Обратная задача для плотности осадка, выпадающего на подстилающую поверхность от непрерывного точечного источника Текст научной статьи по специальности «Математика»

1), 3) и 4) определяют собой еще один подкласс полиноминально разрешимых интервальных задач покрытия графа звездами.

Литература

1. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. М., 1987.

2. Демченко А.И. // Тр. семинара по интервальной математике. Саратов, 1990. С. 10-16.

3. Kozina G.L., Perepelitsa V.A. // Interval Computations. 1994. № 1. P. 42-50.

4. Perepelitsa V.A, Kozina G.L. // Interval Computations. 1993. № 1. P. 51-59.

5. Еремин И.И. Противоречивые модели оптимального планирования. М., 1988.

6. Kearfott R.B., Kreinovich V. Applications of Interval Computations. Dordrecht; Boston; London, 1996.

7. КристофидесН. Теория графов. Алгоритмический подход. М., 1978.

8. Miettinen K., MakelaM.M. // Math. Meth. Oper. Res. 2001. № 53. P. 233-245.

9. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. М., 1982.

10. Emelichev V.A., Perepelitsa V.A. // Discrete Mathematics and Applications. 1982. Vol. 2. № 5. P. 461-471.

11. Сергиенко И.Л. Математические модели и методы решения задач дискретной оптимизации. Киев, 1988.

12. ЕмеличевВ.А., КравцовМ.К. // Докл. РАН. Математика. 1994. Т. 49. № 1. С. 6-9.

13. Пападимитриу Х., Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация. Алгоритмы и сложность. М., 1984.

14. Сергиенко К.В., Перепелица В.А. // Кибернетика. 1987. № 5. С. 85-93.

Карачаево- Черкесская государственная технологическая академия 23 июня 2006 г.

УДК 519.63

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПЛОТНОСТИ ОСАДКА, ВЫПАДАЮЩЕГО НА ПОДСТИЛАЮЩУЮ ПОВЕРХНОСТЬ ОТ НЕПРЕРЫВНОГО ТОЧЕЧНОГО ИСТОЧНИКА

© 2006 г. Е.А. Семенчин, Е.О. Годяева

One of the cases of inverse problem of impurity source in turbulent atmosphere is studied: to restore the power of continuously functioning impurity source when the sediment density, the dry deposition rate and the concentration of admixture are known.

Рассеяние примеси в атмосфере (при условии ее полного отражения от подстилающей поверхности) может быть описано начально-граничной задачей:

dq dq да д „ да д „ да д „ да — + и — - w— = — Kx — +—Kv — + —Kz— + f, дt дх дz дх дх ду ду дz дz

t е [t0,T], q(0,х,у,z) = q(x,у,z), Kz ^^ = 0, (1)

дz

q(t, x, у, z) ^ 0, x2 + у2 + z2 ^ ж, z > 0, 30

где q(t, x, y, z) - средняя концентрация примеси в атмосфере в момент времени t, t > 0, в точке (x, y, z); Kx, Ky, Kz - коэффициенты турбулентной диффузии соответственно вдоль осей Ox, Оу, Oz; u - средняя скорость ветра вдоль оси Ох; w - скорость гравитационного осаждения частиц примеси; ф (x,y,z) - фоновая концентрация; Vs - скорость сухого осаждения; f описывает источник примеси.

Пусть источник является точечным с координатами (0,0,H) и мощностью Q(t), t е [0, T], Q(t) - непрерывная функция. Тогда f(t, x, y, z) = = Q(t )S( x)S( y)8( z — H).

Средняя концентрация легкой примеси (w = 0) при ограничениях, u = const > 0, Kx = Ky = K0u, K0 = const > 0, Kz = K2zn, K2 = const > 0, 0 < n < 2 рассчитывается по формуле [1]

t +ад +ад

q(t,x,y,z) = Jdr J q1(r,^;t,x)d^ J q2(т,п;t,y)dnx

0 —ад —ад

+ад

X J q3(r,6>;t,z)f{T,%;n,0)de =

—ад

t

= J q1 (т, 0; t, x)q2 (т,0; t, y)q3 (т, H; t, z)Q(r)dr,

0

qi(T,#; t, x) = . 1 exp{—[ x — ^ — U(t -T)]2}, (2)

' ' 2^1 nKx(t — t) 4Kx(t — t) f' V '

1 , (y —n)2 ,

q2 T,n;t,y) = , exp{— " },

^ nKy (t -t) (t -т)

1 —

?3(t,0; t, z) =-- (-) 2

^^ (2 - n)K0(t -т)вп-1 в

2-n

<exp J--j7 i J 2(в)"

(2 — n)2 K0(t — t) J —-ПП L (2 — n)2 K0(t — t)J

Здесь I„(z) - модифицированная функция Бесселя.

Средняя концентрация q тяжелой примеси (w Ф 0) в случае, когда Q(t) -непрерывная функция, u = const > 0, Kx = Ky = K0u, K0 = const > 0,

z

Kz = K2(—), K2 = const, определяется из соотношения [1]

z 1

t +ад +ад

q(t,x,y,z) = JdT J q1(T,£;t,x)J q2(т,п;t,y)dnx

0 —ад —ад

+ад i

X J q3(T,в;t,z)f (T,^;n,0)d0 = J^(т,0;t,x)q2(т,0;t,y)q3(т,H;t,z)Q(T)dT,

—ад 0

где q1 (т, ¿¡, t, x), q2(r,n, t, y), q3 (т, в, t, z) заданы соответственно выражениями q (т, &, x) = . 1 exp{-[X - ^ - U(t - T)]2'

2jnKx (t -т) 4Kx (t -т)

1 , (y-n)2 ,

q2 (т,п; t, y) =—, exp{—-—-—},

2 ^ nKy (t-т) 4Ky (t -т)

Wz, Wz, Wz, Wz, i --- 1+—1 1+—- 1+—1 _

, „ ч (ze) 2K2 zi K2 , zi K2(z +в)„ 2zi K2(ez)2_ qз(т,в; t, z) = K ' 1 -exp{- ' ; 'VwA

К2Ц-т) К2Ц-т) К! к2(/-т)

Плотность осадка Р(/, х, у, z) в точке (х, у, z) за время действия источника t можно найти по формуле [1] _ t

Р а, х, у, z) = | У^( s, х, у, z . (4)

0

В данной работе изучается задача: определить мощность Q(t) от непрерывно действующего точечного источника по заданным плотности

осадка Р^, х, у, z) в момент времени t в точке (х, у) на высоте z*, скорости

сухого осаждения У5, концентрации q(t, х, у, z) = q1(т, t, х) • q2(т, п, t, у) х

xq3(т, в, t, z).

Предполагается, что Р , У определяются по экспериментальным данным, q(t, х, у, z) - из соотношений (2), (3) соответственно для легкой и тяжелой примесей. Данная задача является обратной по отношению к (1), (4), согласно которой по найденному решению q(t, х, у, z) (при заданных коэффициентахф) задачи (1) требуется вычислить Р^, х, у, z).

Для решения поставленной выше обратной задачи воспользуемся соотношением

Р(t, х, у, z) = У5 | ds|q1(т, 0; 5, x)q2 (т, 0; 5, у) q3(т, Н; 5, z)Q(т)dт . (5)

0 0

Требуемое Q(t), т е [0, t], может быть найдено путем решения интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода (5) (при каждом фиксированном (). Задача решения таких уравнений, как правило, является некорректно поставленной. Поэтому для ее численного решения воспользуемся методом регуляризации (по А.Н. Тихонову). Рассмотрим функционал

т т

©) = |\Р - Р3\\2г + а\\Q\\\ = | (Р^) - Р5 ^))2 Л + а|Q2(t^, (6) 2 2 0 0 где а = а(д) - параметр регуляризации; д - величина погрешности. Для любого а > 0 существует единственная функция Qа (т), на которой дости-

гается нижняя грань функционала (6) [2]. При заданной величине погрешности 8 параметр регуляризации а определяется из соотношения [2]

ср(а) = } (^ (т, 0; х)д2 (т, 0; у) д3 (т, Н; (т) - Р5 ())2 Ж = 82.

Пусть Q(t) имеет полиномиальный вид

(7)

Q = S Стг , С = const, i = N.

i=0

Тогда с помощью аналитических преобразований убеждаемся, что задача минимизации (6) сводится к решению системы алгебраических уравнений

(Г + aR)C = U, (8)

где Г = \\гу\\ - матрица Грамма с элементами вида г^ = (Атг,At1 ), А(^) =

t s *

= Jds\q1(z,0;s,x)q2(r,0;s,y)q3(z,H;s,z )(*)dz ; Сг - вектор-столбец неиз-

0 0

вестных; U - вектор с элементами вида (Ах1,Ps); R = \\Гу\\ - матрица с элементами вида (Т, т1); а - параметр регуляризации.

Для численного решения системы (8) разработан алгоритм, реализованный с помощью программного продукта Visual C++.

Пример. Пусть в (2) K0 = K2 = 1, U = 1, H = 1, T = 2. Тогда при заданных значениях q найденные из (2), (6), (8) значения Q(t) с достаточно высокой степенью точности согласуются с экспериментальными значениями Q(t) (рисунок).

4-

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0

Графическое изображение значений реальной (—) и восстановленной (ооо) мощностей

Литература

1. Семенчин Е.А. Аналитические решения краевых задач в математической модели атмосферной диффузии. Ставрополь, 1993.

2. Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач. М., 1994.

Кубанский государственный университет

12 сентября 2006 г.

3

2

1

Т

0