Научная статья на тему 'Обобщенная задача изменения инсоляции внутренних объемов за счет применения дополнительных устройств'

Обобщенная задача изменения инсоляции внутренних объемов за счет применения дополнительных устройств Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
90
31
Читать
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук
Ключевые слова
ИНСОЛЯЦИЯ / ТЕЛО ЛИНЗЫ / ОТСЕК ПОВЕРХНОСТИ / ЛИНЕЙЧАТАЯ ОБРАЗУЮЩАЯ / КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ / ТОЧКА КАСАНИЯ / НАПРАВЛЯЮЩИЕ КОСИНУСЫ / NSOLATION / BODY LENS / COMPARTMENT SURFACE / LINE GENERATORS / TANGENT PLANE / POINT OF CONTACT / DIRECTION COSINES

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Мартиросов Александр Леонидович, Пашян Джульетта Араратовна

В статье рассматриваются вопросы реорганизации пучка солнечных лучей в конгруэнцию посредством геометрических образований, ограниченных двумя поверхностями и составляющих тело, названное "линза". Разработанная модель позволяет изменением параметров положения элементов, задающих внешние и внутренние поверхности, изучать характер реорганизации, т. е. вести исследования по преобразованию пучка на компьютере.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Мартиросов Александр Леонидович, Пашян Джульетта Араратовна

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
Предварительный просмотр
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

The generalized changes in insolation interior volume through the use of additional devices

The article deals with the reorganization of the beam of sunlight through a congruence of geometric entities, limited by two surfaces and components of the body, called "lens." Model allows to change the parameters of the position of elements that define the outer and inner surface, study the nature of the reorganization, that is, to conduct research on the transformation of the beam on the computer.

Текст научной работы на тему «Обобщенная задача изменения инсоляции внутренних объемов за счет применения дополнительных устройств»

Мартиросов Александр Леонидович

Martirosov Alexander Leonidovich Доцент/ Associate professor Кафедра «Начертательной геометрии и черчения» РГСУ Ростов-на-Дону Department of «Descriptive Geometry and Drawing»RSBU Rostov-on-Don

Пашян Джульетта Араратовна

Pashyan Djlietta Araratovna Кафедра «Начертательной геометрии и черчения» РГСУ Ростов-на-Дону Department of «Descriptive Geometry and Drawing»RSBU Rostov-on-Don

Ассистент/Teaching assistant E-Mail: PDA185ma@yandex.ru

Обобщенная задача изменения инсоляции внутренних объемов за счет применения дополнительных устройств

The generalized changes in insolation interior volume through the use of additional devices

Аннотация: В статье рассматриваются вопросы реорганизации пучка солнечных лучей в конгруэнцию посредством геометрических образований, ограниченных двумя поверхностями и составляющих тело, названное - "линза". Разработанная модель позволяет изменением параметров положения элементов, задающих внешние и внутренние поверхности, изучать характер реорганизации, т. е. вести исследования по преобразованию пучка на компьютере.

The Abstract: The article deals with the reorganization of the beam of sunlight through a congruence of geometric entities, limited by two surfaces and components of the body, called -"lens." Model allows to change the parameters of the position of elements that define the outer and inner surface, study the nature of the reorganization, that is, to conduct research on the transformation of the beam on the computer.

Ключевые слова: Инсоляция, Тело линзы, Отсек поверхности, Линейчатая образующая, Касательная плоскость, Точка касания, Направляющие косинусы.

Keywords: Insolation, Body lens, Compartment surface, Line generators, Tangent plane, Point of contact, The direction cosines.

***

Введение. Для освещенности внутренних пространств помещений весьма целесообразно применение таких устройств, которые позволили бы в большей степени охватить все пространство интерьера. В качестве таких устройств могут быть использованы светопреломляющие конструкции. Одна из таких конструкций предлагается в данной работе. При этом разработанное устройство задумано как преобразуемое либо на начальном этапе, либо в процессе изменения внешней инсоляции.

Предлагаемая конструкция линзы. Рассмотрим линзовое образование. При этом, в качестве ограничивающих тело линзы отсеков внутренней и внешней поверхностей в данном случае выберем:

- внешняя поверхность является отсеком однополостного гиперболоида вращения с уравнением [1]:

2 2 2

X- + У- _ £_ = 1

а2 а2 с2

(1)

- внутренняя поверхность является отсеком однополостного гиперболоида общего вида с уравнением [1]:

2 2 2 X-+—_ і-=1 -2-2 -2

ь

(2)

X

с

Пусть световой луч S с направляющими косинусами I$, т^, попадает в точку Р

внешнего отсека. Если задаться величинойур, то по соотношению (1) получим:

2

2 2 2 2 а а Г~2 2

X + і = а + у р —-, то есть окружность радиуса Я = — д/с + уР . Если теперь про-

с2 с

V2 2 I 2 2

Я _ Хр хР < Я, то получим ір = д/Я _ Хр (рис.1).

Как известно, однополостный гиперболоид имеет два семейства взаимно пересекающихся линейчатых каркасов, и через каждую точку (а следовательно, и через Р) проходят две пересекающиеся линейчатые образующие, которые и составляют касательную плоскость в точке. Для выделения прямых, проходящих через точку Р, воспользуемся новым приемом, который состоит в следующем. Спроецируем точку Р ортогонально на плоскость хОъ и получим Р2 (хР, 0, 1р). Горловое сечение поверхности, описываемой уравнением (1), получится подстановкой у=0 и даст уравнение окружности:

х2 +12 = а2

(3)

Рис. 1. Аксонометрическое изображение ограждающих поверхностей Прямые, проходящие через Р могут быть определены уравнением пучка

£ - £р = к(х — хр)

Совместное решение (3) и (4) приведет к квадратному уравнению вида:

2 2'

(4)

2 2 2 (1 + к )х + 2к(ір — кхр)х + (£р — кхр) — ал

Решением квадратного уравнения будет:

= 0.

х

— к( £р — кхр) ± 1к2(£р — кхр)2 — (1 + к2 )

(£р — кхр) — а

р

12 К

1 + к

2

(5)

Если прямая из пучка (4) будет касательной к кривой (3), то подкорневое выражение в уравнении (5) должно равняться нулю.

Приравняв это выражение нулю, найдем, что х р£ р

к12 -

, I 2 . 2 2

± а^хр + £р — а

. (6)

а — х.

Так как имеем два значения к, то получим и пару точек касания К^хк 0, цк) и К2(х2К, 0,12к). Эти точки определят совместно с точкой Р уравнения образующих однополостного ги-

перболоида

уравнениями:

У—Ур £—£р

и

х1К — хР

х — х

р

У — Ур £ — £р

х2 К — хР

Прямые РК и РК2 составляют касательную плоскость. Множители при х, у, £ определяют направляющие коэффициенты нормали, с помощью которых можно определить направляющие косинусы нормали этой плоскости. Уравнение плоскости в матричном виде имеет вид:

х — хр У — Ур £ — £р

11К т1К п1К

2 К

т2 К

п2 К

- 0

Вычисление комплексного преобразования светового луча при прохождении через выбранную систему. Вектор светового луча с направляющими косинусами меняется в зависимости от времени суток и заданного дня (,тн,пн ) .

На векторах нормали и луча отметим единичные отрезки, на которых отметятся точки я( хр + 1яуУ р + т*’£р + п*) и М(хр + 1п>Ур + тп’£р + пп).

Используем приближенный метод замены дуг хордой. На прямой, соединяющей точки S и М, отметим точку С, которая разделяет отрезок, уменьшая на коэффициент преломле-

ния п от точки N (рис.2).

с

Рис. 2. Схема преломления луча в теле линзы Координаты этой точки:

хв =

Он -Ь) + пх1

Ус =

(тн - ms) + пУ,

(пн - ns) +

п п

Для сокращения записей обозначим:

1п - Ь = Ь’ тп - mS = М> пп - nS = N.

Преломленный луч ОР будет иметь уравнение:

н

Ь + пх,

х -

н

У-

М + пу.

N + пг,

г--

н

н

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Ь + пх.

х , -

н

У , -

М + пу

N + пг,

н

гР -

н

Взяв первую и вторую дроби, выразим у через х у = Взяв первую и третью дроби, выразим г через х г =

Мх - Мх Р + Ьу.

_____________Р______•_[

Ьн

Ш - + ЬгР

Ьн

Подставив данные выражения в уравнение (2) и решив это выражение относительно х, получим координаты точки Р .

Определив координаты точки Р(хр,ур,гр) и построив ортогональную проекцию ее на хОг, проведем касательные к горловому сечению однополостного гиперболоида общего

х2 г2

вида по уравнению (2). Сечение имеет уравнение: —г + —г = 1. Уравнение же пучка прямых с _ а Ъ

центром в точке Р 2 имеет вид: г = к(х - хр ) + гр . Решая совместно эти два уравнения аналогично предыдущему, выявляем точки касания Кі и К2.

Прямые РК1 и РК 2 составляют касательную плоскость. Множители при х, у, г определяют направляющие косинусы нормали п этой плоскости. Уравнение плоскости в матричном виде имеет вид:

N

х - Хр у - Ур z - 1р

11К т1 К п1 К = 0 12К т2 К п2 К

Раскрывая, получим

(х - хР)(т1 К п2 К - т2Кп1К ) - (У - Ур)(11К п2 К - 12 К п1К ) + (z - Zр)(llкm2К - 12Кт1К ) = 0

Отсюда направляющие косинусы п нормали:

1п = т1 Кп2К - т2Кп1 К ; тп = -(11Кп2К -12Кп1 К ); пп = 11Кт2К - 12Кт1к •

На новой нормали и преломленном луче отметим отрезки единичной длины, координаты которых

S(x- + 1^>У~ + т^^р + пь); И(х- + Ь;у- + тп^р + п^) Направляющие косинусы

прямой вР:

= -

Ь

вР

V

Ь2 + М2 + N

2

;твР =-

М

V

Ь2 + М2 + N

2

;пвР =

N

Если материал нижней поверхности другой , то отрезок £ N нужно увеличить на п . Точка на этой прямой в имеет координаты

х^ = (I- -1- )п + х~; у^ = (т- - т- )п + у- ; z^ = (п- - п- )п +

в ' п ь' р’ •'в ' п Ь' р в ' п ь' р

Тогда исходящий луч будет иметь уравнение

х - х-р

У - у-,

(I- -1-)п (т- - т- )п (п- - п- )п

' п ь' ' п ь/ ' п

Уравнение исходящей прямой может решаться с любой ограждающей поверхностью пола, стен и пр.

Заключение. Созданная модель линзового тела дает возможность проводить исследования по измененной инсоляции внутреннего пространства помещения с большим количеством изменяемых величин в ее конструкции. Такого рода модели линз могут быть своими отсеками состыкованы с отсеками линзовых тел, ограниченных гипарами, так как однополостные гиперболоиды, как и гипары, имеют гиперболические сечения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бронштейн, И.Н., Семендяев К.А. Справочник по высшей математике для ин-

женеров и учащихся втузов/ И.Н.Бронштейн, К.А.Семенцов -Москва: Наука, 1980.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.