Обоснование условий моделирования движения плота в ледовом канале Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 630.378.3:532.59

ОБОСНОВАНИЕ УСЛОВИЙ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ПЛОТА В ЛЕДОВОМ КАНАЛЕ

В.П. Корпачев, А.А. Злобин

ФБГОУ ВПО «Сибирский государственный технологический университет»

660049 Красноярск, пр-т Мира, 82; e-mail: [email protected]

Используя п-теорему были разработаны необходимые условия моделирования движения плота в канале с битым льдом в период продленной навигации. Определен масштаб моделирования и значения масштабных множителей, которые используются при пересчете опытных результатов с модели на натуру.

Ключевые слова.. продление навигации, плотовой лесосплав, условия моделирования, масштаб моделирования, п-теорема

Using the п-theorem were developed necessary conditions for simulation of motion in a channel with a raft of broken ice in the period of extended navigation. Defined scope and importance of modeling scale factors, which are used in terms of experimental results with a model in nature.

Key words. extension navigation, convoys of rafts rafting, terms of simulation, modeling scale, п-theorem

ВВЕДЕНИЕ

Современный уровень развития ледокольной техники позволяет организовывать транспортировку лесоматериалов по рекам и водохранилищам в продленный период навигации. Продление навигации может быть обеспечено прокладкой каналов во льду в ранне-весенний и осенний периоды навигации (Корпачев, 2009).

Первый опыт по поддержанию судоходного канала в нашей стране относится к 1894 г., когда был построен саратовский ледокол. В течение длительного времени он успешно обеспечивал железнодорожную переправу через Волгу у Саратова -железнодорожный паром совершал рейсы за ледоколом. Осенью 1970 г. были начаты, а в 1971 г. продолжены опыты по продлению навигации на Енисее вниз от порта Дудинка для обеспечения судоходства на линии Дудинка-Мурманск. Работа флота продолжалась в ноябре и декабре при температурах воздуха до -35 °С и сильных ветрах. В Швеции зимнее судоходство осуществляется на озере Меларен. Судоходная трасса шириной 20-45 м поддерживается в незамерзающем состоянии благодаря интенсивному движению транспортных судов (10-12 ед. в сутки) и ледокольного буксира. Все это свидетельствует о принципиальной возможности продления навигации на реках и озера за счет создания в сплошном ледяном поле судоходного канала, в той или иной мере очищенного от битого льда. Если говорить о продлении навигации на внутренних водных путях с целью лесосплава, то необходимо иметь ввиду именно ранне-весенний и осенний периоды, так как прочность льда минимальна и температура воздуха не слишком низкая, что облегчает технологию вывода плотов. Лабораторные исследования часто по условиям ограниченных размеров имеющихся бассейнов приходится выполнять на моделях относительно малых или искаженных масштабов. В связи с этим, для получения достоверных данных при переносе результа-

тов лабораторных исследований на натурный объект необходимо выбрать масштаб моделирования и обеспечить условия моделирования взаимодействия битого льда с буксируемым плотом, отвечающие принципам гидродинамического подобия.

Цель данной работы - обосновать необходимые условия моделирования движения плота в канале с битым льдом в период продленной навигации.

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЙ

Для определения сопротивления движения плота в условиях битого льда воспользуемся методом исследования на физической модели. Для установления закона моделирования взаимодействия водной среды с лесоматериалами воспользуемся п-теоремой (Корпачев, 2009). Функциональное уравнение, определяющее воздействие битого льда на буксируемый плот, запишется следующим образом: ф = (/, М, р, & V, В, и, Ил, /л), (1)

где /, М - параметры характеризующие систему:

/ - длина тела;

М - масса тела;

р, §, V - параметры характеризующие среду: р - массовая плотность; g - ускорение свободного падения;

V - кинематическая вязкость жидкости;

В, и, Ил, / л - параметры характеризующие степень сопротивления буксировки в битых льдах:

В - ширина канала; и - скорость буксировки;

Ил - толщина льда (в ледовом канале);

/ л - длина льда.

В функциональное уравнение входит п=9 исходных величин, которые могут быть выражены тремя независимыми размерными единицами М, Ь, Т (масса, длина, время), т.е. N=3. В этом случае можно составить (п-№)=6 безразмерных комплексов, т.е.:

ф — (П1, П2, Пз, П4, П5, Пб) (2)

В качестве величин с независимыми формулами выберем группу /, и, р. В этом случае значение п запишется:

В

В

ж _ /Х1 ОУ1 \7 §;

Ж2 _ /*2 •3у2 •р22 •V;

Ж3 _ /*3 •3у3 • р2 •В;

Ж4 _ /*4 •3у4 •р24 •М;

Ж5 _ /*5 •3У5 •р25 •К;

Ж6 _ /*6 •3Уб •р26 •/ л .

(3)

Составим матрицу размерных переменных (табл. 1).

Таблица 1 - Матрица размерных переменных

8 V В М Ьл / л / и р

[М] 0 0 0 1 0 0 0 0 1

[Ь1 1 2 1 0 1 1 1 1 -3

[Т] -2 -1 0 0 0 0 0 -1 0

Ранг матрицы равен 3, число независимых безразмерных произведений равно 9-3 — б.

Выражения формул размерностей исходных величин запишутся:

[§ ]_[/ М^'М1

(4)

И_[/ ]■ •№ •[р]‘

[в]=Ц] № •[р]з

[м ]=[] № [р]

К ]=№ •№ Р

[I,]_[/] •№ р]

Для любого уравнения (3) размерность левой и правой частей уравнений должна быть одинаковой. Поэтому, представив число п в виде произведения независимых размерных величин в нулевых степенях, а правую часть уравнений в виде степенного ряда и приравнивая показатели степеней для трех единиц измерения [М], [Ь], [Т] можно определить показатели х,, у, 2^ в уравнениях (3), матрица показателей степеней для уравнения (3) представлена в таблице 2.

Таблица 2 - Матрица показателей степеней

П1 П 2 П 3 П 4 П 5 П 6

XI -1 1 1 3 1 1

У! 2 1 0 0 0 0

2, 0 0 0 1 0 0

Подставляя значения показателей степеней в формулы (3), получим безразмерные комплексы:

Ь _ § _ §•!

ж _

1 1Х1 3 р21 / -1 32 •р0 32

V V V

■ _ ¥т; (5)

/х2 3 • р22 /1 3 р0 / •#

_ Яе

-1.

(б)

/*3 ОУ3 . ^ р23 ?• 30- р

М М

/ Х4 •3У4 •р24 /3 •3° •р

К л К

/ Х5 •3У5 •рр I1 •3° •р0

/л /л

/*6 ПУб . ^ ■р26 I1. 30• р0

В /; м

К •

" / ’ Л / '

(7)

(8) (9)

(10)

С учетом определенных безразмерных компонентов (5-10), исходное уравнение в критериальной форме запишется:

* _ /

(

§•/ V В М

К /

л л

у 32 /• 3 / /3 р / /

(^>,Яе-1 В М Кл 1

(11)

х _ / ^>,Яе-1, —,-^,^,'-± , (12)

У / /3 • р / / /

где х - любой замеренный параметр, представленный в безразмерной форме.

Уравнение (11) может быть решено относительно любого замеряемого параметра, например:

В _ / /

(

§±

32 '

м

К /

л л

\

(13)

/ • 3 ’ /3 • Р ’ / ’ /

Обозначив через X линейный масштаб моделирования, параметры уравнения (11) могут быть представлены безразмерными соотношениями:

М,,

_я-—_Л В_л

3,,

В,,

р м

К

Мм

; л

_ 1 . § н _ 1

■_лм;---------_Л

§ м

Клн лн

— _ лк ;Т~ _ Л

(14)

где X, - масштабный коэффициент соответствующего параметра;

Н - натуры;

М - модель.

Для подобных явлений безразмерные комплексы, составленные из масштабных коэффициентов должны быть равны между собой, т.е. в уравнении (11):

Л§ •Л

Л,

_1 (15)

Лв _ Лм _ ЛК _ Лл Л—2 Л ^ Л Л1 ^ Лр Л Л1

Если лабораторные исследования выполняются в воде, практически не отличающейся по физическим свойствам от натуры, то масштабные коэффициенты Хр — Ху — Хё — 1.

Полученное критериальное уравнение в форме (12) показывает, что подобие исследуемого сопротивления буксировки плота в условиях битого льда выполняется при одновременном соблюдении правил (условий) моделирования по законам Бг, Яе что практически невозможно обеспечить, т. е. в эксперименте может быть только частичное или неполное подобие исследуемого явления.

Для обеспечения закона моделирования необходимо дать оценку весомости каждого критерия, входящего в уравнение (12), рассмотреть физику исследуемого процесса.

4

5

V

V

,

Необходимым условием подобия, при котором обеспечивается равенство коэффициентов гидродинамических сил на модель и натуру, является равенство чисел Бгн = Бгм, Яен = Яен, т.е.:

з„

зн

и

v.

v..

(16)

Проверим выполнение этого условия. Из урав-нения(16) получим:

з

М

з,,

з. l., - v.

з., l,. - v.,

(l7)

Вьфажая из уравнения (17) значение І м, при-

равнивая их, получим соотношение:

з

з,,

(

v,

Vv. J

(lS)

Из выражения (17) следует, что при данном масштабе и одновременном соблюдении равенства чисел Яе и Бг модели и натуры, скорость обтекания потоком жидкости может отличаться от натуры только в том случае, если эксперименты на модели проводятся в жидкости, вязкость которой отличалась бы от вязкости натурного потока в X1,5 раза. Это условие в лаборатории практически невозможно выполнить.

В случае проведения экспериментов на модели и натуре в одинаковых жидкостях полное динамическое подобие возможно только при /-и = £\|. Таким образом, одновременное моделирование сопротивления буксировки плота в условиях битого льда по закону Яе и Бг практически невозможно. Речь может идти только о частичном или неполном моделировании.

В этом случае необходимо установить преобладающую силу. Многочисленные исследования показали, что усилие буксировки плотов в условиях битого льда обусловлено преобладающим действием силы тяжести и скорости буксировки (Зуев, 1986). Поэтому правомерен закон моделирования Фруда. Однако действие сил вязкости нельзя не учитывать. При моделировании буксировки плота в битых льдах необходимо соблюдать условие автомодельности по числу Яе. В работах (Штеренлихт, 1991) отмечается, что при изучении силового воздействия потока на обтекаемые преграды, к которым можно отнести исследуемый в работе объект, зона автомодельности устанавливается при значении чисел Яе > 105 для преград с гладкой поверхностью. Обтекание шероховатого цилиндра и пластины происходит в автомодельной области. Буксируемый плот состоит, как правило, из неокоренных сортиментов либо хлыстов, имеет шероховатую поверхность, т.е. обтекание его происходит в турбулентном режиме, следовательно, условие автомодельности практически соблюдается.

Таким образом, правомерно моделировать процесс буксировки плотов в битых льдах по закону подобия Фруда, т.е. возможно частичное моделирование.

Исследуемый процесс является сложным гидродинамическим процессом (Худоногов, 1974), при моделировании которого необходимо выполнить условия подобия: 1) геометрическое;

2) кинематическое; 3) динамическое.

В таблице 3 приведены значения масштабных множителей величины, которые используются в работе при пересчете с модели на натуру.

м

и

Таблица 3 - Масштабные множители

Условия подобия Наименование физических величин Масштабные множители з Fr м

g = idem p = idem

Линейные размеры Xl X

Геометрическое Площади X2

подобие Объемы Xw

Расход Xq X2’5

Кинематическое Промежутки времени Xt X°5

подобие Линейные скорости Xu X°5

Динамическое Масса XH X3

подобие Силы Xf X3

Важным моментом при моделировании битого льда является выполнение условия рл = idem, которому не всегда придавали должного внимания. Дело в том, что давление льда на подводную часть плота пропорционально величине (рв - рл) и изме-

нение

плотности

льда,

например

от

0,85 до 0,9 т/м (5,5 %), приводит к изменению сопротивления в 1,5 раза.

Для пересчета сопротивления обломков во льдах с различной плотностью используется формула

(R об. обл.пр ) ^

Л

+ (К„лс, >1 <19)

„ рв - рл1 ) рл1

где (Яобл)0 - сопротивление обломков, соответствующее плотности льда рл 0;

Яоблпр , Яобл.ок - соответственно прямое и скоростное сопротивление обломков, соответствующее плотности льда рл 1 .

Минимальный масштаб моделирования может быть определен по формуле Эйснера с большим запасом надежности (Эйснер, 1937):

З68

Л < (om3Qdo5Q))

з.

со„

X,

(2Q)

где ин, Юн, хн - соответственно скорость буксировки, смоченная площадь сечения, смоченная поверхность плота.

С0Н = В■ Т, (21)

где В, Т - соответственно ширина и осадка плота, м.

Хн= Ь{В + 2Т) (22)

где Ь, В, Т - соответственно длина, ширина и осадка плота, м.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Полученные результаты условий и масштаба моделирования можно использовать для исследования сопротивления битого льда в канале при буксировки плотов в ранне-весенний и осенний

периоды. Продление навигации в ранне-весенний и осенний периоды позволит повысить эффективность транспорта леса в плотах.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Зуев, В. А. Средства продления навигации на внутренних водных путях / В. А. Зуев. - Л. : Судостроение, 1986. -208 с.

Корпачев, В. П. Теоретические основы водного транспорта леса: монография / В. П. Корпачев - М. : Академия Естествознания, 2009. - 237 с.

Худоногов, В. Н., Корпачев Основы моделирования в лесосплавном деле: учеб. пособие для студентов лесоинженерного факультета / В. Н. Худоногов, В. П. Корпачев. - Красноярск : СТИ, 1974. - l8 с.

Штеренлихт, Д. В. Гидравлика: Учеб. для вузов / Д. В. Ште-ренлихт. - 2-е изд., перераб. и доп. - М. : - Энергоатом-издат, 1991. - 351 с.

Эйснер, Ф. Экспериментальная гидравлика сооружений и открытых русел / Ф. Эйснер, Пер. С. А. Егорова и Б. А. Фидмана. - М., Л. : Объединенное научно-техническое издательство, 1937. - 198 с.

2

Поступила в редакцию 3 мая 2Q12 г. Принята к печати 7 сентября 2Q12 г.

Зб9