2006. №11. С. 33-41.
6. Сатаров Ж.С., Мамазиаева Э.А., Мамбетов Ж.И., Суйунбек кызы А. Порождающие и соотношения в мономиальных группах над ассоциативным кольцом (часть 1) // Бюллетень науки и практики. 2023. Т.9. №6. С. 15-22. - URL: https://doi.org/10.33619/2414-2948/91/01.
7. Сатаров Ж.С., Мамазиаева Э.А., Мамбетов Ж.И., Суйунбек кызы А. Порождающие и соотношения в мономиальных группах над ассоциативным кольцом (часть 2) // Бюллетень науки и практики. 2023. Т. 9. №6. С. 23-31.
URL: https://doi.org/10.33619/2414-2948/91/02.
GENERATORS AND RELATIONS IN GENERALIZED m-TRIANGULAR GROUPS
OVER AN ASSOCIATIVE RING. I
Zh.S. Satarov 1, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor,
E.A. Mamaziaeva2, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor
Zh.I. Mambetov1, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor
1Osh Technological University named after M. Adyshev
2Osh State University
(Kyrgyzstan, Osh)
Abstract. This work continues the research started in its first part, where generalized m-triangular groups over an arbitrary associative ring R were studied from the position of generators and relations. The named generators and ratios were identified there uniformly for all values of m. A combinatorial description of the projective factors of these groups was also found there. In combinatorial theory, descriptions of not only some classical subgroups of a complete linear group, but also their natural parts, are of interest. In this part of the work, the generative and defining relations of a generalized elementary triangular group and its projective factor are similarly identified over an arbitrary associative ring R.
Keywords: commutator, commutator, alphabet, standard forms, generators, relations, transformational transformations, completeness of relations, center.
