Обобщенный закон оптической шероховатости Текст научной статьи по специальности «Физика»

ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ОПТИЧЕСКОЙ ШЕРОХОВАТОСТИ Н.В. Варкентина, Т.К. Крутицкая, О.В. Майорова, Е.Е. Орлова, В.Т. Прокопенко, Е.К. Скалецкий, И.Е. Скалецкая

На основе мало изученного явления аномального отражения (АО) деполяризованных монохроматических электромагнитных (ЭМ) волн когерентного источника линейно поляризованного излучения в оптическом диапазоне выявлен феноменологический обобщенный закон связи линейных параметров шероховатости с интенсивностью I отраженных волн X на скользящих углах падения ф. Показано, что этот закон I = I (Х,ф,Лг) обобщенно описывает явления АО во всех диапазонах ЭМ волн (ядерном, рентгеновском, УФ, ИК и др.). Выявлен класс функций численной аппроксимации для описания выпуклого поведения интенсивности АО света от параметров оптической шероховатости Лг. Из опытных данных по методу наименьших квадратов (МНК) найдены статистически значимые коэффициенты этих аппроксимаций. Сформулирована гипотеза линейной экстраполяции функции интенсивности 1лин(Х) по второму фактору длин волн, опосредованно отражающей угловое 1мах(ф) распределение экстремумов АО. Найдены физические ограничения этого линейного прогнозирования на космические масштабы спекл-шероховатости распределения масс звездного вещества.

1. Введение

Понятие шероховатости как совокупности неровностей Н(х, у) реальной физической поверхности рекомендациями ГОСТ 2.309 - 73 (СТ. СЭВ РС6-71, 1632-79) определяется двумя вертикальными (Яа - среднеарифметическая высота Н и Я2 - средний размах между максимумами и минимумами распределения высот Н) и горизонтальными (Бт - базовый шаг) параметрами:

1 1 1 Н

Яа = -1Я(1 = -Яп|,где..Яп = Ип -Иш,

^ 0 я п=1

Rz = -

1 Г 5

I нг -I нг , (1)

Vk=1 k=1 J

1 N

а _ an

т ~ ът ' ' m' n =1

Отношение этих средне статистических постоянных 5ф = Rz/Sm становится единственной характеристикой неровностей релеевского типа - средним значением уклонов зеркальных площадок поверхности 5ф = const.

Понятие аномального отражения в рентгеновской оптике впервые было введено И. Ионедой [1] по аналогии с модными для довоенных времен терминами аномального рентгеновского поглощения [2] в дифракционных эффектах Бормана-Кооллера для брэгг-лауэ-геометрии скользящего падения или аномальной атомной дисперсии в крючках Рождественского. Специальными исследованиями [3] гриф аномальности в методах полного внешнего отражения (ПВО) рентгеновских лучей был снят, и все эффекты этого АО были объяснены рассеянием на приповерхностных неоднородностях структуры материала.

5

Rz мкм 320 160 80 40 20 10 6.3 3.2 1.6 0.8 0.4 0.2 0.1 0.05 0.025 0.01

Класс 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ОШП ГШП

Таблица 1. Определение классов шероховатости по параметру

На рис. 1 представлены экспериментальные данные по распределению интенсивности в зеркально отраженных (ЗО) и АО лучах от оптического стекла марки К8 при разных классах чистоты обработки поверхности [3]. В табл. 1 приводится связь [4] классов чистоты с параметрами Я2. Особенность этих данных состоит в характере перераспределения интенсивностей ЗО и АО лучей: при росте шероховатости гладких зер-

кал интенсивность АО растет, а ЗО падает. Однако на диффузных отражателях интенсивность АО снова падает с ростом К2.

Рис. 1. Угловое распределение интенсивности отражения на стеклах

марки К-8 (Л = 0.8Ä).

Первые результаты по АО в оптическом [4] диапазоне (X = 6328 Ä) для того же стекла марки К8, обработанного по методу оптической и глубокой шлифовки-полировки (ОШП, ГШП), представлены на рис. 2. Эти данные показывают сложный спектр углового распределения интенсивности сигнала гашения в скрещенных поляризаторах с объектом исследования между ними при косом падении-отражении на него (0° < ф < 90°) линейно поляризованного света Кюу = U(X, ф, Rz,; n, к, d). Однако в целом тенденция уменьшения интенсивности АО с классом чистоты обработки поверхности аналогична данным рентген-оптики (рис. 1).

Рис 2. Интенсивность деполяризованной части АО от стекла марки К8 при двух типах обработки поверхности - по методу ОШП и ГШП

С целью метрологической проработки отмеченных выше тенденций связи сигнала АО деполяризованного когерентного переизлученного приповерхностными слоями света с их структурной неоднородностью (шероховатостью был выполнен дополнительный эксперимент с мерными зеркалами Иогансона с известным классом чистоты их обработки. Теоретический анализ полученных данных и определяющих их оптические свойства механизмов взаимодействия света с веществом приводит нас к убеждению не только о статистической, но и закономерной физической корреляции между линейным параметром шероховатости (Я2) и интенсивностью деполяризации когерентно-

го ЭМ переизлучения по единому механизму рассеяния на хорошо развитых энтропийно-структурных флуктуациях отражающих приповерхностных слоях материала. На рис. 3 представлено многообразие угловых спектров АО для различных материалов -от чистой воды до неполируемых слоистых кристаллов нитрида бора (КБ).

10° 75' 80° 35° У„ы 90° Рис. 3. Примеры типовых спекл-картин за гранью френелевского гашения света

Отображение экстремумов АО для этих измерений на длине волны Не-Ке лазера на классы их линейной шероховатости по ГОСТ Кг указывает на существование обобщающего эти эффекты закона логостического характера, графически представленного на рис. 4.

У, СТНЕД

(И . /ммеолнчгсм; ' ЛГШРО^СИГЛЛИПР

Рис. 4. Эмпирическая кривая связи имах(ф) от Та же функция имах(ф) от х = 1п(Р2) с параболической экстраполяцией её значений в область, где нет данных прямого

эксперимента (Р2>3 мкм).

Задача состоит в нахождении функционального вида этого естественного закона связи интенсивности эмпирической деполяризации со статистическими параметрами Кг светорассеивающих структур. Это чисто аппроксимационная задача, решаемая с помощью численных методов прикладной математической статистики.

2. Постановка аппроксимационной задачи

Физические граничные условия на концах интервала 0< Я2 < да естественно, нулевые. Действительно, если нет рассеивателей даже микроуклонного типа, то нет и АО. Регулярная шероховатость гигантских размеров никогда не даст зиркального направле-

ния для АО лучей, т.е. их интенсивность также должна быть нулевой. Следовательно, по теореме Ролля, известной из математического анализа, внутри интервала искомая функция должна проходить через свой экстемум. Для рентгеновских лучей этот максимум четко обозначен среди всех 14 классов шероховатости на плоских зеркалах из оптического стекла марки К8 (см. рис. 1).

Данные оптических измерений на неполном множестве классов шероховатости представлены на рис. 4. Их можно аппроксимировать классами параболических, дробно-степенных, гиперболических, экспоненциальных и смешанных функций.

Рассмотрим аналитические алгоритмы типовых нелинейных аппроксимаций для некоторых из перечисленных функций. Общим критерием правдоподобия апроксима-ции дискретного множества узлов экспериментальных данных (хк, ук = У(хк)) для к = 1, 2, 3, ... К некоторой аналитической функцией F(Const; х) от вектора констант Const = (A, B, C, ...) и аргумента х является статистически значимая минимизация функции невязок от многих переменных С(Со^^=£(^-Дхк))2. Для нахождения экстремума этой функции многих переменных необходимо решить систему уравнений для равных нулю dG = 0 всех частных производных этой функции по всем компонентам вектора неизвестных Const.

2.1. Параболическая аппроксимация

Начало и среднюю часть эмпирической логостической функции на рис. 4 удобно описывать параболами (растущими вначале и симметрично падающими в центральной части) общего вида: F = Ах2 + Вх + С. Здесь неизвестные параметры А, В и С находятся в линейной несмешанной форме, и система нулевых частных производных по ним тоже оказывается линейной алгебраической (СЛАУ). Решения СЛАУ легко программируются в дискриминантной форме теоремы Крамера:

К К К К

А£ хк4 + х3 + С 2 х2 = 2 У

кхк

к=1

К

к=1

К

к=1

К

к=1

К

А2 х3 + В2 хк2 + С 2 хк =2 У кхк

Const =

к=1

к=1

к=1

к=1

К

К

К

А2 х2 + В2 хк + К = 2 Ук

а =

в = ■

с = ■

Аа

А

А^

А

А,

А

к=1

к=1

к=1

где

Д =

К

к=1

К

;Дв =

2

к=1

К

2

к=1

К

к=1 К

2

к=1 К

2

к=1

х„

х,.

К

К

2 хк4 2 х3 2;

к=1

К

х

х

2

к=1

К

2

к=1

К

2 у

к =1 К

2 у

к=1 К

2 у

к=1

х

к=1

К

2

к=1

К

х

кхк

2

к=1 К

2

х

К

Да =

К 2 укх2 К К 2 х.!

к =1 К к =1 К к =1 К

2 укхк 2 х.! 2 хк

к =1 К к =1 К к =1

2 ук к=1 2 х„ к=1 К

Дс =

2 х4 2

х

к =1 К

2

к =1 К

2

к =1

к=1 К

х

2 х2

к=1 К

2 х-

к =1

2 у

к =1 К

2 у

к=1 К

2 у

к =1

кх2

кхк

Искомые параметры могут равняться найденным с точностью до погрешностей МНК: А = а ±5а, В = в ±5в, С = с ±5с. Положение вершины параболы определяется как Хмах= - В/(2А).

4

к

3

к

к

к=1

2

к

к

к

2.2. Экспоненциально-параболическая аппроксимация

Частным случаем логостических функций являются функции асимметричного распределения максвелловского типа Г = Ах2ехр(-В(х-С)2). Здесь также неизвестными являются три параметра А, В и С. Однако В и С - неразделяющиеся неизвестные. Поэтому система нулевых значений частных производных от целевой функции невязок уже не будет СЛАУ для трех неизвестных. Проще всего обойти это затруднение с помощью метода прямой прогонки по варьируему значеню подгоночногопараметра С. Затравочное значение С можно выбирать либо по экстремуму параболической аппроксимации Г(х) вблизи максимума эмпирической функции У(х), исходя из гауссовского смысла параметра С = хмах в почти симметричной части распределения У(х), либо прямо из условия максимума функции Г'(хм)=0. Точка хм = С + 1/В и мало отличается от хмах= С при 1/В<<С, т.е. при широких, а не узких линиях вблизи экстремума эмпирической функции.

Определившись с подгоночным параметром С, можно более строго найти А и В. Рассмотрим Дх) = 1п(Г) = 1п(А) + 1п(х2) - В(х- С)2. Введем обозначения: а= 1п(А), в = -В и ук= 1п(ук). Тогда функция невязок G = £(а + 1п(хк2) + в(хк - С)2 - ук )2 = G(а, в) - линейная функция двух параметров, которые находятся из СЛАУ второго порядка:

К К К

аК + в £ (х* - С)2 = У У * -11п(х* ) - С1

к=1

КК

а У (х* - С )2 + вV

к=1

К

к=1

к=1

к=1

(х* - С)4 =У [уг - 1п(х*2)](х* - С)2 - С2

к=1

где а =Да/Д, в = Дв/Д, а детерминанты находятся из определителей вида

Д=

К У (х* - С)2

к=1

У (х* - С)2 У (х* - С)4

X =1

*=1

Да=

С1 У (х* - С)2

*=1

С2 У (х* - С)4

*=1

Дв=

К С1

У (х* - С)2 С2

Для эмпирических функций с очень сильной асимметрией подъема и спада мак-свелловская аппроксимация может оказаться несостоятельной в силу чрезвычайно высокой экспоненциальной чувствительности закона аппроксимации к режиму чисел.

Наиболее состоятельной, как показывает численный эксперимент, для критического поведения экспонент является четырехпараметрическая степенно-экспоненциальная аппроксимация выражением вида Г(х; А, В, С, Д, Е) = Ах8ехр(-С(х-Д)Е).

3. Параметрический закон обобщенной шероховатости

Исходными данными для нахождения параметров обобщенного закона АО ЭМ волн от параметров оптической шероховатости и(Я2) при Х=6328А в классе кусочно-степенных функций (см. раздел 2.1) послужили детальные исследования отражательной способности иФЭУ(ф) стальных мер Иогансона, калиброванных на определенное значение Я2. В табл. 2 представлены сводные данные по эмпирической связи этого сигнала «гашения» с дихотомическим ГОСТ параметром шероховатости Я2.

Яг мкм 320 160 80 40 20 10 6.3 3.2 1.6 0.8 0.4 0.2 0.1 0.05 0.025 0.01

Имах,у.е. 0.03 0.3 3 30 72 95 105 102 85.5 55.8 30 10 3 1 0.1 0.01

Таблица 2. Обобщенная эмпирическая функция связи уровня деполяризации и(ф) отраженного когерентного света с уровнем чистоты обработки поверхности

Статистически значимыми параметрами параболической аппроксимации Ах +Вх+С эмпирического закона обобщенной оптической шероховатости и(Я2) в средней области спадающих крыльев искомой параболы являются числа

*=1

А = -13.88, В = - 7.77, С =104.33.

Наиболее интересна при высоких классах оптической шлифовки-полировки зеркал информация об остаточной шероховатости их прецизионной обработки. Параметры соответствующей параболической аппроксимации начального хода эмпирического закона и(Я2) принимают следующие значения:

Ао = 13.91, Во = 112.5, Со =224.34.

Коэффициенты, описывающие крутизну развала «рогов» этих парабол, оказывается идентичными по модулю и противоположными по знаку ( |а| = 13.9).

Полученные численные характеристики параметров обобщенного закона оптической шероховатости достаточны для прогнозирования степени чистоты поверхности зеркал как для сверхгладких нанотехнологических изделий, так и для диффузных транспарантов микронного диапазона шероховатостей. Третью зону наиболее грубых шероховатостей следовало бы описывать гиперболическим законом асимптотического спада сигнала и до бесконечномерных «шероховатостей».

4. Выводы

В традиционных методах [6, 7] поляризационно-оптического материаловедения при использовании классических эллипсометрических приборов по известным причинам не принято говорить об информативности индикаторного приборного сигнала гашения ифэу. Наше исследование показывает ошибочность «выплескивания» такого значимого для современных нанотехнологий способа оценки шероховатости прецизионно гладких зеркал и предлагает принять феноменологический закон ее трехфакторного описания I = 1(к,ф,Я2).

1(Х, ф, Яг).

На рис. 5 показана схема возможного линейного прогнозирования ш(Х(ф))=кХ по двум исследованным волновым диапазонам (Х1 ~ 1А и Х2 = 6328А) на неограниченную зону его положительных значений 0<Х<ю вплоть до реликтовых длинноволновых полей излучения. В подобном опосредованном переходе по кремнеземному материалу (К8) коэффициент линейной экстраполяции можно найти по формуле к = (и2 - и1)/(Х2 - Х1). Естественно, в бесконечность можно перейти только асимптотическим приближением на хвостах убывающих экспонент или гипербол вместо линейной экстраполяции, но найти физическую интерпретацию такой крупномасштабной шероховатости проблематично и в хорошем смысле моделирования - спекулятивно. Эффективно, например ра-

ботает спекулятивная замена переходного шероховатого слоя оптической моделью пористой системы. При радиационном облучении материала также создается микропористая система в объеме и на поверхности с эффективной наведенной шероховатостью

Рис.6. Спекл-образ кипящего звёздного Космоса

На рис. 6 (из материалов журнала «Природа») представлена спекл-картина кипения вращающегося звездного мира излучающих галлактик до 19 спектрального класса включительно, содержащая около полутора миллиона объектов, обладающих естественной пористостью и спекулятивной шероховатостью, соответственно.

Физические ограничения подобной космогонической спекуляции следует искать в эффектах квантования гравитационных полей классическим способом [6]:

тМ V2 2 т2 О—— = т— = тт К = J— К К

К2

mvК = пН = ттК2 = Ja

2

™ * 7 тт ОМ — = J— К4 К

Ja = пН;...п е N

2 г>3 .

ОМ = а2 К

_ им ОМ 2 „ ¡ОМ 2П К = 3 О— = ЗНт^г J = К3 т2К

1 . Нп

т = — Нп =--

J тК2

„1-2 2 т V Н п

пНО2 М2 т4

О 2М

тН4п4 Н3

Здесь квантование действия выбрано для интегрального описания всевозможных проявлений взаимодействия шероховатых структур вещества с полем излучений. Система содержит уравнение баланса сил в модели дальнодействия по закону Ньютона всемирного тяготения масс и центробежных сил инерции. Полный момент количества движения или действия в скалярной форме, выражен через моменты инерции J тяготеющих масс. Из этих уравнений при ограничениях на конечность скорости света юКс< с следует вывод о конечной протяженности вещественного звездного мира:

ch3

Rc =

G2M2

если считать конечным квантование вещества min = m0 = Const, например, массы покоя нейтрино. Такое представление квантования вещественной формы физической материи требует конечности и максимального числа квантов (n<ro). Таким образом можно промоделировать механизм самоорганизации космических масс Вселенной.

Полевая природа равновесного центра масс М легко берется из соотношения постоянства в материальном физическом мире удельной энергии с2 = Е1М = Const.

Литература

1. Yoneda Y. Nomalous surface reflaction of X-reys. // Phys. Rev. 1963..V.131. №.5. Р.2010-2017.

2. Пинскер З.Г. Рентгеновская кристаллооптика. М.: Мир, 1979. 390 с.

3. Турьянский А.Г., Киселева К.В. Модель переходного слоя при зеркадьном отражении рентгеновских лучей от границ раздела двух сред. // Кр. сообщения по физике. 8. 20. 77.

4. Хусу А.П., Витенберг Ю.Р., Пальмов В.А. Шероховатость поверхностей. Теоретико-вероятностный подход./Под ред. А.А.Первозванского. М.: Наука, 1975. 344 с.

5. Скалецкий Е.К., Петровский Г.Т., Скалецкая М.И. О возможности применения метода эллипсометрии к исследованию прозрачных оптических сред. // Оптика твердого тела. М.: МФТИ, 1983. С.45

6. Скалецкая И.Е., Скалецкий Е.К. Анатомия атома. // Тезисы докл. на юбилейной НТК ППС, посвященной 100-летию ГУИТМО 29-31 марта 2000 г. С..87-88.