Обоснование формы колена трубопровода для транспортирования сыпучих материалов Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

i>: \ I ■ ». I orи ли i I ли ut * ни я с ......«тш ■ ь< пи

УДК 621.86 78

Земдиханов М.М. - кандидат технических наук

Е-mail: mr.minsur@mail.ru

Казанский государственный архитектурно-строительный университет

Адрес организации: 420043, Россия, г. Казань, ул. Зелёная, д. 1

Обоснование формы колена трубопровода для транспортирования сыпучих материалов

Аннотация

В статье проведен анализ известных устройств для снижения износа поверхности колен пневмопроводов на изгибах. Предложено теоретическое обоснование формы изгиба колена пневмопоровода сыпучих материалов, обеспечивающей движение частиц материала с постоянным давлением на стенку колена и, следовательно, обуславливающий равномерный износ криволинейного участка. При этом увеличивается срок службы колена пневмопровода. Получены уравнения, определяющие форму и размеры колена в зависимости от свойств транспортируемого материала и параметров пневмотранспортирующего устройства.

Ключевые слова: пневмопровод, частица материала, колено, радиус кривизны, уравнение.

Предприятия, производящие строительные конструкции и материалы широко применяют системы пневмотранспорта для транспортировки и смешивания сыпучих материалов, таких как цемент, литейный песок, известь, зола, металлическая пыль, шлак и другие. Пневмотранспорт прогрессивным способом механизации и автоматизации перемещения насыпных грузов. Он имеет следующие преимущества по сравнению с другими видами транспортирующих устройств: возможность транспортирования на большие расстояния в любом направлении (по горизонтали, по вертикали или под наклоном); возможность решения транспортных проблем для производств со сложной компоновкой; отсутствие потерь сыпучих материалов и загрязнения, запыления за счет герметичности трубопроводов; высокая надежность при минимальном обслуживании; модульный принцип изготовления, обеспечивающий простоту монтажа и замены элементов; непрерывность выполнения операций и возможность их автоматизации.

Вместе с тем у пневмотранспортирующих устройств имеются и недостатки. Одним из них является быстрый износ пневмопровода при транспортировке абразивных частиц, в особенности на начальном участке изогнутой части или колена.

Для уменьшения износа поверхности стенки колена предлагается дополнительное устройство на изогнутом участке [1]. Также предлагается установка внутри коленчатого участка дополнительных износостойких вкладышей [2, 3, 4]. Эти дополнения приводят к удорожанию конструкции, и при этом повышается вероятность забивания колена.

Ниже автором теоретически обоснована форма кривой, представляющей радиус кривизны изгиба колена пневмопровода, которая обеспечивает движение материала по стенке колена с постоянным давлением. За счет постоянства давления частиц материала на стенку колена по всей ее длине обеспечивается равномерный износ стенки и увеличивается срок ее службы. Также можно задавать величину давления частицы материала на стенку, не превышающее значения, вызывающего разрушение материала.

Определим уравнение кривой, удовлетворяющей вышеуказанным требованиям.

Частицы материала поступают на криволинейную поверхность колена с начальной скоростью v0 (рис. 1). На движущуюся частицу действуют сила тяжести mg,

центробежная сила m vl, сила нормального давления N, сила трения fN и сила

Р

воздушного напора Fe. Проектируя силы на нормаль и касательную, запишем дифференциальные уравнения [6]:

m— = mg cos a + FB - fN, (1)

dt

N = m--+ mg sin a = const,

P

где m - масса частицы материала; v - скорость частицы;

a - угол между осью x и касательной к образующей поверхности колена; f - коэффициент трения частицы материала о поверхность колена; p - радиус кривизны колена трубопровода.

(2)

Рис. Схема сил, действующих на частицу при движении по поверхности колена

Размеры колена ограничиваются габаритами и материалоемкостью пневмопровода и поэтому при движении частиц материала по поверхности колена с малыми радиусами кривизны силы нормального давления в десятки раз превышают силу тяжести и силу напора воздушного потока. Поэтому, при рассмотрении движения частиц по поверхности колена, им можно пренебречь, тогда уравнения (1) и (2) запишем в виде:

¿V „г

т— = - /N '

Заменив в уравнении (3):

dt

v 2

N = m — = const. P

dv dv ds dv dt ds dt ds

(3)

(4)

(5)

(6)

где - дифференциал длины дуги образующей, приводим его к интегралу:

V £

т | vdv = - | ,

V,, 0

где V0 - скорость частицы материала при поступлении на поверхность колена. После интегрирования получим:

V 2 =-2 N / т + V,2. (7)

Из уравнений (4) и (7) после преобразований имеем:

р=тл-2>. (8)

Как известно [6] длина дуги определяется через интеграл:

Ф + (/У

dx

После подстановки интеграла (9) в выражение (10) получим:

P = -2f } Ф + (y

dx •

Также известно [7], что радиус кривизны кривой определяется по зависимости:

P =

л/[1 + (y ')2]3

Приравнивая правые части уравнений (10) и (11) получим:

гv02 - 2f} Ф + (y')2dx .

[ЖуУГ = mv о2 - 21

N

(9)

(10) (11) (12)

2

Продифференцируем данную зависимость по х и после некоторых преобразований имеем:

3(у")2 У' - + (У)2] + 2ДЛ2 = 0. (13)

Понизим порядок уравнения (13) на единицу, что возможно ввиду того, что переменная х не входит явно в уравнение [8]. Положим у' = р , тогда:

1

ар ар ау , и (ар Л ар ар ар2 2 2

у =- = -—— = рр уп у =

р

+ р^^ = (р'у ) р + рУур '

ах ау ах у ^ ау ) ау ах ауах После подстановки уравнение (13) примет вид:

рр"уу(1 + р2) + (ру)2(1 -2р2 -2/р) = 0, р * 0. (14)

„ = = = . (15)

у ау ар ар ау ар Тогда уравнение примет вид:

[ ^ =[2 р2 + 2 р -1 ар (16)

1 2 1 р(1 + р 2) (16)

В уравнении (16) интеграл справа от знака равенства представим в виде:

Г 2р2 + 2/р -1 ,•( А Ср + Б V

I-¡-—^2— ар = Ц-+^—- ар, (17)

-1 р(1+р2) я р 1+р2J

где 1 -2р2 -2/р = А(1 + р2) + Ср2 + Бр . Приравниваяр = 0, определяем: А = -1, С = 3, Б = 2 / .

Решив полученный интеграл, находим:

(1 + р 2)',5 р 2 / агс'вр

2 = (1 + р ) р-рС1. (18)

р

Определим из начальных условий с1. Так как:

2=ар = ау^х = /_=у_, (19) ау ах ау у' р тогда формулу (18) запишем в виде:

у " = рс'(1 + р2)и5р2/. (20) С другой стороны начальное значение радиуса р 0 кривизны образующей колена определяется из условия:

Р 0 = ' <21>

"доп

где Ждоп - максимально допустимое центростремительное ускорение при взаимодействии

частиц материала с поверхностью колена.

Тогда, учитывая данное выражение и воспользуясь уравнениями (11) и (20)

получаем формулу для определения рс1 :

Ж

рс1 =_доп .

С Л 2р2/ ак^ (22)

Обозначим рС1 как С1 и учитывая, что р0 = tga 0, запишем:

С1 = (23)

уп ^ 0

где а 0 - начальное значение угла а .

Для решения уравнения (18) подставим вместе 2 дифференциал °р, тогда данное

ау

уравнение приводится следующему интегралу:

-2 /¡г&%р

1 рр .

I ау=-г ар. (24)

С1 V1+р (1+р )

Сделаем подстановку arctgp = q; d 2 = dq; p = tgq . Тогда:

1 + p

J dy = — J e ~2fq sin qdq • Применив для данного выражения метод интегрирования по частям, получим:

J dy = С1 (efq cos q + 2 f J efq cos qdq). (25)

Для интеграла в правой части также воспользуемся методом интегрирования по частям: J e-2fq cos qdq = e -2fq sin q + 2 f J e~lfq sin qdq • (26)

Подставив правую часть выражения (26) в уравнение (25), определяем y:

2 f sin q + cos q „

У = —-—-—2—f + с 2 •

- C1(1 + 4 f )e2fq

Учитывая, что q = arctgp = arctgtga = a, а также формулу (23), получим зависимость y от параметра a , являющегося углом между касательной к искомой кривой и осью x, в следующем виде:

у=-v¡effnaf) + (27)

Wdon (1 + 4f )e2f 2 1 '

Определим C2 из начальных условий. Допустим при условии y = 0, a = a 0 = 0 и.

2

тогда с =_5_, следовательно, уравнение (27) запишется в виде:

2 (1 + 4 / 2Ждоп

У = у0 (1 2 / 81па + сова

" = (1 + 4/2)^„ I1 ^ J (28)

Для получения уравнения радиуса кривизны колена в параметрической форме далее аналогично определяем зависимость х от параметра а . Заменив:

1 х"

у" = ^ - =-ф. (29)

выражение (11) запишем в виде:

[1 + (х')2]3/2

Р =- " . (30)

хуу

Также подставив:

" 1

У = -Г' (31)

уравнение (10) приводим к виду:

V _

I* I-

Р -2/1 + (х")2ёу . (32)

^ 0

Приравнивая правые части формул (30) и (32) и после их дифференцирования, проведя некоторые преобразования, получим:

3х"уху -х"у[1 + (ху)2 -2/(х"у)2] = 0. (33)

Далее проведем замену:

х" = Рх; х"у = РР"; х-"" = Р[(Р")2 + ГГ" ] (34)

и после преобразований уравнение (33) примет вид:

(1 + Р2) + (Р")2 (1 + 2/Р - 2Р2) = 0. (35)

Введением повторной замены: ^ = т ■ р " = т т'

ёх х

3

Fe2 farc'sF

Определим ec3 из начальных условий. Так как:

x;

Г = (1 + F2)2 ec3. (36)

dF dx' dv x" x"

Г = ur= y иУ = yy = yy , (37)

dx dx dy x' F

y

тогда формулу (36) запишем в виде:

х; = е°3(1 + ^2)ие27. (38)

Также уравнение (38) запишем в виде:

Р = -

0 + F2)2 . (39)

yy

С другой стороны начальное значение р 0 определяется из условия:

.2

р 0 = WT- <40>

" доп

Тогда, учитывая данное условие и, воспользуясь уравнениями (38), (39), получаем формулу для определения еъ :

c W0on

2 2 f arctgF о

(41)

v0t:

Обозначим ec как C3 и учитывая, что F0 = 1/tga 0 = tg (p /2 - a 0), запишем:

W0nn

Сз = v2 e 2f(Pn-a.0) ' (42)

Для решения уравнения (38) подставим вместо T дифференциал dF, тогда это

dx

уравнение приводится к следующему интегралу:

i fFfgFdF.

Jdx = С j-3"dF (43)

Сз (1 + F 2y

Решим данный интеграл теми же методами, которые были применены выше для интеграла (24).

Далее подставив f = 1/tga = tg(— - a), а также С3 из выражения (42) и

предположив, что угол a 0 = 0, после преобразований получим искомую зависимость в следующем виде:

v02(2 f cos a - sin a)

(44)

Определим C 4 из начальных условий. Допустим при условии x = 0, a = a 0 = 0 и

2 fj 2

тогда C =--—-, следовательно, уравнение (44) запишется в виде:

4 (1 + 4f2)Wdon

x =_V2_f 2f cosa - sina _ 2fl. (45)

X (1 + 4f 2)WdBn l e2fa 2f J (45)

Таким образом, получены уравнения искомой кривой в параметрическом виде, где параметром является угол a между касательной к этой кривой и осью x :

v02 f 2 f sin a + cosa ^

v=ж l1 —^J' (46)

( 2 f cosa - sin a

(i+4 f 2)wÓOn l e1

или, после введения обозначений для постоянных, уравнения (46) и (47) приводим к следующему виду:

b sin a + cosa4

v=a(1--ba-),

b 6 ■ (48)

.b cosa - sin a

x = a(-ba--b)

x= ■ . ;2)W l ^—e2fa--2f I, (47)

eba

где a =-^-; b = 2 f .

^доп

(1 + 4 f 2)Wdc

Как видно из полученных выражений (48), форма и размеры поверхности колена пневмопровода зависят от таких параметров, как коэффициент трения / между частицей

материала и поверхностью колена, скорости V0 материала при поступлении на эту

поверхность и допустимой величины центростремительного ускорения ]Удоп при

движении материала по ней. Задаваясь конкретными значениями этих параметров можно определить необходимую форму и размеры колена пневмопровода.

Список библиографических ссылок

1. Поворотный участок трубопровода пневмотранспортной установки: пат. 137277, Рос. Федерация. № 2013142048/11; заявл. 13.09.13; опубл. 10.02.14. Бюл. № 4. - 3 с.

2. Колено трубопровода для транспортирования пылевидных материалов: пат. 80915, Рос. Федерация. № 2008139254/22; заявл. 02.10.2008; опубл. 27.02.2009. Бюл. № 6. - 3 с.

3. Колено стального трубопровода: пат. 2118737, Рос. Федерация. № 96123795/06; заявл. 19.12.96; опубл. 10.09.98. Бюл. № 25. - 3 с.

4. Поворотный участок трубопровода для транспортирования сыпучих материалов: пат. 2085462, Рос. Федерация. № 93052936/11; заявл. 19.12.96; опубл. 27.07.1997. Бюл. № 21. - 3 с.

5. Василенко П.М. Теория движения частицы по шероховатой поверхности сельскохозяйственных машин. - Киев: Изд-во украинской академии сельскохозяйственных наук, 1990. - 283 с.

6. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. - М.: Наука, 1986. - 545 с.

7. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том (часть) 2.: Учебник для втузов. - М.: Интеграл-Пресс, 2010. - 544 с.

8. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Лань, 2003. - 832 с.

Zemdikhanov M.M. - candidate of technical sciences

Е-mail: mr.minsur@mail.ru

Kazan State University of Architecture and Engineering

The organization address: 420043, Russia, Kazan, Zelenaya st., 1

Justification of form of pipeline elbow for transportation the loose materials

Resume

The article analyzes the prior art to reduce the wear elbow of pipeline. In this article is theoretically justified form of bending the elbow of pipeline for the transportation of abrasive loose materials to ensure the movement of the material at a constant pressure to the surface of the elbow and thus, ensures uniform wear of the curved portion. This increases the service life elbow of pipeline for transportation of abrasive loose materials. The author obtained the equations that define the shape and size of the elbow depending on the properties of the transported material and parameters pneumatic conveying. The form of bending the elbow of pipeline depends on parameters such as the coefficient of friction between the particle material and the surface of the elbow, material velocity at entry to this surface and the permissible value of the centripetal acceleration during the motion of the material on it. After assigning specific values of these parameters we can determine the required shape and size of the elbow.

Keywords: pipeline, particle material, the elbow, the radius of curvature, the equation.

Reference list

1. Elbow of pipeline the pneumatic installation: the patent 137277 Russian Federation. № 2013142048/11; it is declared 13.09.13; it is published 10.02.14. The bulletin № 4. - 3 p.

2. Elbow of pipeline for transportation of powdered materials: the patent 80915 Russian Federation. № 2008139254/22; it is declared 19.12.96; it is published 27.02.09. The bulletin № 6. - 3 p.

3. Steel pipeline elbow: the patent 2118737 Russian Federation. № 96123795/06; it is declared 19.12.96; it is published 10.09.98. The bulletin № 25. - 3 p.

4. Elbow of pipeline for transportation of loose materials: the patent 2085462 Russian Federation. № 93052936/11; it is declared 19.12.96; it is published 27.07.97. The bulletin № 21. - 3 p.

5. Vasilenko P.M. The theory of motion of a particle on a rough surface of agricultural machinery. - Kiev: Izd-vo ukrainskoy akademii sel'skokhozyaystvennykh nauk, 1990. -283 p.

6. Bronshtein I.N., Semendyaev K.A. Handbook of mathematics for engineers and students of technical colleges. - M.: Nauka, 1986. - 545 p.

7. Piskunov N.S. Differential and integral calculus. Tom (part) 2.: Textbook for technical colleges. - M.: Integral Press, 2010. - 544 p.

8. Korn G., Korn T. Handbook of mathematics for scientists and engineers. - M.: Lan, 2003. - 832 p.