ОБОБЩЕНИЕ ЗАДАЧИ В.З. ВЛАСОВА О НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ СОСУДОВ ПРИ ГИДРОСТАТИЧЕСКОМ ДАВЛЕНИИ НА СЛУЧАЙ ФИЗИЧЕСКИ ОРТОТРОПНОГО МАТЕРИАЛА Текст научной статьи по специальности «Технологии материалов»

Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 78

www.mai.ru/science/trudy/

УДК 539.3

Обобщение задачи В.З. Власова о напряженном состоянии цилиндрических сосудов при гидростатическом давлении на случай

физически ортотропного материала

Ву Ба Зуи

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), МАИ, Волоколамское шоссе, 4, Москва, A-80, ГСП-3, 125993, Россия

e-mail: duyvubal511@gmail.com

Аннотация

Исследуется влияние механических характеристик материала физически ортотропных цилиндрических оболочек с шарнирным закреплением на напряжённо-деформированное состояние при действии гидростатического давления, постоянного по длине, что соответствует горизонтальному расположению сосудов, частично заполненных жидкостью.

Ключевые слова: ортотропный материал, цилиндрическая оболочка, гидростатическое давление, сосуд, дифференциальное уравнение, ряд Фурье.

Введение. Постановка задачи.

Определение напряженно-деформированного состояния цилиндрических

оболочек, являющихся непременным элементом многих частично заполненных

жидкостью сосудов, под действием гидростатического давления, представляет

интерес для расчётов прочности авиационных и ракетно-космических

1

тонкостенных конструкций [1-3]. Например, обечайки топливных баков, предназначенных для размещения компонентов жидкого топлива (окислителя, горючего), в полете нагружены внутренним избыточным давлением, складывающимся из гидростатического давления и наддува.

В случае изотропного материала задача определения напряженного состояния оболочек при гидростатическом давлении рассматривалась в монографии В.З.Власова [4], где на основе приближенной, полубезмоментной теории оболочек представлены некоторые результаты расчета напряжений.

В отличие от [4] здесь рассматриваются: во-первых, оболочки из не изотропного, а физически ортотропного материала. Такой вид материала, когда плоскости упругой симметрии совпадают с координатными плоскостями, представляется важным ввиду его широкого применение в конструкциях [5]; во-вторых, используется наиболее точная, общая теория оболочек из физически ортотропных материалов.

1. Дифференциальные уравнения задачи. При использовании полных уравнений теории физически ортотропных упругих тонких оболочек, построенной на основе принятия гипотез Кирхгофа-Лява, задача о действии на оболочку нормальной поверхностной нагрузки р(а, Р) может быть приведена к следующему разрешающему дифференциальному уравнению относительно функции Ф(а,0) [6] [7] =

!Ф(а,0) = Д^РС^Ю (1.1)

д

8

1~ да* + а",2 да*д/32 + 2У2 да* + а*4 +

+а*2 да^д?2 +Лда* + а2,6 даЧрь + а*4 +

а4 0д4/д2 \2 1-у±у2 д4

-[—-7+1) +-г——Я

2,2да2д02 др*\др2 ) с2 да4

2 V-

Я — у2

а62 =-+ 4/^ ; а44 = 2Я

И-1

3 + — {1-у1у2) ~4у± (у2 +

а.

1,2 "а4,4 ; а2,6 "а6,2 ; а2,4 ~2^(а6,2 "^2) ; С1.2)

/Я - \ Е2 У2 ,

а2 2 I--2у2 ) ; X — — — — ; с/ = ——г ;

2,2 \ 2) Ег V! 12Д2

С Е^3 Д/ = —— ; Д- = —-г ; (¿ = 1; 2)

а,р - безразмерные продольная и окружная координаты соответственно; Д, к - радиус, толщина оболочки; Е±, Е2 - модули упругости материала оболочки в направлениях а и Д соответственно; С - модуль сдвига; - коэффициент поперечного сжатия в направлении Д при растяжении в направлении а; у2 -коэффициент поперечного сжатия в направлении а при растяжении в направлении

Р.

Перемещения, усилия, изгибающие моменты связаны с разрешающей функцией Ф(а,Р) с помощью следующих дифференциальных зависимостей:

д3Ф д3Ф

u(a,ß) = v2—т- Я

д5 l

да3 dadß2 (За5 ^

+ — [Я - (v2+ 2/02] X

д5 д5 )

X--Я-1 Ф ■

da3dß2 dadß4) ;

/Я-Vo2 \ д3Ф д3Ф

д2 а2

+ (v2 + 2/0 ■

За2

д3Ф da2dß ;

w(a,ß) =

д4 /Я — v22 \ д4 д4

+ (----2V2 L

да4 У Mi yda2dß2 dß4

Ф ;

Ei^ д4Ф 2с2

Я I da2dß2 l- vxv2

абФ _ абФ

2^1 a„4ao7 + (я_ v2/-2v2^1)-

T2{a,ß) =

E7h Г54Ф с2

■ + ■

fí I öa4 l- v1v2

двФ t v-, Vi л

+ 13+ Л—- — (v2 + 2Ml)2) X оаь \ u-i u-i >

Mi Mi

дбФ f¿-v2:

+

da4dß2 V ^

+ 4^! - v2

\ ^бФ 06ф

)da2dß4 +Ä dß

Siia,ß) = f [

Gh [Ä-v22 д4Ф 2с2 / д6Ф ^ д6Ф Дх \da5dß dadß5

0] ;

(13)

GhfA-v22 д4Ф

= T i „,' ~ 2cZ

2 абФ /i-v22 da5dß y

2v

\ дбФ ■)da3dß2

и-у габФ (х-у2

да6

+

VI

2У

\ абФ

')да4др2

+ У2

д4Ф да4

+

+

/Л-у22

Я+ Гй--

дбФ

да2дрА

Л+ у2

2 (Я - У22)У2

а4Ф

да2др:

+

/з6Ф

абФ а4Ф

VI

■ +

да6 да4

+

1+ у2

2 (Я

2ухУ2

з6Ф

да4др:

■ +

2. Решение уравнений (1.1 - 1.3) при гидростатическом давлении.

Влияние параметров ортотропии материала на напряженно-деформированное состояние рассмотрим на примере оболочки с шарнирным закреплением поперечных краев. Краевые условия в этом случае, как известно, математически формулируются следующим образом:

ш — v — т1 — с1 — 0 ; а — 0, а — а±, (2.1)

где а1 = Ь / Я - относительная длина оболочки.

Таким образом, краевая задача о нахождении напряженно-деформированного

состояния рассматриваемой оболочки формулируется так: необходимо найти

разрешающую функцию Ф(а,в), являющуюся решением разрешающего уравнения (1.1 ), удовлетворяющую краевым условиям (1.4), которые записываются через Ф(а,в) с помощью соотношений ( 1.3 ).

Поверхностную нагрузку р(а,в) - гидростатическое давление жидкости -представим в виде произведения амплитудного значения давления и двух

безразмерных функций, характеризующих его распределение вдоль образующей и контура:

p(a, Р) = р,в(а)в(Р)

?

оо о

р^р) = р0в(а)в(р) = р0ХХ66 sinZmacosФ• (2.2)

n=0 m=1

где p0 - амплитудное значение, p0 = -yR, у- плотность жидкости, а знак «минус» обусловлен принятым здесь, как и в [7], правилом знаков для внешней нагрузки;

6(a), 6(|) - безразмерные функции распределения нагрузки в продольном и окружном направлениях, соответственно.

В продольном направлении гидростатическое давление принимается постоянным, поэтому 6(a) = 1, 0<a<ax , а в окружном оно меняется по закону, принятому в монографии [4]:

6(Р) =

cos Р- cos Р, |Р|< Р

0, || > Р

Р

где половина угла заполнения сосуда жидкостью,

В представлении нагрузки (2.2) приняты обозначения:

вт - коэффициент разложения в(а) в тригонометрический ряд по синусам с периодом 2а1

0(а) = Y, °m sin X„— , где Xm = — ;

1 а,

m=1 1

вп - коэффициент разложения в тригонометрический ряд Фурье

х х

в{Р) = Y°n cosnp = в, + в1 cosP + Y9n cosnp,

n=0 n=2

2 PP, „ _ _ 2 , .

во = — Í (cosp-cosPo)dp = —(sinPo -PoCosPo); ж ^ ж

2 Po

en = —J (cosP - cosP0)cosnpdp

ж

2 ж

sin(n - l)po + sin(n + l)po - cos p SÍn npo

2(n -1) 2(n +1) n

Здесь первые два члена ряда (n=o, n=1) соответствуют деформированию сосуда без изменения формы поперечного кругового сечения, а остальные характеризуют деформирование контура.

Граничные условия (2.1) будут удовлетворены, если представить разрешающую функцию Ф(а, P) в виде двойного тригонометрического ряда

х х

Ф(а, P) = ХХфmn sinXmа cos np.

n=o m=1

В результате очевидных подстановок для разрешающей функции получаем выражение:

R p R х х в в Ф(а, P) = 12(1 - V1V2X - )3 p- YYee sin хта cos np,

h E1 n=o m=1 Lmn

где

Ьт,п = Жт + аб,2%тП ~ 2У + ^Жт П ~ «4,2Хт П + ЛЖт +

+ «2,бЖт 2 П6 - «2,4^т ' П " + «2,2^т ' П 2 + Л' П 4( П 2 - 1)2 + Л1—^2 Жт ^

Вычислительные формулы в виде рядов для перемещений, усилий и моментов находим в результате подстановки Ф(а, Р) в соотношения (1.3), связывающие искомые факторы с разрешающей функцией. Приведем наиболее

важные из них:

Е Я й й

-Ям = 12(1 - У1У2)(-)3X^-Ь^тпп 8ШЖта008пР;

РоЯ Ь п=0 т=1 Ьтп

1 Я <Х> к, й й

Т = -12(1 - У1У2)(-)2 У 81И Жта008пР;

Ро -

Ь' ^^ т

'I п=0 т=1 ^тп

(2.3)

1

к к

йв

Я2 Сг = ХХ-Ъ^тп ^Жта008пР; =

Р0Я п=0 т=1 Ьтп

где

м = ж +

тп Лт

Л-v2

■- 2у 2

Жт2 п2 + Лп4;

2с2

^тп = ЛЖт2п2 + "-Г2^1 Жт'п' + (Л - V22 - 2V2^Жт'п4 ]

1 J

2с2

^2тп Л

Жт

1 V1V2

^Жт +

V V,

3 + Л-^ — (V 2 + 2ц1)2 ^

4 2

Ж п2 +

ль-щ

+

Л-V/ „

-- + 4^1 -V 2

V

Жт2 п4 + Л«6

ё\шп

+

^ 6 + Лш

/о 2 Л

Я-у22 ---у 2

V

Я + у22 -

(Я-У22)

^ш 4 п2 + -У2^ш 4 +

У

у

Я + у 2

Я-у22 -2-у 2

V

У

2 4

Жш п4 +

2п2 -Яу2 (п4 - п6)

8 2 шп Я

6 4 +

(Я-у22 )у1

1 + ----

1^1

■ 2у1У 2

Хт4п2 +

2

Я-у2 ---У 2

V

^ш 2 п

У

2

Я -у2 0 -2— 2у 2

V

^2п2 -Я(п4 -п6)

У

3. Численные результаты расчета оболочек. В качестве объекта исследования влияния ортотропии на напряженно-деформированное состояние рассмотрим оболочку с геометрическими параметрами, принятыми в работе [4]: длина Ь=4000 см, радиус Я=320 см, толщина И=0,6 см. Угол заполнения сосуда жидкостью 2 Д= 66 град.

3.1. Анализ влияния на напряженно-деформированное состояние параметра ортотропии Я. Результаты расчётов по формулам (2.3) для гипотетических ортотропных материалов исследуемой оболочки представим в виде графиков на рис. 1-5 , где дано распределение нормального перемещения, продольного и кольцевого усилий, продольного и кольцевого изгибающих моментов: м>, Т1,Т2, С1,С2 - вдоль нулевой образующей оболочки в зависимости от значений параметра ортотропии материала Я, который изменяется в достаточно широком диапазоне (Я= 0,1 - 10). Имеет место весьма сильная зависимость приведенных факторов от величины Я. Причем, при росте параметра ортотропии

Я значения кольцевого изгибающего момента увеличиваются, а нормального перемещения и продольного усилия уменьшаются.

-\V.cm

Рис.1. Изменение радиального перемещения вдоль нулевой образующей оболочки при различных значениях параметра ортотропии материала Л.

Ti-io-s ,5

м

20т

16-

12

, = 0.1 = 0,25

t * * X

1 I t t I * г t i r * f1 * t . • ■ ■ Я = 0.5 Я = 1

г j г j t I * s ■f f j i j i / * г / * ' Я = 5

i / Hi / iti/ 1 / _r* г Я = 10

■ 1

а

О 1.25 2.5 3.75 5 6.25

Рис.2. Изменение продольного усилия вдоль нулевой образующей оболочки при различных значениях параметра ортотропии Л.

Рис.3. Изменение кольцевого усилия вдоль нулевой образующей оболочки при различных значениях параметра ортотропии Л.

Gi-lÜ 1.5т

Q 1.25 2.5 3.75 5 6.25

Рис.4. Изменение продольного изгибающего момента вдоль нулевой образующей оболочки c различными значениями параметра ортотропии Л.

02-10

> 47

Я =10

/

А Г / л 5 я , = 0.1 = 0.25 Я = 0.5

/ / I / - ' 2 . - 1 "Т'"-- А = 1 --

- -

О 1.25 2.5 3.75 5 6.25

Рис.5. Изменение кольцевого изгибающего момента вдоль нулевой образующей оболочки с различными значениями параметра ортотропии Л.

Отметим, что в соответствии с принятым правилом знаков, как в [6,7], отрицательное нормальное перемещение направлено в сторону увеличения радиуса, положительные усилия - растягивающие, а положительные изгибающие моменты создают растягивающие напряжения на внешней поверхности оболочки.

Результат расчёта максимального значения нормального продольного напряжения, в середине оболочки, для частного случая изотропного материала, при Л = 1, сопоставлялся с полученным в монографии приближенным решением [4].

При этом его отклонение от полученного здесь точного результата составляет более 10%.

3.2. К выбору типа материала для сосуда. В качестве другого примера рассмотрим цилиндрические оболочки с шарнирным закреплением, изготовленные из стали 1Х18Н10Т, алюминиевого сплава Д16Т и композитного материала со следующими механическими характеристиками:

1 - Сталь 1Х18Н10Т: Е1 = Е2 = 21-104мПа, у1 = у2 = 0.3;

2 - Алюминиевый сплав Д16Т: Е1 = Е2 = 7.2 • 104 мПа, у1 = у2 = 0.3;

3 -Боропластик: Е1 = 21.1 • 104 мПа, Е2 = 2.11 • 104 мПа, = 0.35, у2 = 0.035;

4 - Стеклопластик:

Е = 6.25 • 104 мПа, Е2 = 2.12 • 104 мПа, у1 = 0.215, у2 = 0.073.

Оболочки имеют указанные в начале раздела 3 геометрические параметры и угол заполнения жидкостью 2/30 = 660.

Численные значения максимальных напряжений, полученные по формулам (2.3), на наружной и внутренней поверхностях оболочки, приведены в таблице 1. Максимальные нормальные перемещения записаны в последнем столбце этой таблицы.

Таблица 1

Материал оболочки Напряжение, мПа Нормальное перемещение, см

+ 5 1тах 5 1тах + 5 2тах 5 2тах ш

1Х18Н10Т 70.6 202.3 -214 218 29.6

Д 16 70.6 202.3 -214 218 86.4

Боропластик 224 291 -83 89 85.5

Стеклопластик 163 226 -134 139 180

В таблице 1 приняты обозначения: 5* 1+ и 5* 2+ - меридиональное и окружное напряжения на наружной поверхности; 51 и 5 2- - меридиональное и окружное напряжения на внутренней поверхности оболочки.

Выводы. Таким образом, дано обобщение задачи В.З.Власова на случай анизотропного, физически ортотропного, материала. Построенное эффективное решение позволяет получать достаточно легко точную информацию о напряженно-деформированном состоянии оболочек с шарнирными условиями закрепления из ортотропных композитных материалов при действии радиальной нагрузки, а для конкретных конструкций выбирать подходящие материалы. Влияние граничных условий закрепления оболочек, отличных от шарнирных, исследовано в работе [8], а анализу влияния анизотропии на напряженное состояние при нагрузке, отличной от рассмотренной, а именно продольной, посвящена работа [9].

Библиографический список

1. Кан С.Н., Свердлов И.В. Расчет на прочность самолета. - М.: Машиностроение, 1966. - 519 с.

2. Новиков В.Н., Авхимович Б.М., Вейтин В.Е. Основы устройства и конструирования летательных аппаратов. - М.: Машиностроение, 1991.- 368 с.

3. Моссаковский В.И., Макаренков А.Г., Никитин П.И., Саввин Ю.И., Спиридонов И.Н. Прочность ракетных конструкций. - М.: Высшая школа, 1990. -359 с.

4. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. - М.: Изд-во АН СССР, 1962. - 528 с.

5. Белозеров Л.Г., Киреев В.А. Композитные оболочки при силовых и тепловых воздействиях. - М.: Физматлит, 2003. - 388 с.

6. Образцов И.Ф., Нерубайло Б.В., Андрианов И.В. Асимптотические методы в строительной механике тонкостенных конструкций. - М.: Машиностроение, 1991. - 416 с.

7. Нерубайло Б.В. Локальные задачи прочности цилиндрических оболочек. -М.: Машиностроение, 1983. - 248 с.

8. Нерубайло Б.В., Ву Ба Зуи, Зайцев В.М. К расчёту напряжений в цилиндрических сосудах при несимметричном гидростатическом давлении и нагреве // Электронный журнал «Труды МАИ», 2013, вып.67: http://www.mai.ru/science/trudy/published.php?ID=41403 (дата публикации 25.08.2013).

9. Нерубайло Б.В., Ву Ба Зуи. Дифференциальные уравнения физически ортотропны и изотропных цилиндрических оболочек при действии продольных нагрузок // Вестник Московского авиационного института, 2013. Т.20. С. 173-184.