CC BY
20
Доклады БГУИР
2005 октябрь-декабрь № 4 (12)
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 517.58
ОБОБЩЕННОЕ РАСШИРЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА
А.А. КОРОЛЕВА
Белорусский государственный университет пр. Независимости 4, Минск 220050, Беларусь
Поступила в редакцию 10 августа 2005
Рассматривается интегральное преобразование, содержащее в ядре расширенную функцию Миттаг-Леффлера в весовом пространстве суммируемых на действительной полуоси функций со степенным весом. Для этого преобразования получены условия действия оператора преобразования из одного пространства в другое, доказаны формула преобразования Мел-лина и аналог формулы интегрирования по частям, получены различные представления, дано описание образа оператора и доказаны формулы обращения.
Ключевые слова: интегральное преобразование, функция типа Миттаг-Леффлера, интеграл Меллина-Барнса, весовые пространство измеримых по Лебегу функций.
Рассмотрим интегральное преобразование
ад
КрЛ«= IЕа,р(-xt)f(t)dt (х>О), (1)
О
содержащее в ядре специальную функцию Ea р (г), определенную для вещественного aеR и комплексных Ре С и г^О интегралом Меллина-Барнса
(Е вг)=— [Г(5)Г(1 -(-^ (геС; а^О, гФО) (2)
1 а,р 7 2т{ Г(Р-а
Здесь (_г)^=ехр[_5[1п (г)+1 эд£(-г)]], -я<эд£(-г)<л; (г^О) — произвольная однозначная ветвь многозначной функции (-г)-5, Ь — специально выбранный замкнутый контур, оставляющий все полюсы гамма-функции Г(5) слева, а все полюсы гамма-функции Г(1-5) справа. В качестве Ь можно выбрать один из следующих контуров: Ь=Ь-ад (Ь=Ь+ад) — левая (правая) петля, которая расположена в некоторой горизонтальной полосе, начинается в точке — ад + /ф1 (+ ад + /ф1) и заканчивается в точке — ад + /ф2 (+ ад + /ф2), — ад < ф1 < ф2 < ад .
Функция Еа р (г) введена в работе авторов [2], где доказано ее существование в следующих случаях [2, Теорема 3-4]:
Ь=Ь-ад, Яе(а)>О; (3)
Ь=Ь+ад, Яе(а)<О. (4)
Кроме того, в [2, Теорема 5-6] установлены формулы разложения (2) в следующие степенные ряды:
¿„.д.- )=§ г^+й - ке<»)>0)- (5)
ш 11
Ео.в (.)=£г( ак ,Р а).+1 (Ь=Ь+(Ш Ке(а)<0), (6)
к=0
Г(-ак + р-а) -к
Правая часть (5) известна, как классическая функция Миттаг-Леффлера; см. основные свойства и приложения в [3, § 18], [4, гл. 3].В частности, в терминах этой функции выражаются решения краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка, возникающих в задачах диффузии [5, § 42.1].
Интегральное преобразование вида (1) с функцией Миттаг-Леффлера в ядре изучалось при а>0 в работе [6] в весовых пространствах измеримых по Лебегу функций /еЬу, г (1<г«да, уеЯ), таких, что
Ш V ^ .4 , &
[| г"/(Г) | — « ш (1<г«ш, уеК). (7)
о 1
В [6] была построена Ьу, г-теория преобразования (1), а именно: получены условия действия оператора Еа р этого преобразования из одного пространства Ьу, г в другое Ь1-у, доказаны формула преобразования Меллина и формула интегрирования по частям, получены различные представления, дано описание образа оператора и доказаны формулы обращения.
Настоящая работа посвящена построению г-теории интегрального преобразования (1) в случае а<0.
Имеют место следующие утверждения, которые характеризуют свойства оператора Еа р в г, различные в случаях: а=-2, а=-1, -2<а<-1, -1<а<0. Далее [X, У] означает множество ограниченных линейных операторов, действующих из одного банахова пространства X в другое У.
Теорема 1. Пусть а=-2, Д<0, 0<у<1, 1<г<ш> и 2у-2<у(г)+Яе(Р), где у (г) = тах
г г
1+1=1.
г г'
а) Преобразование Еа р, определенное на Ьу, 2 может быть распространено на Ьу,, как элемент [Ьу> г, Ь1-у, для всех таких что г<5«да, —,— = 1, где 5'>[2у-2<у(г)+Яе(Р)]-1.
в) Если 1<г<2, то преобразование Еа р взаимно однозначно на г и выполняется равенство
Г(5)Г(1 - 5)
Г(р-а 5)
(МЕа,рж*)= '(М/)(\-5) при Яе^-у (8)
в + к
с) Если 5 Ф- (к е Ы0, Ы0 = N и {0} ), то Еа „ взаимно однозначно на Ь г. Если
а
1 1 3
п = - + Р и Яе(л) = - + МР) >-1, К-е(Р) >- то
Е-2 р (Ь, г)=(М Н 1 )(Ь ). (9)
-2+2 -2,2+р V--4 - ^ер, г
Р + к
Если 3 £N0, такое, что 5 =-, то Е- 2 р (Ь г) — подмножество правой части (9).
а 2,
ф) Если УеЬ„ г, gе Ьу 1<5<ад, —I— = 1 и 2у-2<-шах [у(г), у(^)]+Яе(Р), то
5 Г
| У (Х)(Еа, рg)(Х)ФХ = | g(х)(Еа, рУ)(Х)ФХ .
(1О)
е) ЕслиУеЬ,, г, ХеС, к>О, 2v_2_y(г)+Re(P), то
1 х+1 ф х+1 ад
(Е-2, рУ)(х)=Лх " —X Л
Iн 1
xt
(—X, Л) (0,1) (—2, в) (О,1) (—X —1, Л)
Л , Х+1 С
л а —,—
(Е-2 рУ)(х)==_й х Л — хЛ Iн32,2
ах '
xt
(0,1) (в, 2) (-X, Л) (-X -1, Л) (О,1)
У Ц)— У ^ —
(11)
(12)
для Re(X)>(1_v)h_1 и Re(X)(1_v)й_1 соответственно. 3
Если 2v_Re(P)< —, то
(Е- 2, рУ)(х)= I н
xt
(О,1) (в, 2) (О,1)
У ^ —.
(13)
Теорема 2. Пусть О>а>_2, О<^<1, 1<г<8<ад.
a) Преобразование Еа р (г), определенное на 2 может быть распространено на г как элемент [Ь^ г 5] для всех 5, таких что —I— = 1, где s'>[2v-2<y(r)+Re(P)]-1. Если 1<г<2, то преобразование Еа р взаимно однозначно из Ь,, г на
b) ЕслиУеЬ„ г, gе Ь, 5 1<5<ад, —I— = 1, то
5 Г
адад
|У (х)(Еа, рg)(Х)—Х = | g(х)(Еа, рУ)(Х)—Х .
ОО
Теорема 3. Пусть О>а>_1, 0<v<1, 1<г<ад.
а) Если Re(P)< — и 5 Ф Ё+А (к е ЫО), то 2 а
Еа,р Ь г)=( А+аО Ь . г).
1+а,О 1
р
(14)
р + к
Если 3 к е МО, такое, что 5 =-, то Еа р (Ьу, Г) — подмножество правой части
(14).
а
Ь) Если Re(P)> — и 5 Ф Ё+А (к е ЫО), то 2 а
.р-
Еа,р Ь г)=( 1 2 , О Ь!+а,О Ь,О )Ь г).
(15)
р + к
Если 3 к е , такое, что 5 =-, то Еа р (Ь, г) — подмножество правой части
а
9О
Теорема 4. Пусть а=_1, 0<v<1 и 1<г<ад.
а) Если Re(P)<0 и 5 Ф -в - к ( к G N0 ), то
E-i в(Lv' r)~(L-', -ML-, r).
Если 3 к G N0, такое, что 5 Ф -в - к , то Ea р (L, r) — подмножество правой части
(16).
b) Если Re(P)>0 и s Ф -в - к ( к g N0 ), то
E (Lv, r)=(/0в;1,0 L-i, i)(Lv, r).
(17)
Если 3 к G N0, такое, что s Ф -в - к, то Ea р (Lv, r) — подмножество правой части
(17).
Теорема 5. Пусть -2<а<-1, 0<v<1 и 1<r<œ. Пусть ш, ç, n g С такие числа, что
1
ш = а(п -1) + 2n -1 + в ,(2+а)Re(n) > y(r) - 2(1+а)v+а+^ - Re(p), Re(n) > -v, Re(ç) < v.
в + к
Если s Ф- ( к G N0 ), то
а0
E в (Lv, r)=(M H L )(L ).
а. ш 2+2а,2(1+а)ç+»+1 2|а 1 n| ш /V 1 Re(„) '
(18)
2+а,—n+ __v_r
2 2(1+а) 2 2(1+а) 2 v 2(1+а)r
Р_+_к а
Если 3 к G N0, такое, что s =-, то Еа в (Lv, r) — подмножество правой части
(18).
Приведем формулу обращения преобразования (1) при а=-2. Теорема 6. Пусть 1«г«ш и а=-2, уеЯ такие числа, что
0<у<1, 2у-2<у(г)+Яе(Р) и тах[-+ -2] « V « 1 + ^е(Р). Еслиг, то
1 Л+1 d Л.+1 œ
f ( x) = hx -a- J H 302
dx
xt
(-h) (-1 -в, 2) (0, 1) (0, 1) (-.-1, h)
(E-2, f )(t)dt,
(19)
f)(x)=-hx
, .+1 , .+1 œ
d -r
-x~ J h;, 2
dx
xt
(-1 -в, 2) (0, 1) (-., h) (-.-1, h) (0, 1)
(E-2, pf )(t)dt
(20)
для Яе(А,)>у И-1 и Яе(А,)«у И-1 соответственно.
Доказательство теорем 1-6 основано на представлении интегрального преобразования (1) в виде более общего так называемого преобразования и использовании соответствующих результатов для этого преобразования [7].
EXTENDED GENERALIZED MITTAG-LEFFLER TRANSFORM
A.A. KOROLEVA
Abstract
The integral transform with the extended Mittag-Leffler function in the kernel is considered in the space of summable functions on the real half-axis with the power weight. The conditions for the boundedness of the operator of this transform from one space to the another are proved, the formula of
the Mellin transform and an analogue of integration by parts are established, various representations are obtained, the characterization of the image is given and the inversion relations are constructed
Литература
1. Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции. Т.1. Гипергеометрическая функция Гаусса. Функция Лежандра. M., 1965.
2. КилбасА.А., Королева А.А. //Тр. Ин-та математики. 2005. Т. 13, № 1. С. 23-32.
3. Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции. Т.3. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. М., 1967.
4. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М., 1966.
5. Kilbas A.A., Trujillo J.J.,// Appl. Anal. 2002. Vol. 78, № 1-2. P. 153-192.
6. Bonilla B., Rivero M, Rodriguez-Germa L. et al. // Rev. Acad. Canar. Cienc. 2002. Vol. 14, № 1-2. P. 65-77.
7. Kilbas A.A., Saigo M. Я-Transforms. Theory and Applications. Boca Raton. 2004.
