Обобщенная моментная функция Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.233.5

ОБОБЩЕННАЯ МОМЕНТНАЯ ФУНКЦИЯ © А.В. Петров1

Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Производен анализ вероятностных числовых характеристик, отражающих структурно сложные виды и степени вероятностных зависимостей. Особо тщательному рассмотрению подверглись смешанные моменты высших порядков. Выведены выражения для смешанного центрального момента в случае, когда его слагаемые являются аргументами полинома порядка n. Использование систем нормальных уравнений для нелинейной регрессии позволило выявить физический смысл смешанного центрального момента: вероятностно-статистическое отражение нелинейной зависимости между случайными величинами.

Ключевые слова: регрессионный анализ; полином; моментные функции; численный эксперимент.

GENERALIZED MOMENTARY FUNCTION A.V. Petrov

Irkutsk National Research Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.

The paper deals with the analysis of probabilistic numerical characteristics reflecting the structurally complex types and degrees of probabilistic dependencies. Particularly careful consideration is given to mixed higher-order moments. Expressions for a mixed central moment are derived in the case where its components are the arguments of the n-order polynomial. It is found that the use of the systems of normal equations for a nonlinear regression allows to figure out the physical meaning of the mixed central moment - probabilistic-statistical reflection of the nonlinear dependence between random variables.

Keywords: regression analysis; polynomial; momentary functions; numerical experiment.

Введение

Пусть две случайные величины связаны полиномиальной зависимостью

y = b0 + b • x1 + b2 • x2 +... + bn • xn,

(1)

где Ь] - искомые коэффициенты; п - порядок полинома.

В [1] приведены выражения, связывающие сложные (смешанные) моменты высших порядков с начальными моментами величины X:

ц(1' 2'. .' n)

Ki, Kv..,Kn)

Mj(X-Oi)K1 •(X2-02)K2 •...•(xn-an)Kn| =

(-i)SK4n (aK( X ))J. M

П

J =1

K

K-1)' • cKj •

Xj

i = 0

a

j(X)

(2)

Здесь ^ (X) - начальные моменты порядка j величины Х; С^ - биномиальный коэффициент.

Применив зависимость (2) к полиному (1), получим

1

Петров Александр Васильевич, доктор технических наук, профессор кафедры автоматизированных систем, тел.: 89148992771, e-mail: petrov@istu.edu

Petrov Alexander, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Automated systems, tel.: 89148992771, e-mail: petrov@istu.edu

м(!> 2'-' п)

Kj, K2,...,Kn+1)

= m|(Y-Oi(Y))Kl •(X-Ol)K2 •...•(Xn-an)Kn+J j

(- 1)gKj • M] [l bj • Xj f -fl'+I (- 1)i • CK • aKT (X) • Xj

| j= ^ j=2 i=0 J

MJ

Ib- Xj

П (X-1 -Oj-1 )Kj

(3)

Учитывая, что в (3) под знаком математического ожидания находится сложное произведение, по сути являющееся также корреляционными моментами (подтверждением чему являются выводы А.К. Митропольского [2, с. 86-88]), мы получаем возможность представить момент (3) без математического ожидания - прямо через начальные моменты.

Выявление зависимостей

При К1 = 0 (зависимость между значением полинома У и компонентами полинома X ] = 1, 2, ..., п отсутствует) момент (3) трансформируется в выражение:

(1,1,2,..,n) (0Д2,...ДП+1)

(-1)14 П(aК (X))

V J=2

X

X

M

n+1

П

j=2 V v

К

к-1)' • CK, •

i=2 j

Xj

-1

aK-1 (X)

JJ

M

n+1 V

П (XJ-1 -Oj-1) j

(4)

Пусть далее К1 = 1. При п = 1 формула (3) принимает вид:

^(1'K,)= M{b1 • X •( X -O1 )K2}

k,

№)

Ъ(М[Х2 -щ ■ X]} = Ъ(а2 - а?), если к2 = 1. Ь ■щ, если к2 = о.

(5)

При n = 2 получаем:

м(1'1'2')

Ц(1,К2,Кз

Ъ ■ а + ъ2 ■ а2, если к2 = о и к = о,

Ъ ■ (а2 - а2) + Ъ2 ■ (аз - а1 ■а 2), если К 2 = 1 и К3 = 0, Ъ ■(а -Щ ^а2) + Ъ2 ■(а -а2), если К2 = 0 и к = 1, Ъ |(а4 - а ■ а3) - а2 ■ (а2 - а2 +

+ъ2 ■ [(а - а ■ а4) - а2 ■ (а - а ■ а2)], если к2 = 1 и к = 1.

(6)

При n = 3

j=1

j=2

М(1Д,2,3) ^(1,K2,K3,K4

b • «i + Ь • «2 + b3 - «3, если K2 = О, K = О, K4 = О,

bi - («2 — «2 ) + b2 - (

«3 — • «2) + b • («4 — «1 • «з) ,

если K2 = 1, K = О, K4 = О,

b • («3 — «i • «2) + b2 • (<

;) + b3 •(«

если K2 = О, K = 1, K = О,

b • («4 — «1 • «3 ) + b2 • («5 —

.) + b3 («

если K2 = О, K3 = О, K4 = 1,

b [(«4 — «1 • «3 ) — «2 • («2 — «2 )| + +b • [(«5 — «1 • «4 ) — «2 • («3 — «1 • «2 )] +b [(«6 — «1 • «5 ) — ««2 • («4 — «1 • «3 )],

если K 2 = 1,K 3 = 1,K 4 = О,

b [(«5 — «1 • «4 ) — «1 • («2 — «2 )| +

+Ь • [(«6 — «1 •«5) — «3 • («3 — «1 • «2 )]

+b [(«7 — «1 • «б) — «3 • («4 — «1 • «3 )] ,

если K = 1, K = 0, K4 = 1,

b [(«6 — «2 • «4 ) — «3 • («3 — «1 • «2 )] + +b • [(«7 — «2 • «5 ) — «3 • («4 — «2)| + +b [(«8 — «2 • «б) — «3 • («5 — «2 • «з)]

если K2 = О, K3 = 1, K4 = 1,

•«

b [(«7 — «1 • «6 ) — «2 • («5 — «1 • «4 ) —

—«3 • («4 — +b2 [(«8 — —«3 • («5 — +b3[(«9 —

—«3 • («6 —

« « « « «

.3 ) + «2 • «3 • («2 — «2 )| +

7 ) — «2 •(«6 — «1 -«5 ) — «4) + «2 • «3 • («3 — «1 • «2 )]

"

,) — «2 •(« 7 — «i •« 6 ) —

• «^ ) + «-, • «-

(« 4 — «1 • «3 )|

если K 2 = 1,K 3 = 1,K 4 = 1.

(7)

Действуя аналогично для п = 4, 5 и т.д., получим общее выражение для смешанного момента при произвольном п.

Введем следующие обозначения:

n+1

u=

j=2

(8)

V =

I Sj

^j=1 j.

— (u —1),

(9)

где Sj - индекс Ksj = 1.

)

2

Обобщая (5)-(7) с учетом обозначений (8)-(9), получаем для полинома п-ой степени:

IM,2,3,.,n) =у

^(1,K2,K3,...,Ks,...,Kn+1) 1 j=1

V

(av+j-1 as-1 •0v+j-s) 1asil-1 •(0v+J-^ as-1 ^v+Ja-s+1)

V'1 =2

\

C1

u-1c

1 aS-1 -1 •(aV+j-^ -Si2 +1 aS-1 •aV+j-S-s4А +2 )

'1=2 V'2 =2

1 '2

C

u-1

1 aS-1 -1 -1 -(°v+ja-si2-si3 +2 as-1 ^av+j-s-s4 -si2 -si3 +3)

'1=2

V'3=2

'1 *'2 *'з

3

u-1

C ,, слагаемых

(10)

( 1) 1 •...• aSu-1 -1 •(aV+J-S'l- ...-S^ +U-2 aS1 -1 • av+J-S1 -S4- ...-S^ + U-1)

' =2

'u-1 =2

'1 *... ^'u-1

C

u-1 u-1

слагаемых

+

+

Проведя нормирование момента (10) среднеквадратическими отклонениями, получим соответствующий коэффициент корреляции:

r (1,1,2,...n)

(1,K2,K3,...,Kn+1)

^'¿..k+1)

ff ^ f v2 • d(xj)+ 1 ь, • bk • (<

VVj=1 J Vj*k

k ((X j+k -a j k

JJ

K

• DK2 (x1*2 )• ...• DKn+1 (Xmn+1)

(11)

)

Оценка вклада слагаемых полинома в общую вероятностную зависимость

Анализируя выражения (2) и (11), можно сделать вывод о том, что каждое слагаемое в них - есть числовая характеристика взаимосвязи, которая отражает вклад соответствующего вида зависимости в общую зависимость. Например, для полинома второго порядка (п = 2)

у = Ъ0 + Ъ1 ■ х1 + Ъ2 ■ х2

О О

это - зависимости пар (X, У), (X2, У), (X, X2). Аналогии такому объяснению можно найти в теории вероятностей достаточно часто. Общая формула вероятности суммы произвольного числа совместных событий

f n ^

P

SAj =£P(AiP(Ai • Aj) +

V j=1 ) 1

+ S P(Ai • Aj • AK)-...-(-l)n-1 • P(Ai • A2 •...• An)

i,j,K

содержит слагаемые, определяющие вероятности совместного появления 2 -х, 3-х,..., n событий Aj.

Для полиномиальных зависимостей выполняется и справедливо известное обоснование, говорящее о том, что классический коэффициент корреляции

r (X;Y )=MXY)=±L

ax •CTy

|r (X,Y )|< 1,

если X и Y линейно зависимы. Пусть для полинома

y = bo + bs • XS

тогда из (3)

^(1,0,..,0,1A...,0) - bs-1 •D(X )

(1,0,...0,S,0,..0) _ r(1,0,...0,1,0,...0) -

as-1 • D(XS-1)

-±1.

b2-1 • D(XS-1) • D(XS-1)

Обозначим SKj - количество слагаемых полинома, участвующих в расчете смешан-

ных моментов

Обратимся теперь к определению сложных моментов, когда рассматриваются только взаимосвязи между X, ] = 1, 2,..., п. Опираясь на выражение (3) и используя технику, представленную выше в (5)-(10), получаем (Б^, ¡<0, см. таблицу.

Зависимость корреляционных моментов от числа слагаемых полинома

S Kj .1 ^¿'¿..Kn+1)

0 1

1 0

2 as1+s2-2 -aS1-1 •aS2-1

3 (aS +s2 +s3 -3 - as -1 • aS +S-2 ) - aS -1 • (aS +S-2 - aS -1 • aS-1) - -as -1 • (as +s-2- as -1 • as -1^

4 (aS +S+S+S-4 - aS-1 'aS+S+S-3) -S-1 '(aS+S+S-3 - aS-1 "as3+S"г) --aS-1 " (aS+S+S-3 - aS-1 'aS+S"г) - aS-1 ' (aS+S+S-3 - aS-1 "as2+S"г) + +aS-1 ' as-1' (as +s-2 - as-1' as-1) + as-1' as-1' (as +s-2 - as-1' as-1) + +aS-1 " as-1' (as +s-2 - as-1' as-1)

и

Обобщая полученные зависимости и учитывая обозначения (8) и (9), имеем

^(0Д,.'д„+1) = (aV-l aS-l ■ aV-S! ) I 1 aS4 -1 ■ (

Vi=2

a V-S as-i a V-S-S,

>1+1)

(u-1)

слагаемых

+

+

1 a^-i ■ asi2_i ■ (av-:

ii=2 vi2=2

... +

f

S11-S12 +1 aSi-1 ■aV--Si-Sii-Si2 +2;

11 * 12 -

+

-2 u /

(-1)11" Zv-vrl1

i1=2 1u-1=2

a v-S: -.. ,-S: +u-2 a s, -i'a v-s, -:

4 'u-1 1

;i-V...A-i +U-i)

u-1

11 * 1u-1

( u-1)

слагаемых

(12)

Зависимость (12) является более детальной записью соотношения, приведенного в [1], хотя надо помнить, что Xj связаны между собой полиномиальной зависимостью. Выводы

Произведен анализ вероятностных числовых характеристик, отражающих структурно сложные виды и степени вероятностных зависимостей. Особо тщательному рассмотрению подверглись смешанные моменты высших порядков. Обусловлено это неопределенностями в понимании самой характеристики «Момент порядка k, s». Выведены выражения для смешанного центрального момента в случае, когда его компоненты являются аргументами полинома порядка n. Использование систем нормальных уравнений для нелинейной регрессии позволило выявить физический смысл смешанного центрального момента: вероятностно -статистическое отражение нелинейной зависимости между случайными величинами.

Статья поступила 09.11.2015 г.

Библиографический список

1. Петров А.В. Исчисление смешанных моментов высших порядков при полиномиальной зависимости случайных величин // Вестник ИрГТУ. 2015. № 11. С. 16-22.

2. Митропольский А.К. Техника статистических вычислений. М.: Наука, 1971. 576 с.