Обобщение удвоения по Александрову прямой Зоргенфрея и множества рациональных точек Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2008 Математика и механика № 2(3)

УДК 515.122

Т.Е. Хмылёва ОБОБЩЕНИЕ УДВОЕНИЯ ПО АЛЕКСАНДРОВУ ПРЯМОЙ ЗОРГЕНФРЕЯ И МНОЖЕСТВА РАЦИОНАЛЬНЫХ ТОЧЕК

В данной работе рассматривается обобщение известного в топологии пространства «двойная окружность Александрова». Доказано, что при различных натуральных п и m пространства X ® п и X ® m не являются гомео-морфными, если X - прямая Зоргенфрея, и являются гомеоморфными, если X - множество рациональных точек отрезка[0,1].

Ключевые слова: удвоение по Александрову, прямая Зоргенфрея.

Пусть X - хаусдорфово топологическое пространство. Символом X 0 п будем обозначать множество Хх{0,1,..., п-1}, наделенное следующей топологией: объявим базой топологии одноточечные множества {(х,к)} для любого хеХ и

п-1

к = 1,., п-1 и множества и х {0,1, , п -1} \ и {(х, к)} для любого открытого

к=1

множества исХ и любого хе и.

Пространство X 0 п является обобщением хорошо известного примера «двойная окружность Александрова».

В работе [1] доказано, что для несчетного метрического компакта X пространства X 0 п и X 0 т негомеоморфны, если п Ф т. Тем же способом, что и в [1] можно показать, что если пространство X содержит несчетный метрический компакт, то пространства X 0 п и X 0 т при п Ф т негомеоморфны. В данной работе мы рассматриваем пространство X 0 п при X = К, где К - прямая Зоргенфрея и X = Q, где 2 - множество рациональных точек интервала [0,1].

Напомним, что прямая Зоргенфрея К - это множество вещественных чисел с базой окрестностей в точке хеК: В(х) = {х, х), х, г е К, х < г, г е Q}. Отличительным свойством прямой Зоргенфрея от вещественной прямой является тот факт, что все компактные множества в К не более чем счётны [2]. Но как и для вещественной прямой, оказалось, что пространства К 0 п и К 0 т не являются гомеоморфными при п Ф т (теорема 3). Для множества рациональных точек 2е[0,1], в котором компакты также не более чем счётны, мы докажем гомеоморфность пространств 2 0 п и 2 0 т для любых п, те№

Теорема 1. Пусть [0,1) - отрезок прямой Зоргенфрея, X = [0,1) х {0,1,2},

У = [0,1) х {0,1}. Тогда пространства X и У негомеоморфны.

Доказательство. Доказательство проведем методом от противного: предположим, что существует гомеоморфизм ^ У. Каждой неизолированной точке

(х,0)^^ при отображении ф соответствует неизолированная точка (у,0)еУ. Изолированные точки (х,1) и (х,2)^^ переходят в изолированные точки пространства У, то есть ф (х,1) = (у',1), а ф (х,2) = (у",1). Так как у"ф у" , то либо у' Ф у, либо у'' Ф у . Определим множества

рального /eN положим А1 = {х е А: {' -у|

А = { е [0,1): |у'-у| Ф 0},

В = (х е [0,1) :|у"-у\ ф 0}.

Так как АиВ = [0;1), то хотя бы одно из множеств А или В является несчётным. Не нарушая общности, можно считать, что это множество А. Для любого нату" 11ю е ТТ ’7II. Ясно, что Ц А = А и, в

_ I + 1 IЛ 1=1

силу несчетности множества А, найдется такое /0е^ что множество А0 несчётно.

Покажем теперь, что существует точка х0 е А0 , такая, что для любого е > 0 (х0, х0 +6) П А Ф 0 . Действительно, если это не так, то для любого X е А существует ех > 0, такое, что (х, х + гх) П А0 = 0 .

Рассмотрим точки х, х1 е А0 , х < хь Тогда х^(х, х + ех) и, значит, Х1> х + ех. Следовательно, [х, х + ах) П [х1, х1 +гХг) = 0. Так как множество А0 несчётно, то

мы получаем несчётное семейство попарно непересекающихся полуинтервалов {[х, х + 6)} . на отрезке [0,1). Но это противоречит сепарабельности отрезка

[0,1).

Итак, существует точка х0 е А0 , такая, что (х0, х0 +£) П А0 для любого

е > 0. Это означает, что мы можем найти последовательность х1,х2хп,... , хп е А0 , хп ^ х0 для всех пе N которая сходится справа к точке х0 е А0 . Это означает, что для каждого г = 0, 1, 2 последовательность {(хп, г )}*=1 сходится к точке (х0,0) в пространстве X.

Пусть Ф (хп ,0) = (уп ,0), Ф(хп,1) = (у'п,1), Ф(хп,2) = (у'П,1). В силу

непрерывности отображения Нш (уп,0) = Нш ф (хп ,0) = ф (х0,0) = (у0,0) и

п—ю п——Ю

Шп (уП ,1) = Иш ф(хп,1) = ф (х0,0) = (у0,0). Рассмотрим окрестность точки

п—ю п——Ю

(Уо,0)е У V = у0,у0 + -^]х{0}иI Уо,Уо + “^|х{1}. Так как отображение ф не-_ 41о) V 41о)

прерывно, найдется окрестность и(х0,0) с X, такая, что ф(Ц) с V. Поскольку последовательность (х„, г) сходится к точке (х0,0) для г = 0, 1, 2, то найдется п0е^, такое, что при п > п0 (х„, г)е Ц/(х0,0). Следовательно, ф(х„, г)е¥(у0,0) при г = 0, 1, 2, и п > П0 и, значит (у„,0)е¥(у0,0), (уП,1) е¥(у0,0), (у”п,1) е¥(у0,0) при п > П0.

Отсюда что -1 < \у’п-уп\ < \у'п -у0\ + |Уо -Уп\ + ^- = т1. Полу-

‘о 4'о 21

ченное противоречие опровергает наше предположение о существовании гомеоморфизма ф.

Теорема 2. Пусть [0,1) - отрезок прямой Зоргенфрея. Тогда пространства X = [0,1) 0 п и У = [0,1) 0 т негомеоморфны при п Ф т.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 1.

Теорема 3. Пусть К - прямая Зоргенфрея. Тогда пространства К 0 п и К 0 т при п Ф т негомеоморфны.

Для доказательства достаточно заметить, что прямая Зоргенфрея гомеоморфна своему отрезку [0,1) с К, и воспользоваться теоремой 2.

Теорема 4. Пусть 2 - множество рациональных точек отрезка [0,1], X = 2 х{0,1,2}, У = 2 х{0,1}. Тогда пространстваX и У гомеоморфны.

Доказательство. Занумеруем точки множества 2: 2 = {гъ г2и определим отображение f: X ^ У по индукции

/(Г1,0) = (Г,0) е У,

f (г1,1) = (г1,1)е 7,

/(Г1,2) = (#2,1)е 7>

где точка q2 выбрана таким образом, что 0 < |д2 - г\\ < 1.

Предположим теперь, что для точек (гк, г) при к < п, г = 0,1,2 отображение f определено так, что выполнены следующие условия

/(гк,0) = (гк,0) е Г.

/ (к ,1) = (Я2к-1.1) е Г.

/ (к ,2) = (?2к ,1)е Г. причем точки q2k-l и q2k являются точками с минимальным номером, удовлетворяющие условию

к - <Ьк~\\ < и \гк - цгА < .

Заметим, что если точка гк £ {,д2,д3д2к-2} ,то q2k.1 = гк.

Положим Ап = {г1,д2,д3д2п_1;д2п} и определим f для точек (гп+1,г), г = 0,1,2:

/ (гп+1 >0) = (гя+1,0),

/ (гп+1 >1) = (^2к+1 >1)>

/ (гп+1 > 2) = {Я2к >1)>

где точки q2k-l и q2k - точки с наименьшим номером, удовлетворяющие неравенствам

|^2п+1 — Гп+11 < 2«+1 , 1^2п+2 — Гп+11 < 2«+1 и ^2н+1 ^ А , ^2п+ 2 е Ап .

Такой выбор всегда возможен, так как в любой окрестности точки гп содержится бесконечно много рациональных точек. Построенное отображение f - биективно по построению.

Докажем непрерывность отображения f в фиксированной точке (гп ,0) е X. В точках (гп ,1) и (гп ,2) функция f непрерывна, так как эти точки являются изолированными. По определению отображения f, / (гп ,0) = (гп ,0) е У. Пусть V (гп, 0)

- окрестность точки (гп ,0) е У:

V(гп,0) = ((гп-£,гп +6)х{0})У((гп-6,гп +6)х{1})\(гп,1).

Выберем число т е N и 8 > 0 так, чтобы

1 6 6

— <-, 8<-

2т 3 3

и интервал (гп - 8, гп +8) не содержал точек г1, г2,..., гп-1, гп+1,..., гт .

Положим

и (гп ,0) = ((гп-8,гп +8) х {0,1,2}) \{( гп ,1),(гп ,2)} и пусть точка (гк,I) е и(гп,0).

Если I = 0 , то /(гк ,0) = (гк ,0) с V . Если I = 1 или I = 2, то из условия

(гк,I) е и(гп,0) следует, что к> т и |гк -гп\<8 . Отсюда получаем

кг*-1 - гк\< ^ < 3 и |д2к_1 - Гп\< |ц2к_1 - гк\ + \гк - г„\< | + 8 < 1 + 3 <£.

Следовательно, точка / (гк ,1) = (д2к_1,1) е V . Аналогично получаем, что /(гк,2) = (д2к ,1) е V . Таким образом, /(и) с V и непрерывность отображения/ доказана.

Покажем непрерывность отображения /-1. Пусть и (гп,0) - окрестность точки (гп,0) е X, и(гп,0) = ((гп-г,гп + 6)х{0,1,2})/{(гп,1),(гп,2)}. Докажем, что существует окрестность V(гп,0) с У, такая, что /-1 (V) с и. Выберем число т е N и

1 8 8

8 > 0 так, чтобы выполнялись следующие условия: т > п, < 3, 8 < 3 и ок-

рестность точки (гп,0) е У V(гп,0) = ((гп-8,гп +8)х{0,1})\{(гп,1)} не содержала точек f (г ,1) и /(г ,2) для у = 1,2,...,т .

Пусть точка (гк ,0)е X, (гк ,0) ^ и. Если г = 0, то ясно, что

/-1 (гк ,0) = (гк ,0)й V, так как §<~. Если же г е {1,2}, то условие (гк, г) $.и

означает, что либо (гк, г) = (гп, г), либо гк £ (гп -г, гп +6).

Если к < т, то по определению окрестности V (гп ,0), /(гк ,0) £ V , в частности /(гк, I) £ V .

Если же к > т и гк > гп +6, то

1 ^ 1 1 е х

г -2т* гп+ е-2т > гп+г~^ > гп+е-з < гп+8,

то есть ([гк- 2т, гк + 2т)х = 0.

Но по определению отображения /

/,*')е(гк -“Т’гк + “Т)х{1}

и, значит, / (гк, 1) £ V .

Если к > т и гк < гп -6 , то

1 ^ 1 1 £ х

гк + 2} -гп-£+2} <гп-£+2т<гп-£+з<гп-5 и, значит, - 2р, гк + -2- )х {1}]п^ = 0.

Следовательно, и в этом случае, / (гк, г) £ V .

Таким образом, мы показали, что V с f (и), что равносильно условию /-1 (V) с и. Это доказывает непрерывность отображения/ Теорема доказана.

Следствие 5. Если 2 - множество рациональных точек на отрезке [0,1] и п, т то пространства 2 0 п и 2 0 т гомеоморфны.

Заметим, что счетность множества рациональных чисел не является необходимым условием гомеоморфности пространств X 0 п и X0 т. Нетрудно доказать, например, что для произвольного отрезка ординалов [1,а] пространства [1,а] 0 п и [1,а] 0 т гомеоморфны.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гензе Л.В., Хмылева Т.Е. Удвоение по Александрову и его обобщения // Вестник ТГУ. 2003. № 280.

2. Энгелькинг Р. Общая топология: Пер. с англ. М.: Мир, 1986.

Статья принята в печать 25.06.2008 г.