Смешанные моменты высших порядков как инструмент оценивания формы вероятностной зависимости Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.233.5

СМЕШАННЫЕ МОМЕНТЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ КАК ИНСТРУМЕНТ ОЦЕНИВАНИЯ ФОРМЫ ВЕРОЯТНОСТНОЙ ЗАВИСИМОСТИ

© А.В. Петров1

Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

На основе известных вероятностных характеристик (корреляционных характеристик) оцениваются взаимосвязи внутри случайного явления. В теории случайных процессов эти свойства выражаются авто - и взаимнокорреляци-онными функциями. Используя смешанные моменты высших порядков, находятся матрицы моментов. Это обеспечивает оценку взаимовлияния зависимых и независимых переменных полиномиальной вероятностной зависимости. Выдвигается гипотеза о способе вычисления смешанных моментов высших порядков в зависимости от формы оцениваемой вероятностной зависимости. Представлены результаты численных экспериментов. Ключевые слова: регрессионный анализ; полином; моментные функции; программные средства; численный эксперимент.

MIXED HIGHER-ORDER MOMENTS AS THE TOOL FOR ESTIMATING FORM OF PROBABILISTIC DEPENDENCE A.V. Petrov

Irkutsk National Research Technical University, 83, Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.

The relationships inside a random phenomenon are evaluated on the basis of known probabilistic characteristics (correlation characteristics). In the theory of random processes these properties are expressed by means of auto- and interco-rellational functions. Matrixes of moments are found using mixed higher-order moments. This provides an assessment of the mutual interaction of dependent and independent variables in polynomial probabilistic dependence. A hypothesis on the method of calculation of the mixed higher-order moments depending on the form of the estimated probabilistic dependence is put forward. The results of numerical experiments are presented. Keywords: regression analysis; polynomial; moment functions; software; numerical experiment.

Введение

Практически во всех разделах, дисциплинах и направлениях науки и практики исследования зависимостей и взаимосвязей являются главенствующим фактором. В начале любого исследования выявляются качественные проявления зависимостей. Затем переходят к попыткам нахождения количественных описаний зависимостей, стремятся найти математическую форму этих описаний.

Известны два вида зависимостей - функциональная и стохастическая. Первая является ключевым понятием математического анализа. Функциональная зависимость может быть упрощенно определена как правило, устанавливающее соответствие между числом x (x е X) и числом y (y е Y) и это означает, что на множестве X определена

функция y=f(x), область значений которой расположена в множестве У. Более общее понятие - функционал, который устанавливает соответствие между множеством чисел и множеством функций. И еще более общее понятие - оператор, когда для двух множеств X и У задается закон y=f(x), устанавливающий соответствие каждому x е X единственного y е Y и определенный на множестве X с областью значений в множестве У.

Стохастическая (вероятностная) зависимость устанавливает соответствие между конкретным значением величины X и множеством значений величины У, причем последняя (У) принимает значения с определенной вероятностью.

Этот вид зависимости говорит о соответствии (прямом или противоположном) между тенденциями изменений X и У. Стохастические зависимости проявляются в среднем. Преде-

1

Петров Александр Васильевич, доктор технических наук, профессор кафедры автоматизированных систем, e-mail: [email protected]

Petrov Alexander, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Automated Systems, e-mail: [email protected]

лы стохастической зависимости - функциональная зависимость и независимость. Между этими крайностями лежат все остальные разновидности стохастической зависимости.

По-видимому, справедливо говорить о том, что функциональная зависимость является в существенной степени идеализацией. Объясняется это объективной необходимостью введения условий и ограничений на компоненты и сами функции, функционалы, операторы с тем, чтобы нивелировать неизбежные погрешности измерений и изменения внешних условий и помех. Отсюда ясно, что, несмотря на все сложности применения и описания стохастических зависимостей, они являются более близкими к истине. Любые исследования вероятностных зависимостей и приложения их к научным и практическим задачам основываются на вероятностных числовых и функциональных характеристиках случайных явлений (событий, величин, процессов и полей).

Известен [1] набор требований к любым числовым характеристикам:

• они должны представлять собой величины, зависящие от функционирования системы, которые, по возможности, просто вычисляются, исходя из математического описания системы;

• они должны давать наглядное представление об одном из свойств системы;

• они должны допускать (в пределах возможного) приближенную оценку по экспериментальным данным.

Применяя эти требования к статистическим характеристикам, следует обратить внимание на второе требование. (Первое и третье требования совершенно очевидны для вероятностных характеристик и их статистических оценок). Теория вероятностей предлагает исследователям такие числовые характеристики, как начальные, центральные и смешанные моменты. При этом порядки моментов ограничиваются только целочисленностью и неотрицательностью. (По-видимому, ранее просто не задумывались о снятии этих ограничений). Для начальных моментов известно физическое толкование лишь момента первого порядка - математического ожидания. Для центральных моментов второе требование выполняется для порядков 2, 3 и 4. Для смешанных центральных моментов порядка 1,1 - корреляционный момент.

Что касается таких свойств статистических оценок, как несмещенность, эффективность, состоятельность и достаточность, то они рассматриваются (в рамках третьего требования) в математической статистике.

Характеристики вероятностной взаимосвязи

Моменты, как числовые вероятностные характеристики, вычисляемые для одной случайной величины, могут быть названы статическими характеристиками, так как они отражают свойства отдельно взятого случайного объекта. Когда речь идет о моментах, распространенных на две и большее число случайных величин, то говорят о характеристиках стохастической связи и потому (в определенной мере) динамических характеристиках. Отличительной чертой этого множества объектов является их разделение на качественные и количественные. К первым отнесем регрессию, обеспечивающую определение характера связи, - линейную и нелинейную. Вторые (корреляционный момент, например) оценивают тесноту линейной вероятностной взаимосвязи в количественной форме.

Используемые вероятностные характеристики, отражающие взаимосвязи между случайными объектами, представляют собой математическое описание взаимодействия двух (или большего числа) случайных величин. (Будем пока рассматривать только случайные величины, оставив в стороне случайные явления более сложной вероятностной природы). Это описание выражается в виде усредненных в вероятностном смысле арифметических операций над случайными величинами или некоторыми функциями над ними.

Из этого перечня выпадают две операции - сложение и деление. Первая - по причине того, что математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий и, следовательно, не позволяет оценить степень вероятностной взаимосвязи. Вто-

рая - по причине возможного деления на ноль. Усредненная разность носит название структурной, а усредненное произведение - корреляционной функции.

Рассмотрим традиционные (корреляционные) характеристики [2]. Корреляционный момент - это смешанный центральный момент порядка 1,1 (предполагается стационарность в широком смысле случайного процесса {X(t), teTJ)

Kx(t,t" ) = M{ [X(f)-mx] 1-[X(t" )-mx] ^ . (1)

Коэффициент корреляции - это нормированный дисперсией корреляционный момент

rA- (t'f ) = . (2)

Автокорреляционная функция - это корреляционный момент вида

Kx (т) = M{ [X(t)-mx] 1 -[X(t + х)-mx] '} , (3)

где х = t" -1' .

Нормированная автокорреляционная функция - это коэффициент корреляции вида

/ ч Kx (х)

"x (х) = к^. (4)

где х = t" -1"

Взаимный корреляционный момент - это смешанный центральный момент порядка 1,1 для двух стационарных в широком смысле случайных процессов {X(t), teTJ и {Y(t), teTJ

mx I 1 -[7(t")-mY] 4 . (5)

KxX(t'f ) = M{ [X(t ')-mx] 1 -[Y(t" )-mY] '}

Коэффициент взаимной корреляции - это нормированный среднеквадратическими отклонениями взаимный корреляционный момент

: j(t',t")= KxY (t ' ").

^ ) = — • (6)

Взаимная корреляционная функция - это взаимный корреляционный момент вида

Кхх (х) = М| [X(г)-тх] '-[7((+ х)-тТ] '} • (7)

Нормированная взаимная корреляционная функция - это коэффициент взаимной корреляции вида

rx,Y (х) = KXYÎX1.

^X Y (х)=(8)

a x -CTy

Матрица коэффициентов корреляции составляется, если речь идет о системах случайных величин (или значениях случайного процесса при различных и Для системы случайных величин X = {Х¡,Х можно сформировать коэффициенты корреляции для

компонентов X и Y :

1 J

Kx Y (t',t")

rt j =—iJ--, 1 , J = 12>.. n (9)

a x

и составить так называемую матрицу коэффициентов корреляции:

'12

'21

Гп1

Гп2

'13

'23

Гп3

Г1п

2п

1

(10)

Обратим внимание, что во всех формулах (1)—(10) прямо или косвенно присутствуют временные параметры: t и т . Когда I' и совпадают (т ^0), речь идет об общей оценке вероятностной зависимости одного процесса X от другого У. Моментные функции высших порядков

Смешанным центральным моментом случайных величин Х1, Х2, ..., Хп порядка К1, К2, ..., Кп называют

M

К1,К2,...,К,

(X1 ,X 2, ■.■ ,Xn ) =

M

(X, -M(X,))•(X2 -M(X2))К' ,■ ■ •(Xn -M(Xn))Kn

(11)

По аналогии имеет место

Х1, Х2,..., Хп порядка К1, К2,..., Кп

и смешанный начальный момент случайных величин

m.

( X1,. ■ ■,Xn ) = M

XK1

•X

К

(12)

В работах [3, 4] представлены результаты исследования смешанных моментов высших порядков. Следует отметить, что моменты (11)—(12) отражают вероятностные взаимосвязи в статике, то есть оценивают их с общих позиций. Вместе с тем определенный интерес представляют знания о влиянии и вкладе в значения моментов воздействий предшествующих или последующих значений процессов Xи УДля получения таких знаний и применяются корреляционные моменты (1)—(10). Адаптируем корреляционные характеристики вида (9) к смешанным центральным моментам высших порядков:

T(t,t1):

(Y(t),X(t+g)

av •а

X

M

1 1

(Y(t) - M (Y )/•( X(t + tj - M (X

(13)

а •а,

'У

Следует ожидать, что момент (13) для полиномиально зависимых X и У должен быть близок к 1. Неизвестно, в том числе и из научных источников, как поведут себя моменты в случае зависимости отличной от полиномиальной.

Для ответа на этот вопрос были проведены численные эксперименты.

Результаты численных экспериментов

Независимая переменная Х варьировалась от 1 с шагом 0,01. Количество наблюдений (количество пар (х, у)) определяется исследователем посредством заполнения соответствующего окна меню. Затем рассчитывались значения переменной У как функции от Х. На рассчитанные значения функций накладывалась некоррелированная равномерно распределенная в интервале [а; Ь] помеха с различными дисперсиями. Дисперсии регулировались областью определения помехи (интервалами [-1; +1], [-5; +5] и [-25; +25]). Параметры жестко зафиксированы и выбраны так, чтобы свойства функций ярко выражались. В качестве функций выбраны полиномы первой и второй степени, экспонента, косинус и экспонента с косинусом (рис. 1).

1

1

зоо 250 200 150 100 50 О -50 -100 -150

> ✓

\ х- —■

\ у ____

\

* \ v • * ъ . ч ^^ / \

\ ----'Л/ "

vu Vii Л • ' V. s ч ^. ^ зЛ \) S 51 Л» • 71 8\ 91

х ■ ч * J * ч / Ч / ч

s ---' Ч.-

-Полином первой степени (ЪО+b 1 *Х)

— — Полином второй степени (ЬО+ЬИХ+Ь2*ХЛ2)

— -Экспонента (Ь0*ехр(-Ы*х))

----Косинус (b0*cos(bl *Р14х))

— • Экспонента с косинусом (b0*exp(bl*x)',cos(b2*PI*x)) Рис. 1. Функции зависимости переменных XuY

На рис. 2 приведены примеры реализаций переменных Y при законах распределения вероятностей помехи в интервале [-25; +25].

Оценивались числовые характеристики (математические ожидания, дисперсии, сред-неквадратические отклонения), автокорреляционные функции переменной Y. Смешанные моменты высших порядков рассчитывались согласно формуле (13).

На рис. 3 представлены поверхности, отражающие матрицы моментов вида (13) для различных видов функциональной зависимости (помеха равномерно распределена в интервале [-1; +1]). Рис. 3, а и 3, b подтверждают ожидания практической близости значений моментов r(t,ti) к 1. Вместе с тем в случаях неполиномиальной функциональной зависимости с помехами моменты r(t, ti) не приближаются к 1. Это обусловливает справедливость предположения, что моменты вида (13) являются мерой полиномиальной зависимости с помехами. Рис. 4 и 5 более наглядно подтверждают это предположение.

11 21 31

61 71 81 91

■

\ J \

V п F 1

П J 1 У 1 ,

1 и' Ii Ü-4, к «1

т

41 51

Ь

1?5,00 100,00 75,00 50.00 ,'S.IW 0.00 -7.4.0U -50.00 -75,00 100,00 125,00

d

Рис. 2. Примеры реализаций переменных Y: а - полином первой степени; б - полином второй степени;

с - экспонента; d - косинус; е - экспонента с косинусом

с

е

2csma;ia«aoB s 4 2 а ^Еишьнтив s 42 и з-еятана-ндов s л г з

с 4 е

Рис. 3. Смешанные моменты высших порядков: а - полином первой степени; б - полином второй степени; с - экспонента; d - косинус; е - экспонента с косинусом

На рис. 4 приведены диагональные элементы матриц (13), причем следует обратить внимание на масштаб оси ординат. Для полиномиальных зависимостей моменты, как и предполагалось, близки к единице. Для других зависимостей значения моментов близки к нулю, но они в определенной степени повторяют вид функциональной зависимости.

с d е

Рис. 4. Диагональные элементы матриц а - полином первой степени; б - полином второй степени; с - экспонента; d - косинус; е - экспонента с косинусом

- равномерный в [-1; +1] ЗРВ, ™ ™ ■ - равномерный в [-5; +5] ЗРВ, ■ | - равномерный в [-25; +25] ЗРВ

На рис. 5 представлены формально найденные автокорреляционные функции зависимой переменной У. Формальность вызвана нестационарностью (помеха накладывается на функциональную зависимость), что и обусловливает несоответствие значений автокорреляционных функций имеющимся для стационарных процессов значениям. Отметим, что результаты на рис. 5 также как и диагональные элементы на рис. 4 являются неким индикатором, подтверждающим вид функциональной зависимости.

с d е

Рис. 5. Автокорреляционные функции зависимой переменной Y: а - полином первой степени; б - полином второй степени; с - экспонента; d - косинус; е - экспонента с косинусом

- равномерный в [-1;+1] ЗРВ, ™ ™ ■ - равномерный в [-5;+5] ЗРВ,

■ ' - равномерный в [-25;+25] ЗРВ

Выводы

На основе известных вероятностных характеристик (корреляционных характеристик) оцениваются взаимосвязи внутри случайного явления. В теории случайных процессов эти свойства выражаются авто- и взаимнокорреляционными функциями. Используя смешанные моменты высших порядков, находятся матрицы моментов. Это обеспечивает оценку взаимовлияния зависимых и независимых переменных полиномиальной вероятностной зависимости. Численные эксперименты выявили особенность моментов вида (13) - они достаточно адекватно отражают полиномиальные свойства зависимостей переменных X и У. В случае иной формы зависимости переменных X и У моменты не могут быть приняты в каче-

стве меры приемлемой вероятностной зависимости. Таким образом, способ вычисления смешанных моментов высших порядков связан с формой оцениваемой вероятностной зависимости.

Статья поступила 12.01.2016 г.

Библиографический список

1. Бусленко Н.П., Калашников В.В., Коваленко И.Н. Лекции по теории сложных систем. М.: Советское радио, 1973. 439 с.

2. Мирский Г.Я. Характеристики стохастической взаимосвязи и их измерения. М.: Энергоиздат, 1982. 320 с.

3. Петров А.В. Исчисление смешанных моментов высших порядков при полиномиальной зависимости случайных величин // Вестник ИрГТУ. 2015. № 11 (106). С. 16-22.

4. Петров А.В. Моментные функции как отражение полиномиальной вероятностной зависимости // Вестник ИрГТУ. 2015. № 10 (105). С. 37-44.

References

1. Buslenko N.P., Kalashnikov V.V., Kovalenko I.N. Lektsii po teorii slozhnykh sistem [Lectures on the theory of complex systems]. Moscow, Sovetskoe radio Publ., 1973, 439 p.

2. Mirskii G.Ia. Kharakteristiki stokhasticheskoi vzaimosviazi i ikh izmereniia [Characteristics of stochastic relationships and their measurements]. Moscow, Energoizdat Publ., 1982, 320 p.

3. Petrov A.V. Ischislenie smeshannykh momentov vysshikh poriadkov pri polinomial'noi zavisimosti sluchainykh velichin [Calculation of mixed higher order moments under polynomial dependence of random variables]. Vestnik IrGTU - Proceedings of Irkutsk State Technical University, 2015, no. 11 (106), pp. 16-22.

4. Petrov A.V. Momentnye funktsii kak otrazhenie polinomial'noi veroiatnostnoi zavisimosti [Moment functions as a reflection of a polynomial probabilistic dependency]. Vestnik IrGTU - Proceedings of Irkutsk State Technical University, 2015, no. 10 (105), pp. 37-44.

УДК 004.89; 332.62

УПРАВЛЕНИЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРОДУКТИВНЫХ ЗЕМЕЛЬ АГРОПРОМЫШЛЕННОГО КОМПЛЕКСА КРАСНОЯРСКОГО КРАЯ НА ОСНОВЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ АГРОЭКОНОМИЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА

© К.В. Раевич1, И.В. Зеньков2, Ю.А. Маглинец3

1,2,3Сибирский федеральный университет, 660074, Россия, г. Красноярск, ул. Академика Киренского, 26. Специальное конструкторско-технологическое бюро «Наука» КНЦ СО РАН, 660049, Россия, г. Красноярск, пр. Мира, 53.

Представлена методика оценки агроэкономического потенциала продуктивных земель сельскохозяйственного назначения для практического применения в решении и реализации задач управления их использования. Разработанная методика регламентирует взаимодействие пользователя и интеллектуальной информационной системы оценки земель в процессе настройки на конкретную решаемую задачу; предполагает на начальном этапе ее создания формирование и функционирование экспертной сети, а также наличие процесса формирования оценок. Ключевые слова: управление использованием земель; ранговая оценка факторов; интеллектуальная информационная система оценки; ГИС-инструментарий; метод «снежного кома».

MANAGEMENT OF KRASNOYARSK REGION AGRO-INDUSTRIAL COMPLEX ARABLE LAND USE BASED ON THE INDICATORS OF AGRO-ECONOMIC POTENTIAL K.V. Raevich, I.V. Zenkov, Yu.A. Maglinets

Siberian Federal University,

26 Akademika Kirenskogo St., Krasnoyarsk, 660074, Russia.

Special Design and Technological Bureau "Nauka" of the Krasnoyarsk Research Center SB RAS, 53 Mira pr., Krasnoyarsk, 660049, Russia.

The article presents the methodology estimating the agro-economic potential of arable agricultural lands to be employed in solving and implementation of the management tasks of their use. The developed methodology regulates the interaction between a user and land evaluating intelligent information system under setting up for a specific task to be solved. It also involves the formation and operation of an expert network at the initial stage of its creation as well as the availability of the process of estimate formation.

Keywords: management of land use; ordered estimate of factors; intelligent information system of evaluation; GIS tools; "snowball" method.

1

Раевич Ксения Владиславовна, старший преподаватель кафедры систем искусственного интеллекта, e-mail: [email protected]

Raevich Ksenia, Senior Lecturer of the Department of Artificial Intelligence Systems, e-mail: [email protected]

2Зеньков Игорь Владимирович, старший научный сотрудник, доктор технических наук, профессор, e-mail: [email protected]

Zenkov Igor, Senior Researcher, Doctor of technical sciences, Professor, e-mail: [email protected]

3Маглинец Юрий Анатольевич, кандидат технических наук, профессор кафедры систем искусственного

интеллекта, e-mail: [email protected]

Maglinets Yurii, Candidate of technical sciences, Professor of the Department of Artificial Intelligence Systems, e-mail: [email protected]