CC BY
21
На рис. 7 приведены отработанные варианты редукторов, с возможностью оптимизации выбора конструктивных решений для эпициклического коэффициентов смещения. планетарного редуктора.
б
Рис. 7. Варианты эпициклического планетарного редуктора с одним (а) и двумя сателлитами (б)
Рис. 8. Эксцентриковый трехсателлитный планетарный редуктор, полученный с применением САПР (а), и реально, изготовленная конструкция (б)
На рис. 8, а приведена модель эксцентрикового трехсателлитного планетарного редуктора, полученная с применением САПР, а на рис. 8, б -реальная конструкция.
В результате проделанной работы разработаны алгоритмы и теория проектирования различных конструкций эксцентриковых планетарных
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК
1. Синенко Е.Г., Конищева О.В., Сенькин В.И. Некоторые элементы геометрического расчета эксцентричных зубчатых дифференциалов. Сб. Машиностроение. - Красноярск: ИПК СФУ, 2008. - 196 с.
а
УДК 62.752 Елисеев Сергей Викторович,
д. т. н., профессор, директор НОЦ СТСАМ, тел.: 8-902-5-665-129
Трофимов Андрей Нарьевич, директор Инженерного центра УпрНИР ИрГУПС, тел.: 89148824111
Савченко Андрей Александрович,
аспирант ИрГУПС, тел.:89643514583
ОБРАТНЫЕ СВЯЗИ В ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКОГО ГАШЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ
S.V. Eliseev, A.N. Trofimov, A.A. Savchenko
FEED-BACK CONTROL TIES IN THEORY OF DYNAMICAL ABSORBTION OF OSCILLATIONS
Аннотация. Рассмотрены вопросы теоретического обоснования введения обратных связей в математических моделях механических колебательных систем. Такие связи могут быть реализованы с помощью обобщенных пружин. Приведен ряд примеров реализации обратных связей.
Ключевые слова: обратные связи, управление движением механических систем, обобщенные пружины.
Abstract. Questions of theoretical basis of introduction of feed-back control ties in mathematical models of mechanical systems are considered. Such
ties may be realized with help of generalized springs. Some examples of realizations of feed-back control ties are discussed.
Keywords: feed-back control ties, movement of mechanical systems control, generalized springs.
I. Введение
Процессы динамического гашения колебаний привлекают внимание исследователей в течение многих лет. В этом направлении известно достаточно большое число работ отечественных и зарубежных ученых [1-4], однако ряд вопросов
до сих пор не получил еще должной степени детализации представлений о системе динамических взаимодействий, обеспечивающих режимы динамического гашения в системах с несколькими гасителями колебаний. Последнее связано не только с различными инициативами по учету нелинейных факторов и сил трения, поиску рациональных соотношений параметров, но и с развитием различных приложений теории обратной связи [5, 6]. Определенным преимуществом в этом направлении обладают мехатронные подходы, в рамках которых механической колебательной системой сопоставляется эквивалентная в динамическом отношении система автоматического управления [7]. Математический аппарат теории управления позволяет расширить границы восприятия процессов динамического гашения колебаний в их связи с выбором соответствующих систем обобщенных координат. Такие подходы представлены в ряде работ [8, 9] и позволяют определиться с вопросами зависимости динамических процессов от конструктивно-технических решений, определяющих особенности объекта защиты и характер требований к взаимозависимости движений по нескольким координатам. В простейших формах такие режимы можно рассматривать как некоторые формы самоорганизации движения.
В предлагаемой статье развивается методологическая основа построения динамических гасителей, состоящих из нескольких элементов, и поиска режимов движения, зависящих от выбора систем координат.
II. Общие положения. Постановка задач исследования
Основные понятия, связанные с проявлениями обратной связи в колебательных механических системах, рассмотрены в ряде работ авторов [2, 10, 11]. На рис. 1 представлена принципиальная схема связи понятий в концепции обратной связи. Показано, в частности, что обратная связь в системе формируется как процесс, определяемый законами механики, а структурные схемы эквивалентных в динамическом отношении систем автоматического управления являются графической формой отображения математических моделей. Последние же могут быть получены в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Естественно, что в первом приближении задача рассматривается в линейной постановке, однако возможности обобщения подхода обладают достаточной перспективой [12].
Содержание рис. 1 достаточно подробно представлено его фрагментами на позициях рис. 1 , а-е. Детали описания имеются в работе [13].
В отношении полученной системы может быть реализован принцип Даламбера, в соответствии с которым при отбрасывании связи может быть записано условие кинетостатики (рис. 1, г), легко преобразуемое в математическую модель в виде дифференциального уравнения второго порядка (рис. 1, д). Другая форма уравнения может быть представлена в виде структурной схемы некоторой системы автоматического управления
Рис. 1. Принципиальная схема связи понятий в концепции обратной связи
иркутским государственный университет путей сообщения
(рис. 1, е) со всеми необходимыми для такой трактовки связями, то есть структурная схема (рис. 1, е) является эквивалентной математической модели исходного дифференциального уравнения (рис. 1, д). Входной сигнал в системе имеет вид силы Е, выходной сигнал - параметр состояния или координата смещения у , звено с передаточной функцией к реализует обратную отрицательную связь. Можно утверждать, что принцип обратной связи в механических колебательных системах, если иметь в виду их простейшие формы, осуществляется через наличие упругой связи [14, 15].
Отметим также, что структурные представления (рис. 1, е) делают равнозначными силовые и кинематические внешние воздействия, так как они прикладываются в одной и той же точке А, что послужило развитию представлений об обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции. Структурная схема на рис. 2, е может быть названа базовой схемой механических колебательных систем, в том понимании, что более сложные системы могут быть построены путем усложнения базовой системы (если вводятся дополнительные связи) или путем соединения базовых моделей между собой (так можно получить системы с несколькими степенями свободы). Для описания свя-
зи между выходными и входными величинами используются передаточные функции. На рис. 1, ж показаны, соответственно, ^ (р) — передаточная функция «смещение объекта массой т — смещение основания 1» и (р) — «смещение объекта массой т — внешняя сила Е ».
Рассмотрим движение простейшей механической колебательной системы (рис. 2, а), состоящей из двух элементов массами т и т2 . Эти элементы соединены упругой связью в виде пружины с жесткостью к . Опуская промежуточные выкладки по составлению математической модели, построим структурную схему эквивалентной в динамическом отношении системы автоматического управления. В точке А (рис. 2, б) приложена внешняя сила Е ; у и у2 — координаты смещения масс.
Отметим, что система состоит из двух парциальных систем I и II, обозначенных соответствующими контурами на рис. 2, б. Математическая модель системы приведена на рис. 2 (позиция 2, в) и представляет собой систему двух дифференциальных уравнений 2-го порядка. На позиции рис. 2, г приведены передаточные функции W (р) и W (Р), которые позволяют найти частоту соб-
т-
в)
ту + ку1 — ку2 = Е; т2 У 2 + кУ 2 — кУ\ =
б )
Е
К 1
к т. А т2р 2
г)
1
\ 3 — ий закон Ньютона
г 1
т2р2
II
Колебательноедвижение тх,т2 реализуетсяотносительнонекоторогодвижения / (существуетциклическаякоординатадвижениясистемы)
У 2
р) = у2= Р к к
(т, р 2 + к)(т2 р 2 + к) — к 2 р 2 [тт2 р 2 + к(т] + тг) ;
р)=у- г т2р2 + к . „2 к(т1 + т2). пл ; юсоб = ; (1) т:т2 = ; (2) т2
р2 |т,тр2 + к(т, + т2)
Парциальная система II реализует режим динамического гашения и выступает в качестве дополнительной по отношению к объекту защиты т, обратной связи
Рис. 2. Общая схема динамического взаимодействия в двухмассовой системе
I
ственных колебаний (выражение - (1)) и частоту динамического гашения (выражение - (2)). В свободном движении (имеется в виду отсутствие упругой связи с условно неподвижной системой координат) система имеет циклическую координату, а также колебательный процесс (поз. рис. 2, д) с собственной частотой (1) и режимом динамического гашения (2). Важным для дальнейшего рассмотрения является то обстоятельство, что парциальные системы I и II имеют перекрестные связи, представленные на структурной схеме (рис. 2, б) двумя каналами взаимодействия с передаточными функциями звена усиления к . Такие перекрестные связи называются упругими; они отражают динамическое взаимодействие двух парциальных систем (можно понимать и как динамическое взаимодействие двух элементов с массами щ и щ ), что соответствует проявлениям действия 3-го закона Ньютона. Можно рассматривать эту ситуацию и с других позиций, полагая, что введение упругой силы, содержащей динамическое взаимодействие в системе между двумя элементами щ
и щ, предопределяет некоторую «симметрию» в структуре системы: перекрестные связи отражают принцип «действие равно противодействию». Обобщая вышеприведенное, можно полагать, что при введении в систему некоторой связи (в том числе и дополнительной), которая создает силу, необходимо принимать во внимание некоторые физические реалии. Последнее означает, что «по минимуму» сила должна иметь две точки закрепления между выбранными элементами. В физическом смысле, такой подход не вызывает вопросов о действии 3-го закона Ньютона. При учете таких особенностей на структурной схеме действие 3-го закона отражается в обязательном проявлении симметрии перекрестных связей. В связи с упомянутым, существенным образом могут измениться представления о введении в механические колебательные системы управляемых или активных связей. Их введение должно сопровождаться обязательным учетом особенностей физических форм реализации силовых воздействий с определением конкретных мест размещения исполнительного механизма сервопривода.
Структурная схема (рис. 2, б) позволяет путем формальных преобразований построить структурную модель, отражающую такой вид динамического взаимодействия, как динамическое гашение колебаний при действии внешней возмущающей периодической гармонической силы Е . Отметим, что режим динамического гашения при расчетной схеме, представленной на рис. 2, а, соответствует введению в структурной схеме
(рис. 2, б) положительной обратной связи. В целом, общая схема (рис. 2, а-е) динамических взаимодействий в системе свободного движения двух соединенных упругой связью к масс щ и щ дает представление о формировании связей и их функциональном назначении.
Как характерную особенность рассматриваемого случая можно было бы отметить, что выбор объекта защиты, например переход от элемента с массой щ к элементу с массой щ , приводит к изменению параметров режима динамического гашения.
Таким образом, режим динамического гашения в системах с несколькими степенями свободы зависит от выбора объекта защиты и особенностей внешнего гармонического возмущения, которое, в частности, может быть и результатом суммирования нескольких возмущающих факторов.
III. О свойствах передаточной функции
Структурный подход, развиваемый автором, предопределяет широкое использование передаточной функции в качестве внешней динамической характеристики механических колебательных систем и виброзащитных систем в частности. В работах [7, 12] рассмотрены возможности частотных методов.
Передаточная функция механической колебательной системы может быть построена непосредственно из расчетной схемы системы с использованием представлений о парциальных системах и перекрестных связей, которые могут иметь вид упругих, инерционных и инерционно-упругих, если используется традиционный набор типовых элементарных звеньев. По существу, такой набор состоит из базового инерционного элемента и двух соединительных звеньев: упругого элемента (пружина) и диссипативного элемента (дифференцирующее звено первого порядка). Передаточная функция диссипативного звена имеет вид Ж(р) = Ьр, где Ь — коэффициент вязкого трения. Расширенный набор элементов виброзащитной системы предполагает дополнительное использование к двум известным (пружина, демпфер) еще нескольких элементарных звеньев с передаточными функциями звена двойного диффе-
(ж (р) = Ьр2 ),
ренцирования
звена одинарного
интегрирования
Ж (р) = -
(
тегрирования
ж (р)=4 р
о
р У
Л
и звена двойного ин-
На рис. 3 показана
структура расширенного набора звеньев механических колебательных систем. Таким образом,
Рис. 3. Структура набора типовых элементарных звеньев механической колебательной системы
набор из пяти соединительных элементов определяет одно общее свойство - элементарное звено в наборе типовых элементов на входе имеет смещение, а на выходе - усилие [7, 12].
Набор из пяти элементарных звеньев можно назвать набором звеньев 1 -го уровня. Используя правила параллельного и последовательного соединения элементарных звеньев 1 -го уровня, можно построить, комбинируя элементы, звенья 2-го уровня, как показано на рис. 4. В таких звеньях
передаточная функция звена 2-го уровня может быть уже достаточно сложной. Что касается элементарных звеньев 1 -го уровня, то они, в отличие от звеньев 2-го уровня, не могут быть разложены на более простые. В этом плане имеется также и отличие по сравнению с набором типовых элементарных звеньев в теории автоматического управления [7].
Введение понятия о расширенном наборе элементарных типовых звеньев механических ко-
лебательных систем, в частности виброзащитных, позволяет изменять структуры базовых моделей с любым числом степеней свободы: при этом происходит формирование дополнительных обратных связей в виде механических цепей той или иной сложности. В такой интерпретации дополнительная обратная связь может рассматриваться как обобщенная пружина и иметь передаточную функцию в виде дробно-рационального выражения. Что касается физической формы дополнительной связи, то она может быть представлена не только механическими цепями [7], но и различными механизмами и устройствами. На рис. 5 приведены некоторые примеры реализации дополнительных обратных связей, которые имеют передаточную функцию элементарного звена и дифференцирующего звена 2-го порядка, реализуемого в нескольких конструктивных вариантах. В соответствии с известными в теории автоматического управления принципами можно рассматривать различные варианты реализации управления, которые соответствуют принципам управления по абсолютному, относительному отклонению, а также по возмущению (рис. 5).
Важным для последующих исследований представляется принцип формирования передаточных функций при учете особенностей, которые отмечаются в структурах числителя и знаменателя передаточных функций системы. Знание передаточной функции системы в первую очередь используется для оценки параметров установивше-
гося режима; таковым является реакция на внешнее гармоническое воздействие. Для оценки противоударных свойств виброзащитных систем также используется передаточная функция, через которую могут быть найдены параметры переходного процесса.
Варнанты введенпядополннтельны* обратных соя;ем , которые позволяют реализовать принципы управления:
• по абсолютному отклонению №
ф по относительному отклонению
у
г
Рис. 6. Структурные подходы в динамике виброзащитных систем
При оценке режимов динамического гашения колебаний передаточная функция системы используется с учетом возможностей решения частотных уравнений знаменателя. Такое частотное уравнение называется характеристическим и представляет собой полином «-порядка относительно
Г
Л] У
Л.
&) р.
к, -г ' и^*« ........... .г
г) I
<
/■'. ■л|л/ У ■ |
у '■ ''г
г | ' I .■■ ■.■
и у :
Г "' : >г ■■■
п у л ■'■'■'
£ =
J
у Л V,"
г |... I■■ ■''.
а)
Пкерхшонно-фр! акт юнныи ШМОрИШТфС 'П'&штьш VIIД
е)
\"П Д-усцюпсгао с преовра-нжянми ди мам н
Рис. 5. Варианты реализации элементарного дифференцирующего звена 2-го порядка
г
г
переменной р . Решение характеристического уравнения в аналитическом виде возможно в ограниченных условиях и используется для определения частот собственных колебаний, а также для оценки устойчивости системы. Чаще всего применяют критерии Рауса - Гурвица [7]. Числитель передаточной функции представляет собой частотное уравнение, корни которого соответствуют так называемым нулям. Их наличие позволяет находить частоты динамического гашения колебаний. При наличии в системе сил трения частотное уравнение числителя перестает быть четным относительно квадрата частоты, что деформирует амплитудно-частотные характеристики системы, а сам режим динамического гашения «размывается» в частотной области.
В задачах динамического гашения колебаний введение различных дополнительных связей приводит к различным передаточным функциям, в том числе и с различным соотношением порядков полиномов в числителе и знаменателе, что связано, в частности, с использованием дифференцирующих звеньев второго порядка. В этих случаях порядки числителя и знаменателя передаточной функции могут совпадать. Некоторые детализированные представления о свойствах передаточных функций приведены в работах авторов [16, 17].
При рассмотрении возможных вариантов введения дополнительных связей возможно совпадение частот собственных колебаний и динамического гашения, что исключается, как правило, применением правил предельных переходов.
VI. Заключение
Подводя оценку возможностей развития подходов к построению математических моделей механических колебательных систем с целью изучения возможностей формирования режимов динамического гашения, необходимо отметить, что вид передаточных функций существенным образом зависит от выбора системы обобщенных координат и соответствующих им обобщенных сил. Такое обстоятельство предопределяет необходимость расширения и детализации представлений о процессе динамического гашения колебаний. В этом направлении можно предполагать возможности появления одновременных режимов динамического гашения колебаний по нескольким координатам, а также появление новых видов взаимодействия инерционных сил, возникающих в системе из-за особенностей суммарного действия нескольких силовых факторов, а также из-за того, что обобщенные координаты могут быть представлены в виде комбинации нескольких переменных.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1. Коренев Б.Г. Динамические гасители колебаний. Теория и технические приложения / Б.Г. Коренев, П.М. Резников. - М.: Наука, 1968. -515 с.
2. Елисеев С.В. Динамические гасители колебаний / С.В. Елисеев, Г.П. Нерубенко. - Новосибирск: Наука, 1982. - 214 с.
3. Карамышкин В.В. Динамические гасители колебаний / В.В. Карамышкин. - Л.: Машиностроение, 1988. - 108 с.
4. Harris'C.M. Shock and Vibration Handbook. Fitth edition. C.M. Harris, A.G. Piersol. Mc Graw-Hill. Handbooks. USA. New-York. 2006. - pp. 970.
5. Емельянов С.П., Коровин В.К. Новые типы обратных связей. Управление при неопределенности. - М.: Наука: Физматгиз. 1997. - 352 с.
6. Елисеев С.В. Концепция обратной связи в механике // Сб. научных работ научно-технической конференции «Винеровские чтения». - Иркутск: ИрГТУ. - 2010. - С. 47-58.
7. Елисеев С.В., Резник Ю.Н., Хоменко А.П. Ме-хатронные подходы в динамике механических колебательных систем. - Новосибирск: Наука. 2011. 394 с.
8. Елисеев С.В., Резник Ю.Н. Разработка виброзащитных систем машин с учетом особенностей динамических свойств при наличии дополнительных связей // Разработка, производство и восстановление деталей машин и аппаратов: Сб. научных трудов / А.Ю. Албачачиев и др./ под общей ред. С.Я. Березина. - Чита: ЧитГУ. 2010. - 233 с.
9. Ермошенко Ю.В., Фомина И.В., Трофимов А.Н. Обобщенные динамические связи, их формы и особенности взаимодействия с объектами виброзащиты и виброизоляции // Известия Юго-Западного государственного университета. Вып. 1(34). - Курск: 2011. С. 28-38.
10.Ситов И.С., Упырь Р.Ю. Возможности динамического гашения виброзаглаживающих машин // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. Вып. 1(21). Иркутск: ИрГУПС. 2008. - С. 67-70.
11.Елисеев С.В., Резник Ю.Н., Трофимов А.Н. Задачи динамического гашения колебаний как задачи введения дополнительных обратных связей в управлении состоянием объектов // Труды XVI Всероссийской научной конференции «Информационные и математические технологии в науке и управлении». Т. 2. 2010. ИрГТУ. С. 7-16.
12. Елисеев С.В. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов / С.В. Елисеев, Ю.Н. Резник, А.П.Хоменко, А.А. Засядко. - Иркутск: Изд-во Ирк. гос. ун-та, 2008. - 523 с.
13. Елисеев С.В., Трофимов А.Н., Большаков Р. С., Савченко А.А. Концепция обратной связи в динамике механических систем и динамическое гашение колебаний //techomag.edu.ru: Наука и образование: электронное научно-техническое издание. №5. 2012.
14. URL. http://technomag.edu.ru/doc/378353.html (дата обращения: 10.05.2012).
15. Елисеев С.В. Структурная теория виброзащитных систем. - Новосибирск. Наука. 1978. -238 с.
16.Коловский М.З. Автоматическое управление виброзащитными системами / М.З. Коловский -М.: Наука, 1976. - 320 с.
17.Елисеев С.В., Ермошенко Ю.В., Трофимов А.Н. К вопросу о построении математических моделей виброзащитных систем с динамическими гасителями нетрадиционного типа // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - Вып. 2(30). - Иркутск: ИрГУПС. -2011. С. 71-80.
18.Трофимов А.Н. Об оценке свойств рычажных динамических гасителей // Системы. Методы. Технологии. Вып. 3(11). - Братск: БрГУ. 2011. С.45-50.
УДК 621.822.6-192; 62-233.2 Кулешов Владимир Ильич,
к. т. н., доцент кафедры «Проектирование и экспериментальная механика машин» политехнического института Сибирского федерального университета,
тел. (391) 24-97-071, e-mail: kvi_01_59@mail.ru
ОЦЕНКА БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ ПОДШИПНИКОВ КАЧЕНИЯ
V.I. Kuleshov
ESTIMATION OF ROLLING-ELEMENT BEARING ENSURING
RELIABLE OPERATION
Аннотация. Предлагается методика и программа расчета подшипников качения на повышенный уровень надежности, с оценкой остаточной долговечности.
Ключевые слова: уровень надежности, долговечность, подшипники качения.
Abstract. This paper develops method and software providing calculation of high-reliability rolling-element bearing and the bearing durability.
Keywords: high-reliability, bearing durability, rolling-element bearing.
Анализ результатов обработки статистических данных отказов четырех выборок по 314, 356, 330, 233 пар соответственно подшипников качения № 202, № 207, № 209 и № 7312 позволил предложить общую схему расчетов безотказной работы подшипников качения [1].
Исходными данными для расчета долговечности подшипников качения являются: № - требуемый или предватительно выбранный номер подшипника; P - эквивалентная нагрузка, в Н, учитывающая реальные условия эксплуатации; n - рабочая частота вращения, в об/мин; t -требуемое время эксплуатации подшипникового
узла, в часах; C - значение динамической грузоподъемности, рекомендуемое заводом-изготовителем, в Н; P(L) - требуемый уровень надежности; £0 - принятая предельная относительная ошибка оценки показателя надежности; V - коэффициент вариации как характеристика рассеяния долговечности; L0 - предварительная оценка величины параметра смещения, в млн об., Ь - параметр формы кривой распределения Вейбулла; c - параметр масштаба, в млн об.
Таким образом, кроме рекомендуемого при расчете на надежность отношения эквивалентной нагрузки к динамической грузоподъемности P/С<0,3 [2], необходимо в зависимости от предварительно принятых требований к режиму и времени эксплуатации t установить значения параметра смещения (начало отказов) L0 и определить расчетный срок службы L, которые и обусловят расчет подшипников качения на повышенный уровень надежности (рис. 1).
С учетом приведенного выше алгоритма подбора подшипников качения для инженерной практики можно расмотреть три основных направления оценки долговечности. В то же время необходимо учитывать, что уточнение эксплуата-
