ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МОНОИДА С ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ ПРОСТЫХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИИ СБОРНИК

Том 21. Выпуск 1.

УДК 511.3

DOI 10.22405/2226-8383-2019-21-1-165-185

Обратная задача для моноида с экспоненциальной последовательностью простых1

Н. Н. Добровольский, И. Ю. Реброва, Н. М. Добровольский

Добровольский Николай Николаевич — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет; доцент кафедры алгебры, математического анализа и геометрии, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого, г. Тула. e-mail: nikolai. dobrovolsky@gm,ail. com

Реброва Ирина Юрьевна — кандидат физико-математических наук, доцент, декан факультета математики, физики и информатики, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого, г. Тула. e-mail: [email protected]

Добровольский Николай Михайлович — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры, математического анализа и геометрии, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого, г. Тула. e-mail: dobrovolMtsput.ru

В работе для произвольного моноида М (РЕ) с экспоненциальной последовательностью простых чисел РЕ типа д решается обратная задача, то есть нахождение асимптотики для функции распределения элементов моноида М(РЕ), исходя из асимптотики распределения простых чисел последовательности простых чисел РЕ типа ц.

Для решения этой задачи вводится понятие произвольной экспоненциальной последовательности натуральных чисел типа д и рассматривается моноид, порожденный этой последовательностью. С помощью двух гомоморфизмов таких моноидов задача о распределении плотности сводится к аддитивной задаче Ингама.

Показано, что для этого класса моноидов понятие степенной плотности не работает. Введено новое понятие С логарифмической 0-степенной плотности.

Показано, что любой моноид М (РЕ) для произвольной экспоненциальной последовательности простых РЕ типа д имеет С логарифмическую 0-степенную плотность с

Ключевые слова: дзета-функция Римана, ряд Дирихле, дзета-функция моноида натуральных чисел, эйлерово произведение, экспоненциальная последовательность простых, С логарифмическая 0-степенная плотность.

Библиография: 28 названий. Для цитирования:

Н. Н. Добровольский, И. Ю. Реброва, Н. М. Добровольский. Обратная задача для моноида с экспоненциальной последовательностью простых // Чебышевский сборник. 2020. Т. 21, вып. 1,

Аннотация

С. 165-185.

1 Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта №19-41-710004^р^а.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 21. No. 1.

UDC 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2019-21-1-165-185

Inverse problem for a monoid with an exponential sequence of

2

primes

N. N. Dobrovol'skii, I. Yu. Rebrova, N. M. Dobrovol'skii

Dobrovol'skii Nikolai Nikolaevich — candidate of physical and mathematical sciences, associate Professor of the department of applied mathematics and computer science, Tula State University; associate Professor of the department of algebra, mathematical analysis and geometry, Tula State L. N. Tolstoy Pedagogical University, Tula. e-mail: nikolai. dobrovolsky@gmail. com

Rebrova Irina Yuryevna — candidate of physical and mathematical Sciences, associate professor, dean of the faculty of mathematics, physics and computer science, Tula State L. N. Tolstoy Pedagogical University, Tula. e-mail: [email protected]

Dobrovol'skii Nikolai Mihailovich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of the department of algebra, mathematical analysis and geometry, Tula State L. N. Tolstoy Pedagogical University, Tula. e-mail: [email protected]

Abstract

In this paper, for an arbitrary monoid M(PE) with an exponential sequence of primes PE of type q, the inverse problem is solved, that is, finding the asymptotic for the distribution function of elements of the monoid M(PE), based on the asymptotic distribution of primes of the sequence of primes PE of type q.

To solve this problem, we introduce the concept of an arbitrary exponential sequence of natural numbers of the type q and consider the monoid generated by this sequence. Using two homomorphisms of such monoids, the density distribution problem is reduced to the additive Ingham problem.

It is shown that the concept of power density does not work for this class of monoids. A new concept of C logarithmic 0-power density is introduced.

It is shown that any monoid M (PE) for an arbitrary exponential sequence of primes PE of type q has C logarithmic 0-power density with C = k^J@ = 2-

Keywords: Riemann zeta function, Dirichlet series, zeta function of the monoid of natural numbers, Euler product, exponential sequence of primes, C logarithmic 0-power density.

Bibliography: 28 titles. For citation:

N. N. Dobrovol'skii, I. Yu. Rebrova, N. M. Dobrovol'skii, 2020, "Inverse problem for a monoid with an exponential sequence of Prime numbers" , Chebyshevskii sbornik, vol. 21, no. 1, pp. 165-185.

Посвящается 80-летию академика РАН, профессора Владимира, Петровича Платонова

2 Acknowledgments: The reported study was funded by RFBR, project number 19-41-710004_r_a.

1. Введение

В работе [14] дано следующее определение экспоненциальной последовательности простых чисел.

Определение 1. Пусть q ^ 2 — произвольное натуральное число, тогда бесконечная последовательность простых чисел р1 < р2 <• • • < рп <■ ■ ■ называется экспоненциальной типа q, если выполняются соотношения q ^ р1 < q2, qv <pv < qv+i (v ^ 2).

В силу постулата Бертрана, доказанного П. Л. Чебышёвым (см. [26]), для любого q ^ 2 существует бесконечно много экспоненциальных последовательностей простых чисел типа q.

В работе [14] было дано определение

Определение 2. Для любого множества А натуральных чисел дзета-функция ((Ala) определяется равенством

с (Ala) = ^ -1 (а = а + it,a>aA). (1)

х

хеА

Если множество А конечное, то равенство (1) задает дзета-функцию ((Ala) на всей комплексной a-плоскости. Если множество А бесконечное, то равенство (1) задает дзета-функцию ((Ala) только п ри а > а а, при этом обязательно в точке а = а а будет полюс первого порядка и 0 ^ а а ^ 1, так как это следует из свойств дзета-ряда для дзета-функции ( (а) (см. [24], [26]). Отметим, что при а > и а ряд абсолютно сходится, а при а ^ сто для любо го сто > а а ряд равномерно сходится.

Пусть РЕ = (pi,р2,... ,рп,...} — экспоненциальная последовательность простых чисел типа q и М(РЕ) — моноид натуральных чисел, образованный с помощью РЕ. В работе [14] доказана следующая теорема.

Теорема 1. Для любого q ^ 2 и любой экспоненциальной последовательности простых чисел РЕ = (pi,р2,... ,рп,...} типа q дзета-ряд для дзета-функции ((М(PE))la) абсолютно сходится, для, любого а в полуплоскости а > 0 и равномерно в полуплоскости ст ^ ст0 для, любого ст0 > 0.

В работе [18] была высказана гипотеза о "заградительном ряде" для дзета-функции ((М(PE))la), которая была доказана в работе [17]. Тем самым было установлено, что для этой дзета-функции её область голоморфности совпадает с правой полуплоскостью ст > 0.

В работе [15] доказана теорема о количестве простых элементов в моноиде М(А), не превосходящих ж, которое будем обозначать через жР(М)(х). В общем случае это непростая задача, однако для случая любой экспоненциальной последовательности простых чисел РЕ = (pi,p2,... ,Рп,...} тип a q и моноида М (РЕ) можно дать удовлетворительный ответ.

Теорема 2. Для любого q ^ 2 и любой экспоненциальной последовательности простых чисел РЕ = (pi,p2,... ,рп,...} типа q для количества простых элементов в моноиде М(РЕ); не превосходящих х, справедливо равенство

к РЕ (х) = ^ - 9 РЕ (х), ln q

где 0 < вРЕ(х) = [ £§ - + {тПу} < 2пРи ^ х<

В работе [16] было дано определение ст-последовательности Рст простых чисел.

Определение 3. Последовательность Рст простых чисел называется а-последовательностью, если

= {Р1 <Р2 <...<Рп <...} и найдется Ма такое, что для любого п > выполняются неравенства

па < рп < (п + 1)ст. (2)

Нам потребуется теорема Иигама о простых числах в следующей формулировке (см. [25], стр. 66).

Теорема 3. Существует Х1 > 1 такое, что для л юбого х > Х1 найдется простое число рх, для, которого выполнены, неравенства

X3 < рх < (х + 1)3. (3)

Из этой теоремы сразу следует следующее утверждение.

" з " " "

Пусть а > 3 и Х1,а = Х[, тогда для любого х > Х1,а найдется простое число рх,а, для, которого выполнены, неравенства

Х° < Рх,а < (X + 1)°. (4)

Из следствия из теоремы Ингама следует, что ^-последовательности простых чисел существуют для любого а ^ 3.

Остановимся на вопросе о распределении простых чисел в ^-последовательности Рст простых чисел. Обозначим количество простых чисел в ст-последовательности Рст простых чисел, не превосходящих ж через кра (х). В работе [16] доказана следующая теорема.

Теорема 4. При х > : а для, функции жра (х) справедливы равенства

кра (х) = х ° + в(х), (5)

где -2 < в(х) < -1.

Теоремы 2 и 4 непосредственно связаны с тематикой работ Б. М. Бредихина [2]-[10]. Следуя этим работам, определим функции (ре)(х) и им(рст)(х) с помощью равенств:

VМ(РЕ) (х) = ^ 1, (Р- )(Х) = ^ 1.

пем (РЕ),п^х пем (Рст ),п^х

Целью данной и следующих работ будет решение обратной задачи для функций (ре) (х) и (рст)(х), т. е. нахождение асимптотики для этих функций, зная асимптотики для функций к ре (х) и (х).

2. Вспомогательные леммы

Пусть М — произвольный моноид натуральных чисел с однозначным разложением на простые элементы, Р(М) — множество его простых элементов и функции им (х), жр(м)(х) заданы равенствами

"м (х) = ^ 1, (М )(х) = 1.

пем,п^х дер (М ),д^х

Лемма 1. Справедливо равенство

X

/-ии ^ ^ / ^^ \

т(и)--им { -/:) 1п д. (6)

1 и к'^1 деР (М ),д<х ^ '

Доказательство. Обозначим через Пм(х) произведение всех элементов из моноида М, непревосходящих х:

Пм (х) = Л п,

пем, п<х

тогда, в силу однозначности разложения на простые элементы в моноиде М, получим

Пм (х) = П ^(Х),

дер (М ),д<х

где @м,д(х) — показатель степени, с которым простой элемент д входит в произведение Пм(х). По аналогии с формулой для факториала имеем:

$М,д (Х) = ^ иМ( £

^

Отсюда после логарифмирования получим

Е 1пп = Е Е 1п Ц. (7)

пеМ,п<х деР (М),д<хк'^1 '

Применяя теорему Абеля (см. [26], стр. 106) при М = {1 = Х1 < Х2 <...}, ап = 1, р(х) = 1пх, А(х) = ^х <х ап = им (х) к левой части последнего равенства, получим

х

^ 1пп = им(х)1пх - ! им(^у. (8)

пем,п<х 1

Заменяя левую часть в (8) на правую часть из (7), получим утверждение леммы

X

им (х)1пх = им (и) — + ^ "м I ~к) 1п Я.

1 и дер (М ),д<х ^ '

□

Лемма 2. Пусть д ^ 2 и РЕ = {'р1,'р2,... ,рп,...} — экспоненциальная последователь-

Д(1 - ^ ,(1 - ^-О Н - ¿)) I . О

где х ^ р\> 1.

З3десь и далее, как обычно, ехр(ж) = ех.

Доказательство. Действительно,

-1

П i1 -_exp(ЕЕА)

Ъ ix V \к^1 Pj<х-Р3 J

1

о ' ) ^ ^ ^ ^ к т)к

Pj ^х х ^' \к'^1 Pj ^х "З

Применяя к внутренней сумме по pj теорему Абеля, получим

Е А = + f

крк кхк J tk+1

Pj <х з

Применим теорему 2, получим

у Inf - °РЕ (х) + J ^ - ^ (t) ^

крк кхк J tk+1 '

Pj 1з pi

Отсюда следует, что

ЕЕ А АА - ePE(x))\Ji - i)- + ^\Ji - А- - ^\Ji -1

P^x крк ' V х) 1nQ V Pij 1nQ V х

v Lii--„1 = !min(i-1)-1+

^рк хк; 1 - f Inq V pU 1пдк^к2рк

in) + х) ^ Inq^i1 P1) +lng E к2рк °(рЦ) (х ^^^

где 0 ^ 91 < 2. □

Лемма 3. Пусть q ^ 2 и РЕ = {p 1, p2,...,pn, . . .} — экспоненциальная последователь-

»M(РЕ)(х) <хexp (^ 1n(1 - -1 + ± £ щ- ° (^ -1)) I . СЮ)

к^1

где х ^ р 1 > 1.

Доказательство. Действительно,

„^ п ^ П ( 1 р.)

Отсюда и из леммы 2 следует, что

Е 1 < exp (^1J1 - L)-1+ -L у _L-°(ы(

п \ 1n(i V pj \nqf^k2pk1 \ \

п

neM (PE),nix Pj ix

^ П < exp ( ! - i-1 + -°1n(1 - 1

п \ mo V »J 1nq к2,рк \ \ p1

neM(PE),nix \ 4 y1/ 4 к>1 11 4 4 11

По теореме Абеля

1 _ ( РЕ)(х) + f (PE)(t) ^ ^ п х J t2

neM (PE),nij 1

Следовательно,

им[РЕ){Х) i ^i^i-1) + _L у-о(ь (- 1

, in[i--+ -— > —-г - о in[i--

inq V Pi J In^^i - W \ \ Pi.

□

Мы видим, что в данном случае подход Б. М. Бредихина не работает, так как мы заведомо имеем случай для моноида М(РЕ), когда отсутствует степенная 0-плотность, так как при степенной плотности невозможна асимптотическая формула из теоремы 2. Далее мы будем опираться на аддитивную теорему Ингама, но нам удастся получить только две асимптотические оценки сверху и снизу.

3. О двух гомоморфизмах моноида с экспоненциальной последовательностью простых

Пусть G — произвольная свободная коммутативная мультипликативная полугруппа с нейтральным элементом е и со счетным числом образующих элементов ■ ■ •, ■ ■ ■ множество которох будем обозначать через Q(G).

Рассмотрим произвольный гомоморфизм N(д) полугруппы G в мультипликативный моноид N натуральных чисел, обладающий тем свойством, что в полугруппе G имеется только конечное число элементов д с N(д) ^ х для любого вещественного х. Обозначим через М его образ. Это будет мультипликативный моноид натуральных чисел М = N(G). Вслед за

G

(с(а) = У n^> а = а + iа>ас,

где ас — абсцисса абсолютной сходимости ряда Дирихле для дзета-функции полугруппы G.

В силу мультипликативности гомоморфизма имеет место разложение в эйлерово произведение

~ / i \ 1 (с(а) = ра(а) = П (1 - N^))

в правой полуплоскости а > ас-

М = N( G)

((М|а) = ^ -1, а = а + it, а > ам, пем п

ам М = N( G)

Вообще говоря, (с(а) = ((М|а). Дело в том, что

^с() hcNa^) пем * ,

где N-1(п) = {д G G|N(д) = п} — прообраз натурального числа п при гомоморфизме N(д) полугруппы G в мультипликативный моноид N натуральных чисел, a |N-1(п)| — количество

N( )

G

М = N( G)

Следующее важное обстоятельство связано с тем, что Р(М) — множество простых элементов мультипликативного моноида М, вообще говоря, не совпадает с образом множества образующих элементов полугруппы С Р(М) С N(&(С)).

Напомним, что если через Р(М|а) обозначается эйлерово произведение:

р(ми = П I1 - ^)1'

геР(м) 4 7

тогда для произвольного моноида М натуральных чисел с однозначным разложением на простые элементы справедливо равенство

((М 1а) = Р (М 1а). Таким образом, возможны следующие ситуации:

1 \ - Iм-1(г)1

С(М|а) = Р(М 1а), Р(М 1а) = Рс(а)= П (1 -

геР(м) ^ '

Рассмотрим в качестве С мультипликативный моноид М (РЕ), порожденный экспоненциальной системой простых чисел РЕ типа д, где д^ 2 — любое натуральное число. Определим два гомоморфизма мультипликативного моноида М(РЕ) в мультипликативный моноид N натуральных чисел:

/ п

N1 : М (РЕ) ^ N рГ = д^=1

(за *)

N2 : М(РЕ) ^ N Ц р^ = +1)Р

Обозначим через М1 (д) образ мультипликативного моноида М(РЕ) при гомоморфизме N1, а через М2(д) при гомоморфизме N2■ Непосредственно из определения следует, что

М1(д) = {1, д, д2,...}, М2(д) = {1, д2, д3,...}.

Отсюда сразу следует, что Р(М1(д)) = {д} и Р(М2(д)) = {д2, д3}.

Определим функции им(ре),1.(х) и им(ре),2(х) с помощью равенств:

Vм ( РЕ),1(х) = Е 1 им (РЕ),2(х) = Е 1.

пем (РЕ),М1(п)^х пем (РЕ),М2(п)^х

Лемма 4. Справедливы неравенства:

для любого п € М(РЕ) имеем N(п) ^ п ^ Щ(п),

Vм( РЕ),2(х) ^ Vм(РЕ)(х) ^ Vм(РЕ),1(х).

Доказательство. Пусть п = П™=1 Р^> тогда, так как д^ ^ рjv ^ д^+1, имеем неравен-

Г

ства

^(п) = дЕ"=1 ^п < д£"=1(>+1)р- = ^(п).

Отсюда сразу вытекает двустороннее неравенство для функции Vм(ре)(х)-

Обозначим через Р1(п) количество решений в неотрицательных целых числах Х1, Х2, хг, .. .диофантова уравнения

п = 1 ■ х1 +2 ■ х2 + ... + г ■ хг + ...,

а через Р2(п) количество решений диофантова уравнения

п = 2 ■ х2 + ... + г ■ хг + .

Положим

Р1(х) = У Р1(п), Р2(х) = У Р2(п).

п^х

п^х

Лемма 5. Справедливы равенства

иМ(РЕ),1(х) = Р1 (^ ) , иМ(РЕ),2(х) = Р2 (^ .

Доказательство. Действительно, если М\(п) = дт, то т = ^П=г ЗтРт- Отсюда следует, что количество п € М(РЕ), таких что Х\(п) = дт, в точности равно р\(т). Так как из N1(4) = дт ^ х следует, что т ^ ^> т0 первое равенство доказано. Второе равенство

доказывается аналогично. □

4. Об экспоненциальных последовательностях

Дадим следующее определение.

Определение 4. Пусть д ^ 2 произвольное натуральное число, тогда бесконечная последоват,ельност,ь натуральных чисел д\ < д2 <... < дп <... называется экспоненциальной последовательностью типа д, если выполняются соотношения д ^ д\ < д2, ду ^ ди < д (и > 2).

Таким образом, минимальной экспоненциальной последовательностью натуральных чисел типа д будет геометрическая прогрессия [д, д2,..., дп,...} со знаменателем д, а максимальной — сдвинутая геометрическая прогрессия [ д2 — 1, д3 — 1,..., дп — 1,...} со знаменателем д. Если QЕ — произвольная экспоненциальная последовательность натуральных чисел типа д, то через М (^Е) будем обозначать минимальный мультипликативный моноид натуральных чисел, порождённый последовательностью QЕ. Таким образом,

М (дЕ) = 1п = [] д>

т

А

п =..„,.,

Уи

и=1

> 0(и = 1,... ,т),т ^ 0

Нетрудно задать гомоморфизм N произвольной коммутативной свободной полугруппы С с нейтральным элементом е и системой образующих 0,(С) в мультипликативный моноид М (дЕ), положив

N (е) = 1, N (ши ) = ди (и = 1,2,...). Тогда для любого д € С имеем:

т т

з = П^;, N(9) = П .

и=1 и=1

Если М(дЕ) моноид с однозначным разложением па образующие элементы, то по анало-

М( Р Е)

N1 и N2 мультипликативного моноида дЕ в мультипликативные моноиды М\(д) и М2(д), соответственно.

Определим функции ^м(дЕ),1(х) и им(дЕ),2(х) с помощью равенств:

Vм (дЕ),1(х) = Е 1 рм (дЕ),2(х) = Е 1

пем (дЕ),м1(п)^х пем (дЕ),м2(п)^х

а функции им(дЕ) ]_(х) и ь>м(дЕ) 2(х) с помощью равенств:

и*м(дЕ),1(х) = Е 1, и*м ( д е),2(х) = У] 1.

деС,М1(М (д))^х деС,М2(М (д))^х

Необходимо различать две функции им(дЕ)(х) и и*м(дЕ)(х)> которые задаются равенствами

Vм (д Е)(х) = Е 1 и*м (д Е)(х) = Е 1 пем (дЕ),п^х дед,м (д)^х

Ясно, что им(де)(х) ^ и*м(дЕ)(х)' так как ПРИ Г0М0М0Рфизме N(д) некоторые элементы могут "склеиваться" . Таким образом, и*м(дЕ)(х) подсчитывает элементы в М(((Е) с учетом кратности, а им(дЕ)(х) ~ без учёта кратности.

Лемма 6. Справедливы неравенства:

для любого п € М(((Е) имеем N1(п) ^ п ^ ^(п),

им(дЕ),2(х) < "м(дЕ) (х) < "м(дE),1(x), "*м(дЕ),2(х) < и*м( дЕ)(х) < и*м(дЕ),1(х).

Доказательство. Дословно повторяет доказательство леммы 4. □ Аналогом леммы 5 будет следующая лемма.

Лемма 7. Справедливы равенства

"*м(РЕ),1(Х) = Р1 () , "*м(РЕ),2(Х) = Р2 () .

Доказательство. Действительно, если N1(N(д)) = дт, то т = ^^=-1 Отсюда следует, что количество д € С, таких что N1(^(д)) = дт, в точности равно р1(т). Так как из

^^(д)) = дт ^ х следует, что т ^ ^> т0 первое равенство доказано. Второе равенство

□

Обозначим через РЕд множество всех экспоненциальных последовательностей простых типа д, а через lQE(г множество всех экспоненциальных последовательностей типа д.

Лемма 8. Для мощностей множеств РЕд и QE(г справедливо равенство

|РЕд | = |<®Е91 = с.

Доказательство. Действительно, рассмотрим множество А всех бесконечных последовательностей из 0 и 1. Как известно, его мощность — континуум: |А| = с. Каждой последовательности е = (е 1, £2,..., £п,...) € А поставим в соответствие экспоненциальную последовательность (Ее типа д, заданную равенством

(Ее = {д + £1, д2 + £2,..., дп + еп,...}.

Так как все такие последовательности различные, то мощность множества всех экспоненци-

Из асимптотического закона распределения простых чисел вытекает, что для любого натурального q ^ 2 найдутся две экспоненциальные последовательности простых типа q, пусть это

PEi = {р 1,1 < Р1,2 < ... < Р1,п <...}, РЕ2 = {Р2,1 < Р2,2 < ... < Р2,П <...},

такие, что начиная с некоторого номера по имеем pi,n = £>2,п при п ^ щ. Каждой последовательности е = (еi, £2,..., £п,...) £ А поставим в соответствие экспоненциальную последовательность простых PEe типа q, заданную равенством

PE£ = {£iPi,i + (1 - £i)p2,1, £2Pi,2 + (1 - £2)Р2,2, ..., £nPi,n + (1 - £п)Р2,п, . . Так как любые две такие последовательности различные, если существует п ^ по такое, что

последовательностей простых типа q — континуум. □

Для дальнейшего нам потребуется экспоненциальная последовательность QEi(q,а) типа

QEi(q ,а) = {q + q { ± } , ? + ? { f2 } ,<Т + <Т { £ } ,...} ,

и последовательность QE2(q, а) типа q, заданная равенством

ЯЫ« ,а) = { q2-q - ... ^ - <Г {

Заметим, что при п > ^ справедливо равенство qn + <?n|^rj = Qn + а и равенство

qn+1 - qn\^ \ = qn+1 - а.

5. Следствия из аддитивной теоремы Ингама

Нам потребуется следующая аддитивная теорема Ингама (см. [23], стр. 180).

Теорема 5. Пусть 0 < X1 < X2 < ... — данная последовательность вещественных чисел, причём

N(и) = ВиР + R(u), В> 0, р> 0, где N (и) — количество чисел Xv, не превосходящих и, и

и

R(v)

J —(^dv = blnu + с + о(1)

V 0

при и ^ го. Для вещественного I пусть будет р(1) — количество решений уравнения

I = Г\Х\ + Г2Х2 + ...

в целых ги ^ 0.

Обозначим для вещественного и иК> 0

Р (и) = У р(1),

1<и

где суммирование ведется по дискретному множеству чисел I, для которых р(1) =0, и

Р(и) - Р (и - К)

Ph(u) =

h

Тогда при и ^ ж

Р(и) - ( 2 есМ-(ь+1 )аи(ь+ 2)(1-а)-§е^(ми)а,

где

0 1 а = 001, М = (В0Г(0 + 1)((0 + 1))1.

Также

Рн{и) - (±=0) " есМ-(ь-1 >и(ь-2)(1-а)-2е±(ми)а,

где Ъ — такая положительная константа, что Рь(и) есть неубывающая функция и (если Ъ принадлежит к данной последовательности то это условие выполняется).

Следствие 1. При х ^ ж справедливы соотношения

1 Г2Г 1 * I21п ж

Р1(х) ~ о к-е У 3 , им(РЕ),1(х)--Г== е V 31п,.

2ъу/ 2х 2 {Щ

Доказательство. Положим = V (и = 1,2,...), тогда N (и) = [и], К(и) = [и] - и, В = 0 = 1, а = \,М = ((2) = и (см. [23], стр. 181)

f = —11nu — 11п2тт + о(1).

j v 2 2

0

Таким образом, b = — 1, с = — 2 1п2и. Поэтому по аддитивной теореме Ингама получим

D/A ( i \1 -1 2(1 1 ^/¡^

Р1(х) ~ ^ е 2 х 2 е V 6 / =-=е V 3 .

\4irJ 2irV2X

Отсюда следует, что

'1пх\ 1 к^Ш

VM(PE),i(x) = Pi( )--1

( ), V 1n(lJ 2жф

__ж

3 ln q

□

Следствие 2. При х ^ ж справедливы соотношения

Р2(х) - -А^, "м(РЕ),2(х) - -^Пт-е*^. Доказательство. Положим = у + 1 (ту = 1,2,...), ¡(и) = [и] - 1, тогда

А ( ) = ( 0, при 0 ^ u ^ 1, -()= i —u, ПРИ 0 ^ u ^ 1,

\ f(u), при u ^ 1, I f(u) — u, при u ^ 1,

В = ß = 1,а = \,м = ((2) = ^и

и

I ———^dv = — — 1nu — 11п2ж + о(1).

J v 2 2 ()

и

Таким образом, b = — с = — 2 ln2n. Поэтому по аддитивной теореме Ингама получим

Отсюда следует, что

VM(РЕ),2 (х) = Р2 ( ^)

lnx\ lnq - /Тй - I r^--—е v 3 ln ч.

lnq) 4л/?Лпх □

Следствие 3. При х ^ ж справедливы соотношения

, ч у/Щ

К I 2 ln Ж g V 3 ln q

Доказательство. Положим Xv = ln (qv + 1) = ulnq + ln (1 + (u = 1,2,...), тогда

N (u) = ± + R(u) = { ° < R(u) = ( — & U ПР И ° < ^

lnq [ v, при \v ju<\u+i, 7 I v — щ, при \v ju<Xu+i

В = ït-q^ =1,a = i M = ^ = H-n-q И при Xn ju< K+l

и n-l

f R(v) , u v- , \v+1 , u u V-^, >

-av = —---h > fin—--+nl^ — = — ---> ln\v + nInu =

J v lnq ^ \v \n lnq ^

0 v=1 v=1

ln i1 + £ )

= n ln u — -j--V I ln г/ + ln ln g + ln 11+ ,

ln ln

Заметим, что u = n ln q + d(u), ln + ^ j j d(u) < ln g + ln + j, lnu = lnn + ln ln

+ ln (1 + Пё ).

i ln (1 +1)\ / 1 \ i ln (1 + tfh) ,

lnn+lnlng+lni 1 +--^-L I j lnu< lnn+ln[ 1 + - +lnlng+lni 1 + -^-L I . (11)

n ln n ( n + 1) ln

Применим формулу Стирлинга

V=1

° < n < 1

У^ lnv = - (ln 2tt + lnn) +n lnn — n + —-—,

^—' 2 12n + un

n

и

R( ) ( u) ( u)

-av = n lnn + n lnlnq + n l^ 1 +---— — n —

J v \ n lnqj lng

0

( 1 1 \ n i ln(1 + ^¡Л

— (2(Ы2« + lnn)+nlnn — n —n^ ^ln 11+ Hnq

, , 9(u) \ 9(u) 1 lnn 1 A, I ln[1 + ¿7)

= n ln[1 + ^L — ^ ln2TT----— — > ln I 1 + —Ц—- '

\ n lnq J lnq 2 2 12n + 9n ^ l и lnq

Так как п 1п (1 + ^) - Щ = ° ()' ^ = ^ - ^ + ° (£)> сходится ряд

*) = 5>У

и для остаточного ряда справедливо асимптотическое равенство

£ 1п А + ШО+Й) =° (^)

то справедливо асимптотическое равенство

и

Щь) , 1пи 1п1п<7 1 , Л , . „ /1 ( -¿V = - — + - 11п 2тг - с(д) + °[ -

] V 2 2 2 \п

о

ш

Таким образом, Ь = -2, с = - 2 1п2ж - с(д). Поэтому по аддитивной теореме Ингама

получим

1 „1

ГУГ \ I 1 А 2 1п!ш_ с(д) _1 2(¿П-хЛ 2 тт.Г3 Р(х) — — е 2 2 с(д)х 2е \61п« / =-у \_е V 3

2тг ес(1)лДх

Отсюда следует, что, так как для ди = ди + 1 неравенство

т

П&

и=1

равносильно неравенству

< 1пх,

и=1

то им(дЕ1(д,1))(х) =Р (1пх)

им(дЕ1 (д1))(х) = р(1пх) - ^

\х

□

Следствие 4. При х ^ ж справедливы соотношения

"3

"м(дЕ2(д,1))(Х) - 2тгес1(д)^2х6 У 31

Доказательство. Положим Х„ = 1п (ди+1 - 1) = (г/ + 1) 1п д + 1п (Ч - д^т+г^ (» = 1,2,...)

тогда

N [и) = -и- + п(и) = { 0^ри 0 <ям Л - ^ и пр И 0 А <А.,

1пд [ V, при Хи ^ и < Хи+1, 7 I V - {ид, ПРИ К ^ и < Хи+1,

В = шЪ' 0 = 1а = ±,М = = 6пдиприА„ < и < Хп+1

и

п/ \ п~1 \ п

I Щу) , и , Хи+1 , и и л

-аV = ----+ У и1п—--+ п — = ----> 1пХ^ +п 1пи

, V 1пд ^ Хи Хп 1пд ^

0 и=1 и=1

и п ( ( 1п(1 - д^гт)

= п 1п и - ---> I 1п(и + 1) + 1п 1п о + 1п I 1 +—Т-^-——-

1п ( + 1) 1п

и

'X

Заметим, что и = (п +1) 1пд + 9(и), 1п — ^ ^ в(и) < 1пд + 1п — ^+2 ^ , 1пи = 1п(п + 1) + + 1п1п? + 1п (1 + ^),

( 1п(1 — / 1 X ( 1п(1 —

1п(п+1)+1п 1п о+1п| 1+—--гт-^- к 1пи< 1п(п+1)+1п 1 +--+1п1пй+1п| 1 + —±-ч,

I (п + 1)1пд \ п + 1) I (п + 2)1пд

Применим формулу Стирлинга

п 1 1 У 1п(» +1) = 2 (1п 27Г + 1п(п + 1)) + (п + 1) 1п(п +1) — (п + 1) + +П+0-,

где 0 < 9п+1 < 1. Получим

ад,.. ____,-Л , °(и) \ °(и)

[ (IV = п 1п(п + 1) + п 1п 1п (7 + п 1п\1 + --,- ) — (п + 1) —

.] V V (п + 1)1пд)

( п + 1) 1п 1п

0

— (1(1п2тг + 1п(п + 1)) + (п + 1)1п(п + 1) — (п +1) + —,—, 1 , д- ) — п 1п 1пд—

\ 2 12(п + 1) + &п+1)

Л | 1п{1 — I , / 9(и) \ 9(и) 1 31п(п + 1)

— > 1п | 1 + —^-^—I =п 1п[1 + --Ц^— — — 1п2тг----'- —

^ I (и + 1)1пд V (п + 1)1пд) 1пд 2 2

1 ^ ( Ь (1 —

уы 11 + 4 ;

12(п + 1) + 9п+1 и==1 \ + 1)1пЯ

Тя*- как п 1п I в(и) \ в(и) = п( в(и)\ = 31ии 31п 1п д + п / 1 \ „„„„„„„„ „„„

!ак как п 1п ^ + (п+1)Ыд)— 1пд п 1пд)' 2 = 2 — 2 +П Уп) ' СХОДИТСЯ ряд

/ 1п(1 —

и=1

и для остаточного ряда справедливо асимптотическое равенство

Е ]пи + ^+М)

то справедливо асимптотическое равенство

и

. Я(ь) , 31пи 31п1по 1 . . ^ (1

0

ш-

Таким образом, Ь = — с = 31п21пд — 2 1п 2* — С1(д). Поэтому по аддитивной теореме Ингама

получим

л ( 1\ 2 31п1пч С1 ( а) _1 2(^х) 2 л/1п3 д ^т2-ж

Р(х) ~ ( — 1 е 2 2 С2(1)х 1е V61п 1 ) = ^ * ^ ^ е V 31пч .

2* еМ^лДх

Отсюда следует, что, так как для ди = ди+1 — 1 неравенство

т

П 4Г ^х

и=1

равносильно неравенству

то им(дЕ2(д,1))(х) =р (1пх)

< 1п

и=1

/ ч оЛ ч л/1п3д *,/

им(дЕ2(дА))(х) =Р ^пх) - 2жеС1{«)^ е у

2 1пж ^ у 3 1п д

X

□

Перейдём к изучению более сложного случая поведения функции Vм(ре)(х)-Через Хи обозначим 1п р„, где простые числа ри образуют экспоненциальную систему РЕ типа д. Ясно, что величина N (и) выражается через величину жре (х) по следующей формуле

N (и) = жре (еи).

Действительно, Х„ < и тогда и только тогда, когда ри = ел < еи. Из теоремы 2 получаем, что

т = ± + Щ(и) = - {^ - - ®

при п 1пд ^ и < (п + 1) 1пд. Следовательно, В = ^д, 0 = 1- Нам необходимо изучить поведение и

интеграла J —(^йп. Сложность заключается в том, что и 1пд ^ Х„ < (и + 1)1пд ъ более тес-о

пых границ для произвольной экспоненциальной последовательности простых задать нельзя.

Анализируя доказательства предыдущих следствий, мы видим, что существенную роль играет

л - 1 ь(1+-1) 1^+^(1--^+-") поведение величин Ьу = ^\Пдд> —\\Пд ^ ^ ^ -и\пдЧ- и СУММЫ

Бп(РЕ, д) = ^Г 1п(1 + 5и), с(д) - ° (п) ^ Бп(РЕ, д) < 1пп + ° (1).

и=1 ^ '

Лемма 9. Справедливо равенство

Щ( ) 1п и 1п 1п 1 1

аV = —— +---- 1п2ж + °[~ ) -Зп(РЕ, д).

] V 2 2 2 \ п

о

Щ( )

нения.

При 0 ^ V < Х1 = 1п £>1 имеем N (у) = 0,

(

При Хп ^ V < Хп+1 (п = 1, 2,...) имеем N (у) = п, Щ(у) = - щ + п. Отсюда следует, что

- щ, ПРИ 0 ^ < 1п ^ г в.(у) и

-1 -{ ^ } = - ^, ПрИ 1п'1 <Х1, ] V У 1пд.

и

и

при Хп ^ и < Хп+1 имеем:

и п_ 1 Лк+1 и п_ 1 ^

/ад^ = -л1 + у г ад^ + гад^ = -^-^^-

) V 1пд ' ] V .IV 1пд ' \ 1пд Хи )

0 л^ лп

/ \ \ п п

(и - Хп , и \ и , л , и „ , , ч

- —--п 1п— = ---> 1пХи +п 1пи = п 1пи ----> (1пг/+ 1п1по)-

V 1па Хи ) 1пд ^ 1пд

4 ' и=1 и=1

п п

- у 1п(1 + 5и) = Р(и) - Бп(РЕ, д), Р(и) = пЫи - ^ - У(1пи + 1пЫд).

Заметим, что и = п 1пд + в(и), 0 < Хп -п 1пд ^ в(и) < Хп+1 -п 1пд < 1п д, 1п и = 1пп + 1п 1п + 1п + ^Пд)' поэтому как и при доказательстве следствия 3 получим

, Л °(и)\ 0(и) 1

Р(и) = п 1М 1 + —Н- - - -\ п 1пд/ 1пд 2

д(и)\ в (и) 1, 1пп 1 » - -~1п2тг---

п 1пд) 1пд 2 2 12п + вп

Так как п ы(1 + ^)- = °{ ^ = Щи - ^ +° (I)

то

и

. . 1пи 1п1по 1 , ^ ( 1

Р (и> = -— + - ¿Ш 2ж + °(п

= - ^ + - 11п2ж + ° (1) - Вп(РЕ, Я).

V 2 ' 2 2 ~ " ' \п)

о

□

Из доказанной леммы следует, что мы не можем непосредственно применить аддитивную теорему Ингама для получения асимптотики величины Vм(ре)(х) Для произвольной экспоненциальной последовательности простых РЕ типа д.

Следствие 5. При х ^ ж справедливы соотношения

Ыим (РЕ)(х) .

Доказательство. Согласно лемме 4

Vм( РЕ),2(х) ^ им(РЕ)(х) ^ Vм(РЕ),1(х).

Следовательно,

1пVм(РЕ),2(Х) < 1пVм(РЕ)(х) < 1пVм(РЕ),Лх). Из следствия 1 вытекает, что

1п "м(РЕ),1 (х) .

Из следствия 2 вытекает, что

1п "м(РЕ),2 (Х) .

□

6. Заключение

В работе [6] и ряде последующих Б. М. Бредихин работал с понятием степенной плотности последовательности. Из следствий 1-5 видно, что это понятие не работает в случае моноидов, образованных произвольной экспоненциальной последовательностью простых. Естественно дать новое определение.

Определение 5. Последовательность М натуральных чисел имеет С логарифмическую 9-степенную плотность, если для функции им(х), заданной равенством

VМ (х) = У 1,

п£М, п^х

справедливо равенство

l n им (х) х^ж ln6 х

lim -= С, С > 0, в> 0.

i D ' '

Из следствия 5 следует, что любой моноид М(PE) для произвольной экспоненциальной

P E С

С = 0 = 2В заключение авторы выражают свою благодарность профессору В. И. Чубарикову за

полезные обсуждения и внимание к работе.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Э. Бомбьери, А. Гош Вокруг функции Дэвениорта-Хейльбронна // УМН, 2011. Т. 66, вып. 2(398). С. 15-66.

2. Б. М. Бредихин, "Остаточный член в асимптотической формуле для функции uq(x)''\ Изв. вузов. Матем., 1960, 6, 40-49.

3. Б. М. Бредихин, "Элементарное решение обратных задач о базисах свободных полугрупп", Матем. сб., 50(92):2 (1960), 221-232.

4. Б. М. Бредихин, "Свободные числовые полугруппы со степенными плотностями", Докл. АН СССР, 118:5 (1958), 855-857.

5. Б. М. Бредихин, "О степенных плотностях некоторых подмножеств свободных полугрупп", Изв. вузов. Матем., 1958, 3, 24-30.

6. Б. М. Бредихин, "Свободные числовые полугруппы со степенными плотностями", Матем. сб., 46(88):2 (1958), 143-158.

7. Б. М. Бредихин, "Пример конечного гомоморфизма с ограниченной сумматорной функцией", УМН, 11:4(70) (1956), 119-122.

8. Б. М. Бредихин , Некоторые вопросы теории характеров коммутативных полугрупп, Труды 3-го Всесоюзн. матем. съезда, т. I, Москва, Изд. АН СССР (1956), 3.

9. Б. М. Бредихин , О сумматорных функциях характеров числовых полугрупп, ДАН 94 (1954), 609 - 612.

10. Б. М. Бредихин , О характерах числовых полугрупп с достаточно редкой базой, ДАН 90 (1953), 707 - 710.

11. Воронин С. \!.. Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. — М.: Физ-матлит, 1994. — 376 с.

12. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. — М.: Наука, 1968. — 618 с.

13. Демидов С. С., Морозова Е. А., Чубариков В. Н., Реброва И. Ю., Балаба И. Н., Добровольский H. Н., Добровольский Н. \!.. Добровольская Л. П., Родионов А. В., Пихтилько-ва О. А. Теоретико-числовой метод в приближенном анализе // Чебышевский сб. 2017. — Т. 18, вып. 4. - С. 6-85.

14. H. Н. Добровольский Дзета-функция моноидов натуральных чисел с однозначным разложением на простые множители // Чебышевский сб. 2017. Т. 18, вып. 4. С. 187-207.

15. Добровольский H. Н. О моноидах натуральных чисел с однозначным разложением на простые элементы // Чебышевский сб. 2018. — Т. 19, вып. 1. — С. 79-105.

16. Добровольский H. Н. Дзета-функция моноидов с заданной абсциссой абсолютной сходимости // Чебышевский сб. 2018. — Т. 19, вып. 2. — С. 142-150.

17. Добровольский H.H. Одна модельная дзета-функция моноида натуральных чисел / / Чебышевский сборник. 2019. — Т. 20, вып. 1, С. 148-163.

18. Добровольский H. Н., Добровольский M. Н., Добровольский Н. \!.. Балаба H. Н., Реброва И. Ю. Гипотеза о "заградительном ряде" для дзета-функций моноидов с экспоненциальной последовательностью простых // Чебышевский сб. 2018. — Т. 19, вып. 1. — С. 106-123.

19. H. Н. Добровольский, M. Н. Добровольский, H. М. Добровольский, H. Н. Балаба, И. Ю. Реброва. Алгебра рядов Дирихле моноида натуральных чисел // Чебышевский сборник. 2019. Т. 20, вып. 1, С. 180-196.

20. H. Н. Добровольский, H. М. Добровольский, И. Ю. Реброва, А. В. Родионов. Моноиды натуральных чисел в теоретико-числовом методе в приближенном анализе // Чебышевский сборник. 2019. Т. 20, вып. 1. С. 164-179.

21. Добровольский H. Н., Калинина А. О., Добровольский M. Н., Добровольский H. М. О количестве простых элементов в некоторых моноидах натуральных чисел // Чебышевский сборник. 2018. - Т. 19, вып. 2. - С. 123-141.

22. Добровольский H. Н., Калинина А. О., Добровольский M. Н., Добровольский H. М. О моноиде квадратичных вычетов // Чебышевский сборник. 2018. — Т. 19, вып. 3. — С. 95-108.

23. А. Г. Постников Введение в аналитическую теорию чисел. — М.: Наука, 1971. — 416 с.

24. Е. К. Титчмарш Теория дзета-функции Римана. — М.: И-Л, 1952. — 407 с.

25. Э. Трост Простые числа - М.: ФИЗМАТЛНТ, 1959. - 136 с.

26. Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. — М.: Мир, 1974. — 188 с.

27. Чудаков Н. Г. Введение в теорию L-функций Дирихле. — М. - Л.: ОГИЗ, 1947. — 204 с.

28. Н. Davenport, H. Heilbronn On the zeros of certain Dirichlet series // J. London Math. Soc. 1936. Vol. 11. P. 181-185.

REFERENCES

1. Bombieria E., Ghoshb A., 2011, "Around the Davenport-Heilbronn function", Uspekhi Mat. Nauk, 66:2(398) pp. 15-66.

2. Bredikhin, B.M., 1960, "The remainder term in the asymptotic formula for the function ug(x)", Izvestiva vuzov Matematika, no. 6, pp. 40-49.

3. Bredikhin, B.M., 1960, "An elementary solution of inverse problems on bases of free semigroups", matematicheskiv sbornik, 50(92):2, pp. 221-232.

4. Bredikhin, B.M., 1958, "Free numerical semigroups with power densities", Dokladv Akademii nauk SSSR, 118:5, pp. 855-857.

5. Bredikhin, B.M., 1958, "On power densities of some subsets of free semigroups", Izvestiva vuzov Matematika, no. 3, pp. 24-30.

6. Bredikhin, B.M., 1958, "Free numerical semigroups with power densities", matematicheskiv sbornik, 46(88):2, pp. 143-158.

7. Bredikhin, B.M., 1956, "An example of a finite homomorphism with a bounded adder function", UMN, 11:4(70), pp. 119-122.

8. Bredikhin, B.M., 1956, "Some questions of the theory of characters of commutative semigroups", Trudy 3-go Vsesovuznogo matematicheskogo s'vezda, vol. 1, Moskva, izdatel'stvo akademii nauk SSSR, no. 3.

9. Bredikhin, B.M., 1954, "On adder functions of characters of numerical semigroups", DAN 94, pp. 609 - 612.

10. Bredikhin, B.M., 1953, "On the characters of numerical semigroups with a rather rare base", DAN 90, pp. 707-710.

11. Voronin S. M., Karacuba A. A., 1994, Dzeta-funkcija Rimana, Izd-vo Fiz-matlit, Moskva, 376 p.

12. Gurvic A., Kurant R., 1968, Teorija funkcij, Izd-vo Nauka, Moskva, 618 p.

13. Demidov S. S., Morozova E. A., Chubarikov V. N., Rebrov I. Yu., Balaba I. N., Dobrovol'skii N. N., Dobrovol'skii N. M., Dobrovol'skava L. P., Rodionov A. V., Pikhtil'kova O. A., 2017, "Number-theoretic method in approximate analysis" Chebyshevskii Sbornik vol. 18, № 4. pp. 6-85.

14. Dobrovolskv N. N., 2017, "The zeta-function is the monoid of natural numbers with unique factorization" , Chebyshevskii Sbornik, vol 18, № 4 pp. 188-208.

15. N. N. Dobrovol'skii, 2018, "On monoids of natural numbers with unique factorization into prime elements" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 1, pp. 79-105.

16. N. N. Dobrovol'skii, 2018, "The zeta function of monoids with a given abscissa of absolute convergence" , Chebyshevskii sbornik, vol. 21, no. 1, pp. 142-150.

17. N. N. Dobrovol'skii, M. N. Dobrovol'skii, N. M. Dobrovol'skii, I. N. Balaba, I. Yu. Rebrova, 2018, "About «zagrobelna the series» for the zeta function of monoids with exponential sequence of simple" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 1, pp. 106-123.

18. N. N. Dobrovol'skii, М. N. Dobrovol'skii, N. М. Dobrovol'skii, I. N. Balaba, I. Yu. Rebrova, 2019, "Dirichlet series algebra of a monoid of natural numbers" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 1, pp. 180-196.

19. N. N. Dobrovol'skii, N. M. Dobrovol'skii, I. Yu. Rebrova, A. V. Rodionov, 2019, "Monoids of natural numbers in the numerical-theoretical method in the approximate analysis" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 1, pp. 164-179.

20. N. N. Dobrovol'skii, A. O. Kalinina, M. N. Dobrovol'skii, N. M. Dobrovol'skii 2018, "On the number of prime elements in certain monoids of natural numbers" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 2, pp. 123-141.

21. N. N. Dobrovol'skii, A. O. Kalinina, M. N. Dobrovol'skii, N. M. Dobrovol'skii 2018, "On the monoid of quadratic residues" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 3, pp. 95-108.

22. Dobrovolskava L. P., Dobrovolskv M. N., Dobrovol'skii N. M., Dobrovolskv N. N., 2014, "On Hyperbolic Zeta Function of Lattices" , In: Continuous and Distributed Systems. Solid Mechanics and Its Applications, Vol. 211. pp. 23-62. DOLIO. 1007/978-3-319-03146-0^2.

23. Postnikov, A. G., 1971, Introduction to analytical number theory Izd-vo "Nauka" , Moskva, 416 p.

24. Titchmarsh E. K., 1952, Teorija dzeta-funkcii Rimana Izd-vo I-L, Moskva, 407 p.

25. Trost E., 1959, "Prime numbers" , Izd-vo Fiz-matlit, Moskva, 136 p.

26. Chandrasekharan K., 1974, Vvedenie v analiticheskuju teoriju chisel, Izd-vo Mir, Moskva, 188 p.

27. Chudakov N. G., 1947, Introduction to the theory of L-Dirichlet functions — M.-L.: OGIZ, — 204 p.

28. Davenport H., Heilbronn H., 1936, "On the zeros of certain Dirichlet series" , J. London Math. Soc. Vol. 11. pp. 181-185.

Получено 18.01.2020 г.

Принято в печать 20.03.2020 г.