Обобщенная дивергентная теорема и второе тождество Грина для B-эллиптических и B-гиперболических операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

DOI 10.18413/2075-4639-2019-51-4-506-513

ОБОБЩЕННАЯ ДИВЕРГЕНТНАЯ ТЕОРЕМА И ВТОРОЕ ТОЖДЕСТВО ГРИНА ДЛЯ B-ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ И B-ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ

ОПЕРАТОРОВ

GENERALIZED DIVERGENT THEOREM AND SECOND GREEN IDENTITY OF B-ELLIPTIC AND B-HYPERBOLIC OPERATORS

Э.Л. Шишкина E.L. Shishkina

Высшая школа информатики и управления, 35-225, ул. Х. Зучарского, 2, Жешув, Польша

University of Information Technology and Management, 35-225, ul. mjr. H. Sucharskiego, 2, Rzeszow, Poland

E-mail: ilina [email protected]

Аннотация:

В статье представлено обобщение дивергентной теоремы, устанавлявающей связь между весовой дивергенцией векторного поля и производной по направлению от этой же векторного поля, подправленного степенными весами. Из этого обобщения следуют две формулы типа второго тождества Грина для случаев, когда в операторах эллиптического и гиперболического типов действует оператор Бесселя вместо второй производной. Классическое второе тождество Грина имеет большое значение в математической физике, поскольку, например, при его помощи устанавлявается единственность решения задачи Коши для волнового уравнения. Обобщение этого тождества, полученное в статье, может быть использовано для доказательства единственности решения задачи Коши для общего уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу.

Abstract:

The article presents a generalization of the divergence theorem, which establishes a connection between the weight divergence of a vector field and the derivative in the direction from the same vector field corrected by power weights. From this generalization, two formulas of the type of the second Green identity follow for the cases when the Bessel operator acts instead of the each second derivative in the operators of elliptic and hyperbolic types. The classical second Green identity is of great importance in mathematical physics, because, for example, with its help the uniqueness of the solution of the Cauchy problem for the wave equation is established. The generalization of this identity obtained in the article can be used to prove the uniqueness of the solution of the Cauchy problem for the general Euler-Poisson-Darboux equation.

Ключевые слова: оператор Бесселя, обобщение дивергентной теоремы, обобщение формулы Грина, B-эллиптический оператор, B-гиперболический оператор.

Keyword: Bessel's operator, generalization of the divergence theorem, generalization of Green's formula, B-elliptic operator, B-hyperbolic operator.

1. Введение

Утверждение дивергентной теоремы представляет собой равенство между поверхностным и объемным интегралом с учетом расходимости векторного поля. Такие интегралы часто возникают в задачах механики, особенно в задачах вариационного исчисления в механике. В этой статье мы рассмотрим обобщение дивергентной теоремы на случай, когда дивергенция порождается оператором набла с весовыми множителями. Такой вариант дивергентной теоремы позволяет получать формулы Грина для дифференциальных выражений с сингулярными операторами Бесселя. В качестве примеров приложения обобщенной дивергентной теоремы приведены вторые тождества Грина для оператров эллиптического и гиперболического типов, где вместо каждой второй производной действует оператор Бесселя.

Основным объектом исследования в этой статье выступает сингулярный дифференциальный оператор Бесселя Б1 (см., например, [2], стр. 5) вида

д2 ^ д 1 д д Б >• = а* + т = ^ и> <> 0 ^ £1. (1)

Мы будем рассматривать В-эллиптический оператор вида

п

Д7 = (Д7 )х = ^(Б1к )Хк (2)

к=1

и В-гиперболический оператор вида

п

□ 7 = (П7)х = (Бл )х1 Б )Хг ■ (3)

г=2

Для оператора Д7 используется термин оператор Лапласа-Бесселя (см. [2,6]).

Здесь доказывается обобщение дивергентной теоремы на случай взвешенной дивергенции и выводится вторая формула Грина для операторов вида Д7 и □. Пусть 1п — п-мерное евклидово пространство,

ж+={х=(х1,...,хп) £ 1п, Х1>0,...,Хп>0},

1+={Х=(Х1, ...,Хп) £ 1п, Х1>0,..., Хп>0},

7=(71 — мультииндекс, состоящий из фиксированных положительных чисел тг,

1=1, ...,4, и |7|=71+.. .+7п.

Рассмотрим открытое множество О в 1п, симметричное относительно каждой гиперплоскости Хг=0, г=1,п. Пусть О+ = О П 1 + и О+ = О П 1 + где

1+={х=(хь ...,Хп) £ 1п, Х1>0,..., Хп>0}.

Имеем О+ С 1 + и О+ С 1 + . Мы рассмотрим множество Ст(О+), состоящее из т раз дифференцируемых на оп О+ функций. Через Ст(О+) обозначим подмножество функций из Ст(О+) таких, что все производные этих функций по Хг для любого г = 1,...,п непрерывно продолжаются на Хг=0. Класс Ст(О+) состоит из функций f £ Ст(О+), таких, что (д2к+1 //дХ2к+1)х=0 = 0 для всех неотрицательных целых к < т при г = 1, ...,п (см. [1] и [2], стр. 21 и далее).

Пусть е = (в1, является ортонормированным базисом в 1п,

1 уХ^1 дХ\ ' Хп дХп)

— первый взвешенный оператор набла,

F = F (x) = (Fi(x),..,Fn (x))

векторное поле,

1 dFi 1 dFn

(VY ■ F) = + ... +

xl1 dxi xYn dxn

— весовая дивергенция.

Рассмотрим в М + область С+, ограниченную кусочно-гладкой границей 5 + €М + . Таким

ч +

образом, поверхность 5 + может быть представлена в виде объединения 5+= и 5+ конечного

к=1

числа частей 5+ без общих внутренних точек. Пусть для каждой внутренней точки 5+ существует окрестность, внутри которой поверхность 5+ представлена параметрическими уравнениями вида

хг = Хг(У1,--;Уп-1), I = !,...,П,

где Хг(у), У = (У1 ,---,Уп-\) имеет непрерывные первые производные и ранг матрицы Якоби д(Хъ -,Хп)

d(yi,...,yn-i)

равен n — 1. Вектор

ei . .. en

dxi(y) dXn(y)

dyi . . dyi

dxi(y) dXn(y)

dyn-1 . . dyn-i

является нормальным в каждой точке y € S + к поверхности S + за исключением точек соединения поверхностей S+, k = 1,..,q, в которых он не определен однозначно и не будет рассматриваться. Вектор

N

v = —~т \N \

определяется с точностью до знака. Из двух возможных направлений V выберем внешнее по отношению к области С+. Такой вектор будем называть единичным вектором нормали к поверхности 5 + в точке у. Через пг обозначим угол между вектором V и осью х^, тогда

v = ei cos ni + ... + en cos Пп-

2. Обобщенная дивергентная теорема

Теорема 1. Пусть С+ — область в 1 + такая, что каждая линия, перпендикулярная плоскости Хг = 0, г = 1, ...,п, либо не пересекает С+ или имеет один общий отрезок с С+ (возможно вырождающийся в точку) вида

а-(х') < Хг < вг(х'), х'=(хь ■■■,Хi-l,х-+1, ...,Хп), г = 1,...,п.

Если д=(д1(х),...,дп(х)) является непрерывно дифференцируемым в С+ векторным полем и Р=(Р1(х),Рп(х)), Р1(х)=х[1 д1(х),Рп(х)=хп"дп(х), то справедлива формула

У у ■ Р) х^'йх ^(.9 ■ V) х^ИБ,

(4)

о+

я+

где V внешний вектор нормали поверхности .

□ Пусть г — фиксированное натуральное число между 1 и п включительно. Часть поверхности Б+, определенную уравнением хг = вг(х'), обозначим Б+, а часть поверхности Б+, определенную уравнением хг = аг(х'), обозначим , тогда

(V, ег) =

1+ (да- \ 2 + / да- у / да у + / да \ \дх1) " \дхг-^ \дхг+1) "' \дхп)

( даг )2 ( даг )2 Сг+1'

( даг) 2

-1/2

М 2 + ... + (м.

\дх-\) УдХг-1

-Г + (-Щ2 +... + ( Щ 21

^ \дхг+1) \дхп) -

-1/2

х £ ;

х £ Би

Имеем

Рассмотрим

(У ■ Р) х^Их = ^ [ дРг ХИх.

а+

хг г дхг

г=1о+

вг(х')

/1 дР ¡' [ дР-

~ х^ Их — i Х1 ...хг_1 х-+1 ...хп (1х1..л1хг—1(1х%+1...(1хп i Их-

хг дхг дхг

С+ Я а_(х')

где Q — проекция С+ на х- = 0. Интегрируя по х-, получим

г х^ Их — С Р (х) |х_ вг(х ) х"У1 ххх^" Их Их ■ тИх - , -I Их Оу О/Оу — I ± гу^7 Лх__а-(х') 1 "' г_1 г+1 "' ^п 1" г—г+1' • •

С+

хг _ дхг

Я

Пусть (х')^ = хЦ ■■■х[г_1 Х+1 ...хп", Их' = Нх1..Лхг—1Нхг+1..Лхп. Тогда

с+

дР

х дхг

х1 Их — / РРг (х 1,х-—1, в- (х ), х-+1,хп)(х ) ^ Нх

Я

- ! Рг(х1, ..^хг^^г(х'),х-+1,х,п)(х')Их' = Я

= 1 Рг(х1,...,хг—1,вг(х'),хг+1,...,хп)^,ег) х

X /х | ( двг )2 + + ( двг )2 + ( двг У + + ( двг Уху' <у + у \cdxi) "' \с)хг-1; \дхг+1/ "' \dxnj

+ ! Рг(х1,..., хг-1 ,аг(х'),хг+1, ..,Хп)^,вг) х Я

х 1+(дО^Л 2 + +( даг \ 2 + / даг \ 2 + /<9аЛ 2 (х')!'¿х'-

у \0x1j "' \дхг-1; \дхг+1) "' \дхп) = I Рг(х)^, ег)(х'у'й5и + ^ Рг(х)^, ег)(х'у'й5а =

= /9г(х)^, ег)х1 й5и + J дг^^^^х1 й5а = J дг(х)со пг х1 й5.

3+

В результате, получим

I(V.; • Г) Х'йх = £ / дг(х)со тх-'йЗ = Iд-Р) ^ 5 -

а+ 3+

Замечание 1. Предположим, что область О+ € М + есть объединение областей О+,От без общих внутренних точек. Пусть каждая облась О+ в М + такая, что каждая линия, перпендикулярная плоскости хг = 0, г = 1, ...,п, либо не пересекает О+ либо имеет один общий с О+ отрезок (возможно вырождающийся в точку) вида

а1 (х') < хг < в1 (х'), х=(х1, ...,хг-1 ,хг+1, ...,хп), г = 1,...,п

и Р = (Р1(х),...,Рп(х)), Р1(х) = хI1 д1(х),...,Гп(х) = хПпдп(х), д = (д1(х),...,дп(х)) — непрерывно дифференцируемое в О+ векторное поле, тогда справедлива следующая формула

У ^ ■ Р) х7йх = !(.д ■V) х1 й5, (5)

С+ 3+

где 5 + € М + — кусочно-гладкая граница поверхности, V вектор нормали внешней стороны поверхности 5+.

3. Второе тождество Грина для Б-эллиптических и Б-гиперболических операторов

Второе тождество Грина широко представлено в векторном анализе и имеет множество приложений, например используется при доказательстве единственности решения задачи Ко-ши для волнового уравнения и уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу (см. [4]). Мы приведем обобщения второго тождества Грина на случай, когда в операторах эллиптического и гиперболического типов действует оператор Бесселя вместо второй производной.

Теорема 2. Пусть О+ удовлетворяет условиям замечания 1. Если ф, ф дважды непрерывно дифференцируемые функции, определенные на О+, такие что

дф дхг

= ^ дф

х= дхг

= 0, г = 1,..., п ,

Х1=0

то справедлива вторая формула Грина для оператора Лапласа-Бесселя вида

\фь* - ^ф) = / (фЦ - (а)

G+ S+

□ Еслиф,^ — дважды непрерывно дифференцируемые функции, определенные в о С+, такие, что

дф дХг

= 0> дф

xi-0 dXi

= 0, i = 1,..., n,

Xi=0

то, выбрав

F = - = (г ■ х? Ц - ф-xT ф^ in - V xl' g)

=(x' ■( гЦ - (гдФП -

получим вторую формулу Грина для оператора Лапласа-Бесселя. Действительно, в этом случае

g /г дф дф фдф дф \

g \ дх\ фдх\дхп ф дхп) непрерывно дифференцируемое векторное поле, определенное в G+, и

V ■F) = v ■ - ф^г)) = g (£J- (г ■ х? g) -£ дхц И Ш =

= у( 1тЁг.х^ дф + г. J_ -^xfi дф - Хдф. . хъ дг - ф . JL !t) =

V хYi дхг г дхг хYi дхг г дхг хYi дхг г дхг хYi дхг г дхг )

i- I i i i i

п

= ^2, (фБ^ ф - фбъ ф) = ф - фа1

г=1

дф , дф \ ( дф дф \ .дф (g-V) = (ф— со,щ + ... + ф— cosVn) - (ф— cosm + ... + ф— cos^ = ф- - ф

Применяя (5), получим (6). I

Замечание 2. Для случая, когда весовая переменная только одна, эта формула приведена в [3] (формула (3)) другим методом.

Как следствие теоремы 2, получим формулу для интеграла со степенным весом х1 = хI1 ...хП, 7г > 0, г=1,...,п в случае, когда область интегрирования слева — это часть шара, принадлежащего ортанту М+.

Часть шара \х\ < г, \х\ = д/х\ + ... + хП принадлежащего ортанту М+ обозначим через В+(п). Границу множества В+ (п) обозначим через Б+(п). Эта граница состоит из части сферы {х € К+ : \х\=г} и частей координатных гиперплоскостей хг=0, 1=1,.. .,п таких, что \хг\ < г.

Следствие. Для -ш € СД(В+(п)) справедлива формула

[ (Ау'ш(х)) х Ах = [ (^дх) х1аБ, (7)

B+(n) S+(n)

где V внешняя нормаль к S+ (n).

Пусть Тогда

Л — т71 9 xYP+1 9 _xYn

Лт — \Xl 9xi' X2 9x2Xn 9xn

• 07) = П7•

Теорема 3. Пусть С+ удовлетворяет условиям замечания 1. Если ф, ф дважды непрерывно

дифференцируемые функции, определенные в G+, такие что

— 0, i — 1,..., n.

9ф 9xi

xi=0 9xi

xi=0

Тогда справедлива вторая формула Грина для B-ультрагиперболического оператора вида J (фП1 ф — фП1 ф) xYdx — J (ф^ — xY dS,

G+ S+

где т — (cosщ, — cosn2, ■■■, — cosцп). □ Пусть

F — фЛ7 ф — фЛ7 ф —

{x? (фЦ — ф9ф) ф9ф — ф9Q-—xnn{фЩ — ф

9ф 9xn

Тогда

9ф 9ф 9ф 9ф 9ф 9ф

g — фя--— фя--ф^ '— фя--фтг

\ 9x1 9x1 \ 9x2 9x2 J \ 9xn ox.

(v'Y ■ F) — ф — ф,

, 9ф 9ф \ ^ ( . 9ф 9ф \ ,9ф 9ф Ij—~ cos ni — ф^— cos щ) — > ф— cos n — ф— cos ni) — ф^ц — фтт^

9x1 9x1 ) ^ V 9xi 9xi ) 9т 9t

i=2

где т — (cos n1, — cos n2,— cos nn). Применяя (5), получим (8). ■

Вторая формула Грина для В-ультра-гиперболического оператора может быть использована для доказательства единственности задачи Коши для общего уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу (см. [5]).

Список литературы

1. Житомирский Я.И. 1955. Задача Коши для систем линейных уравнений в частных производных с дифференциальными операторами типа Бесселя. Матем. сб. 36(78)(2):299-310.

2. Киприянов И.А. 1997. Сингулярные эллиптические краевые задачи. М.: Наука-Физматлит.

3. Киприянова Н.И. 1985. Формула среднего значения для собственной функции сингулярного дифференциального оператора. Дифференц. уравнен. XXI(11):1998-2001.

4. Курант Р., Гильберт Д. 1945. Уравнения математической физики. Т.2 М.-Л. : ГИТТЛ.

5. Ситник С.М., Шишкина Э.Л. 2019. Метод операторов преобразования для дифференциальных уравнений с операторами Бесселя. Москва: Физматлит, 2019.

6. Guliev V.S. 2006. Weighted inequality for fractional maximal functions and fractional integrals associated with the Laplace-Bessel differential operator. Trans. Natl. Acad. Sci. Azerb. Ser. Phys.-Tech. Math. Sci. 26(1):71-80.

References

1. Zhitomirskii Ya.I. 1955. Cauchy's problem for systems of linear partial differential equations with differential operators of Bessel type. Mat. Sb. (N.S.) 36(78)(2):299-310.

2. Kipriyanov I.A. 1997. Singular Elliptic Boundary Value Problems. M.: Nauka-Fizmtlit.

3. Kipriyanova N.I. 1985. Average formula for the eigenfunction of a singular differential operator. Diff. eq. 1985. XXI(11):1998-2001.

4. Courant R., Hilbert D. 1945. Equations of mathematical physics. V.2 M.-L. : GITTL.

5. Sitnik S.M., Shishkina E.L. 2019. Transmutation operators method for differential equations with Bessel operators. Moscow. Fizmatlit, 2019.

6. Guliev V.S. 2006. Weighted inequality for fractional maximal functions and fractional integrals associated with the Laplace-Bessel differential operator. Trans. Natl. Acad. Sci. Azerb. Ser. Phys.-Tech. Math. Sci. 26(1):71-80.

Ссылка для цитирования статьи For citation

Шишкина Э.Л. 2019. Обобщенная дивергентная теорема и второе тождество Грина для B-эллиптических и B-гиперболических операторов. Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. 51 (4): 506-513. DOI 10.18413/20754639-2019-51-4-506-513.

Shishkina E.L. 2019. Generalized divergent theorem and second Green identity of B-elliptic and B-hyperbolic operators. Belgorod State University Scientific Bulletin. Mathematics. Physics. 51 (4): 506-513 (in Russian). DOI 10.18413/2075-4639-2019-51-4-506-513.