CC BY
37
УДК 535.41 : 621.396
ОБОСНОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ КОРРЕЛЯЦИОННОГО ФУНКЦИОНАЛА СИГНАЛА НЕКОГЕРЕНТНОГО РАССЕЯНИЯ
МАЗМАНИШВИЛИА.С., ПУЛЯЕВ В.А.__________
Описываются алгоритмические процедуры, предназначенные для решения обратной задачи электродинамики при изучении структуры и динамики ионосферной плазмы. Рассматривается корреляционный функционал, определенный на комплекснозначном нормальном марковском процессе. Приводятся аналитические выражения, описывающие статистические свойства такого функционала, а также примеры расчета его плотностей распределения от процесса первого порядка.
1. Постановка задачи
Исследование ионосферы Земли методом регистрации некогерентного рассеяния (НР) в СВЧ диапазоне при ее импульсном зондировании сигналом z(t) позволяет получать экспериментальные сведения о детальной структуре и динамике среднеширотной ионосферной плазмы одновременно в широком интервале высот. Как оказалось, для дальнейшего усовершенствования методик обработки, нацеленных на повышение точности и достоверности оценок ионосферных параметров при идентификации сигнала рассеяния, необходимы сведения о характере поведения некоторых его функциональных характеристик, например, дисперсии флуктуаций ординат автокорреляционной функции (АКФ). Подобную информацию о статистических разбросах можно получить, если исследовать плотности распределения случайных значений ординат АКФ. Необходимость использования подобной информации заключается в следующем.
Во-первых, модель информационных преобразований АКФ сигнала рассеяния предполагает наличие процедур предварительной его очистки на фоне шумов с отбраковкой аномальных значений ординат в условиях реальной помеховой обстановки. Для таких процедур требуются сведения о степени влияния коррелированности исходных данных и их зашумленности на потенциальную точность последующей оценки ионосферных параметров [ 1].
Во-вторых, плотности распределения значений ординат АКФ позволяют вычислить и использовать значения доверительных интервалов, что дает возможность ввести в алгоритмы решения обратной задачи электродинамики математические процедуры с элементами вероятностного оценивания [2].
В-третьих, статистические разбросы АКФ дают возможность использовать в математических расчетах степень достоверности вычислений. Элемен -
ты статистического оценивания приведут к реализации более эффективного распознавания изображений АКФ на фоне библиотечных функций и к возможности минимизации ошибок вычислений
[3].
Таким образом, в случае реализации данного набора математических процедур возможна успешная модернизация алгоритмов расчета вектора ионосферных параметров 0 в виде электронной плотности, дрейфа ионосферной плазмы, электронной и ионной температур, ионного состава на участках высотного интервала от 100 до 1500 км включительно.
Целью работы является теоретическое обоснование свойств корреляционного функционала и расчет его статистических характеристик, использование которых позволит в методе некогерентного рассеяния реализовать эффективную оценку высотновременного поведения ионосферной плазмы в реальных условиях геофизического эксперимента.
Для достижения поставленной цели необходимо решить такие задачи, как исследование алгоритмов обработки сигнала НР, выявление тех процедур, где недостоверность информации о статистических разбросах приводит к ошибкам вычислений, анализ возможности синтеза недостающих сведений и предоставление способов их получения.
2. Анализ алгоритмов обработки сигнала НР
В процессе зондирования ионосферы рассеянный на флуктуациях электронной плотности сигнал z(t; 0) тем или иным способом связан с вектором ионосферных параметров 0, последующее определение которого и является целью проводимого опыта. Алгоритмические процедуры, применяемые в настоящее время для идентификации параметров ионосферной плазмы по сигналу рассеяния, представлены на рис. 1.
Рис. 1. Блок-схема процедуры получения и обработки АКФ и расчета вектора ионосферных параметров
На рис. 2 приведен пример используемых в обработке с помощью данной блок-схемы экспериментальных АКФ и спектров, обычно регистрируемых
РИ, 2004, № 3
23
с помощью радара HP обсерватории Института 3. Математическая модель композиции ионосферы НАН и МОН Украины над Харьковом. корреляций и антикорреляций
От точности расчетов АКФ rC( т , hr; 0) (в блоке 1) и от типа последующих операций по приведению ее к виду гэ( т , hr; 0) (в блоке 2) зависят ошибки последующих вычислений и качество корреляционного анализа. Для предварительной обработки АКФ в этом блоке (появление амплитудной помехи в виде отражений от дискретных объектов, сбои аппаратуры обработки, появление частотной помехи, вызванной нестабильностью работы передатчика или приемника и т.д.) необходимо функционирование процедур распознавания мешающих сигналов. Это происходит путем обнаружения их признаков и дальнейшего выделения или исключения помех из общей информации.
Рис. 2. Высотное распределение нормированных АКФ сигнала HP над Харьковом
Информация о допустимых пределах, в которых находятся значения каждой ординаты АКФ, может быть получена следующим образом.
Основным носителем данных для анализа и интерпретации является корреляционный функционал
К(т), содержащий необходимую информацию о состоянии ионосферы. Известно, что в силу свойств сигнала HP, который к тому же принимается на фоне гауссового шума, последовательность фиксируемых отсчетов {zj, z 2оказывается случайной. Естественно, случайными оказываются и оценки К(т) АКФ сигнала. В этой связи для выявления степени коррелированности данных, привлекая аппарат математической статистики [4, 5], рассмотрим аддитивный автокорреляционный функционал, который реализуется в следующем виде:
1 N
1 у ' * *
Ki = TN ^ (znzn+i + znzn +i) , (1)
2N n=1
где i = т / Д — индекс дискретного интервала задержки (i = 0,1,...,N ); д — элемент задержки; {zj, z 2z 2N} — выборка объемом 2N, извлеченная из генеральной совокупности отсчетов нормального марковского процесса z(t) [6, 7].
Функционал (1) имеет дискретный вид, его интегральным аналогом может служить АКФ интегрального вида
1 т
К(Т) = — J [z (t)z(t + т) + z(t)z (t +T)]dt, (2)
Последующие алгоритмические и вычислительные процедуры, которые необходимо выполнить при решении обратной задачи (в блоке 3), заключаются в многократном решении прямой задачи, когда варьируются составляющие вектора 0, задаваемые согласно физическим представлениям об ионосферной плазме. Для этого в блоке 4 готовятся теоретические кривые автокорреляционных функций гт( т ; 0). Процедура поиска решения продолжается до тех пор, пока в каждом отдельно взятом сеансе измерений и на всех n высотных участках с центрами на hr (r = 1...n), взятых через интервал Ah , не будет найдена совокупность переменных, или параметров, вызывающих наилучшее совпадение экспериментальной АКФ с одной из теоретических.
Алгоритм завершается в моменты максимального приближения к теоретически обоснованному минимуму ошибок %^п , позволяющему в блоке 5 на каждом участке зафиксировать результаты параметрической идентификации ионосферных параметров.
Для успешного функционирования данной процедуры необходимо иметь вспомогательную информацию о статистических свойствах ординат автокорреляционных функций, которую рассмотрим ниже.
основанная на реализации случайного процесса z(t), где T—длительность интервала наблюдения; t — временной интервал задержки.
Для любого момента времени t нормальный марковский процесс z(t) характеризуется средним < z(t) >, интенсивностью < |z(t)|2 > = ст (символом <> обозначена операция нахождения математического ожидания) и декрементом v , определяющим экспоненциальную форму АКФ, как наиболее близкую к форме АКФ сигнала HP на нижних высотах. В реальных ионосферных экспериментах отсчеты являются комплекснозначными, так как соответствуют либо сигналам после синхронного детектирования, либо отсчетам, взятым на промежуточной частоте с интервалом, равным четверти её периода.
В силу статистической связи между значениями z(t) нормального марковского процесса распределения корреляционного функционала Ki (1) или K(x) (2) будут иметь различный вид в зависимости от N , i (или T, х) и параметров самого процесса. Поставим задачу описания статистических свойств функционалов (1) или (2), другими словами, най-
24
РИ, 2004, № 3
дем плотность распределения fx( ц) случайных значений ц этих функционалов. Информация о плотности распределения fx( ц) даст возможность предъявить, в частности, величины доверительных интервалов Д(т), отвечающих заданной доверительной вероятности Р.
Анализ статистических свойств функционалов (1) или (2) возможно осуществить, опираясь на свойство гауссовости случайного процесса z(t). С этой целью сформулируем последовательность утверждений, справедливых для сечений нормальных процессов.
1. Для последовательности отсчетов { Zj , Z2 ,..., zN} гауссового процесса z(t) случайные величины u += zn + zm и u_= zn - zm при любых n и m являются некоррелированными, а потому независимыми.
4. Из вида ПФ (5) следует, что распределение случайных значений АКФ локализуется вокруг своего среднего значения
< К; >=СТуi =СТ(у+-у_) . (6)
В этом случае во множестве реализаций АКФ присутствуют как положительные составляющие (корреляции), так и их отрицательные аналоги (антикорреляции) (рис. 3).
Рис. 3. Корреляции и антикорреляции при анализе функционала случайного нормального процесса
2. При данном индексе задержки ; анализ статистики функционалов
1 N 2
W+= 8N S lzn + zn+, (3а)
' n=1
1 N 2
W-= SIzn - zn + i\ , (36)
n=1
для которых справедливо W+ - W_ = К; , возможно производить по отдельности.
3. В силу стационарности процесса z(t) при данном индексе задержки ; статистика функционала W+ эквивалентна статистике аддитивного квадратичного функционала К0 , умноженного на
У+ = 1/2(1 + У i), где У І =< (znzn+i + znzn+i) >/2 -корреляционная функция гауссовского процесса z(t). Аналогично, при данном индексе задержки; статистика функционала W_ эквивалентна статистике квадратичного функционала К0 , умноженного на у_ = 1/2(1 -у;).
Пусть для случая нулевой задержки (i=0) известна производящая (характеристическая) функция (ПФ)
Qo(X) =< exp(-XKo) > (4)
5. Для данного индекса ; задержки дисперсия D[K;] =< К2 >-< К; >2 случайной величины К; может быть выражена через дисперсию D^0] =< К2 > - < К0 >2 случайной величины К0 :
D[Ki]
-d2Qi(X) -f d- Qi(X) 1
dX2 I dX )
1 + Уі
2
dX2
Qo W-l-^Qc
dX
lx=o
2
2
d
\x=0
(7)
1 + y2 2
D^]
Таким образом, для данного і размах флуктуаций АКФ К; зависит от корреляционной функции у і регистрируемого процесса z(t) (рис. 4).
Рис. 4. Относительная зависимость дисперсии флуктуаций от вида АКФ случайного процесса
с производящим параметром X. Тогда при i ф 0 имеем
Q; (X) =< ехр(-ХК;) >=< exp(-X(W+ - W_)) =
= Q0(ty+)Q0(-^y-)- (5)
Таким образом, производящая функция Q;(X) случайных значений корреляционного функционала (1) или (2) может быть выражена в терминах произведения ПФ Q0(Xy+) и Q0(-Xy_) с нулевой задержкой каждая, но с корреляционными факторами у+ и у_ .
4. Результаты расчета процесса корреляции
Рассмотрим нормальный марковский процесс z(t) первого порядка, который описывается стохастическим уравнением вида [6]
dz(t)/dt +vz(t) = u(t), (8)
где u(t) — порождающий процесс “белого шума”. Производящая функция Q0(X) случайных значений корреляционного функционала (2) в этом случае при т = 0 имеет вид [7]
Q0 0-)
4rve vT
(r + v)2erT -(r-v)2e_rT ,
(9)
РИ, 2004, № 3
25
где r = Vv 2 + 2Xvct /T . (10)
На рис. 5 приведены рассчитанные для данных условий семейства плотностей распределения ft( ц) случайных значений ц интегрального корреляционного функционала для процесса первого порядка и даны значения его доверительных границ для случая Р = 0,8. Кривые получены для значений задержек т = 0, ..., 2,5, а = 1 и n=2.
Рис. 5. Плотности распределения и доверительные интервалы интегрального автокорреляционного функционала
В случае расчета семейства плотностей распределения fx( ц) случайных значений ц аддитивного корреляционного функционала Kj результат будет иметь вид, представленный на рис. 6. Семейство плотностей распределения вероятностей рассчитано для значений задержек т = 0, ..., 2,5, а = 1, v =1 — в первом случае и v =2 — во втором. Кроме того, для расчета заданы различные значения интервалов наблюдения (N = 10 (а) и N = 100 (б)).
Рис. 6. Плотности распределения аддитивного автокорреляционного функционала
Как можно видеть, зависимости Kj и К( т ) несут статистически исчерпывающую информацию, необходимую для расчета значений доверительных
интервалов Д(т), позволяющих вынести решение об аномальности значений АКФ, задавая в каждом эксперименте доверительную вероятность Р. Полученные интервалы также могут быть приняты
при функционировании алгоритмов решения обратной задачи в качестве весовых коэффициентов, учитывающих увеличивающийся статистический разброс экспериментальных данных при росте номера ординаты АКФ.
На рис. 7 приведен один из примеров достоверного расчета (утолщенные линии) параметров ионосферной плазмы в виде сечения рассеяния а, температур Tj и Te, электронной концентрации Ne, ионов водорода H+ и гелия He+ при использовании вспомогательных данных о статистическом разбросе ординат АКФ.
н, СГ і І-Те (К) Не+Ц4) №
15Ш 1 в.20
1400 1 0.23 V V v г
1300 0.42 І / і
1200 И.60 і А— f -
1100 Я .07 і (І , 1 >
1000 \ 1.35 h J 7 Є
900 2.27 і ї / і.
ВОО 4.37 і /
700 ч 10.00 >
Б00 ZJ.1U і /
500 ЗБ.ЭЭ f у
400 Э2.БВ /
300 1Є.96 1 /
200 1.00
4й U 4LAJU и ни а 1ПП
Рис. 7. Пример расчета высотных зависимостей параметров ионосферной плазмы над Харьковом
5. Выводы
Таким образом, на основе анализа марковских процессов найдены аналитические выражения для производящей функции, описывающий плотности распределения вероятностей случайных значений ординат корреляционного функционала сигнала НР.
Научная новизна полученных результатов состоит в том, что с их помощью впервые реализованы семейства плотностей распределения для различных условий эксперимента.
Практическая ценность работы состоит в получении дополнительной информации, необходимой для задания доверительной вероятности математических преобразований и минимизации ошибок вычислений.
Дальнейшая проблема, требующая своего решения, заключается в анализе статистических характеристик корреляционного функционала применительно к процессу второго порядка, с учетом средней частоты ш . В результате может быть получено более точное приближение этого функционала к экспериментальной АКФ в случае анализа верхних слоев ионосферы.
Аналогичных исследований в этой области еще не проводилось.
Литература: 1. Пуляев В. А. Информационная обработка сигнала НР на фоне импульсных и флуктуационных помех // Вестник НТУ «ХПИ». Сб. научн. тр. «Радиофизика и ионосфера». Харьков: НТУ «ХПИ». 2002. Т. 5, № 9. С. 57-60. 2. Мазманишвили А.С., Пуляев В.А. Статистические и расчетные зависимости в задачах адаптивного оценивания параметров ионосферной плазмы // Вестн. НТУ «ХПИ». Сб. научн. трудов «Системный анализ, управление и информационные
РИ, 2004, № 3
26
технологии». Харьков: НТУ «ХПИ». 2002. № 18. С. 5156. 3. Пуляев В.А. Оценка параметров ионосферной плазмы в методе некогерентного рассеяния радиоволн / / Восточно-Европейский журнал передовых технологий. 2003. 5(5). С. 12-14. 4. Franke S.J., Rottger J, LaHoz C, Liu C.H. Frequency domain interferometry of polar mesosphere echoes with the EISCAT VHF radar: A case study // Radio Science. 1992. 27, № 3. C. 417-428. 5. Пикаев И.К. Плотность распределения оценки комплексного коэффициента корреляции // Радиотехника и электроника. 1990. 35, № 5. C. 1092-1094. 6. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. М.: Сов. радио, 1977. 488 с. 7. Мазманишвили А.С. Континуальное интегрирование как метод решения физических задач. К.: Наук. думка, 1987. 224 с.
Поступила в редколлегию 12.03.2004
Рецензент: проф. Рогожкин Е.В.
Мазманишвили Александр Сергеевич, д-р физ.-мат. наук, проф., гл. научн. сотр. Института ионосферы НАН и МОН Украины. Научные интересы: статистическая радиофизика, применение математических методов в решении прикладных задач. Адрес: Украина, 61024, Харьков, ул. Ольминского, 17, кв. 11, тел. 47-7218.
Пуляев Валерий Александрович, канд. техн. наук, ст. научн. сотр., зав. отделом института Ионосферы НАН и МОН Украины. информационные технологии, изучение свойств ионосферной плазмы. Адрес: Украина, 61055, Харьков, ул. 2 Пятилетки, 59, кв. 65, тел. 40-05-27.
УДК 517.9
ИМПУЛЬСНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОАЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
ВЛАСЕНКО Л.А.
Описываются электрические цепи, которые моделируются с помощью дифференциально-алгебраических уравнений с импульсными воздействиями (IDAEs). Доказываются теоремы существования и единственности для IDAEs. Результаты применяются для расчета токов и напряжений электрических цепей с импульсными воздействиями.
1. Введение
Цепи, которые моделируются в данной статье, описываются дифференциально-алгебраическими уравнениями с импульсными воздействиями (IDAEs). В работах [ 1 -4] электрические цепи моделируются дифференциально-алгебраическими уравнениями без импульсных воздействий (DAEs). Будем пользоваться общепринятым сокращенным названием DAE для дифференциально -алгебраического уравнения (differential algebraic equation). По этой причине для импульсного дифференциально-алгебраического уравнения будем применять сокращенное название IDAE (impulsive differential algebraic equation). В [1-4] рассматриваются только цепи с сосредоточенными элементами. Цепи с сосредоточенными и распределенными элементами, которые моделируются DAEs с запаздыванием, были рассмотрены в [5-7]. Одна модель электрической цепи с распределенными элементами, которая моделируется обыкновенным дифференциальным уравнением с запаздыванием, описана в [8, введение].
Цель статьи: моделирование электрических цепей с помощью IDAEs. Задачи: 1) получить новые результаты, относящиеся к IDAEs; 2) показать, как эти результаты применяются к исследованию электрических цепей с импульсными воздействиями.
2. Математические модели электрических цепей
Рассмотрим электрический четырехполюсник, изображенный на рис. 1. Цепь состоит из двух индуктивно связанных нелинейных контуров (осцилляторов). На вход подаются заданные ток I_ и напряжение U_. Выходные ток I+ и напряжение U+ , а также внутренние токи 1^2,13,14 и напряжения Uj, U2, U3, U4 требуется найти. Нелинейные функции ф1(І1,І2І,Ф2(І1,І2) отвечают омическим потерям напряжений в индуктивностях, функции g(U3),h(U4) характеризуют нелинейные утечки токов в емкостях. Токи и напряжения удовлетворяют законам Кирхгофа:
U1 + U4 = U■, U1,-U3 = 0, U2 - U4 = 0,
+ + (1)
I1 +13 = I", I2 +14 +1+= I -, U4 = U+,
а также уравнениям
U1 = — (L1* I1 + MI2) + Ф1Д1Д2Х dt
U2 - — (MI1 + L2I2) + 92(I1,I2)
dt
d
d
(2)
I3 =-(C3U3) + g(U3), I4 =— (C4U4) + h(U4).
dt
dt
РИ, 2004, № 3
27
