Исчисление смешанных моментов высших порядков при полиномиальной зависимости случайных величин Текст научной статьи по специальности «Физика»

область решения на все возможные для данной области классы. Объединение этих областей строит минимизированную базу знаний для всей заданной области.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 15-01-03381-а.

Статья поступила 26.08.2015 г.

Библиографический список

1. Журавлёв Ю.И. Об алгебраическом подходе к решению задач распознавания или классификации // Проблемы кибернетики. 1978. Вып. 33. С. 5-68.

2. Лютикова Л.А. Использование математической логики с переменной значностью при моделировании систем знаний

// Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. 2008. № 6 (65). С. 20-27. 3. Лютикова Л.А. Логический подход к модели представления знаний // Естественные и технические науки. 2014. № 6 (74). С. 107-108.

УДК 519.233.5

ИСЧИСЛЕНИЕ СМЕШАННЫХ МОМЕНТОВ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ПРИ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

© А.В. Петров1

Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Проводится анализ вероятностных числовых характеристик, отражающих структурно сложные виды вероятностных зависимостей. Описаны результаты теоретических исследований полиномиально-зависимых случайных величин. Представлены выражения для вычисления сложных моментов высших порядков и нормированных сложных моментов высших порядков для полинома порядка п. Приведены результаты численных экспериментов, подтверждающие справедливость полученных теоретических исследований. Расчеты основывались на генерации случайных чисел, равномерно распределенных в заданном интервале, и вычислении значений полинома с задаваемыми коэффициентами с расчетом оценок сложных моментов.

Ключевые слова: регрессионный анализ; полином; моментные функции; численный эксперимент.

CALCULATION OF MIXED HIGHER-ORDER MOMENTS UNDER POLYNOMIAL DEPENDENCE OF RANDOM VARIABLES A.V. Petrov

Irkutsk National Research Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.

The paper deals with the probabilistic numerical characteristics reflecting the structurally complex types of probabilistic dependencies. The results of theoretical studies of polynomial-dependent random variables are described. The expressions for calculation of complex higher-order moments and normalized complex higher-order moments for the polynomial of n order are submitted. The article also presents the results of numerical experiments confirming the validity of the obtained theoretical results. The calculations were based on the generation of random numbers uniformly distributed in a set interval, and computations of the values of the polynomial with specified coefficients and the estimates of complex moments.

Keywords: regression analysis; polynomial; moment functions; numerical experiment. В рамках решения задачи полиномиального анализа рассматривается полином

п

у V V 1=0

где х - независимая переменная (случайная величина с тх и Ох); у - зависимая переменная (случайная величина с т и Бу); Ь - искомые коэффициенты; п - порядок полинома.

Найдем числовые характеристики для переменной ул: - начальный момент 1-го порядка (математическое ожидание)

1 Петров Александр Васильевич, доктор технических наук, профессор кафедры автоматизированных систем, тел.: 89148992771, e-mail: petrov@istu.edu

Petrov Alexander, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Automated Systems, tel.: 89148992771, e-mail: petrov@istu.edu

a1 (У) = M

S bj ■xJ

,J=0

nn

= SbJ ■ai(XJ) = SbJ ■aj(X)'

J=0 J=0

- дисперсия

D(Y) = M (У-a1 (У)2) =a2(Y)-a2(У) =

= M

=D

( n n ^

S bJ ■ xJ -S bJ ■aJ (X)

J=0 J=0

=M

n2

SbJ ■(xJ-aJ(X))

J=0

SbJ ■ xJ

j=0

: Sb2 ■ D(XJ) + Sbk ■ bJ ■(aJ+k -aJ ■ak),

J=0 J^k

- корреляционный момент (смешанный момент порядка (т,1) [1, с. 26])

"(Хт -а(Хт))•(У-«! (У))"

(m,1) Л;г

^Д)" M

= M

(Xm-am (X)) ■ SbJ (xJ -aj (X))

U=1

= Mj SbJ ■ xJ+m - am (X)^SbJ ■ xJ -XmSbJ ■aJ (X)-

J=1

J=1

J=1

+ aT

l(X) SbJ ■«J (X) j=SbJ ■«J+m (X)-am (X)SbJ ■aj (X),

j=l ] j=l Н

- коэффициент корреляции (центрированный смешанный момент порядка (т, 1) [1, с. 27])

(1)

r(ma) = J=L r(1,1) =

Sbj ■(aJ+m(X)-am(X>aj (X))

К У )-CT(Xm) n

Sbj ■(aJ+m (X)-am (X)-aj (X))

J=1

1

,m <n.

S b2 ■ D(XJ) + S bk ■ bJ ■ (aJ+k (X) - aj (X) ■ ak (X))

J=0 J*k

■ D(Xm)

Рассмотрим подробнее центральный момент ^^ (выражение (1)) для различных т. Обознач моменты как а j = а j (Х). При т = 1

! \ П

Ц(п) = X Ь j(а j+1 - а1 •а j ^ = Ь1(а2 -1а2) + •••+ Ьп (ап+1 - а1 • ап ) >

им начальные

J=1

при m =2

n

n

n

1) 2 ьj(аj+2 -а2 •аj •) = Ь1 (а3 -а1 • а2 ) + ••• + Ьп (ап+2 -а2 • ап ) ( ' ) j=1

и т. д.

Обратим внимание на тот факт, что в каждой сумме (1) обязательно присутствует слагаемое (когда ] = т),

которое является соответствующей дисперсией В (хк).

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Полином 1-го порядка (п = 1).

у = Ьо + Ь1 •х,

а ( у )=Ьо + ь

Б (У )= (X),

Ц(1Д)) = Ь1 ^ат+1 -ат • Ь1 • а1 = Ь1 • (ат+1 -а1 • ат), (2)

г(т,1) = Ь1 • (ат+1 -а1 • ат)=(+1\ ат+1 -а1 •ат (1Д) (+Ь1 )^ст(X)^ст(Хт) ( ст(Х)^ст(Хт) • При т=1, 2, 3, 4 получаем соответственно

2

Г(и)_(+Л. а2 -а1 12,1)_Лы\ а3 ~а1 ^2

А1) (+1) a2 -a1 r(2,1)=(+1) a3 -a1 ^2 Г(1,1) =(+1) a(X)^X)' Г(1,1) =(+1) a^a^

r(3,1)=(+1) a4-a1 ^a3 r( 4,1)=(+1) a5-a1 ^a4 M =(+ ) a(X)^a(X3}' M =(+ ) a(X)^a(X4}.

ст(X)-а(Х ) V ст

Пример 2. Полином 2-го порядка (п = 2).

2

у = Ьо + Ь1 •х + Ь2 •х ,

a1 (У) = b0 + b1 ■aj + b2 ^2,

D (У) = b2 ■D (X)+ b2 ^D(X2) + b1 ^b2 ^(a3 -a1 ^a2), 2

^U) =SJaJ+m -am -aj) = (3)

= b1 (a1+m -a1 ■ am)+ b2 (a2+ m -a2 ■ am),

г(т,1) _ Ь1 • (а1+т -а1 • ат)+ Ь2 • (а2+т -а2 • ат) (1,1) ^Б(Хт) [Ь2 •Б(Х)+Ь2 ^Б(Х2) + Ь1 ^Ь2 •(аз -а1 ^а2)] Прит=1 _г(1,1^ Ь1 ,(а2-а1 'а1) + Ь2 '(а3-а1 'а2) =

(1,1) ^Б (Х) • [Ь2 • Б (Х) + Ь2 • Б(Х2) + Ь1 • Ь2 • (а3 -а1 • а2)]

Ь1 •(а^ - а2) + Ь2 -(«з -«1 •а2)

ст(Х)• ^Ь2 • Б(Х) + Ь2 • Б(Х2) + Ь1 • Ь2 • (а3 -а1 • а2)

(2,1) Ь1 •(аз -а1 -а2) + Ь2^(а4-а2) при т=2 - Г') =- 1 ^ 3 1 2 2 4 2 ,

^ ' ' ст^2)^2^(Х) + ь2-Б(Х2) + ЬГЬ2 ^(а3-а1 ^а2)

при т=3 - г(3,1) = ^ '(0Ц -а1'^3) + Ь2 '(а5 -а2 'а3) ,

(1,1) ст(Х3) • ^Ь2 • Б (X) + Ь2 • Б(Х2 ) + Ь1 • Ь2 • (а3 -а1 • а2 )

(41) ь1 •(а«-а1 ^4) + ь2-(а6-а2 ^4) при т=4 - г V = —-■ = •

(,) ст(x4)• Ль2 •б(х)+ ь2 •б(х2) + ь1 ^ь2 ^(а3 -а1 ^а2) Рассматривая примеры 1 и 2 (которые можно продолжать и далее), обращая внимание на выражения (1)-(3),

описывающие сложные центральные моменты , можно сделать вывод, что эти моменты (даже порядка 1,

2) определяют «вклад» каждого компонента полинома в статистическую зависимость. Первый компонент в числителе отражает вероятностную зависимость, определяемую слагаемым полинома со степенью независимой переменной 1, второй - слагаемым со степенью 2 и т.д. Важно помнить, что знаменатель в коэффициенте

# - это всего лишь нормировка, которая обеспечивает удобство работы, удобство интерпретации, но не меняет физическую суть момента .

Найдем момент , используя понятие биноминального ряда [2, с. 92]:

(к,1)

Ч КД)= M

(ХК-am )К( Y-а( Y))1

= M

К

(ХК-ак) • Sbj-(xj-аj)

и=1

= м

(-1)K •аК

к

' хк 1 - —

п

S bj •(xj-a j) j=1

= НК-аК • M = (-1) = (-1)КаК

(

аГГ

1 + S(-!)icK • ^Г-

i=1 ак

( п (К

.Д-к ^ ( п

SV (xj-а j) j=1

SbjSH-CK--™ -Sbj•aj•S(-1)i• ck^

j=1 Vi=1 (n (

Sbj 5S(-1)^-ck

j=1 Vi=1

n К

i „i (Xi-K+j ai-к • аj

j=1 i=1

\i z-4. ai-к ai

ак

/J

VJ

(4)

Используя биноминальный ряд, можно получить выражение для сложного момента высших порядков

.,( т1' -'тп )

. к1,..'Кп)

ц(к;:.:к;))(Х1,-,Хп) = M[ -к/1 .(хк -ак2 )К2 ....(Хкп -акп )Кп

п к

аК !• M

1= 1

Для полинома порядка п выражение (5) принимает вид:

П

j=1

К-

S(-1)i • CK

К,

i=0

(

x- i j

ак

v /

fcä)(yx )=M

(Y-a1 (Y))K •(хк2 -ак2)K2 •...•(

•( Хшп+1 -ar

\K„

(-1)SKj • M -

^n+1 ^

J=o

n+1

vas-1 - x s=2 /

K.

Sbj • xj n(as-1 - xs-1)

К1 = 0,1; К = 0,1;т1 = V-1;1 = 2,3,...,п +1, а нормированный сложный момент высших порядков имеет вид:

К

(К15К2.. ..Кп+1)

( y.x ) =

К

(К1:К2:..:Кп+1)

( y.x ) =

(y) • dk2 (хк2) • dk (хк) •... • dkn+1 (хкп+1)

(5)

(6)

(7)

где

DK) (У) =

S( bJ2-D(XJ))Kj+1 -S(j - KJ+1 ) + S bKs+J "bj f j-Kj+i +sKs+i -«sKs+i - jK+i )

J=0 j=i j*k

Рассмотрим пример, иллюстрирующий возможности вычисления моментов ц(т1"",тпх^^Хд) для по-

()

х(к1,^,кп)' линомиально-зависимых случайных величин. Равномерное распределение

Пусть случайная величина X имеет равномерный в интервале [а, Ь] закон распределения вероятностей, представленный плотностью распределения

f (x ) =

0,x i [a,b] 1

b - a

,x ela.

[a,b]

Тогда a,K (X) =

bK+J - aK+J (b - a )■( K + i),

i 2■ K +12■ K+1

D(XK) = a2(XK) -a2(XK) = a2 k (XK) -aK(XK) = - ° a

(b - a )■( 2^K +1)

bK+1 - aK+J (b - a )■( K +1)

K2 (a

■(a + b)■ (a2 ' K+J + b2K +1) + a^b■ (2^K + l)-(aK -bK)

(К +1)2 •( 2^К + 1)-(Ь - а)2

отмечая различие между Ь] (коэффициент полинома) и Ь - правая граница области определения в равномерном законе распределения вероятностей,

a1 ( У ) = M D (У) = D

S bj

j=0

n n J+l J+l

:£bj ■ajC X) = ^bj^ - a

j=0

j=0

( b - a )■( J + j)'

S bj-xJ

J=0

= Sb2 ^D(xJ) + SbJ bk ■(aj+k -aj ■ak)

J=1

J^k

n 2 j2 ■(a+b)■ (a2 ■ J+1 + b2 j+j) + a^b■ (2-j + 1>(aJ -bJ)

S bj

J=1

2 ^

(j +1)2 ■( 2J + ))■( b - a )2

S Jbk

,J*k

bj+k+j - aJ+k+1 bk+1 -;

k +1

bj+j - a

J+l

л ^

i)

(b-a)■(k + j +1) (b-a)■(k +1) (b-a)-(j +1)

,K

Д K1,K2,...,Kn+1)

(У,Х) = M|(У-a(У))Kl -(x1-am)K,.,(

Xmn+1 -a r"n+1

(-i)gKJ-M

n+1

K1

S bj-XJ

,J=0

f n+1

П

as-1 - X1

S-l \Ks

,S=2

K1 = 0,1;Kj = 0,1;mj = J -1, J = 2,3,..,n +1.

а коэффициент корреляции -

(8)

2

1.....m

^(1,т2,..,тп+1)

г (1,т2,..,тп+1) (К1,К2,..,Кп+1)

(К1'К2... 'Кп+1) (У) • БК2 (Хт2) • БКз (Хтз )...БКп+1 (Хтп+1), (9)

К1 = 0,1;Kj = 0,1;mj =]-1,] = 2,3,..,п +1.

С целью проверки полученных выражений проводились численные эксперименты. Суть их состояла в генерации 250-ти случайных, равномерно распределенных в интервале [а, Ь] чисел Х, вычислении полинома У до 4-го порядка включительно с задаваемыми коэффициентами Ьу. Последнее обеспечивало и возможность изменения порядка полинома посредством придания необходимым коэффициентам Ьу нулевых значений.

В табл. 1-4 представлены усредненные по 10-ти экспериментам результаты. В табл. 1 приведены теоретические и экспериментальные значения начальных моментов ак(Х) и дисперсий й(ХК) для различных К=0,1.....12 с

вычислением расхождений между ними. В табл. 2 - те же характеристики при К=1, но для значений полинома У.

Табл. 3 отражает усредненные результаты проверки двух вариантов гипотез - о равенстве теоретических и выборочных начальных моментов и дисперсий для различных К и полинома У. При уровне значимости а=5% гипотезы принимаются, хотя и в силу случайности в отдельных экспериментах некоторые гипотезы не принимались.

Таблица 1

Начальные моменты и дисперсии и их оценки_

Порядок (k) Начальные моменты ак(Х) Дисперсии О(Х)

теория эксперимент расхождение теория эксперимент расхождение

0 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,5000 0,5013 -0,0013 0,0833 0,0844 -0,0010

2 0,3333 0,3357 -0,0023 0,0889 0,0893 -0,0004

3 0,2500 0,2524 -0,0024 0,0804 0,0797 0,0006

4 0,2000 0,2020 -0,0020 0,0711 0,0696 0,0015

5 0,1667 0,1680 -0,0013 0,0631 0,0611 0,0020

6 0,1429 0,1434 -0,0006 0,0565 0,0543 0,0023

7 0,1250 0,1249 0,0001 0,0510 0,0487 0,0024

8 0,1111 0,1104 0,0007 0,0465 0,0441 0,0024

9 0,1000 0,0988 0,0012 0,0426 0,0403 0,0023

10 0,0909 0,0894 0,0016 0,0394 0,0371 0,0023

11 0,0833 0,0815 0,0019 0,0365 0,0343 0,0022

12 0,0769 0,0748 0,0021 0,0341 0,0320 0,0021

Таблица 2

Математическое ожидание и дисперсия и их оценки для полинома У_

Числовые характеристики полинома Теория Эксперимент Расхождение

Математическое ожидание М(У) 2,3333 2,2079 0,1255

Дисперсия О(У) 1,0927 1,2216 -0,1288

Таблица 3

Результаты проверки гипотез_

Порядок (k) Не: ак(Х)=хкор Hq: CT2(xk)=S2(Xk)

статистика критическое значение результат статистика критическое значение результат

1 1,0825 1,9696 -0,8870 0,2147 1,9696 -1,7549

2 1,1398 1,9696 -0,8298 0,4869 1,9696 -1,4827

3 1,1183 1,9696 -0,8512 0,7107 1,9696 -1,2589

4 1,0879 1,9696 -0,8817 0,8375 1,9696 -1,1321

5 1,0547 1,9696 -0,9148 0,9000 1,9696 -1,0696

6 1,0197 1,9696 -0,9499 0,9191 1,9696 -1,0505

7 0,9833 1,9696 -0,9863 0,9064 1,9696 -1,0631

8 0,9462 1,9696 -1,0234 0,8687 1,9696 -1,1008

9 0,9090 1,9696 -1,0606 0,8108 1,9696 -1,1588

10 0,8719 1,9696 -1,0977 0,7363 1,9696 -1,2332

11 0,8352 1,9696 -1,1344 0,6486 1,9696 -1,3210

12 0,7988 1,9696 -1,1708 0,5504 1,9696 -1,4192

Y 1,4689 1,9696 -0,5006 0,7703 1,9696 -1,1992

И, наконец, в табл. 4 представлены теоретические и выборочные значения сложных моментов высших порядков (8) и их нормированных дисперсиями значений (9) для различных К, ]=1, 2, 3, 4, 5.

Таблица 4

Сложные моменты и их нормированные значения_

Порядок K=0,1,7=1,2,3,4,5 Сложные моменты (i,m2,...,m5) ^(ki,k2,...,k5) Нормированные сложные моменты (1,m2,...,m5) r(ki,k2,...,k5)

Ki K2 K3 K4 K5 теория эксперимент расхождение теория эксперимент расхождение

0 0 0 0 0 1,0000 1,0000 0,0000 1,0000 1,0000 0,0000

0 0 0 0 1 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0 0 0 1 0 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0 0 0 1 1 0,0750 0,0757 -0,0007 0,9922 0,9925 -0,0004

0 0 1 0 0 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0 0 1 0 1 0,0762 0,0774 -0,0012 0,9583 0,9610 -0,0027

0 0 1 1 0 0,0833 0,0849 -0,0016 0,9860 0,9871 -0,0010

0 0 1 1 1 0,0226 0,0231 -0,0005 1,0036 1,0049 -0,0013

0 1 0 0 0 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0 1 0 0 1 0,0667 0,0681 -0,0015 0,8660 0,8736 -0,0076

0 1 0 1 0 0,0750 0,0767 -0,0017 0,9165 0,9209 -0,0044

0 1 0 1 1 0,0169 0,0176 -0,0007 0,7765 0,7923 -0,0158

0 1 1 0 0 0,0833 0,0852 -0,0019 0,9682 0,9692 -0,0010

0 1 1 0 1 0,0147 0,0156 -0,0009 0,6397 0,6651 -0,0254

0 1 1 1 0 0,0137 0,0149 -0,0012 0,5611 0,5945 -0,0334

0 1 1 1 1 0,0141 0,0145 -0,0003 2,1718 2,1558 0,0161

1 0 0 0 0 2,2833 2,2568 0,0265 2,1843 2,0066 0,1777

1 0 0 0 1 0,2890 0,2927 -0,0037 1,0366 0,9737 0,0630

1 0 0 1 0 0,3137 0,3188 -0,0051 1,0586 0,9930 0,0656

1 0 0 1 1 0,2612 0,2623 -0,0011 3,3056 3,0569 0,2487

1 0 1 0 0 0,3317 0,3383 -0,0065 1,0644 0,9982 0,0662

1 0 1 0 1 0,2550 0,2581 -0,0031 3,0680 2,8500 0,2180

1 0 1 1 0 0,2679 0,2726 -0,0048 3,0319 2,8184 0,2134

1 0 1 1 1 0,1198 0,1212 -0,0015 5,0834 4,6891 0,3943

1 1 0 0 0 0,3083 0,3152 -0,0069 1,0218 0,9604 0,0614

1 1 0 0 1 0,2112 0,2159 -0,0047 2,6240 2,4612 0,1627

1 1 0 1 0 0,2263 0,2324 -0,0061 2,6454 2,4804 0,1650

1 1 0 1 1 0,0936 0,0959 -0,0023 4,1049 3,8316 0,2732

1 1 1 0 0 0,2353 0,2428 -0,0075 2,6155 2,4552 0,1604

1 1 1 0 1 0,0985 0,1014 -0,0029 4,1066 3,8364 0,2702

1 1 1 1 0 0,0663 0,0706 -0,0043 2,5986 2,5002 0,0984

1 1 1 1 1 0,0643 0,0660 -0,0017 9,4546 8,7454 0,7091

Таким образом, получены теоретические возможности исчисления сложных моментов (6) и соответствующих их нормированных дисперсиями значений (7) произвольных порядков для полиномиально-связанных случайных величин X и Y. Проведенные численные эксперименты подтвердили правильность полученных теоретических результатов.

Статья поступила 20.10.2015 г.

Библиографический список

1. Петров А.В. О вероятностных зависимостях. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2005. 80 с.

2. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. М.: Наука, 1989. 720 с.