Обоснование функциональных зависимостей оптимального управления размещением элементов инфраструктуры от сокращения транспортных связей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 656.078

OБOCHOBAHИE ФУHKЦИGHAЛЬHЫX ЗABИCИМGCТEЙ GПТИМAЛЬHGГG УПPABЛEHИЯ PAЗМEЩEHИEМ ЭЛEМEHТGB ИHФPACTPУKTУPЫ OT CGKPAЩEHИЯ TPAHCnGPTHbIX CBЯЗEЙ

П.В. Дружинин1, А.Я. Пономарев2, А.Н. Кабанов3

1 Санкт-Петербургский государственный университет сервиса и экономики (СПбГУСЭ),

191015, Санкт-Петербург, ул. Кавалергардская, 7

2 3

2,3Военно-инженерный технический институт (ВИТИ), 191123, Санкт-Петербург, ул. Захарьевская, 22.

о

Военно-транспортный университет железнодорожных войск РФ, Старый Петергоф,

ул. Суворовская, д. 1

Аннотация - Исследуются проблемы развития крупных городов, целостность территориального планирования, оптимальность управления с сокращением продолжительности операции перемещения.

Ключевые слова: планирование; организационная система; продолжительность проекта; прогнозные вариации.

SUBSTANTIATION OF FUNCTIONAL DEPENDENCES OF OPTIMUM CONTROL OF PLACING OF ELEMENTS OF THE INFRASTRUCTURE FROM REDUCTION OF

TRANSPORT COMMUNICATIONS

P.V.Druzhinin, A.J.Ponomarev, A.N.Kabanov

St.-Petersburg state university of service and economy (SPbSUSE), 191015, St.-Petersburg, streetKavalergardsky, 7 Military-engineering technical institute, 191123, St.-Petersburg, street Zaharevsky, 22 Military-transport university of railway armies of the Russian Federation, Stary Peterhof,

street Suvorovsky, д. 1

Summary - Problems of development of big cities, integrity of territorial planning, an optimality of management with reduction of duration of operation of moving Are investigated.

Keywords: planning; organizational system; duration of the project; look-ahead variations.

Начало реформ 1990-х годов привело к существенному ослаблению деятельности по комплексному, а тем более, стратегическому планированию городского развития. Это произошло на волне тотального отрицания планирования (во всех его видах и формах) как «реакционной идеологии, чуждой создаваемой новой экономической, социальной и государственной реальности. Однако объективные потребности вызвали в настоящее время возрождение интереса. Данная статья своими рамками ограничена исследованием крупных городов.

Практически для всех из них характерны однородные проблемы. Потребность в разработке стратегий развития крупных городов назрели уже давно. Необходимо обоснования таких направлений развития, которые с учетом объективных ограничений будут способны

обеспечить высокие стандарты уровня и качества жизни для всех жителей, устойчивость и сбалансированность функционирования объектов жилья и социальной сферы, экономики и инфраструктуры, сохранение разнообразия городской среды, ее культурно-исторического и природного потенциала. При этом нужно учитывать, что пространственные ресурсы развития экономики и социальной сферы всех крупных городов в их административных границах близки к исчерпанию, и это требует перехода к новым принципам организации жизнедеятельности и жизнеобеспечения, к изменению схем размещения объектов экономики и жилищно-социальной сферы в совместных интересах жителей городов и прилегающих территорий. Необходимо учитывать также прогнозируемые изменения в социальной структуре и в трудовых мотива-

циях населения городов, в отраслевой структуре экономики (в том числе в связи с переходом к высокопроизводительным технологиям), в количестве и размещении объектов социальной инфраструктуры, транспортной, энергетической инфраструктуры в межрегиональных взаимосвязях социального, экономического, финансово-экономического характера. Безусловно, это задача управления.

Выделение в качестве самостоятельной задачи минимизации времени выполнения проекта по территориальному размещению новых градостроительных образований в структуре крупного города является одной из задачей теории управления организационными системами. Рассмотрим задачу оптимального согласованного планирования мероприятий по сокращению продолжительности проекта в условиях, когда возможности исполнителей не известны достоверно центру.

Рассмотрим динамическую систему, которая характеризуется координатой х и скоростью v. Параметром оптимального управления u*(t) является ускорение системы, выбираемое из отрезка [-1, 1]. Требуется за минимальное время Т перевести систему из начального состояния (х0, vo) в состояние (0, 0) [1, 2]. Фиксируем время начала процесса. Время окончания свободное.

Запишем условие задачи в формальном виде:

Т —» min; х = v; х(0) = х0; х(7) = 0;

V=u- v(0) = v0; v(7) = 0;

Iг/1 - 1 •

Функционал задачи может быть преобразован к интегральному виду:

т

- JlЛ—» max.

0

Выпишем условия принципа максимума:

Н= - Xо + ц/iv + щи —> max ;

дН

дх

= 0;

=-= 0.

дН

dv

= -m\ щti)

u*(t) =

Так как и правый и левый конец фазовой траектории - закрепленные, то

условия трансверсальности на сопряженные функции отсутствуют.

Так как функция Понтрягина линейна по u, то максимум Н может достигаться только на концах отрезка изменения управления (за исключением случая, когда \\>2 = 0) [1]. Таким образом, оптимальное управление имеет вид

fsgniK2(tX 4^2 (t^0 [-1,1], 1|/2(0 = 0’ где запись [-1, 1] означает, что u(t) в этом случае не определяется из условий принципа максимума.

Из сопряженной системы могут быть найдены i|/i(0 и 1|/г(0:

v|/i (0 = с; v|/2(0 = ct + d.

Кроме ТОГО, Xq = \\l2ll It=T • Видно, что в зависимости от значений постоянных интегрирования с и d может иметь место несколько различных типов поведения v|/2(0:

а), с = 0. В этом случае vj/2(0 = d. Тогда u*(t) = sgn d - постоянна на [0, T].

б). с<0. Тогда v|/2(0 - убывающая линейная функция. При этом знак щЦ) может изменяться не более одного раза, причем, только с '+' на '-'. Таким образом:

1, /е[0,т)

-1, te (т, T Г (1)

где ге [0, 7] - момент переключения управления.

и(т) может быть определено произвольным образом, так как переопределение функции в одной точке не повлияет на значение интегрального функционала.

в). с>0. Рассуждая аналогично предыдущему случаю, получим, что оптимальное управление может иметь вид:

— 1, /е[0,т)

Ге(т,Г]'

Вырожденный случай возможен только при 1|/2(7) = 0. Это происходит,

u*(t) =

u*(t) =

(2)

u

когда начальные состояния ^(О), v(0)) переводятся в точку (0, 0) управлением и* = +1 или п* = -1.

Таким образом, выделены все возможные типы управлений при различных значениях сопряженных функций. Рассмотрим теперь поведение системы для этих управлений.

Рисунок 1.

а). = 1. Тогда основная система

имеет вид: х = V; у=1,

откуда получаем:

г2

v(t) = t + c1; x(t) = — + Clt + C2.

Построим фазовую диаграмму поведения системы. Для этого выразим x(t) через v(t):

г 2 г 2

x(t) = — + Clt + C2 = ( — + Clt + Cl2) — С12 +

1 ?

C2 = — v(t) + dl

2

Таким образом, возможные фазовые траектории системы в этом случае представляют собой семейство квадратичных парабол, ориентированных вправо. Движение системы вдоль этих траекторий будет происходить снизу вверх (т.к. v — возрастающая функция от ^ [1].

Видно, что достижение конечной точки (0, 0) при помощи управления г/(0=

1 возможно только для некоторых начальных условий, а именно, точек, лежащих на нижней ветви параболы x0= — v0 (выделена жирным на рис. 2).

Рисунок 2.

б). и(/) = - 1. В этом случае: х = у, т>=— 1,

е

v(t) = — t + Cз; x(t) = — — + Cзt + C4.

Выражая x(t) через v(t) аналогично предыдущему случаю, получаем:

г 2 г 2

x(t) = — — + Cзt + C4 = — (— — Cзt + Cз2) +

Сз2 + C4 = — — v(t)2 + d2 2

Фазовые траектории системы при u(t)=—1 представляют семейство квадратичных парабол. Достижение конечной точки при //(/)=-1 возможно только для точек, лежащих на верхней ветви парабо-

1 2 лы x0= — v0 .

2

Таким образом, для точек, лежащих на линии переключения

Хо =

1 2

-V п

-------Уп

2

Уо^О

у0>0

оптимальное управление будет постоянным на всем отрезке [0, 7]: г/*(^)=sgn х0. Здесь мы имеем вырожденный случай ^0=0. Для точек, лежащих над данной кривой, оптимальное управление будет иметь вид (2). Действительно, в противном случае система будет перемещаться под действием управления = 1 вправо вверх, и никогда не достигнет начала координат.

Аналогично, для точек, лежащих ниже линии переключения управление, будет иметь вид (1).

2

1

Определим момент переключения управления г. Пусть начальное состояние (х0, ^) находилось над линией переключения (см. рис. 1.2). Тогда траектория движения системы на отрезке времени [О, г] описывается уравнениями:

г2

v(t) = vo — V; x(t) = — — + Vot + Xo.

С другой стороны, на отрезке [г, 7] система движется под действием управления и(^ = 1 и конечное ее состояние равно (0, 0). Тогда:

v(t) = t — Т; x(t) =

I2 +Т2 2

— Л.

Тогда из условий непрерывности фазовой траектории в момент времени г

г2 т2+Т2

л>о~ т = т- Т:------+ 1;ог + хо = ------

2 2

-Тт.

Решая эту систему относительно переменных г и Г, получаем:

Т = Vo +

—+ хп ; г=у0 + 2

■ + х,

Моменты переключения и окончания управления для начальных условий, лежащих ниже линии переключения, определяются аналогичным образом.

Представим потенциальные градостроительные модели в виде граф-сети (модели), вершины которой соответствуют операциям, выполняемым отдельными исполнителями, а дуги отражают технологию. Обозначим т/ — момент переключения /-ой операции в перемещении по хордам, радиусам и окружностям градостроительной модели. Тогда продолжительность перемещения определяется длиной пути в сети. Сеть представляет собой последовательную цепочку из п операций. Каждый агент (индивид, предприятие, коалиция) разрабатывает и представляет центру (руководителю, совету директоров) мероприятия по сокращению продолжительности производственного цикла. В агрегированном виде эти мероприятия можно описать зависимостью С^т*) затрат, требуемых на со-

кращение продолжительности операции на величину т/ в рамках оптимального управления и*(^ за минимальное время

Т.

Рассмотрим задачу сокращения продолжительности проекта на заданную величину Д. В механизме мероприятий по сокращению продолжительности проекта величина финансирования прямо пропорциональна величине т/ сокращения продолжительности операции, то есть С = ут,

где: у — величина финансирования, выделяемая на сокращение продолжительности проекта на единицу времени.

Для определения плана мероприятий каждый активный элемент (АЭ) представляет центру вариант сокращения продолжительности своей операции на величину ДТ в зависимости от величины у.

Обозначим = ш — предлагаемую /-ым АЭ величину сокращения /-ой операции при финансировании ут/ [Э].

Центр определяет величину у и план сокращения продолжительности проекта из условия ”=1 ^ (Я) > А, то есть определяется минимальное у*, удовлетворяющее этому условию. Далее АЭ / получает задание на сокращение продолжительности операции на величину т; = МУ*) и соответствующее финанси-* *

рование у т/ .

Для исследования сравнительной эффективности этих двух механизмов рассмотрим производственные функции с/(т/) типа обобщенных функций Кобба-Дугласа, то есть

С,( тг) = /*ср

г \ т

7=1,и, а>1, (3)

где: г/ - характеризует эффективность мероприятий /-го агента по снижению продолжительности соответствующей операции.

Примем, что целевой функцией каждого АЭ является разность между тем

V

О

2

2

объемом финансирования, которое он получает от центра на проведение мероприятий по сокращению продолжительности операции и объективно необходимой величиной средств на эти мероприятия.

Используя отношение эффективности сокращения продолжительности операции (т/г/), определяется эффективность планирования данных мероприятий, которую можно представить следующим образом (табл. !).

того чтобы знать, как именно ведёт себя объект при том или ином управлении, необходимо иметь закон движе-

Для решения задачи, несомненно, подразумевается поиск такого способа оптимального управления, который позволял бы достигать желаемого результата наилучшим, оптимальным образом в смысле определённого критерия качества. Анализ прогнозных вариаций перемещений в градостроительных моделях позволяет найти оптимальную модель размещения объектов, входящих в инфраструктурный или иной функциональный кластер территориального развития, с точки зрения затрат, требуемых на сокращение продолжительности операции во времени t и периоде ^ (рис. з).

Первые три статистики измеряют величину ошибок. Лучшая градостроительная модель, при анализе данных, даёт меньшую величину. Последние две статистики измеряют смещение.

Затраты, требуемые на сокращение продолжительности операции пере-

ния, описывающий динамические свойства рассматриваемого объекта [4, 5]. Возможности управлять объектом лимитируются не только ресурсами управления, но и тем, что в процессе движения объект не должен попадать в состояния, физически недоступные или недопустимые с точки зрения конкретных условий его эксплуатации. Имея дело с управляемыми объектами, расположенными в вершинах градостроительных моделей, стремимся так манипулировать "рулями", чтобы, исходя из начального состояния, в итоге достичь оптимального состояния.

мещения в разных градостроительных моделях количественно и качественно будут отличаться. Задача исследователя сводится к корректной постановке ограничений с целью оценки вариантов перемещений, и получения статистических данных для формирования функциональных зависимостей [6]. Варианты и конфигурации градостроительных моделей могут быть представлены в разных комбинаторных вариациях или упрощенно унифицированы по глобальным критериям оценки.

В качестве выводов по формализации функциональных зависимостей оптимального управления территориальным размещением элементов инфраструктуры с точки зрения изменения и сокращения транспортных путей можно констатировать следующее:

1. При появлении отрицательного знака затрат С/т) следует прекратить продолжать операцию, т.к. наступает мо-

Таблица ! — Анализ стоимости движения при изменениях дуг транспортного графа

Изменение времени движения по сети ДТ/,мин Изменение продолжительности соответствующей операции перемещения, г Функциональная зависимость требуемых затрат на сокращение продолжительности операции Затраты, требуемые на сокращение продолжительности операции перемещения, С/т) руб.

(/, 0...-п) 1? с И, !]

мент, при котором транспортнологистическая система терпит прямые убытки, т.е. момент переключения оптимального управления.

2. Величина «положительных» косвенных затрат характеризует наличие возможных вариантов смещения с выбранного пути и минимума затраченного на это времени, что является выбором оптимального управления территориаль-

ным размещением, характеризующим сценарий планирования конфигурации в контексте градостроительных моделей.

3. Процесс индивидуального предпочтения перемещения в схеме транспортных коридор крупного (большого) города, в конечном счете, приведет к оптимизации трассировок потоков и установлению надежного информационного трафика управляющей системы

Прогноз поведения градостроительных моделей

5

6

о X Л §

к я S S

о® с а

(D CD

S с X

<и

X

<и

S

со

К

90

-10

-110

-210

-310

-410

-510

временной ряд Quadratic trend = 0.166071 + 9.71131 t + -1.71155 ^2

° фактический — прогнозный 95.0% limits

12

1б

20

0

4

8

Статистические показатели Величина

Р КМ8Е=(корневое средство выровнявшее ошибку) спрогнозированной

2. МАЕ=(средняя абсолютная ошибка) ошибки во времени t

з. МАРЕ=(средняя абсолютная относительная ошибка) и периоде t-1

4. МЕ=(средняя ошибка) X(RMSE+ MAE+

5. МРЕ=(средняя относительная ошибка) MAPE)^0

Рисунок З. График прогнозируемой зависимости оптимального управления

Литература

1. Состков А.И., Колесник Г.В. Оптимальное управление в примерах и задачах. - М.: ЦЭМИ РАН -РЭШ, 2002 - 58 с.

2. Беленький В.З. Оптимальное управление: принцип максимума и динамическое программирование. М.: ЦЭМИ РАН - РЭШ, 2001.

3. Коновальчук Е.В., Новиков Д.А. Модели и методы оперативного управления проектами. М.: ИПУ РАН, 2004. — 63 с.

4. Санжина О.П. Управление строительством в регионе: проблемы и перспективы развития. - СПб., 2000. - 177 с.

5. Управление проектами: справочное пособие / Под ред. И.И. Мазура, В.Д. Шапиро. М.: Высшая школа, 200Р — 875 с.

6. Токарева Г.Ш. Формирование и развитие городских узловых районов. — М.: Стройиздат, 1985

1 Дружинин Петр Владимирович - доктор технических наук, профессор, профессор кафедры «Автосервиса» СПбГуСЭ, тел. (812) 367-39-92, е-mail: chair.avto(xt>spbsseii.ni:

2 Пономарев Алексей Яковлевич - кандидат технических наук, доцент, секретарь Ученого совета

ВТУЖДВ, тел.: (812)450-29-25, моб:.+1 911 234 27 48; '

3 Кабанов Андрей Николаевич - кандидат технических наук, старший преподаватель ВИТИ, моб.: +7 921 297 30 89